1、PAGE PAGE 15第五講 常用分布一、考試要求 1.掌握二項(xiàng)分布、泊松分布及其均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差以及相關(guān)概率的計(jì)算。 22.了解超幾幾何分布。 33.掌握正態(tài)態(tài)分布的定義義及其均值、方方差和標(biāo)準(zhǔn)差差，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布的分位位數(shù)。 44.熟悉標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)表的用用法二、內(nèi)容講解四、常用分布(一)常用離散散分布這里將給出三個(gè)個(gè)常用的離散散分布：二項(xiàng)分布、泊泊松分布與超超幾何分布。1二項(xiàng)分布我們來(lái)考察由nn次隨機(jī)試驗(yàn)驗(yàn)組成的隨機(jī)機(jī)現(xiàn)象，它滿滿足如下條件件:(1)重復(fù)進(jìn)行行n次隨機(jī)試試驗(yàn)。比如，把一枚枚硬幣連拋nn次，檢驗(yàn)nn個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)質(zhì)量，對(duì)一個(gè)個(gè)目標(biāo)連續(xù)射射擊n次等。(2) n次試試驗(yàn)間相互獨(dú)獨(dú)立

2、，即任何何一次試驗(yàn)結(jié)結(jié)果不會(huì)對(duì)其他次試試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生生影響。(3)每次試驗(yàn)驗(yàn)僅有兩個(gè)可可能的結(jié)果，比如，正面與與反面、合格格與不合格、命命中與不命中中、具有某特特性與不具有有某特性，以以下統(tǒng)稱(chēng)為“成成功”與“失失敗”。(4)每次試驗(yàn)驗(yàn)成功的概率率均為p，失敗的概概率均為1- p。在上述四個(gè)條件件下，設(shè)X表表示n次獨(dú)立立重復(fù)試驗(yàn)中中成功出現(xiàn)的的次數(shù)，顯然然X是可以取取0，1，n等n+1個(gè)值的離離散隨機(jī)變量量，且它的概概率函數(shù)為:這個(gè)分布稱(chēng)為二二項(xiàng)分布，記記為，其中是從nn個(gè)不同元素素中取出x個(gè)的組合數(shù)數(shù)，它的計(jì)算算公式為：二項(xiàng)分布的均值值、方差與標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差分別為為： 特例：n=11的二項(xiàng)分布布稱(chēng)為二

3、點(diǎn)分分布。它的概概率函數(shù)為： 或列表如下：X 0 1 P 1-p p它的均值、方差差與標(biāo)準(zhǔn)差分分別為 例1.2-110 在個(gè)制制造過(guò)程中，不不合格品率為為O.1，如今從從成品中隨機(jī)機(jī)取出6個(gè)，記記X為6個(gè)成品品中的不合格格品數(shù)，則XX服從二項(xiàng)分分布，簡(jiǎn)記為為?，F(xiàn)研究如如下幾個(gè)問(wèn)題題：(1)恰有1個(gè)個(gè)不合格品的的概率是多少少?這里規(guī)定定抽到不合格格品為“成功功”，則事件件X=1的概率率為： 這表明，6個(gè)成成品中恰有一一個(gè)不合格品品的概率為00.3543。類(lèi)類(lèi)似可計(jì)算XX=0，X=1，XX=6的概率率，計(jì)算結(jié)果果可列出一張張分布列，具具體如下：X 0 11 2 3 4 5 66P0.5314 0.

4、33543 0.09884 0.0146 0.00012 00.00011 0.00000這里0.00000表示X=6的概率率取前4位小小數(shù)的有效數(shù)數(shù)字為零，實(shí)實(shí)際上，它的概率率為P(X=6)=00.0000001，并不嚴(yán)嚴(yán)格為零。還可以畫(huà)出一張張線條圖(圖圖1.27(aa)來(lái)表示示這個(gè)分布(共有7個(gè)取取值)。圖上上的橫坐標(biāo)為為X的取值，縱縱軸為其相應(yīng)應(yīng)概率。從此此圖上可以看看出分布的形形態(tài)，哪些上上的概率大，哪哪些上的概率率小。假如改改變成功概率率p，其線條條圖亦會(huì)改變變。比如，連拋六次硬硬幣，其中正正面出現(xiàn)次數(shù)數(shù)。通過(guò)計(jì)算算可畫(huà)出其線線條圖(見(jiàn)圖圖1277(b)，此此圖是對(duì)稱(chēng)的的，如P(X

5、X=2)=PP(X=4)=00.2343。(2)不超過(guò)11個(gè)不合格品品的概率為： P(XX1)=PP(X=0)+PP(X=1)=00.5314+0.3543=O.8857 這表明明，6個(gè)成品品中不超過(guò)11個(gè)不合格品品的概率為00.8857。 在實(shí)際際中經(jīng)常需要要求形如“”的的概率，在概概率論中把事事件“”的概概率稱(chēng)為X的分布函數(shù)數(shù)，也稱(chēng)為累累積分布函數(shù)數(shù)，記為F(X)，即： 對(duì)二項(xiàng)分布的分分布函數(shù)已編編制了數(shù)表，詳詳見(jiàn)附表11，此表可可幫助我們計(jì)計(jì)算二項(xiàng)概率率，例如從附附表1-1中可查得得： P(XX1)=00.8857， P(X4)=00.9999于是可算得： P(110)，又又令X表示某特

6、定定單位內(nèi)出現(xiàn)現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則則X取值的概率為為： 這個(gè)分布就稱(chēng)為為泊松分布，記記為P()，其中e為為自然對(duì)數(shù)的的底，即2.718288泊松分布的均值值與方差(在在數(shù)量上)是是相等的，均均為，即： E(XX)= ，Vaar(X)= ， (1.2-6)例1.2111 某某大公司一個(gè)個(gè)月內(nèi)發(fā)生的的重大事故數(shù)數(shù)X是服從泊松松分布的隨機(jī)機(jī)變量，根據(jù)據(jù)過(guò)去事故的的記錄，該大大公司在一個(gè)個(gè)月內(nèi)平均發(fā)發(fā)生1.2起重大事事故，這表明明：X服從=1.2的泊松分分布，現(xiàn)考察察如下事件的的概率： (1)在一個(gè)月內(nèi)內(nèi)發(fā)生1起重重大事故的概概率為： 類(lèi)似地也可計(jì)算算X取其他值的的概率，現(xiàn)羅羅列于如下分分布列中：此例中，X理

7、論論上也可以取取8，9，等值。由于于取這些值的的概率的前三三位小數(shù)皆為為零，甚至更更小，已無(wú)多多大實(shí)際意義義，故可不列列出，當(dāng)作不不可能事件處處理。也可把把此8個(gè)概率率畫(huà)一張線條條圖，如圖11.28。 (2)在一個(gè)月月內(nèi)發(fā)生重大大事故超過(guò)22起的概率為為： 這表明，該公司司在一個(gè)月內(nèi)內(nèi)發(fā)生重大事事故超過(guò)2起起的概率為OO.121。 (3)泊松分布PP(1.2)的均值值、方差與標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差分別為為： 3超幾何分布布從一個(gè)有限總體體中進(jìn)行不放放回抽樣常會(huì)會(huì)遇到超幾何何分布。設(shè)有N個(gè)產(chǎn)品組組成的總體，其其中含有M個(gè)個(gè)不合格品。若若從中隨機(jī)不不放回地抽取取n個(gè)產(chǎn)品，則則其中不合格格品的個(gè)數(shù)XX是一個(gè)離散散

8、隨機(jī)變量，假假如nM，則X可能取0，11，n；若nM，則X可能取0，ll，M，由由古典方法(參見(jiàn)例114)可可以求得的概概率是： 其中r=minn(n,M)，這個(gè)分布布稱(chēng)為超幾何何分布，記為為h(n，N,MM)。超幾何分布h(n，N,MM)的均值與與方差分別為為： 例1.2-112，略，參參見(jiàn)教材366頁(yè)。(二)正態(tài)分布布正態(tài)分布是在質(zhì)質(zhì)量管理中最最重要也最常常使用的分布布，它能描述述很多質(zhì)量特特性X隨機(jī)取值的的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性性。1正態(tài)分布的的概率密度函函數(shù)正態(tài)分布的概率率密度函數(shù)有有如下形式： 它的圖形是對(duì)稱(chēng)稱(chēng)的鐘形曲線線，稱(chēng)為正態(tài)態(tài)曲線。見(jiàn)圖圖1.210。正態(tài)分布含有兩兩個(gè)參數(shù)與，常記為。其其

9、中為正態(tài)分分布的均值，它它是正態(tài)分布布的中心，質(zhì)質(zhì)量特性X在附近取值的的機(jī)會(huì)最大，關(guān)于對(duì)稱(chēng)。是正態(tài)分布的方差，是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，愈大，分布愈分散；愈小，分布愈集中；p()在處有拐點(diǎn)(2階導(dǎo)數(shù)為零)。同定標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，不不同的均值，比如，對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的形狀完全相同，僅位置不同，見(jiàn)圖1.2-1l(a)。固定均值時(shí)，不不同的標(biāo)準(zhǔn)差差，如。，對(duì)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲曲線的位置相相同，但形狀狀(高低與胖胖瘦)不同，見(jiàn)見(jiàn)圖1.21l(b)。2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分分布且=l的正態(tài)分分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)分布，記記為N(0，1)。它是特殊殊的正態(tài)分布布，服從標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)分布的的隨機(jī)變量記記為U，它的概率率密度函數(shù)記記為，它的圖圖形見(jiàn)圖

10、1.2-12。 實(shí)際中很少有有一個(gè)質(zhì)量特特性(隨機(jī)變變量)的均值值恰好為0，方方差與標(biāo)準(zhǔn)差差恰好為1。但但一些質(zhì)量特特性的不合格格品率均要通通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布才能算算得。這里將將先介紹標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)分布表表及其應(yīng)用，分分以下幾點(diǎn)敘敘述。圖1.2-122標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分分布的概率密密度函數(shù)的圖圖形 (1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布函數(shù)表表，用來(lái)計(jì)算算形如“”的的隨機(jī)事件發(fā)發(fā)生的概率，即即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分分布函數(shù)。根根據(jù)u的值可在標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布布函數(shù)表(附附表12)上查得，例例如事件“UU1.52“的概率可從從附表122上查得 P(U1.52)=(11.52)=0.9357它表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)隨機(jī)變量UU取值不超過(guò)過(guò)1.52的概

11、率率，在數(shù)量上上它恰好為11.52左側(cè)的的一塊陰影面面積(見(jiàn)圖11.2-13)。由于直線是沒(méi)有有面積的，即直直線的面積為為零，故： P(UU1.52)=PP(U1.52)=(11.52)=0.9357 綜合上述，可可得如下計(jì)算算公式： P(UUa)=P(UUa)=l-(a)，(見(jiàn)圖11.214)。 (3) (-a)=l- (a)(見(jiàn)圖1.2-15)。 (4)P(aaUb)= (b)-(a)(見(jiàn)圖1.216)。(5) (見(jiàn)圖圖12117)。 3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分分布N(O，1)的分位數(shù)分位數(shù)是一個(gè)基基本概念，這這里結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)分布NN(0，1)來(lái)敘述分位位數(shù)概念。對(duì)對(duì)概率等式 P(U11.282)=0

12、.9，有兩種種不同說(shuō)法：(1) 0.99是隨機(jī)變量量U不超過(guò)11.282的概概率。(2) 1.2282是標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)分布NN(0，1)的0.9分位數(shù)，也也稱(chēng)為9%分位數(shù)或990百分位數(shù)數(shù)，記為。后一種說(shuō)法有新新意，O.9分位數(shù)。，把把標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分分布密度函數(shù)數(shù)下的面積分分為左右兩塊塊，左側(cè)一塊塊面積恰好為為O.9，右側(cè)一一塊面積恰好好為O.1，見(jiàn)圖11.2-18。一般說(shuō)來(lái)，對(duì)介介于0與1之之間的任意實(shí)實(shí)數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布N(O，1)的分位數(shù)是是這樣一個(gè)數(shù)數(shù)，它的左側(cè)側(cè)面積恰好為為，它的右側(cè)側(cè)面積恰好為為l (詳詳見(jiàn)圖1.2-19)。用用概率的語(yǔ)言言表示，U(或它的分分布)的分位位數(shù)是滿足下下面等式

13、的實(shí)實(shí)數(shù)： P(UU)=分位數(shù)亦可用標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布布表從里向外外查得，尾數(shù)數(shù)可用內(nèi)插法法得到，比如0.95的分位位數(shù)可先查得得： 由于概率0.995恰好介于于0.9495與與0.9505中中問(wèn)，故。0.5分位數(shù)，即即50分位位數(shù)，也稱(chēng)為為中位數(shù)，在在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分分布N(O，1)場(chǎng)合，。當(dāng)O5時(shí)，比如=0.25，由對(duì)稱(chēng)性可知，對(duì)它加上負(fù)號(hào)即得，類(lèi)似地有 (見(jiàn)圖1.220)。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的分位數(shù)亦可從從附表133直接查得。4有關(guān)正態(tài)分分布的計(jì)算現(xiàn)在轉(zhuǎn)入正態(tài)分分布的計(jì)算。正正態(tài)分布計(jì)算算基于下面的的重要性質(zhì)。性質(zhì)1： 設(shè)設(shè)XN()，則。此性質(zhì)表明，任任一個(gè)正態(tài)隨隨機(jī)變量X(服從正態(tài)態(tài)分布的隨機(jī)機(jī)變量)經(jīng)過(guò)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變換換(X-)后都?xì)w一一到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)變量U。這里標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化變換是指指正態(tài)變量減減去其均值后后再除以相應(yīng)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。比如： 若xN(10 ，)，通過(guò)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化變換N(0，1)； 若YN(2，)，通通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變變換N(0，1)； 兩個(gè)正正態(tài)變量及其其標(biāo)準(zhǔn)化變換換后的分布的的示意圖見(jiàn)圖圖1.221。性質(zhì)2：設(shè)，則則對(duì)任意實(shí)數(shù)數(shù)有： （1） （2） （3）其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)(累積)分分布函數(shù)，其其函數(shù)值可從從附表122中查得。例1.2-113 設(shè)設(shè)XN(10，)和和