歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！4．1.3冪函數(shù)最新課程標準學(xué)科核心素養(yǎng)1.通過具體實例，結(jié)合y＝x，y＝eq\f(1,x)，y＝x2，y＝eq\r(x)，y＝x3的圖象，理解它們的變化規(guī)律．2．了解冪函數(shù)．1.了解冪函數(shù)的概念，會求冪函數(shù)的解析式．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算)2．結(jié)合冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))的圖象，掌握它們的性質(zhì)．(直觀想象、邏輯推理)3．能利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?數(shù)學(xué)運算)教材要點要點一冪函數(shù)的概念一般來說，當x為自變量而α為非零實數(shù)時，函數(shù)________叫做(α次)冪函數(shù)．要點二冪運算的基本不等式對任意的正數(shù)r和兩正數(shù)a>b，有arbr＝(ab)r對任意的負數(shù)r和兩正數(shù)a>b，有arbr＝(ab)r要點三實數(shù)次冪函數(shù)y＝xα(α≠0)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝eq\f(1,x)定義域RRR________________值域R________R________________奇偶性奇函數(shù)________________非奇非偶函數(shù)________單調(diào)性在R上遞增在________上遞減，在________上遞增在R上遞增在________上遞增在(－∞，0)和(0，＋∞)上遞減圖象過定點________________eq\a\vs4\al(狀元隨筆)冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上，當α＞0時，y＝xα是增函數(shù)；當α＜0時，y＝xα是減函數(shù)．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)冪函數(shù)的圖象都過點(0，0)，(1，1).()(2)冪函數(shù)的圖象一定不能出現(xiàn)在第四象限，但可能出現(xiàn)在第二象限．()(3)當冪指數(shù)α取1，3，eq\f(1,2)時，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)．()(4)若冪函數(shù)y＝xα的圖象關(guān)于原點對稱，則y＝xα在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大．()2．在函數(shù)y＝eq\f(1,x4)，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，冪函數(shù)的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．33．(多選)已知冪函數(shù)f(x)＝xα(α是常數(shù))，下列說法錯誤的是()A．f(x)的定義域為RB．f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增C．f(x)的圖象一定經(jīng)過點(1，1)D．f(x)的圖象有可能經(jīng)過點(1，－1)4．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(3，eq\r(3))，則f(9)＝________．題型1冪函數(shù)的概念例1(1)(多選)下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是()A．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)B．y＝x5C．y＝4x2D．y＝x(2)已知y＝(m2＋2m－2)xm2?2＋2n－3是冪函數(shù)，求m方法歸納(1)冪函數(shù)的判斷方法①冪函數(shù)同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，是一種“形式定義”的函數(shù)，也就是說必須完全具備形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)才是冪函數(shù)．②如果函數(shù)解析式以根式的形式給出，則要注意把根式化為分數(shù)指數(shù)冪的形式進行化簡整理，再對照冪函數(shù)的定義進行判斷．(2)求冪函數(shù)解析式的依據(jù)及常用方法①依據(jù)．若一個函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)應(yīng)具備冪函數(shù)解析式所具備的特征，這是解決與冪函數(shù)有關(guān)問題的隱含條件．②常用方法．設(shè)冪函數(shù)解析式為f(x)＝xα，根據(jù)條件求出α.跟蹤訓(xùn)練1若函數(shù)y＝(m2＋2m－2)xm為冪函數(shù)且在第一象限為增函數(shù)，則m的值為()A．1B．－3C．－1D．3(2)已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,9)))，則f(4)＝________．題型2冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)函數(shù)y＝xeq\s\up6(\f(1,3))的圖象是()(2)冪函數(shù)y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的圖象如圖，則將m，n，p，q的大小關(guān)系用“＜”連接起來結(jié)果是________．方法歸納解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個原則(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0，1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高).(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y＝x－1或y＝xeq\s\up6(\f(1,2))或y＝x3)來判斷．跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖，曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象．已知n取±2，eq\f(1,2)三個值，則相應(yīng)于曲線c1，c2，c3的n值依次為()A．－2，eq\f(1,2)，2B．2，eq\f(1,2)，－2C．－2，2，eq\f(1,2)D．2，－2，eq\f(1,2)(2)當α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，2，3))時，冪函數(shù)y＝xα的圖象不可能經(jīng)過第________象限．題型3冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1比較大小例3把eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(1,3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up6(\f(1,2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up6(\f(1,2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)))eq\s\up12(0)按從小到大的順序排列：____________________________．角度2解不等式例4已知(a＋1)－1＜(3－2a)－1，求a的取值范圍．方法歸納1．比較冪的大小的策略比較冪的大小的關(guān)鍵是弄清底數(shù)與指數(shù)是否相同．若指數(shù)相同，則利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大?。蝗舻讛?shù)、指數(shù)均不同，則考慮用中間值法比較大小，中間值可以是“0”或“1”．2．利用冪函數(shù)解不等式的步驟利用冪函數(shù)解不等式，實質(zhì)是已知兩個函數(shù)值的大小，判斷自變量或冪指數(shù)的大小，常與冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題．求解步驟如下：(1)確定可以利用的冪函數(shù)；(2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量或冪指數(shù)的大小關(guān)系；(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練3(1)下列兩個數(shù)的大小正確的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq\s\up6(\f(7,8))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))eq\s\up6(\f(7,8))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(2,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))eq\s\up12(－\f(2,3))C．0.20.6>0.30.6D．9－eq\f(7,8)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9)))eq\s\up6(\f(6,7))(2)若(3－2m)eq\s\up6(\f(1,2))＞(m＋1)eq\s\up6(\f(1,2))，則實數(shù)m的取值范圍為________．eq\a\vs4\al(易錯辨析)忽視冪函數(shù)的圖象特點致誤例5若函數(shù)f(x)＝(m2＋3m＋1)·xm2+m?1是冪函數(shù)，且其圖象過原點，則m＝________．解析：因為函數(shù)f(x)＝(m2＋3m＋1)·xm2+m?1是冪函數(shù)，所以m2＋3m＋1＝1，解得m＝0或m＝－3.當m＝0時，f(x)＝x－1，其圖象不過原點，應(yīng)舍去；當m＝－3時，f(x)＝答案：－3易錯警示易錯原因糾錯心得忽視了函數(shù)圖象過原點，沒有對所求m值進行檢驗，致使得到錯誤答案：0或－3冪函數(shù)的圖象過原點，則指數(shù)大于0；圖象不過原點，則指數(shù)小于或等于0.課堂十分鐘1．設(shè)α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，\f(1,2)，－1))，則使函數(shù)y＝xα的定義域為R且函數(shù)y＝xα為奇函數(shù)的所有α的值為()A．－1，3B．－1，1C．1，3D．－1，1，32．在同一坐標系中，函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,a)與g(x)＝ax2的圖象可能是()3．設(shè)a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b＜a＜cB．a(chǎn)＜c＜bC．a(chǎn)＜b＜cD．c＜b＜a4．已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(4，2)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＝________．5．已知冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求f(x)的解析式．4．1.3冪函數(shù)新知初探·課前預(yù)習(xí)要點一y＝xα要點三{x|x≥0}{x|x≠0}{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)(－∞，0)(0，＋∞)(0，＋∞)(0，0)，(1，1)(1，1)[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：函數(shù)y＝1x4＝x－4為冪函數(shù)；函數(shù)y＝3x2中x2的系數(shù)不是1，所以它不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常數(shù))的形式，所以它不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝1與y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以答案：B3．解析：當α＝－1時，f(x)＝x－1＝1x的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，因此A，B錯誤；當x＝1時，f答案：ABD4．解析：設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα(α為常數(shù))，∵冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(3，3)，∴3＝3α，解得α＝12∴f(x)＝x，∴f(9)＝9＝3.答案：3題型探究·課堂解透例1解析：(1)A不符合冪函數(shù)的特點，C中系數(shù)不是1，BD是冪函數(shù)．故選BD.(2)由冪函數(shù)的定義可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).答案：(1)BD(2)見解析跟蹤訓(xùn)練1解析：因為函數(shù)y＝(m2＋2m－2)xm為冪函數(shù)且在第一象限為增函數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,m>0，))所以m＝1.故選A.(2)設(shè)f(x)＝xα(α為常數(shù))，所以eq\f(1,9)＝3α，α＝－2，所以f(4)＝4－2＝eq\f(1,16).答案：(1)A(2)eq\f(1,16)例2解析：(1)由冪函數(shù)的圖象過點(0，0)和(1，1)，故排除A、D；因為y＝xα中，0<α＝eq\f(1,3)<1，所以圖象在第一象限內(nèi)上凸，排除C，故選B.(2)過原點的指數(shù)α>0，不過原點的α<0，所以n<0，當x>1時，在直線y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0<m<1，0<q<1；x>1時，指數(shù)越大，圖象越高，所以m>q，綜上所述n<q<m<p.答案：(1)B(2)n<q<m<p跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)對于函數(shù)y＝x－2，y＝x2，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，令x＝4，得到的函數(shù)值依次為eq\f(1,16)，16，2.函數(shù)值由大到小對應(yīng)的解析式為y＝x2，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，y＝x－2.因此相應(yīng)于曲線c1，c2，c3的n值依次為2，eq\f(1,2)，－2.故選B.(2)冪函數(shù)y＝x－1，y＝x，y＝x3的圖象經(jīng)過第一、三象限；y＝xeq\s\up6(\f(1,2))的圖象經(jīng)過第一象限；y＝x2的圖象經(jīng)過第一、二象限．所以冪函數(shù)y＝xαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＝－1，\f(1,2)，1，2，3))的圖象不可能經(jīng)過第四象限．答案：(1)B(2)四例3解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)))eq\s\up12(0)＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(1,3))>1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up6(\f(1,2))<1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up6(\f(1,2))<1，∵y＝xeq\s\up6(\f(1,2))為增函數(shù)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up6(\f(1,2))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up6(\f(1,2)).綜上，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up6(\f(1,2))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up6(\f(1,2))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)))eq\s\up12(0)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(1,3)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up6(\f(1,2))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up6(\f(1,2))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)))eq\s\up12(0)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(1,3))例4解析：①當a＋1>0，且3－2a>0時，∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,3－2a>0，,a＋1>3－2a，))解得eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2).②當a＋1<0，且3－2a>0時，(a＋1)－1<0，(3－2a)－1>0.符合題意．可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,3－2a>0，))解得a<－1.③當a＋1<0且3－2a<0時，∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,3－2a<0，,a＋1>3－2a，))不等式組解集為?.綜上所述，a的取值范圍為(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2))).跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)∵函數(shù)y＝xeq\s\up6(\f(7,8))在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又eq\f(1,8)>eq\f(1,9)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq\s\up6(\f(7,8))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))eq\s\up6(\f(7,8))，A錯；∵函數(shù)y＝x－eq\f(2,3)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，又eq\f(2,3)>eq\f(π,6)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－\f(2,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))eq\s\up12(－\f(2,3))，B正確；由冪函數(shù)單調(diào)性知0.20.6<0.30.6，C錯；9－eq\f(7,8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))eq\s\up6(\f(7,8))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))eq\s\up6(\f(6,7))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c