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文檔簡介
-.z.第五章線性微分方程組[教學目標]理解線性微分方程組解的存在唯一性定理,掌握一階齊〔非齊〕線性微分方程組解的性質(zhì)與構(gòu)造,理解n階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系。掌握非齊次線性微分方程組的常數(shù)變易法,理解常系數(shù)齊線性微分方程組基解矩陣的概念,掌握求基解矩陣的方法。掌握常系數(shù)線性微分方程組的Laplce變換法。[教學中難點]求解常系數(shù)非齊次線性微分方程組[教學方法]講授,實踐。[教學時間]16學時[教學內(nèi)容]n階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系,一階線性微分方程組解的存在唯一性定理;齊〔非齊〕線性微分方程組解的性質(zhì)與構(gòu)造,求解非齊次線性微分方程組的常數(shù)變易法;常系數(shù)齊線性微分方程組的基解矩陣及求基解矩陣的方法;求常系數(shù)線性微分方程組的Laplce變換法。[考核目標]1.線性微分方程組解的性質(zhì)與構(gòu)造。2.能夠求解常系數(shù)線性微分方程組?!?.1存在唯一性定理5.1.1記號和定義考察形如〔5.1〕的一階線性微分方程組,其中函數(shù)和在區(qū)間上上是連續(xù)的。方程組〔5.1〕關(guān)于及是線性的.引進下面的記號:〔5.2〕這里是矩陣,它的元素是個函數(shù).〔5.3〕這里,,是矩陣或維列向量。注意,矩陣相加、矩陣相乘、矩陣與純量相乘等等性質(zhì)對于以函數(shù)作為元素的矩陣同樣成立。這樣一來,方程組〔5.1〕可以寫成下面的形式〔5.4〕引進下面的概念。一個矩陣或者一個向量在區(qū)間上稱為連續(xù)的,如果它的每一個元素都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。一個矩陣或者一個維列向量:在區(qū)間上稱為可微的,如果它的每一個元素都在區(qū)間上可微。它們的導數(shù)分別由下式給出:不難證明,如果矩陣,及維向量,是可微的,則以下等式成立:〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕〔Ⅲ〕類似地,矩陣或者向量在區(qū)間上稱為可積的,如果它的每一個元素都在區(qū)間上可積。它們的積分分別由下式給出:現(xiàn)在我們給出〔5.4〕的解的定義:定義1設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)矩陣,是同一區(qū)間上的連續(xù)維向量。方程組〔5.4〕在*區(qū)間〔這里〕的解就是向量,它的導數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且滿足,現(xiàn)在考慮帶有初始條件的方程組〔5.4〕,這里是區(qū)間上的數(shù),是維歐幾里得空間的向量,在這樣條件下求解方程組稱為初值問題。定義2初值問題,〔5.5〕的解就是方程組〔5.4〕在包含的區(qū)間上的解,使得。例2驗證向量是初值問題,在區(qū)間上的解。解顯然因為和處處有連續(xù)導數(shù),我們得到因此是給定初值問題的解。正如在第而章所看到的,當時,我們可以得到初值問題〔5.5〕的解的明顯表達式,當時,情況就復雜多了。在第四章中,我們討論了帶有初始條件的階線性微分方程的初值問題?,F(xiàn)在進一步指出,可以通過下面的方法,將階線性微分方程的初值問題化為形如〔5.5〕的線性微分方程組的初值問題??紤]階線性微分方程的初值問題〔5.6〕其中,是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),,是常數(shù)。我們指出,它可以化為以下線性微分方程組的初值問題(5.7)其中事實上,令這時而且現(xiàn)在假設(shè)是在包含的區(qū)間上〔5.6〕的任一解。由此,得知在上存在、連續(xù)、滿足方程〔5.6〕且。令其中,,,(),則,顯然有。此外,這就表示這個特定的向量是〔5.7〕的解。反之,假設(shè)向量是在包含的區(qū)間上〔5.7〕的解。令并定義函數(shù),由〔5.7〕的第一個方程,我們得到,由第二個方程得到,,由第個方程得到,由第個方程得到由此即得同時,我們也得到這就是說,是〔5.6〕的一個解??傊?,由上面的討論,我們已經(jīng)證明了初值問題〔5.6〕與〔5.7〕在下面的意義下是等價的:給定其中一個初值問題的解,我們可以構(gòu)造另一個初值問題的解。值得指出的是:每一個階線性微分方程可化為個一階線性微分方程構(gòu)成的方程組,反之卻不成立。例如方程組,不能化為一個二階微分方程。5.1.2存在唯一性定理本節(jié)我們研究初值問題,〔5.5〕的解的存在唯一性定理。類似與第三章,我們通過五個小命題,采用逐步逼近法來證明定理。因為現(xiàn)在討論的是方程組〔寫成向量的形式〕,所以有些地方稍微復雜些,而且要引進向量、矩陣的"范數(shù)〞及向量函數(shù)序列的收斂性等概念;然而由于方程是線性的,所以有些地方又顯得簡單些,而且結(jié)論也加強了??傊?,我們要比擬第三章中的證明和現(xiàn)在的證明的異同,從比照中加深對問題的理解。對于矩陣和維向量,我們定義它的范數(shù)為設(shè)是矩陣,,是維向量,這時容易驗證下面兩個性質(zhì):1〕2〕向量序列,,稱為收斂的,如果對每一個數(shù)列都是收斂的。向量函數(shù)序列,稱為在區(qū)間上收斂的〔一致收斂的〕,如果對于每一個函數(shù)序列在區(qū)間上是收斂的〔一致收斂的〕,易知,區(qū)間上的連續(xù)向量函數(shù)序列的一致收斂極限向量函數(shù)仍是連續(xù)的。向量函數(shù)級數(shù)稱為在區(qū)間上是收斂的〔一致收斂的〕,如果其局部和作成的向量函數(shù)序列在區(qū)間上是收斂的〔一致收斂的〕。判別通常的函數(shù)級數(shù)的一致收斂性的維氏判別法對于向量函數(shù)級數(shù)也是成立的,這就是說,如果,而級數(shù)是收斂的,則在區(qū)間上是一致收斂的。積分號下取極限的定理對于向量函數(shù)也成立,這就是說,如果連續(xù)向量函數(shù)序列在區(qū)間上是一致收斂的,則注意,以上談到的是向量序列的有關(guān)定義和結(jié)果,對于一般矩陣序列,可以得到類似的定義和結(jié)果。例如,矩陣序列,其中稱為收斂的,如果對于一切,數(shù)列都是收斂的。無窮矩陣級數(shù)稱為收斂的,如果它的局部和所成序列是收斂的。如果對于每一個整數(shù),而數(shù)值級數(shù)是收斂的,則也是收斂的。同樣,可以給出無窮矩陣函數(shù)級數(shù)的一致收斂性的定義和有關(guān)結(jié)果。定理1〔存在唯一性定理〕如果是矩陣。是維列向量,它們都在區(qū)間上連續(xù),則對于區(qū)間上的任何數(shù)及任一常數(shù)向量方程組〔5.4〕存在唯一解,定義于整個區(qū)間上,且滿足初始條件。類似于第三章,我們分成五個小命題來證明.命題1設(shè)是方程組〔5.4〕的定義與區(qū)間上且滿足初始條件的解,則是積分方程,〔5.8〕的定義于上的連續(xù)解,反之亦然。證明完全類似于第三章,茲不累贅?,F(xiàn)在取,構(gòu)造皮卡逐步逼近向量函數(shù)序列如下:向量函數(shù)稱為〔5.4〕的第次近似解。應(yīng)用數(shù)學歸納法立刻推得命題2:命題2對于所有的正整數(shù),向量函數(shù)在區(qū)間上有定義且連續(xù)。命題3向量函數(shù)序列在區(qū)間上是一致收斂的。命題4是積分方程〔5.8〕的定義在區(qū)間上的連續(xù)解。命題5設(shè)是積分方程〔5.8〕的定義于上的一個連續(xù)解,則〔〕。綜合命題1—5,即得到存在唯一性定理的證明。值得指出的是,關(guān)于線性微分方程組的解的定義區(qū)間是系數(shù)矩陣和非齊次項在其上連續(xù)的整個區(qū)間。在構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列時,的定義區(qū)間已經(jīng)是整個,不像第三章對于一般方程那樣,解只存在于的*個鄰域,然后經(jīng)過延拓才能使解定義在較大的區(qū)間。注意到中關(guān)于階線性方程的初值問題〔5.6〕與線性微分方程組的初值問題〔5.7〕的等價性的論述,立即由本節(jié)的存在唯一性定理可以推得關(guān)于階線性微分方程的解的存在唯一性定理。推論〔即第四章的定理1〕如果,都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),則對于區(qū)間上的任何數(shù)及任何的,方程存在唯一解,定義于整個區(qū)間上且滿足初始條件:?!?.2線性微分方程組的一般理論現(xiàn)在討論線性微分方程組〔5.14〕的一般理論,主要是研究它的解的構(gòu)造問題。如果,則〔5.14〕稱為非齊線性的。如果,則方程的形式為〔5.15〕稱〔5.15〕為齊線性方程組,通?!?.15〕稱為對應(yīng)于〔5.14〕的齊線性方程組。5.2.1齊線性微分方程組本段主要研究齊線性方程組〔5.15〕的所有解的集合的代數(shù)構(gòu)造問題。我們假設(shè)矩陣在區(qū)間上是連續(xù)的。設(shè)和是〔5.15〕的任意兩個解,和是兩個任意常數(shù)。根據(jù)向量函數(shù)的微分法則,即知也是〔5.15〕的解,由此得到齊線性方程組的疊加原理。定理2〔疊加原理〕如果和是〔5.15〕的解,則它們的線性組合也是〔5.15〕的解,這里,是任意常數(shù)。定理2說明,〔5.15〕的所有解的集合構(gòu)成一個線性空間。自然要問:此空間的維數(shù)是多少呢?為此,我們引進向量函數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念。設(shè)是定義在區(qū)間上的向量函數(shù),如果存在不全為零的常數(shù),使得恒等式,成立;稱向量函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān),否則,稱為線性無關(guān)的。設(shè)有個定義在區(qū)間上的向量函數(shù)由這個向量函數(shù)構(gòu)成的行列式稱為這些向量函數(shù)的伏朗斯基行列式。定理3如果向量函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān),則它們的伏朗斯基行列式,。證明由假設(shè)可知存在不全為零的常數(shù)使得,〔5.16〕把〔5.16〕看成是以為未知量的齊次線性代數(shù)方程組,這方程組的系數(shù)行列式就是的伏朗斯基行列式。由齊次線性代數(shù)方程組的理論知道,要此方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式應(yīng)為零,即,定理證畢。定理4如果〔5.15〕的解線性無關(guān),則,它們的伏朗斯基行列式,。證明我們采用反證法。設(shè)有*一個,,使得。考慮下面的齊次線性代數(shù)方程組:〔5.17〕它的系數(shù)行列式就是,因為,所以〔5.17〕有非零解,以這個非零解構(gòu)成向量函數(shù):〔5.18〕根據(jù)定理2,易知是〔5.15〕的解。注意到〔5.17〕,知道這個解滿足初始條件〔5.19〕但是,在上恒等于零的向量函數(shù)0也是〔5.15〕的滿足初始條件〔5.19〕的解。由解的唯一性,知道,即,因為不全為零,這就與線性無關(guān)的假設(shè)矛盾,定理得證。由定理3,定理4可以知道,由〔5.15〕的個解作成的伏朗斯基行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零.定理5〔5.15〕一定存在個線性無關(guān)的解.證明任取,根據(jù)解的存在唯一性定理,〔5.15〕分別滿足初始條件的解一定存在。又因為這個解的伏朗斯基行列式,故根據(jù)定理3,是線性無關(guān)的,定理證畢。定理6如果是〔5.15〕的個線性無關(guān)的解,則〔5.15〕的任一解均可表為這里是相應(yīng)確實定常數(shù)。證明任取,令〔5.20〕把〔5.20〕看作是以為未知量的線性代數(shù)方程組。這方程組的系數(shù)行列式就是。因為是線性無關(guān)的,根據(jù)定理4知道。由線性代數(shù)方程組的理論,方程組(5.20)有唯一解。以這組確定了的構(gòu)成向量函數(shù),則,根據(jù)疊加原理,它是〔5.15〕的解。注意到〔5.20〕,可知〔5.15〕的兩個解及具有一樣的初始條件。由解的唯一性,得到定理證畢。推論1〔5.15〕的線性無關(guān)解的最大個數(shù)等于.〔5.15〕的個線性無關(guān)的解稱為〔5.15〕的一個根本解組。顯然,〔5.15〕具有無窮多個不同的根本解組.由定理5和定理6,我們知道〔5.15〕的解空間的維數(shù)是.即〔5.15〕的所有解構(gòu)成了一個維的線性空間.節(jié)關(guān)于階線性微分方程的初值問題〔5.6〕與線性微分方程組的初值問題〔5.7〕的等價性,本節(jié)的所有定理都可以平行地推論到階線性微分方程上去。從本節(jié)的定理2容易推得第四章的定理2。參看4.1.2中關(guān)于純量函數(shù)組的線性相關(guān)概念,可以證明:一組次可微的純量函數(shù)線性相關(guān)的充要條件是向量函數(shù)〔*〕線性相關(guān)。事實上,如果線性相關(guān),則存在不全為零的常數(shù)使得將上式對微分一次,二次,…,次,得到即有〔**〕這就是說,向量函數(shù)組〔*〕是線性相關(guān)的。反之,如果向量函數(shù)〔*〕線性相關(guān),則存在不全為零的常數(shù)使得〔**〕成立,當然有,這就說明線性相關(guān)。推論2如果是階微分方程〔5.21〕的個線性無關(guān)解,其中是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),則〔5.21〕的任一解均可表為這里是相應(yīng)確實定常數(shù)。如果是〔5.21〕的個線性無關(guān)解,根據(jù)階微分方程通解的概念及,函數(shù)就是〔5.21〕的通解,其中是任意常數(shù)?,F(xiàn)在,將本節(jié)的定理寫成矩陣的形式。如果一個矩陣的每一列都是〔5.15〕的解,稱這個矩陣為〔5.15〕的解矩陣。如果它的列在上是線性無關(guān)的解矩陣,稱為在上〔5.15〕的基解矩陣。用表示由〔5.15〕的個線性無關(guān)的解作為列構(gòu)成的基解矩陣。定理5和定例6即可以表述為如下的定理。定理〔5.15〕一定存在一個基解矩陣。如果是〔5.15〕的任一解,則〔5.22〕這里是確定的維常數(shù)列向量。定理〔5.15〕的一個解矩陣是基解矩陣的充要條件是〔〕。而且,如果對*一個,,則,?!脖硎揪仃嚨男辛惺健?。要注意:行列式恒等于零的矩陣的列向量未必是線性相關(guān)的。例1驗證是方程組,其中的基解矩陣。解首先,我們證明是解矩陣。令表示的第一列,這時這表示是一個解。同樣,如果以表示的第二列,我們有這表示也是一個解。因此,是解矩陣。其次,根據(jù)定理,因為,所以是基解矩陣。推論如果是〔5.15〕在區(qū)間上的基解矩陣,是非奇異常數(shù)矩陣,則,也是〔5.15〕在區(qū)間上的基解矩陣。證明首先,根據(jù)解矩陣的定義易知,方程〔5.15〕的任一解矩陣必滿足關(guān)系,〔〕反之亦然?,F(xiàn)令,〔〕微分上式,并注意到為方程的基解矩陣,為常數(shù)矩陣,得到即是〔5.15〕的解矩陣。又由的非奇異性,我們有〔〕因此由定理知,即是〔5.15〕的基解矩陣。推論如果,在區(qū)間上是的兩個基解矩陣,則,存在一個非奇異常數(shù)矩陣,使得在區(qū)間上。證明因為為基解矩陣,故其逆矩陣一定存在?,F(xiàn)令〔〕或〔〕易知是可微矩陣,且〔〕于是〔〕由此推知,或〔〕,即為常數(shù)矩陣,記為。因此我們有〔〕其中為非奇異的常數(shù)矩陣推論得證。5.2.2非齊線性微分方程組本段討論非齊線性微分方程組〔5.14〕的解的構(gòu)造問題,這里是區(qū)間上的連續(xù)矩陣,是區(qū)間上的維連續(xù)列向量,向量通常稱為強迫項,因為如果〔5.14〕描述一個力學系統(tǒng),就代表外力。容易驗證〔5.14〕的兩個簡單性質(zhì):性質(zhì)1如果是〔5.14〕的解,是〔5.14〕對應(yīng)的齊線性方程組〔5.15〕的解,則是〔5.14〕的解。性質(zhì)2如果和是〔5.14〕的兩個解,則是〔5.15〕的解。下面的定理7給出〔5.14〕的解的構(gòu)造。定理7設(shè)是〔5.15〕的基解矩陣,是〔5.14〕的*一解,則〔5.14〕的任一解都可表為〔5.23〕這里是確定的常數(shù)列向量。證明由性質(zhì)2我們知道是〔5.15〕的解,再由5.2.1的定理,得到這里是確定的常數(shù)列向量,由此即得定理證畢。定理7告訴我們,為了尋求〔5.15〕的任一解,只要知道〔5.14〕的一個解和它對應(yīng)的齊線性方程組〔5.15〕的基解矩陣。在知道〔5.15〕的基解矩陣的情況下,尋求〔5.14〕的解的簡單的方法常數(shù)變易法。由定理可知,如果是常數(shù)列向量,則是〔5.15〕的解,它不可能是〔5.14〕的解。因此,將變易為的向量函數(shù),而試圖尋求〔5.14〕的形如〔5.24〕的解。這里是待定的向量函數(shù)。假設(shè)〔5.14〕存在形如〔5.24〕的解,這時,將〔5.24〕代入〔5.14〕得到因為是〔5.15〕的基解矩陣,所以,由此上式中含有的項消去了。因而必須滿足關(guān)系式〔5.25〕因為在區(qū)間上是非奇異的,所以存在。用左乘〔5.25〕兩邊,得到,其中。這樣,〔5.24〕變?yōu)椋?.26〕因此,如果〔5.14〕有一個形如〔5.24〕的解,則由公式〔5.26〕決定。反之,用公式〔5.26〕決定的向量函數(shù)必定是〔5.14〕的解。事實上,微分〔5.26〕得到再利用公式〔5.26〕,即得顯然,還有,這樣一來,我們就得到了下面的定理8。定理8如果是〔5.15〕的基解矩陣,則向量函數(shù)是〔5.14〕的解,且滿足初始條件由定理7和定理8容易看出〔5.14〕的滿足初始條件的解由下面公式給出〔5.27〕這里是〔5.15〕的滿足初始條件的解。公式〔5.26〕或公式〔5.27〕稱為非齊線性微分方程組〔5.14〕的常數(shù)變易公式。第五章例2解在例1中我們已經(jīng)知道是對應(yīng)的齊線性方程組的基解矩陣。取矩陣的逆,我們得到:這樣,由定理8,滿足初始條件的解就是因為,對應(yīng)的齊線性方程組滿足初始條件的解就是由公式〔5.27〕,所求解就是注意到關(guān)于階線性微分方程的初值問題〔5.6〕與線性微分方程組的初值問題〔5.7〕等價性的討論,我們可以得到關(guān)于階非齊線性微分方程的常數(shù)變易公式。推論3如果,是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),是區(qū)間上齊線性方程〔5.21〕的根本解組,則,非齊線性方程〔5.28〕的滿足初始條件的解由下面公式給出(5.29)這里是的伏朗斯基行列式,是在中的第列代以后得到的行列式,而且〔5.28〕的任一解都具有形式〔5.30〕這里是適中選取的常數(shù)。公式〔5.29〕稱為〔5.28〕的常數(shù)變易公式。這時方程〔5.28〕的通解可以表為其中是任意常數(shù)。并且由推論3知道,它包括了方程〔5.28〕的所有解。這就是第四章定理7的結(jié)論。當時,公式〔5.29〕就是但是因此,當時,常數(shù)變易公式變?yōu)椤?.31〕而通解就是〔5.32〕這里是任意常數(shù).例3試求方程的一個解。解易知對應(yīng)的齊線性方程的根本解組為,。直接利用公式〔5.31〕來求方程的一個解。這時由公式〔5.31〕即得〔取〕注意,因為是對應(yīng)的齊線性方程的一個解,所以函數(shù)也是原方程的一個解?!?.3常系數(shù)線性微分方程組本節(jié)研究常系數(shù)線性微分方程組的問題,主要討論齊線性微分方程組〔5.33〕的基解矩陣的構(gòu)造,這里是常數(shù)矩陣。我們將通過代數(shù)的方法,尋求〔5.33〕的一個基解矩陣。最后討論拉普拉斯變換在常系數(shù)線性微分方程組中的應(yīng)用。矩陣指數(shù)的定義和性質(zhì)為了尋求〔5.33〕的一個基解矩陣,需要定義矩陣指數(shù)〔或?qū)懽鳌常@要利用中關(guān)于矩陣序列的有關(guān)定義和結(jié)果。如果是一個常數(shù)矩陣,我們定義矩陣指數(shù)為下面的矩陣級數(shù)的和〔5.34〕其中為階單位矩陣,是矩陣的次冪。這里我們規(guī)定,。這個級數(shù)對于所有的都是收斂的,因而,是一個確定的矩陣。事實上,由中的性質(zhì),易知對于一切正整數(shù),有又因?qū)τ谌我痪仃?,是一個確定的實數(shù),所以數(shù)值級數(shù)是收斂的〔注意,它的和是〕。由5.1.2知道,如果一個矩陣級數(shù)的每一項的范數(shù)都小于一個收斂的數(shù)值級數(shù)的對應(yīng)項,則這個矩陣級數(shù)是收斂的,因而〔5.34〕對于一切矩陣都是絕對收斂的。級數(shù)〔5.35〕在的任何有限區(qū)間上是一致收斂的。事實上,對于一切正整數(shù),當〔是*一正常數(shù)〕時,有而數(shù)值級數(shù)是收斂的,因而〔5.35〕是一致收斂的。矩陣指數(shù)有如下性質(zhì):如果矩陣,是可交換的,即,則〔5.36〕事實上,由于矩陣級數(shù)〔5.34〕是絕對收斂的,因而關(guān)于絕對收斂數(shù)值級數(shù)運算的一些定理,如項的重新排列不改變級數(shù)的收斂性和級數(shù)的和以及級數(shù)的乘法定理等都同樣地可以用到矩陣級數(shù)中來。由二項式定理及,得〔5.37〕另一方面,由絕對收斂級數(shù)的乘法定理得〔5.38〕比擬〔5.37〕和〔5.38〕,推得〔5.36〕.對于任何矩陣,存在,且〔5.39〕事實上,與是可交換的,故在〔5.36〕中,令,我們推得由此即有如果是非奇異矩陣,則〔5.40〕事實上定理9矩陣〔5.41〕是〔5.33〕的基解矩陣,且.證明由定義易知,微分〔5.41〕,我們得到這就說明,是〔5.33〕的解矩陣,又因為,因此,是〔5.33〕的基解矩陣。證畢。由定理9,我們可以利用這個基解矩陣推知〔5.33〕的任一解都具有形式〔5.42〕這里是一個常數(shù)向量。在*些特殊情況下,容易得到〔5.33〕的基解矩陣的具體形式。例1如果是一個對角形矩陣,〔非主對角線上的元素都是零〕,試找出的基解矩陣。解由〔5.34〕可得根據(jù)定理9,這就是一個基解矩陣,當然,這個結(jié)果是很明顯的,因為在現(xiàn)在的情況下,方程組可以寫成,,它可以分別進展積分。例2試求的基解矩陣。解因為,而且后面的兩個矩陣是可交換的,我們得到但是,所以,級數(shù)只有兩項。因此,基解矩陣就是基解矩陣的計算公式定理9告訴我們,〔5.33〕的基解矩陣就是矩陣.但是是一個矩陣級數(shù),這個矩陣的每一個元素是什么呢?事實上還沒有具體給出,上面只就一些很特殊的情況,計算了的元素。本段利用線性代數(shù)的根本知識,仔細地討論的計算方法,從而解決常系數(shù)線性微分方程組的基解矩陣的構(gòu)造問題。為了計算〔5.33〕的基解矩陣,我們需要引進矩陣的特征值和特征向量的概念。類似于第四章的,試圖尋求〔5.33〕的形如,〔5.43〕的解,其中常數(shù)和向量是待定的。為此,將〔5.43〕代入〔5.33〕,得到因為,上式變?yōu)椤?.44〕這就表示,是〔5.33〕的解的充要條件是常數(shù)和向量滿足方程〔5.44〕。方程〔5.44〕可以看作是向量的個分量的一個齊次線性代數(shù)方程組,根據(jù)線性代數(shù)知識,這個方程組具有非零解的充要條件就是滿足方程這就引出下面的定義:假設(shè)是一個常數(shù)矩陣,使得關(guān)于的線性代數(shù)方程組〔5.45〕具有非零解的常數(shù)稱為的一個特征值?!?.45〕的對應(yīng)于任一特征值的非零解稱為的對應(yīng)于特征值的特征向量。次多項式稱為的特征多項式,次代數(shù)方程〔5.46〕稱為的特征方程,也稱它為〔5.33〕的特征方程。根據(jù)上面的討論,是〔5.33〕的解,當且僅當是的特征值,且是對應(yīng)于的特征向量。的特征值就是特征方程〔5.46〕的根。因為次代數(shù)方程有個根,所以有個特征值,當然不一定個都互不一樣。如果是特征方程的單根,則稱是簡單特征根。如果是特征方程的重根,則稱是重特征根。例3試求矩陣的特征值和對應(yīng)的特征向量。解的特征值就是特征方程的根。幾、解之得到。對應(yīng)于特征值的特征向量必須滿足線性代數(shù)方程組因此,滿足方程組所以,對于任意常數(shù)是對應(yīng)于的特征向量。類似地,可以求得對應(yīng)于的特征向量為其中是任意常數(shù)。例4試求矩陣的特征值和對應(yīng)的特征向量。解特征方程為因此,是的二重特征值。為了尋求對應(yīng)于的特征向量,考慮方程組或者因此,向量是對應(yīng)于特征值的特征向量,其中是任意常數(shù)。一個矩陣最多有個線性無關(guān)的特征向量。當然,在任何情況下,最低限度有一個特征向量,因為最低限度有一個特征值。首先,讓我們討論當具有個線性無關(guān)的特征向量時〔特別當具有個不同的特征值時,就是這種情形〕,微分方程組〔5.33〕的基解矩陣的計算方法。定理10如果矩陣具有個線性無關(guān)的特征向量,它們對應(yīng)的特征值分別為〔不必各不一樣〕,則矩陣,是常系數(shù)線性微分方程組〔5.33〕的一個基解矩陣。證明由上面關(guān)于特征值和特征向量的討論知道,每一個向量函數(shù)〔〕都是〔5.33〕的一個解。因此,矩陣是〔5.33〕的一個解矩陣。因為,向量是線性無關(guān)的,所以根據(jù)的定理推得,是〔5.33〕的一個基解矩陣。定理證畢。例5試求方程組,其中的一個基解矩陣。解由例3知道,和是的特征值,而是對應(yīng)于的兩個線性無關(guān)的特征向量。根據(jù)定理10,矩陣就是一個基解矩陣。一般來說,定理10中的不一定就是。然而,根據(jù)的推論2*,可以確定它們之間的關(guān)系。因為和都是〔5.33〕的基解矩陣,所以存在一個非奇異的常數(shù)矩陣,使得在上式中,令,我們得到。因此〔5.47〕根據(jù)公式〔5.47〕,的計算問題相當于方程組〔5.33〕的任一基解矩陣的計算問題。注意,公式〔5.47〕還有一個用途,這就是下面的附注所指出的。附注1如果是實的,則也是實的。因此,當是實的,公式〔5.47〕給出一個構(gòu)造實的基解矩陣的方法。例6試求例5的實基解矩陣〔或計算〕。解根據(jù)〔5.47〕及附注1,從例5中得現(xiàn)在討論當是任意的矩陣時,〔5.33〕的基解矩陣的計算方法,先引進一些有關(guān)的線性代數(shù)知識。假設(shè)是一個矩陣,是的不同的特征值,它們的重數(shù)分別為,這里。則對應(yīng)于每一個重特征值,線性代數(shù)方程組〔5.48〕的解的全體構(gòu)成維歐幾里得空間的一個維子空間,并且維歐幾里得空間可表為的直接和。這就是說,對于維歐幾里得空間的每一個向量,存在唯一的向量,其中,使得〔5.49〕關(guān)于分解式〔5.49〕,我們舉出它的兩個特殊情形。如果的所有特征值各不一樣,這就是說,如果每一個,而,則,對于任一個向量,分解蝕〔5.49〕中的可以表為,其中是的一組線性無關(guān)的特征向量,是*些常數(shù)。如果只有一個特征值,即,這時不必對維歐幾里得空間進展分解?,F(xiàn)在利用剛剛引述過的線性代數(shù)知識著手尋求〔5.33〕的基解矩陣,先從尋求任一滿足初始條件的解開場,從定理9知道,可以表為,而將明顯地計算出來,即要確切知道的每一個分量。根據(jù)的定義,一般來說,的分量是一個無窮級數(shù),因而難于計算。這里的要點就是將初始向量進展分解,從而使得的分量可以表示為的指數(shù)函數(shù)與的冪函數(shù)乘積的有限項的線性組合。假設(shè)分別是矩陣的重不同特征值。這時由〔5.49〕,我們有〔5.50〕其中,,因為子空間是由方程組〔5.48〕產(chǎn)生的,一定是〔5.48〕的解。由此即得,,(5.51〕注意到當矩陣是對角形時,由例1知道,是很容易求得的,這時得到由此,并根據(jù)等式〔5.51〕,既有在根據(jù)等式〔5.50〕,知微分方程組〔5.33〕的解可表為所以,方程〔5.33〕滿足的解最后可以寫成(5.52)在特別情形,當只有一個特征值時,無需將初始向量分解為〔5.50〕,這時對于任何,都有這就是說,是一個零矩陣,這樣一來,由的定義,我們得到〔5.53〕為了要從〔5.52〕中得到,只要注意到其中是單位向量,這就是說,依次令,求得個解,以這個解作為即可得到。例7如果是例4的矩陣,試解初值問題,,并求。解從例4知道,是的二重特征值,這時,只有一個子空間,將及代入〔5.52〕即得〔5.54〕利用公式〔5.53〕,即得或者,分別令,然后代入〔5.54〕,亦同樣得到上面的結(jié)果例8如果,試求解這里,是的5重特征值,直接計算可得。因此,由公式〔5.53〕可得這樣一來例9考慮方程組,這里系數(shù)矩陣,試求滿足初始條件的解,并求。解的特征方程為,分別為,重特征值,為了確定三維歐幾里得空間的子空間和,根據(jù)〔5.48〕,需要考慮下面方程組:和首先討論或這個方程組的解為其中為任意常數(shù)。子空間是由向量所張成的。其次討論或這個方程組的解為其中,是任意常數(shù)。子空間是由向量所張成的。現(xiàn)在需要找出向量,使得能夠?qū)⒊跏枷蛄繉懗伞?.50〕的形式。因為,,所以,其中,,是*些常數(shù),這樣一來因而,,,解之得到,,,且,根據(jù)公式〔5.52〕,我們得到滿足初始條件的解為為了得到,依次令等于代入上式,我們得到三個線性無關(guān)的解。利用這三個解作為列,即得應(yīng)該指出,公式〔5.52〕是本節(jié)的主要結(jié)果。公式〔5.52〕告訴我們,常系數(shù)線性微分方程組〔5.33〕的任一解都可以通過有限次代數(shù)運算求出來。在常微分方程的理論上和應(yīng)用上,微分方程組的解當時的形態(tài)的研究都是非常重要的。作為公式〔5.52〕在這方面的一個直接應(yīng)用,我們可以得到下面的定理11。定理11給定常系數(shù)線性微分方程組〔5.33〕則如果的特征值的實部都是負的,則〔5.33〕的任一解當時都趨于零。如果的特征值的實部都是非負的,且實部為零的特征值都是簡單特征值,則〔5.33〕的任一解當時都保持有界。如果的特征值至少有一個具有正實部,則〔5.33〕至少有一個解當時趨于無窮。證明根據(jù)公式〔5.52〕,知道方程組〔5.33〕的任一解都可以表示為的指數(shù)函數(shù)與的冪函數(shù)乘積的線性組合,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的簡單性質(zhì)及定理中,兩局部所作的假設(shè),即可得,的證明。為了證明,設(shè)是的特征值,其中,是實數(shù)且。取為的對應(yīng)于特征值的特征向量,則向量函數(shù)是〔5.33〕的一個解,于是〔當時〕這就是所要證明的。本段所討論的步驟及公式〔5.52〕提供了一個實際計算〔5.33〕的基解矩陣的方法。在這里我們主要應(yīng)用了有關(guān)空間分解的結(jié)論。附注2利用約當標準型計算基解矩陣。對于矩陣,由矩陣理論知道,必存在非奇異的矩陣,使得〔5.55〕其中具有約當標準型,即這里,為階矩陣,并且,而為矩陣的初級因子的個數(shù);是特征方程〔5.46〕的根,其間可能有一樣者;矩陣中空白的元素均為零。由于矩陣及的特殊形式,利用定義〔5.34〕容易計算得到〔5.56〕其中〔5.57〕所以,如果矩陣是約當標準型,則可以計算得到,由〔5.55〕及矩陣指數(shù)的性質(zhì),可以得到微分方程組〔5.33〕的基解矩陣的計算公式:〔5.58〕當然,根據(jù)的推論,矩陣〔5.59〕也是〔5.33〕的基解矩陣。由公式〔5.58〕或者〔5.59〕都可以得到基解矩陣的具體構(gòu)造,問題是非奇異矩陣的計算比擬麻煩。附注3計算基解矩陣的另一方法用直接代入的方法應(yīng)用哈密頓—凱萊定理容易驗證其中,,〔〕,而是初值問題的解,是矩陣的特征值〔不必相異〕?,F(xiàn)在應(yīng)用這一方法計算例9給出的方程的基解矩陣,這時,,求解初值問題:得到,,,計算得最后得到與例9所得結(jié)果一樣。最后,我們給出非齊線性方程組〔5.60〕的常數(shù)變易公式,這里是常數(shù)矩陣,是的連續(xù)向量函數(shù)。因為〔5.60〕對應(yīng)的齊線性方程組〔5.33〕的基解矩陣,所以,中的常數(shù)變易公式在形式上變得特別簡單。這時,我們有,,假設(shè)初始條件是,則,〔5.60〕的解就是〔5.61〕我們可以利用本段提供的方法具體構(gòu)造基解矩陣。然而,除非是*些特殊的情形,要去具體計算〔5.61〕中的積分式也是不容易的。例10設(shè),,試求方程滿足初始條件的解。解由前面的例6知道,代入公式〔5.61〕,我們得到我們計算上面的積分如下:利用公式或者分部積分法,得到最后我們得到拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換可以用于解常系數(shù)高階線性微分方程,有可以用來解常系數(shù)線性微分方程組。為此,首先將拉普拉斯變
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