第２日目第２時(shí)限の學(xué)習(xí)目標(biāo)確率分布とその期待値?分散の定義を知る（続き）。離散変數(shù)?連続変數(shù)の場(chǎng)合の分散の定義を知る。母集団と標(biāo)本の違いについて知る。點(diǎn)推定と區(qū)間推定について學(xué)ぶ。（１）點(diǎn)推定と區(qū)間推定の違いを知る。（２）平均の區(qū)間推定と信頼度?信頼區(qū)間の考え方を?qū)Wぶ。（３）平均の區(qū)間推定の２方式を知る。（４）ある平均の區(qū)間推定方法の概要を知る。第２日目第２時(shí)限の學(xué)習(xí)目標(biāo)確率分布とその期待値?分散の定義を確率分布とその期待値?分散の定義（１）

離散変數(shù)の場(chǎng)合の分散（１）X=x1,x2,…,xp

の確率をp(xi)として、分散期待値確率関數(shù)確率分布とその期待値?分散の定義（１）

離散変數(shù)の場(chǎng)確率分布とその期待値?分散の定義（２）

離散変數(shù)の場(chǎng)合の分散（２）サイコロの目(１から６)の分散どの目の出る確率も1/6なので、分散の定義から、確率分布とその期待値?分散の定義（２）

離散変數(shù)の場(chǎng)合確率分布とその期待値?分散の定義（３）

連続変數(shù)の場(chǎng)合の分散（１）密度関數(shù)をf(x)として、分散期待値密度関數(shù)確率分布とその期待値?分散の定義（３）

連続変數(shù)の場(chǎng)合確率分布とその期待値?分散の定義（４）

連続変數(shù)の場(chǎng)合の分散（２）密度関數(shù)が正規(guī)分布の場(chǎng)合、分散は定義より

この積分を行うと、確率分布とその期待値?分散の定義（４）

連続変數(shù)の場(chǎng)２変量確率変數(shù)の共分散の定義（５）

離散変數(shù)の場(chǎng)合（１）離散変數(shù)の場(chǎng)合、共分散は、つぎのように定義される：２変量確率変數(shù)の共分散の定義（５）

離散変數(shù)の場(chǎng)２変量確率変數(shù)の共分散の定義（６）

連続変數(shù)の場(chǎng)合（２）

連続変數(shù)の場(chǎng)合、共分散の定義はつぎのようになる：２変量確率変數(shù)の共分散の定義（６）

連続変數(shù)の場(chǎng)母集団と標(biāo)本の違い（１）

両者の関係（１）母集団と標(biāo)本の関係我々が手にするデータは、大きな數(shù)値の集まりから抽出された標(biāo)本であり、特定のもの。一方、大きな數(shù)値の集まりから成る集団は、母集団と呼ばれる。検定の文脈では、通常、無(wú)限母集団が仮定される。

母集団無(wú)作為抽出標(biāo)本母集団と標(biāo)本の違い（１）

両者の関係（１）母集母集団と標(biāo)本の違い（２）

両者の関係（２）既出の度數(shù)分布は、標(biāo)本での數(shù)値の分布である。一方、既出の理論分布は、母集団での數(shù)値の分布である。ｘ１、ｘ２、…、ｘN母集団標(biāo)本度數(shù)分布密度関數(shù)（確率関數(shù)）母集団と標(biāo)本の違い（２）

両者の関係（２）既出母集団と標(biāo)本の違い（３）

統(tǒng)計(jì)的推定と検定我々は、そのようにして手にした標(biāo)本から、母集団の特徴を推定したり、母集団の特徴についての仮説を立てその成否を検討する。前者を推定、後者を検定と呼ぶ。

母集団標(biāo)本推定?検定母集団と標(biāo)本の違い（３）

統(tǒng)計(jì)的推定と検定我々は、その點(diǎn)推定と區(qū)間推定（1）

母集団の情報(bào)の２つの推定方式標(biāo)本の情報(bào)から、それが得られた母集団の特徴を推定する方式には、２通りの方法がある。１つは、點(diǎn)推定(pointestimation)で、母集団の情報(bào)を、１つの値として推定する方法である。例えば、標(biāo)本の分散から、母集団の分散、すなわち母分散を１つの値で推定するには、標(biāo)本での不偏分散が用いられる。もう１つは、區(qū)間推定(intervalestimation)であり、母集団の情報(bào)を、それが入ると考えられる?yún)^(qū)間の言葉で推定する方法である。母平均や、母分散の區(qū)間推定などがその例である。點(diǎn)推定と區(qū)間推定（1）

母集団の情報(bào)の２つの推定方式點(diǎn)推定と區(qū)間推定（２）

母平均の區(qū)間推定の考え方つぎに、母集団の平均（母平均）を、標(biāo)本の平均（標(biāo)本平均）を用いて區(qū)間推定する方法を?qū)Wぶ。母平均の區(qū)間推定とは、母平均がある?yún)^(qū)間內(nèi)に入る確率がどれだけ、との言葉で推定する方法である。

母集団（母平均=μ?）標(biāo)本推定?検定點(diǎn)推定と區(qū)間推定（２）

母平均の區(qū)間推定の考え方つぎに、點(diǎn)推定と區(qū)間推定（３）

信頼度と信頼區(qū)間の意味母平均の區(qū)間推定を、母平均がある?yún)^(qū)間內(nèi)に入る確率がどれだけとの言葉で推定するとき、そのような區(qū)間は信頼區(qū)間と呼ばれる。また、そのときの確率1-α（テキストp.13の(3.18)式の右辺）は、信頼度と呼ばれる。αは通常、0.05か0.01である。

したがって、信頼度は通常0.95か0.99である。點(diǎn)推定と區(qū)間推定（３）

信頼度と信頼區(qū)間の意味母平均の區(qū)點(diǎn)推定と區(qū)間推定（４）

區(qū)間推定の２つの方法－１標(biāo)本平均等から、それが得られた母集団の母平均の區(qū)間推定を行う方法には、２通りある：１つは、母集団の分布形は未知だが、母分散は既知で、標(biāo)本數(shù)が大の場(chǎng)合點(diǎn)推定と區(qū)間推定（４）

區(qū)間推定の２つの方法－１標(biāo)本平均點(diǎn)推定と區(qū)間推定（５）

母集団分布未知で母分散は既知、標(biāo)本數(shù)大の場(chǎng)合

母集団（母平均=μ?）標(biāo)本推定?検定標(biāo)本數(shù)大母集団分布未知母分散既知また、標(biāo)本數(shù)は大とする。點(diǎn)推定と區(qū)間推定（５）

母集団分布未知で母分散は既知、標(biāo)點(diǎn)推定と區(qū)間推定（６）

區(qū)間推定の２つの方法－２もう１つの方法は、母集団の分布形が正規(guī)分布で、母分散は未知の場(chǎng)合點(diǎn)推定と區(qū)間推定（６）

區(qū)間推定の２つの方法－２もう１つ點(diǎn)推定と區(qū)間推定（７）

母集団は正規(guī)分布で、母分散は未知の場(chǎng)合

母集団（母平均=μ?）標(biāo)本推定?検定標(biāo)本數(shù)は小でよい母集団分布正規(guī)母分散未知點(diǎn)推定と區(qū)間推定（７）

母集団は正規(guī)分布で、母分散は未知點(diǎn)推定と區(qū)間推定（８）

母分散未知の場(chǎng)合の區(qū)間推定の公式

信頼度t-分布の上側(cè)100(α/2)%點(diǎn)平均標(biāo)準(zhǔn)偏差母平均點(diǎn)推定と區(qū)間推定（８）

母分散未知の場(chǎng)合の區(qū)間推定の公式信頼區(qū)間導(dǎo)出の概要（參考）－１うえの式は、どのようにして導(dǎo)かれるのであろうか？その答えは、つぎの式にある：信頼區(qū)間導(dǎo)出の概要（參考）－１うえの式は、どのようにして導(dǎo)か信頼區(qū)間導(dǎo)出の概要－１この式の右辺の平均値は、平均μ0

の正規(guī)分布する母集団からのN個(gè)の標(biāo)本から計(jì)算する。この同じ平均を持つ母集団から、これとは異なるN人の人の當(dāng)該現(xiàn)象についてのデータを収集すれば、少し異なる平均が得られよう。この新たなデータの

t値を計(jì)算すると、以前と異なる値となるだろう。つまり、tの値は、N個(gè)の標(biāo)本を変えると、いろいろな値を取り得る、と言える。信頼區(qū)間導(dǎo)出の概要－１この式の右辺の平均値は、平均μ0の正信頼區(qū)間導(dǎo)出の概要－２つまり、tは、同一母集団からの無(wú)作為サンプルであっても、標(biāo)本を変えると異なる値になる。ただし、標(biāo)本を収集する前には、tの値は決まらない。言い換えると、tは標(biāo)本を収集する前の段階では、高々、それが如何なる値を取る可能性（確率）がどれ程あるか、と言えるに過(guò)ぎない。信頼區(qū)間導(dǎo)出の概要－２つまり、tは、同一母集団からの無(wú)作為第２日目第２時(shí)限の學(xué)習(xí)目標(biāo)確率分布とその期待値?分散の定義を知る（続き）。離散変數(shù)?連続変數(shù)の場(chǎng)合の分散の定義を知る。母集団と標(biāo)本の違いについて知る。點(diǎn)推定と區(qū)間推定について學(xué)ぶ。（１）點(diǎn)推定と區(qū)間推定の違いを知る。（２）平均の區(qū)間推定と信頼度?信頼區(qū)間の考え方を?qū)Wぶ。（３）平均の區(qū)間推定の２方式を知る。（４）ある平均の區(qū)間推定方法の概要を知る。第２日目第２時(shí)限の學(xué)習(xí)目標(biāo)確率分布とその期待値?分散の定義を確率分布とその期待値?分散の定義（１）

離散変數(shù)の場(chǎng)合の分散（１）X=x1,x2,…,xp

の確率をp(xi)として、分散期待値確率関數(shù)確率分布とその期待値?分散の定義（１）

離散変數(shù)の場(chǎng)確率分布とその期待値?分散の定義（２）

離散変數(shù)の場(chǎng)合の分散（２）サイコロの目(１から６)の分散どの目の出る確率も1/6なので、分散の定義から、確率分布とその期待値?分散の定義（２）

離散変數(shù)の場(chǎng)合確率分布とその期待値?分散の定義（３）

連続変數(shù)の場(chǎng)合の分散（１）密度関數(shù)をf(x)として、分散期待値密度関數(shù)確率分布とその期待値?分散の定義（３）

連続変數(shù)の場(chǎng)合確率分布とその期待値?分散の定義（４）

連続変數(shù)の場(chǎng)合の分散（２）密度関數(shù)が正規(guī)分布の場(chǎng)合、分散は定義より

この積分を行うと、確率分布とその期待値?分散の定義（４）

連続変數(shù)の場(chǎng)２変量確率変數(shù)の共分散の定義（５）

離散変數(shù)の場(chǎng)合（１）離散変數(shù)の場(chǎng)合、共分散は、つぎのように定義される：２変量確率変數(shù)の共分散の定義（５）

離散変數(shù)の場(chǎng)２変量確率変數(shù)の共分散の定義（６）

連続変數(shù)の場(chǎng)合（２）

連続変數(shù)の場(chǎng)合、共分散の定義はつぎのようになる：２変量確率変數(shù)の共分散の定義（６）

連続変數(shù)の場(chǎng)母集団と標(biāo)本の違い（１）

両者の関係（１）母集団と標(biāo)本の関係我々が手にするデータは、大きな數(shù)値の集まりから抽出された標(biāo)本であり、特定のもの。一方、大きな數(shù)値の集まりから成る集団は、母集団と呼ばれる。検定の文脈では、通常、無(wú)限母集団が仮定される。

母集団無(wú)作為抽出標(biāo)本母集団と標(biāo)本の違い（１）

両者の関係（１）母集母集団と標(biāo)本の違い（２）

両者の関係（２）既出の度數(shù)分布は、標(biāo)本での數(shù)値の分布である。一方、既出の理論分布は、母集団での數(shù)値の分布である。ｘ１、ｘ２、…、ｘN母集団標(biāo)本度數(shù)分布密度関數(shù)（確率関數(shù)）母集団と標(biāo)本の違い（２）

両者の関係（２）既出母集団と標(biāo)本の違い（３）

統(tǒng)計(jì)的推定と検定我々は、そのようにして手にした標(biāo)本から、母集団の特徴を推定したり、母集団の特徴についての仮説を立てその成否を検討する。前者を推定、後者を検定と呼ぶ。

母集団標(biāo)本推定?検定母集団と標(biāo)本の違い（３）

統(tǒng)計(jì)的推定と検定我々は、その點(diǎn)推定と區(qū)間推定（1）

母集団の情報(bào)の２つの推定方式標(biāo)本の情報(bào)から、それが得られた母集団の特徴を推定する方式には、２通りの方法がある。１つは、點(diǎn)推定(pointestimation)で、母集団の情報(bào)を、１つの値として推定する方法である。例えば、標(biāo)本の分散から、母集団の分散、すなわち母分散を１つの値で推定するには、標(biāo)本での不偏分散が用いられる。もう１つは、區(qū)間推定(intervalestimation)であり、母集団の情報(bào)を、それが入ると考えられる?yún)^(qū)間の言葉で推定する方法である。母平均や、母分散の區(qū)間推定などがその例である。點(diǎn)推定と區(qū)間推定（1）

母集団の情報(bào)の２つの推定方式點(diǎn)推定と區(qū)間推定（２）

母平均の區(qū)間推定の考え方つぎに、母集団の平均（母平均）を、標(biāo)本の平均（標(biāo)本平均）を用いて區(qū)間推定する方法を?qū)Wぶ。母平均の區(qū)間推定とは、母平均がある?yún)^(qū)間內(nèi)に入る確率がどれだけ、との言葉で推定する方法である。

母集団（母平均=μ?）標(biāo)本推定?検定點(diǎn)推定と區(qū)間推定（２）

母平均の區(qū)間推定の考え方つぎに、點(diǎn)推定と區(qū)間推定（３）

信頼度と信頼區(qū)間の意味母平均の區(qū)間推定を、母平均がある?yún)^(qū)間內(nèi)に入る確率がどれだけとの言葉で推定するとき、そのような區(qū)間は信頼區(qū)間と呼ばれる。また、そのときの確率1-α（テキストp.13の(3.18)式の右辺）は、信頼度と呼ばれる。αは通常、0.05か0.01である。

したがって、信頼度は通常0.95か0.99である。點(diǎn)推定と區(qū)間推定（３）

信頼度と信頼區(qū)間の意味母平均の區(qū)點(diǎn)推定と區(qū)間推定（４）

區(qū)間推定の２つの方法－１標(biāo)本平均等から、それが得られた母集団の母平均の區(qū)間推定を行う方法には、２通りある：１つは、母集団の分布形は未知だが、母分散は既知で、標(biāo)本數(shù)が大の場(chǎng)合點(diǎn)推定と區(qū)間推定（４）

區(qū)間推定の２つの方法－１標(biāo)本平均點(diǎn)推定と區(qū)間推定（５）

母集団分布未知で母分散は既知、標(biāo)本數(shù)大の場(chǎng)合

母集団（母平均=μ?）標(biāo)本推定?検定標(biāo)本數(shù)大母集団分布未知母分散既知また、標(biāo)本數(shù)は大とする。點(diǎn)推定と區(qū)間推定（５）

母集団分布未知で母分散は既知、標(biāo)點(diǎn)推定と區(qū)間推定（６）

區(qū)間推定の２つの方法－２もう１つの方法は、母集団の分布形が正規(guī)分布で、母分散は未知の場(chǎng)合點(diǎn)推定と區(qū)間推定（６）

區(qū)間推定の２つの方法－２もう１つ點(diǎn)推定と區(qū)間推定（７）

母集団は正規(guī)分布で、母分散は未知の場(chǎng)合

母集団（母平均=μ?）標(biāo)本推定?検定標(biāo)本數(shù)は小でよい母集団分布正規(guī)母分散未知點(diǎn)推定と區(qū)間推定（７）