1、精心整理最小二乘復(fù)頻域法（PolyMax）SX1201069虞剛PolyMax模態(tài)鑒識方法,屬于多自由度時域鑒識法,也稱作多參照點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域法(Polyreferenceleastsquarescomplexfrequencydomainmethod)，是最小二乘復(fù)頻域法(LSCF)的多輸入形式，是一種對極點(diǎn)和模態(tài)參預(yù)因子進(jìn)行整體預(yù)計的多自由度法,一般第一經(jīng)過實(shí)驗(yàn)成立穩(wěn)態(tài)圖，以判斷真切的模態(tài)頻次、阻尼和參預(yù)因子；成立能夠線性化的直交矩陣分式模型，此后鑒于正則方程減少最小二乘問題,獲得壓縮正則方程,于是模態(tài)參數(shù)能夠經(jīng)過求解最小二乘問題獲得。該方法會合了多參照點(diǎn)法和LSCF方法的長處,能夠得出

2、特別清楚的穩(wěn)態(tài)圖,而且密集空間能夠被分別出來,特別在模態(tài)較密集的系統(tǒng)(動力總成系統(tǒng))，或許FRF數(shù)據(jù)遇到嚴(yán)重噪聲污染的狀況下仍能夠成立清楚的穩(wěn)態(tài)圖，鑒識出高度密集的模態(tài)，對每一個模態(tài)的頻次、阻尼和振型都有很好的鑒識精度,是國際最新發(fā)展并流行的鑒于傳達(dá)函數(shù)的模態(tài)分析方法。其基本思想以下：1）成立頻次響應(yīng)函數(shù)模型多參照點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域鑒識技術(shù)（PRLSCF或PolyMAX）要以頻響函數(shù)矩陣作為識其他初始數(shù)據(jù)，其數(shù)學(xué)模型采納右矩陣分式模型來描繪。在頻域中，系統(tǒng)輸出o（o1,2,N0，此中N0為輸出點(diǎn)數(shù)）和所有輸入的關(guān)系可用右矩陣分式模型（RMFD）來描繪，右矩陣分式模型的表達(dá)式為HoUoD1（1）式

3、中：HoClNi理論頻響函數(shù)的第o行，Ni是輸入點(diǎn)數(shù)，即激勵數(shù)；UoClNi分子多項(xiàng)式行向量；DoCNiNi分母多項(xiàng)式矩陣。精心整理且Uo和Do能夠表示成以下形式：NBor（o1,2,N0）（2）UoZrr0NAr（3）DoZrr0式中：N多項(xiàng)式階次此中分母系數(shù)矩陣ArRNiNi和分子系數(shù)行向量BorRlNi是待預(yù)計的參數(shù)。所有這些系數(shù)歸并為一個矩陣。TTTT（4）1N此中Bo0A0Bo1RN1Ni，oA1RNiN1Ni（5）oBoNAN式（2）和式（3）中出現(xiàn)的多項(xiàng)式基函數(shù)Zr，一般地，有以下兩種選擇：.對于連續(xù)時域模型，可取為ijZr（6）s式中：s1Ni縮放因子，用來提升方程的數(shù)值狀況。

4、2.對于失散時域模型，可取為ZrejTrs（7）式中：Ts采樣周期。平常采納失散時域模型。（2）參數(shù)的線性化精心整理經(jīng)過試驗(yàn)丈量出的頻次響應(yīng)函數(shù)矩陣CNoNifC1Ni表示實(shí)測頻響矩Hf，用Ho陣的第o行，o1,2,No,f1,2,Nf，那么對于參數(shù)矩陣的非線性最小二乘（NLS）目標(biāo)函數(shù)可表示為NNfoNLSHNLS（8）trnlsof,of,o1f1式中：H矩陣的復(fù)共扼轉(zhuǎn)置；tr矩陣的跡，即矩陣的主對角元素之和。經(jīng)過對式（8）求極小值，便能夠獲得頻次響應(yīng)函數(shù)矩陣的右分式矩陣模型各系數(shù)的預(yù)計值，即矩陣的預(yù)計值。式（8）中的加權(quán)非線性最小二乘偏差函數(shù)被定義：NLSWofUof,oD1of,Wof

5、Hof,Hoff,Hof（9）上式中Wof是一個加權(quán)函數(shù)。一般地，為了提升預(yù)計的質(zhì)量，我們采納Hof（10）WofvarHof式中：var方差，可用有關(guān)函數(shù)求取。也可使用公式1（11）WofvarHof來做加權(quán)函數(shù)的。這兩種加權(quán)函數(shù)都考慮了丈量頻響函數(shù)數(shù)據(jù)的利害：測得頻響的方差越小，對目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)越大。非線性偏差函數(shù)能夠經(jīng)過一個近似的辦理為一個線性的問題。實(shí)質(zhì)上，經(jīng)過對NLS右乘Df,，則能夠獲得一個對于參數(shù)為線性的方程，此加權(quán)線性最小of,二乘（LS）方程偏差LSf,為o精心整理LSNLSf,D,of,ofWofUof,oD1f,HofDf,（12）NWofzrfBorzrfHoArr0這

6、款式（12）對于參數(shù)為線性，將所有頻次點(diǎn)裝置成一列，f1,2,Nf，它可用矩陣形式來表示LS1,oLSXoYooo（13）oJoLS,oNf此中：Wo1zo1,z11,zN1XoCNfN1（14）WoNfzoNf,z1Nf,zNNfWo1zo1,z11YoWoNfzoNf,z1Nf,zN1Ho1CNfNiN1（15）,zNNfHoNf式中，Kronecker積。（3）減少標(biāo)準(zhǔn)方程加權(quán)線性最小二乘預(yù)計表達(dá)式為NoLSHLStrLSooo1（16）NoTTRoSootroSoTToo1式中：RoReXoHXoRN1N1同時，目標(biāo)函數(shù)（16）等價于LStrTReJHJ（17）式中，J是Jacobia

7、n矩陣，被以下定義精心整理X100Y1J0X2Y2CNoNfN1NoNi（18）00XNoYNo為使LS值最小，將LS對系數(shù)矩陣o和求導(dǎo)，并令其為零LS2RooSo0o1,2,No（19）oNoSoT0（20）LS2oToo1由式（19）獲得oRo1So，把它代入式（）得202NoToSoTRo1SoM0（21）o1此中，MNoSoTRo1SoRNiN1NiN1。2Too1由式（19）和（20）獲得標(biāo)準(zhǔn)方程，經(jīng)過整理，此標(biāo)準(zhǔn)方程的表達(dá)式為R100S10R20S2122RNoSNo2ReJHJ0（22）00NoNoS1TS2TSNTTooo1式（21）即為“減少”標(biāo)準(zhǔn)方程，此中矩陣M維數(shù)為NiN

8、1NiN1，比標(biāo)準(zhǔn)方程式（22）中的ReJHJ的維數(shù)NoNiN1NoNiN1要小的多。4）求解減少標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過求解“減少”標(biāo)準(zhǔn)方程，即可獲得分母系數(shù)矩陣。依據(jù)線性方程組的求解理論，先對系數(shù)矩陣施加一個拘束。若是，設(shè)定系數(shù)矩陣中的一個系數(shù)矩陣塊等于正則常數(shù)矩陣（比方設(shè)系數(shù)矩陣的最后一個矩陣塊N1INi）,在這類前提下，減少標(biāo)準(zhǔn)方程變成AXB（23）精心整理此中AM1:NiN,1:NiN系數(shù)矩陣的最小二乘預(yù)計為?LSXXA1B（24）INi一旦求得了?R1S即可獲得所有的分子系數(shù)?LS，那么經(jīng)過oooLS,o這類方法考慮了標(biāo)準(zhǔn)方程的構(gòu)造特點(diǎn)，比直接求解方程（22）要快得多。確立了分母系數(shù)矩陣后，經(jīng)

9、過求解的陪伴矩陣的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量，這樣就能夠獲得了系統(tǒng)的極點(diǎn)和相應(yīng)的模態(tài)參加因子。方程以下0I000000VV.（25）000IA0TA1TANT2ANT1上式中，V,CNoNNoN，矩陣V的最后Ni行就是模態(tài)參加因子；對角陣的角元記錄為i(i1,2,NoN)由不堅(jiān)固的數(shù)學(xué)極點(diǎn)和堅(jiān)固的物理構(gòu)造點(diǎn)兩部分構(gòu)成。記堅(jiān)固的物理構(gòu)造極點(diǎn)為rerTs，經(jīng)過對這些物理構(gòu)造極進(jìn)行變換，即可得出構(gòu)造的固有頻次r和模態(tài)阻尼比r；關(guān)系式以下*rri12r,rrir或r,rrr（26）（5）計算頻次點(diǎn)和阻尼比點(diǎn)依據(jù)信號與系統(tǒng)基本理論中對系統(tǒng)堅(jiān)固性的描繪：系統(tǒng)的所有極點(diǎn)落于s域左半平面（不包含虛軸），且知足有界輸入有

10、界輸出原則，系統(tǒng)是堅(jiān)固的。復(fù)特點(diǎn)矩陣中的復(fù)特點(diǎn)值老是以共軛對的形式出現(xiàn)，同時也包含實(shí)數(shù)（虛軸上），在求解頻次點(diǎn)i和阻尼比點(diǎn)i時，對于每個共軛對只取此中一個進(jìn)行分析，且不考慮實(shí)數(shù)。復(fù)特點(diǎn)矩陣中的對角元ieiTs，由式（26），i用ReiiImi描述，則精心整理ReiiImieiiiTsTiTeiseisReiiImieiTscosiTsisiniTs（27）eiTs（28）ImarctanRei（29）iTsi所以1lni（30）Ts1arctanImTsRe（31）i由此可求得頻次i和阻尼比i2ii（32）iii在求得的頻次i和阻尼比i包含有構(gòu)造的固有頻次r和模態(tài)阻尼比r，所以，必然對所有求得的i和i進(jìn)行有效的分析和采納，以確立系統(tǒng)真切的固有頻次和阻尼比。成立穩(wěn)態(tài)圖就是一種卓有見效的方法。6）成立穩(wěn)態(tài)圖在模態(tài)分析中，穩(wěn)態(tài)圖是幫助實(shí)驗(yàn)者分別構(gòu)造物理極點(diǎn)和數(shù)學(xué)極點(diǎn)的一個有力工具，如圖1所示。經(jīng)過漸漸增大多項(xiàng)式的階次N，且進(jìn)行相應(yīng)的重復(fù)性分析計算能夠成立起穩(wěn)態(tài)圖。圖1模態(tài)分析的穩(wěn)態(tài)圖對于不一樣樣的N值，由式（25）獲得相應(yīng)的極點(diǎn)ieiTs，極點(diǎn)再經(jīng)過變換得出相應(yīng)的頻次i和阻尼比i。穩(wěn)態(tài)圖的成立方法為：橫坐標(biāo)是頻次點(diǎn)，縱坐標(biāo)是對應(yīng)的多