1、電網(wǎng)絡分析選論0 緒論電網(wǎng)絡理論的內(nèi)容電網(wǎng)絡理論有關的重要學術期刊本課程的教學用書與參考資料本課程的主要內(nèi)容本課程的成績評定方式電網(wǎng)絡理論內(nèi)容電網(wǎng)絡理論有關的重要學術期刊(國際)1 IEEE TRANSACTION ON CIRCUITS AND SYSTEMS （ IEEE TRANSACTION ON CIRCUITS THEORY） （IRE TRANSACTION ON CIRCUITS THEORY） 2 IEEE TRANSACTION ON COMPUTER-AIDED ANALYSIS AND DESIGN FOR INTEGRATED CIRCUITS3 INTERNATIO

2、NAL JOURNAL OF CIRCUIT THEORY AND APPLICATIONS電網(wǎng)絡理論有關的重要學術期刊(國內(nèi)) 1 電子學報 2 電工技術學報 3 中國電機工程學報 4 電路與系統(tǒng)本課程教學用書與參考資料 教學用書 1 梁貴書. 電網(wǎng)絡分析選論. 華電教材科，2003.7 2 梁貴書.電網(wǎng)絡分析選論習題及部分答案. 華電電工教研室 參考資料 IEEE/IEE及其他期刊的 相關學術論文本課程主要內(nèi)容簡介元件新體系元件的互聯(lián)規(guī)律性多口網(wǎng)絡網(wǎng)絡的代數(shù)方程動態(tài)電路的時域方程簡單非線性電路網(wǎng)絡函數(shù)與穩(wěn)定性網(wǎng)絡的靈敏度分析本課程成績評定方式 三種方式 1 期末筆試考試（100%） 2 撰

3、寫小論文（30%）期末筆試考試（70%） 3 撰寫小論文，并用Powerpoint課堂講解（100%） 備注：論文形成WORD文檔（Visio畫圖）第一章 網(wǎng)絡理論基礎本章主要內(nèi)容：網(wǎng)絡及其元件的基本概念基 本 代 數(shù) 元 件 高 階 代 數(shù) 元 件 動 態(tài) 元 件分 布 參 數(shù) 元 件 非線性元件的小信號模型 網(wǎng) 絡 的 互 聯(lián) 規(guī) 律 性 網(wǎng) 絡 及 元 件的基本性質(zhì) 1-1 網(wǎng)絡及其元件的基本概念實際電路與電路模型器件與元件網(wǎng)絡的基本表征量多口元件和多端元件容許信號偶和賦定關系網(wǎng)絡及其元件的分類依據(jù) 集中性與分布性 時變性與時不變性 線性與非線性 1. 實際電路與電路模型 電網(wǎng)絡理論是建

4、立在電路模型基礎之上的一門科學，它所研究的直接對象并不是實際電路，而是實際電路的模型。實際電路：為了某種目的，把電器件按照一定 的方式連接起來構成的整體。電路模型：實際電路的科學抽象，由理想化的網(wǎng)絡元件連接而成的整體。2. 器件與元件器件( Device )： 客觀存在的物理實體，是實際電路的組成單元。元件(Element)：理想化的模型,其端子上的物理量服從一定的數(shù)學規(guī)律,是網(wǎng)絡的基本構造單元。3. 網(wǎng)絡的基本表征量基本表征量分為三類： 基本變量：電壓 、電流 、電荷 和磁鏈 基本復合量：功率 和能量 高階基本變量： 和 基本變量和高階基本變量又可統(tǒng)一成 和 兩種變量 ，其中和為任意整數(shù)。

5、動態(tài)關系基本表征量之間存在著與網(wǎng)絡元件無關 的下述普遍關系：4. 多口元件和多端元件當流入一個端子(Terminal)的電流恒等于流出另一個端子的電流時,這一對端子稱為一個端口(Port)。如果多端元件的端子數(shù)為偶數(shù),并且兩兩能組成端口,則稱該多端元件為多口元件。 多端元件和多口元件可以互換n口元件的端口電壓、電流列向量5. 容許信號偶和賦定關系可能存在于（多口）元件端口的電壓、電流向量隨時間的變化或波形稱為容許的電壓電流偶,簡稱容許信號偶(Admissible Signal Pair),記作 3電阻的伏安關系為 容許信號偶 3, 2不是容許信號偶元件所有的容許信號偶的集合,稱為該元件的賦定關

6、系（Constitutive Relation) 對賦定關系的說明 完全表征了該元件的端口電氣性能 區(qū)分不同類型元件的基本依據(jù) 可以用方程、曲線或者一種規(guī)定的算法表示 全局賦定關系 與局部賦定關系6. 網(wǎng)絡及其元件的分類依據(jù)(1) 集中性與分布性 集中元件(Lumped Element) 在任何時刻,元件任意兩個端子之間的電壓都是確定的量。集中元件可用僅含有有限個對端口變量 和有限個附加的內(nèi)部變量的同一時刻瞬時值的代數(shù)、常微分和積分運算的方程來描述。分布元件(Distributed Element) (2) 時變性與時不變性 如果對于元件的任一容許信號偶和任一實數(shù)T, 也是該元件的容許信號偶,

7、則該元件是時不變的,否則稱為時變的。時變元件的賦定關系中顯含有時間變量t uR(t) i 時不變元件的賦定關系中不顯含時間變量t u10i 電氣參數(shù)為常量的線性元件是時不變的。 (3) 線性與非線性 對于元件的任意兩組容許信號偶 線性特性包含了齊次性和疊加性兩種性質(zhì)及任意兩個實常數(shù)和,如果 也是該元件的容許信號偶,則稱該元件是線性的,否則是非線性的。1-2 基本二端代數(shù)元件代數(shù)關系定義 控元件 () 控元件 () 單調(diào)元件 元件既是控的,又是控的 多值元件 元件既不是控的,也不是控的 一、電阻元件(Resistor) 定義： 賦定關系為u和i之間的代數(shù)關系的元件 分類：1、流控(Current

8、 controlled)電阻 2、壓控(Voltage controlled)電阻 3、單調(diào)電阻 4、多值電阻 線性 非線性1、流控電阻伏安關系 r()為單值函數(shù) 凸電阻VAR： 2、壓控電阻 伏安關系 g()為單值函數(shù)凹電阻蔡氏二極管（Chuas Diode）特性曲線3、單調(diào)電阻伏安關系 和 r()和g()都是單值函數(shù)對于任意兩組不同容許信號偶 和 ，恒有 （1） （2） 單增電阻單減電阻嚴格單增電阻嚴格單減電阻仿射電阻與線性電阻 仿射電阻 或者 線性電阻 或 （R和G可正可負） 流控電阻和壓控電阻是一般非線性電阻的一個重要子類,單調(diào)電阻是壓控電阻和流控電阻的一個子類,仿射電阻是單調(diào)電阻的一

9、個特例,而線性電阻又是仿射電阻的一個特例 。4、多值電阻既不能用 表示,也不能用 表示的電阻理想二極管 VAR: 或 符號電阻 伏安關系 5、零口器和非口器零口器(Nullator) 零口器在任何時刻t, 元件上的電壓u(t)和電流i(t)都為零。 VAR: 或者作用：相當于同時開路和短路，伏安特性在ui平面上對應于原點,即只有平面上的原點是零口器的容許信號偶。注意：零口器提供2個方程。 任何時刻t, 元件上的電壓u和電流i都是任意值 u任意值, i任意值 或者 (ux)(iy)0 (x,y) 作用：可視為一個具有任意值的電阻元件,它的伏安特性曲線布滿整個ui平面,即平面上任一點都是非口器的容

10、許信號偶。注意：非口器不提供方程。 非口器(Norator)二、電容元件(Capacitor) 定義：賦定關系為u和q之間的代數(shù)關系的元件 分類：1、線性電容 qCu 時變 時不變 2、非線性電容 （1）壓控電容 二、電容元件(續(xù)) （2）荷控電容 （3）單調(diào)電容 或 大多數(shù)實際電容器屬于此類。如變?nèi)荻O管： （4）多值電容 以鐵電物質(zhì)為介質(zhì)的電容器呈現(xiàn)滯回現(xiàn)象 三、電感元件 (Inductor) 定義：賦定關系為i和之間的代數(shù)關系的元件 分類：1、線性電感 時變 非時變2、非線性電感 （1）流控電感 三、電感元件 (續(xù)) （2）鏈控電感 約夫遜結(Josephson Junction) （3

11、）單調(diào)電感 絕大多數(shù)線圈的電感模型屬于此類，且具有飽和特性。 （4）多值電感 鐵芯線圈的電感模型屬于此類，具有磁滯回線 四、憶阻元件(Memristor) 定義：賦定關系為和q之間的代數(shù)關系的元件 分類： （1）荷控憶阻 （2）鏈控憶阻 （3）單調(diào)憶阻 （4）多值憶阻 建議符號 四、憶阻元件(續(xù)) 在線性情況下與線性電阻等價。 線性電路無需憶阻元件對于非線性憶阻系數(shù) 記憶電阻(Memory Resistor)五、獨立電源(Independent Sources) 1. 電壓源(Voltage Source) 非線性電阻 非線性電容2. 電流源(Current Source) 非線性電阻 非線性

12、電感六、基本二端代數(shù)元件小結 無記憶(或即時)元件 電阻元件不具有記憶特性記憶元件 電容元件、電感元件和憶阻元件都具有記憶特性1-3 高階二端代數(shù)元件基本二端代數(shù)元件的賦定關系 ： 電阻元件 電容元件 電感元件 憶阻元件 定義元件用到的變量： 電壓 電流 電壓的積分 電流的積分推廣： 電壓 電流 電壓的微積分 電流的微積分引入高階元件(Higher order Element)的原因 （1）存在許多非線性元件的現(xiàn)象不能用傳統(tǒng)的電路元件模擬；（2）僅由傳統(tǒng)的電路元件構成的非線性電路會出現(xiàn)死點（Impasse Point），這種模型是非物理的，不適合用計算機仿真分析；（3）任何一種非線性高階元件不

13、能僅用傳統(tǒng)的和或其他高階元件綜合，因此，彼此都是獨立體；（4） 僅用傳統(tǒng)的電路元件無法建立邏輯上一致的非線性電路綜合的基礎。 高階元件(Higher order Element) 賦定關系為 的二端元件 (,)元件高階二端代數(shù)元件 和至少有一個為正時稱為高階二端代數(shù)元件 和稱為端口指數(shù), 均為整數(shù) 元件的階數(shù)為 一般線性高階元件對于(,)階線性元件,其賦定關系為 或當0時, 與(0,)階元件 等效 E型元件 一般線性高階元件（續(xù)）當0時, 與(,0)階元件 等效 D型元件 ()為偶數(shù)時, 線性高階元件為頻變電阻 ()為奇數(shù)時, 線性高階元件為頻變電抗 頻變負阻元件(FDNR) 分類 FDNR元

14、件(Frequency Dependent Negative Resistance） FDNG元件(Frequency Dependent Negative Conductance） （1）FDNG元件 賦定關系為 或正弦穩(wěn)態(tài)之下,該元件的導納為 （2）FDNR元件賦定關系 或在正弦穩(wěn)態(tài)之下,該元件的阻抗為 1-4 代數(shù)多口元件分類： 基本代數(shù)多口元件 高階和混合代數(shù)多口元件 一、基本代數(shù)多口元件 n口元件的賦定關系由和之間的代數(shù)關系表征,滿足 F(,)0且向量偶 (,) (u,i),(u,q),(i,),(q,) u、i、q、分別表示n維端口電壓、電流、電荷、磁鏈的列向量 。1、線性多口電阻

15、元件線性雙口電阻元件,其傳輸參數(shù)方程 矩陣形式 廣義阻抗變換器(Generalized Impedance Converter, GIC) 條件：BC0功能：伏安關系分類：正阻抗變換器(AD0) AD1為理想變壓器 ，令變比nA 2) AD1為非理想變壓器 電流變換器或電流變標器(Current Scalor) 。 電壓變換器或電壓變標器(Voltage Scalor)。 功率變換器或功率變標器(Power Scalor) 。一般變標器的方程比例型受控源(AD0) A0,D0 A0,D0 AD0VCVS CCCS理想運放負阻抗變換器(AD0 ）A0,D0 KV、KI 均大于零。 稱為電流反向型

16、負阻抗變換器。 A0,D0 KV、KI 均大于零。 稱為電壓反向型負阻抗變換器。廣義阻抗逆轉(zhuǎn)器(GII) 條件：A=D=0功能：把阻抗 逆轉(zhuǎn)為伏安關系分類：正阻抗逆轉(zhuǎn)器 (BC0) BC1為理想回轉(zhuǎn)器。令回轉(zhuǎn)電導 回轉(zhuǎn)器可將電容轉(zhuǎn)換為電感 BC1為非理想回轉(zhuǎn)器 對偶型受控源(BC=0) B0,C0為電壓控制電流源(VCCS) B0,C0為電流控制電壓源(CCVS) B0,C0為理想運放 負阻抗逆轉(zhuǎn)器(BC0) B0,C0 電壓反向型負阻抗逆轉(zhuǎn)器(VNII) 均大于零 B0,C0 電流反向型負阻抗逆轉(zhuǎn)器(CNII) 旋轉(zhuǎn)器和反照器 旋轉(zhuǎn)器VARq=0: 1:1理想變壓器 反照器VARq45: 回

17、轉(zhuǎn)器 q90: 電壓反向型負阻抗變換器 q180: 電流反向型負阻抗變換器多口線性電阻元件多口受控源 (Multi-Port Controlled Source) 多口受控電壓源 多口受控電流源多口變壓器多口環(huán)流器電流傳輸器 多口受控源n口受控電壓源 n口受控電流源 (pq)口變壓器(pq)口變壓器賦定關系 其中n口環(huán)流器 n口環(huán)流器賦定關系 電流傳輸器(CC) CCI的賦定關系為 CCII的賦定關系為 2、非線性電阻多口元件 隱式賦定關系 u和i分別為端口電壓、電流n維列向量。其中，F(xiàn)(,)是由非線性代數(shù)函數(shù)組成的n維列向量。 流控型表示 壓控型表示混合表示混合表示傳輸表示傳輸表示運算放大器

18、(Operational Amplifier) 轉(zhuǎn)移特性 ：開環(huán)電壓增益(Open loop Voltage Gain), 其中Esat稱為飽和電壓 特性方程 工作區(qū)：負飽和區(qū)、正飽和區(qū)、線性區(qū) 理想運放 ： A， 賦定關系運算放大器(續(xù)) 虛短接模型 （Virtual Short Circuit Model） （工作在線性區(qū)） ：負飽和模型（工作在負飽和區(qū)） ：正飽和模型 （工作在正飽和區(qū)） ： 運算放大器的模型 跨導運算放大器 (Operational Transconductance Amplifier， OTA) 輸出電流 非線性函數(shù) f()為具有飽和特性的單增奇函數(shù) 理想跨導運放理想

19、跨導運放 （工作在線性區(qū)） Gm稱為跨導增益 雙極型晶體管 NPN型 直流埃伯爾斯-莫爾模型(Ebers-Moll Model, EM模型) Ies、Ics、ar、af 均為元件常數(shù), Uf為溫度的電壓 當 量。 ar、af ( 0，1) MOS場效應管 (MOSFET) N溝道增強型MOSFET 在直流情況下的壓控表示 MOSFET分為N溝道和P溝道兩種器件 每種器件又分為增強型和耗盡型兩種類型 漏極特性尖斷區(qū)反向區(qū)截止區(qū)線性區(qū)K為器件參數(shù) 二、高階代數(shù)多口元件 賦定關系 且端口指數(shù)之差大于1；端口指數(shù)相同混合代數(shù)元件(Mixed order Algebraic Element)賦定關系 各

20、端口的端口指數(shù)不同線性高階代數(shù)多口元件在線性的情況下相應的相量方程對應的s域方程代表起始條件的貢獻時域方程變類器(mutator) 分類 L-R、C-R、L-C、M-R、M-L、M-C 每一類都有型和II型兩種 。II型L-R變類器的賦定關系I型L-R變類器的賦定關系i2和q2前加負號,而其它量前為正號。變類器的受控源表示僅用線性基本代數(shù)元件來實現(xiàn)變類器 高階變類器 1-5 動態(tài)元件和分布參數(shù)元件 定義：凡是賦定關系不能寫成代數(shù)元件的賦定關系形式的集 中參數(shù)元件統(tǒng)稱為動態(tài)元件(Dynamic Element) 。 區(qū)分代數(shù)元件和動態(tài)元件的依據(jù)： 動態(tài)元件：uk和ik同時以幾個不同的階次出現(xiàn) 注

21、意：賦定關系可有多種表達式，但只要有一種賦定關系屬于代數(shù)元件 的賦定關系，該元件就應歸于代數(shù)元件例 二端元件二端電容代數(shù)元件分類： 基本動態(tài)元件 高階動態(tài)元件 混合動態(tài)元件 一、動態(tài)元件基本動態(tài)元件 狀態(tài)方程 (,)(u,i),(u,q),(i,),(q,)為端口變量 x 為內(nèi)部變量 分類： R型、C型、L型和M型 端口方程的元件稱為基本動態(tài)元件 ；定義：凡是賦定關系為 高階和混合動態(tài)元件 凡不能用 為端口變量 X 為狀態(tài)變量或稱內(nèi)部變量 高階和混合動態(tài)元件的賦定關系一般表示式狀態(tài)方程端口方程描述的動態(tài)元件統(tǒng)稱為高階和混合動態(tài)元件二、分布參數(shù)元件定義：凡是不屬于集中參數(shù)元件的元件統(tǒng)稱為分布參數(shù)

22、 元件（Distributed Elements） 。 描述分布參數(shù)元件的方程中含有偏微分、時延等集中參數(shù)元件方程中不允許的運算。典型的分布參數(shù)元件： 傳輸線（Transmission Lines） 描述傳輸線的方程：電報方程（Telegraphers Equations） 傳輸線的分類單導體傳輸線方程 分別為傳輸線單位長度電阻、電感、電導 和電容。 （1）按傳輸線導體數(shù)目劃分 傳輸線的分類（續(xù)）多導體傳輸線方程 n+1條傳輸線，第n+1條為參考線（Reference Line） 分別為傳輸線單位長度的n階電阻、電感、 電導和電容矩陣。 傳輸線的分類（續(xù)）非均勻單導體傳輸線方程分別為傳輸線單位

23、長度電阻、電感、電導 和電容。 （2）按傳輸線單位長度參數(shù)劃分1傳輸線的分類（續(xù)）非均勻多導體傳輸線方程分別為傳輸線單位長度的n階電阻、電感、 電導和電容矩陣。 傳輸線的分類（續(xù)）頻變單導體傳輸線方程（2）按傳輸線單位長度參數(shù)劃分2傳輸線的分類（續(xù)）頻變多導體傳輸線方程傳輸線也有線性與非線性之分。廣義傳輸線 存在問題： 傳統(tǒng)的均勻傳輸線方程是在無限長假定的基礎上獲得的，并未進行任何數(shù)學推導就推廣到了無限長非均勻傳輸線單位長度（分布）串聯(lián)阻抗 單位長度（分布）并聯(lián)導納 對于實際的有限長非均勻傳輸線，上述描述需要進一步改進。一個簡單的原因是，當傳輸線具有不連續(xù)點（discontinuity）時，即

24、具有不同的 和 時，不連續(xù)點不僅產(chǎn)生局部反射，而且還產(chǎn)生局部輻射。當工作頻率較高時，局部輻射變得較強，上述方程無法描述這一點。為了克服這一缺點，引入了廣義傳輸線（Generalized Transmission Lines）方程。 廣義傳輸線（續(xù)）廣義傳輸線方程 和 分別為單位長度串聯(lián)電壓源和并聯(lián)電流源的系數(shù) ；方程中出現(xiàn)的新的兩項代表了非均勻線的局部輻射效應 。 1-6、非線性元件的小信號模型設基本代數(shù)n口元件的賦定關系為雅可比矩陣 稱為基本代數(shù)n口元件的增量參數(shù)矩陣或增量賦定矩陣工作于直流工作點Q時 和 為直流工作點的值加入小信號后 n1，二端元件 如果元件的賦定關系為隱式,即 F(,)0

25、 則元件在工作點Q處的線性化方程為 式中如果 非奇異,則對于高階和混合代數(shù)元件或者動態(tài)元件的小信號模型 動態(tài)元件的賦定關系(1)(2)在平衡點對方程(1)取線性化可得線性化方程為(3)對式(3)取拉氏變換,得為平衡點Q的線性化動態(tài)元件的增量矩陣 在緩變小信號工作狀態(tài)下,s0,則由由式（3）得 在緩變小信號作用下的增量為動態(tài)元件的“直流”小信號模型。 1-7 器件造型定義 對實際電路和系統(tǒng)構造模型本質(zhì)上是對實際電路和系統(tǒng)中的器件構造模型,稱為器件造型(Device Modeling)或器件建模。器件建模的方法（1）直接法 直接研究事物本身或直接置身于事物之中去研 究事物的性質(zhì)及運動和發(fā)展規(guī)律 （

26、2）間接法 通過間接的手段而不是直接對事物本身去研究 一、器件建模的基本要求 基本要求：(1)合理性(Well Posedness) (2)模擬性(Simulation Capability) (3)定性相似性(Qualitative Similarity) (4)預測性(Predictive Ability) (5)結構穩(wěn)定性(Structural Stability) :模型參數(shù)僅僅取決于器件本身,而與外部電路無關。 二、器件建模的具體方法 物理法 步驟: (1)器件的物理分析和分解 (2)物理方程的建立 (3)方程的簡化和求解 (4)非線性網(wǎng)絡綜合 2. 黑箱法 步驟： (1)實驗觀察

27、(2)構造數(shù)學模型 (3)模型驗證 (4)非線性網(wǎng)絡綜合 基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡的黑箱法 步驟： (1)實驗觀察 ，形成樣本 (2)構造人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型 (3)模型驗證 結論： 1. 每一個壓控(N型)負阻器件其模型為由一個電容與N型負阻并聯(lián),在較高頻率時,還可能需要其它貯能元件。 2. 每一個流控(S型)負阻器件其模型為電感與S型負阻的串聯(lián),在較高頻率時,還可能需要其它貯能元件 。三、電路模型的體系和類型 根據(jù)信號幅度的大小不同分 全局模型 局部模型 線性增量模型 根據(jù)頻率范圍不同分 交流模型 直流模型 低頻模型中頻模型高頻模型。四、非線性特性的近似表示法 多項式表示法 分段線性化表示法 非線性表

28、示的元件例題 對于多變量分段線性函數(shù) ,其全局規(guī)范分段線性化表示為 1-8 圖論的基本知識圖(Graph) 圖是拓撲（Topological）圖的簡稱 節(jié)點和支路的一個集合: 未賦以方向的圖稱為無向圖。 只有部分支路賦以方向的圖稱為混合圖。 所有支路都賦以方向的圖稱為有向圖:圖并不反映支路之間的耦合關系。 二端元件的圖三端元件的圖雙口元件的圖元件的圖連通圖連通圖 如果圖G中的任何兩個節(jié)點之間都至少存在一條路徑，則G稱為連通圖(Connected Graph)，否則稱為非連通圖。鉸鏈圖 由電路中的多口元件造成的非連通圖，可以把不連通的各部分中的任一節(jié)點(一部分只能取一個節(jié)點)之間假設有一條短路線

29、相連。把這些假設短路線連接的節(jié)點合并成一個節(jié)點，這樣所得的圖稱為鉸鏈圖(Hinged Graph)。 鉸鏈圖示例可斷圖 若將連通圖G中的一個節(jié)點移去后(把一個節(jié)點移去意味著把它以及與它相連的支路全部移去)所得子圖不再連通，則稱該節(jié)點為可斷節(jié)點。 含有可斷節(jié)點的圖稱為可斷圖(Separable Graph)。 鉸鏈圖原圖子圖 如果圖G1中的每個節(jié)點和每條支路都是G圖中的一部分，則稱G1為G 的子圖(Subgraph)。 回路線樹星樹回路、樹和割集回路(Loop) (1) 是連通的 (2) Gl的每個節(jié)點都連接著兩條支路。樹(Tree) (1) Gt是連通的； (2) Gt包含的所有節(jié)點； (3)

30、 Gt不包含回路。 補樹余樹或補樹 圖G中對應樹T的余子圖稱為余樹或補樹(Cotree).樹支和連支 構成樹的支路稱為樹支(Tree Branch or Twig) 其余的支路稱為連支(Chord or Link)。 補樹圖補樹圖 若連通圖G存在樹的補樹T也是G的一個樹，則稱為補樹圖(Complementary tree Graph),或具有補樹結構(Complementary tree Structure)。2-樹 移去樹中的任一支路后所得子圖稱為圖G的2-樹(2-tree)。生成子圖(Spanning Subgrapn) 包含圖G所有節(jié)點的子圖。: 樹和2-樹均為生成子圖。 補樹圖割集割集

31、(Cutset)：一組支路 (1)移去這組支路后，圖變?yōu)閮蓚€分別連通的子圖 (2)任意留下這組支路中的一條支路，圖仍然是連通的。 : 割集是把一個連通圖分成兩個連通的子圖所需的最少支路。 基本回路與基本割集 基本回路(Fundamental Loop) 只含有一條連支的回路（單連支回路） :基本回路數(shù)連支數(shù) 基本割集(Fundamental Cutset) 只含有一條樹支的割集（單樹支割集）:基本割集數(shù)樹支數(shù) 1-9 圖的矩陣表示及其性質(zhì)有向圖拓撲性質(zhì)的描述 ：（1）關聯(lián)矩陣(Incidence Matrix)（2）回路矩陣(Loop Matrix)（3）割集矩陣(Cutset Matrix)

32、一、關聯(lián)矩陣任一元素aij定義為 Aa的秩定理: 對于任意n個節(jié)點、b條支路的有向連通圖， 它的關聯(lián)矩陣Aa中有(n1)個線性無關的行， 即Aa的秩為(n1)。 (增廣）關聯(lián)矩陣Aa 關聯(lián)矩陣（續(xù)）(降階)關聯(lián)矩陣A 若把Aa中的任一行劃去(相當于相應的節(jié)點選作參考點)，剩下的(n1)b矩陣足以表征有向圖中支路與節(jié)點的關聯(lián)關系，并且(n1)行是線性無關的。這種(n1)b階矩陣稱為降階(Reduced)關聯(lián)矩陣，簡稱關聯(lián)矩陣 。: 關聯(lián)矩陣A的任何階方子矩陣A0，det A0為0、1或1 幺模矩陣(Unimodular Matrix) 一個矩陣如果它的每個方子矩陣的行列式值均為1、1或0，則稱該

33、矩陣為單模矩陣或幺模矩陣 .有關 的定理 對于n個節(jié)點的連通圖G，G的關聯(lián)矩陣A的一個(n1)階子方陣非奇異的充分必要條件是此子方陣的列對應圖G的一個樹的樹支 。: 一個樹的關聯(lián)矩陣 是非奇異的，且大子矩陣(Major Submatrix) 一個秩為n的nm矩陣的大子矩陣定義為該矩陣階數(shù)為n的非奇異子矩陣。 : At為大子矩陣。 樹的數(shù)目的計算方法 比內(nèi)柯西(Binet-Cauchy)定理 設矩陣B為mn階矩陣，C是nm階矩陣，且mn，則 det(BC) 的對應大子式的乘積結論： 設圖G是連通的，其關聯(lián)矩陣為A，則全部樹的數(shù)目為 。即二、基本回路矩陣Bf 任一元素bij定義 基本回路的方向與其

34、關聯(lián)的連支的方向相同。: 回路矩陣的性質(zhì) 連通圖G的回路矩陣的一個ll子矩陣是大子矩陣的充分必要條件是: 此子矩陣的列與圖G的一個補樹對應。 三、基本割集矩陣 Qf任一元素qij定義為 基本割集的方向與其關聯(lián)的樹支的方向相同。:割集矩陣的性質(zhì): 連通圖G的割集矩陣的一個大子矩陣與G的樹具有一一對應關系。四、樹的路徑矩陣 定義： 樹T的路徑與各樹支的關聯(lián)關系矩陣P，稱為樹的路徑矩陣（Path Matrix）。 任意元素pij定義為 :矩陣P的特點：每行的非零元素具有相同的符號 。路徑矩陣示例與性質(zhì) 示例五、矩陣A、Bf 和 Qf 之間的關系 對于任一連通圖，在支路排列順序相同的情況下，矩陣A、B

35、f和 Qf 滿足正交關系(Orthogonality Relations): 對于選定的樹，按先連支、后樹支的順序?qū)χ肪幪杽t或者或者矩陣A、Bf 和 Qf 之間的關系（續(xù)）即同理 1-10 網(wǎng)絡的互聯(lián)規(guī)律性一、基爾霍夫定律 基爾霍夫電流定律(KCL)：電荷守恒 基爾霍夫電壓定律(KVL) ：能量守恒 表示矩陣KCL = 0 = 0KVL = 0定律基爾霍夫定律的矩陣形式 二、特勒根定理 功率守恒定律 對于一個具有n個節(jié)點、b條支路的網(wǎng)絡，令ub和 ib 分別表示支路電壓列向量和支路電流列向量，且各支路的電壓和電流采用關聯(lián)參考方向，則 或者功率守恒定律的證明同理或者擴展：KVL：利用KCL：利

36、用KCL：2. 擬功率守恒定理 設網(wǎng)絡N和 具有相同的拓撲結構(即 ),支路電壓列向量和支路電流列向量分別為ub 、 ib和 、 , 則有 或者3. 微分特勒根定理 設網(wǎng)絡N和 具有相同的拓撲結構，在t時刻， 的支路電壓和電流分別為 和 ， N的支路電壓和電流的變化量分別為 和 ，則 或者一條支路功率守恒定律的證明同理KVL：利用KCL：(1) - (2)得（1）（2）或者三、基爾霍夫定律和特勒根定理的廣義形式 線性變換 變換 稱為線性的，是指對于任意實數(shù)和:常用線性變換 反變換(1) 傅立葉變換 正變換 常用線性變換（續(xù)） (2) 相量變換 (3) 拉普拉斯變換 或反變換正變換 正變換 反變

37、換(4) 其它線性變換 一維變換：取增量、取共軛、小波變換 多維變換：派克變換、 相模（解耦）變換、相序變換等 基爾霍夫定律和特勒根定理的廣義形式變換域的KCL方程和KVL方程記為 由基本回路矩陣和基本割集矩陣表示的基爾霍夫定律的廣義形式 特勒根定理的廣義形式 多口網(wǎng)絡的特勒根定理 設n口網(wǎng)絡的端口電流列向量ip為，端口電壓列向量為up，內(nèi)部b條支路的電壓、電流列向量分別為ub和ib，則由特勒根定理得 變換域n口網(wǎng)絡的特勒根定理為即標量方程形式為 或者四、著色邊定理（Colored Branch Theorem） 給定一有向圖G, 任取一條支路著成深綠色，其它支路任意著上紅色、藍色或綠色(至少

38、有1條支路著綠色）。由此得到的圖稱為有向著色圖(Directed Colored Graph)。則下述兩條中有且僅有一條成立: (1)存在一個由深綠色支路及綠色支路和或紅色支路形 成的回路,該回路中所有綠色支路的方向皆相同,即它們的方向都與回路的方向一致或相反。(2)存在一個由深綠色支路及綠色支路和或藍色支路形成的割集,該割集中所有綠色支路的方向皆相同,即它們的方向都與割集方向一致或相反。 著色邊定理示例形成定理中的割集不存在定理中的回路！不存在定理中的割集！著色邊定理的備注有向圖中支路的著色是任意的, 但只能有一條支路著成深綠色。(2) 有向圖中至少有一條支路著綠色。但是, 紅色支路集和藍色

39、支路集可以是空集（有向著色圖中不存在紅色支路和或藍色支路）。 (3) 定理中所提到的那種回路和割集并不是唯一的。 推論：回路割集不相容原理:同方向回路(Similarity Directed Loop) 該回路中的所有支路的方向皆相同,即它們的方向都與回路的方向一致或相反。:同方向割集(Similarity Directed Cutset) 該割集中的所有支路的方向皆相同,即它們的方向都與割集的方向一致或相反。 回路割集不相容原理（Loop-Cutset Exclusion Property）： 設 為有向圖中的任一支路,則存在下述兩種互不相容的可能:屬于一同方向回路;(2) 屬于一同方向割集

40、。二者必有一個存在,但不能同時存在。回路割集不相容原理示例屬于同方向回路 屬于同方向割集 1-11 網(wǎng)絡及元件的基本性質(zhì)電路(Circuit)、網(wǎng)絡(Network) 電路是為了某種目的將元件有機地相互連結而成的整體。著眼于支路電壓、電流。 電路也稱為（電）網(wǎng)絡。著眼于端口電壓、電流系統(tǒng)(System) 按照特定規(guī)律結合起來的，具有確定功能的，各部分相互聯(lián)系、相互依存、相互作用的整體。 著眼于輸入輸出之間的關系網(wǎng)絡及元件的基本性質(zhì)陳述網(wǎng)絡性質(zhì)的三種方式根據(jù)組成網(wǎng)絡的元件傳統(tǒng)型 根據(jù)網(wǎng)絡方程根據(jù)輸入輸出關系端口型 只討論端口型一、無源性和有源性 定義： 如果一個線性時不變元件對于任意容許信號偶

41、及任意的時間t，恒有為t0時刻元件儲存的能量 。則稱該元件是無源的，否則稱為有源的。式中時不變電阻元件的無源判據(jù)對于線性時不變電阻元件, 當且僅當對于任意的容許信號偶 和任意時刻t, 恒有該電阻元件才是無源的。證明：1 充分性 由于電阻元件不儲存能量，故2 必要性 電阻元件是無源的若取直流信號，則必為一組容許信號偶。有源，相矛盾。假設論斷不真，則至少存在一個時刻成立無源性示例例 1 例 2 例 3 例 4無源元件 當式中的等號只有在u和i同時為零時才成立時, 電阻元件稱為嚴格無源的(Strictly Passive)。 正值電阻、正值電容、正值電感理想變壓器、回轉(zhuǎn)器伏安特性曲線位于第一、三象限

42、的二端電阻有源元件獨立源、負值電阻、負值電容、負值電感受控源、運放、跨導、負阻抗變換器伏安特性曲線部分位于第二或四象限的二端電阻可用能量(Available Energy) 對于時不變元件在工作點Q的所有容許信號偶 和所有 ，可用能量定義為 sup表示取上確界 無源性的一般定義 對于時不變非線性元件，若在任何工作點Q的可用能量均是有限的，則該元件是無源的，否則稱為有源的。 非能的(Nonenergic) 一個元件，如果對于任何容許信號偶則稱該元件是非能的，否則稱為能量的。非能元件既不消耗能量，也不存儲能量理想變壓器、回轉(zhuǎn)器、循環(huán)器二、無損性與有損性 定義： 如果一個n口元件對于所有有限的，從t

43、0到平方可積的容許信號偶 ， 亦即在所有初始時刻t0之下有或則稱該元件是無損的，否則就是有損的。三、互易性、反互易性和非互易性 定義：如果線性時不變元件對于任意兩組容許信號偶 和 ，恒有 “*”為卷積符號或者則稱該元件是互易的(Reciprocal) 。如果恒有則稱該元件是反互易的(Antireciprocal)。 （頻域）或者相互互易 如果兩個端口數(shù)目相同的線性元件，對于它們的任意端口容許信號偶 和恒有 則稱這兩個元件是相互互易的。例題: 非線性互易元件的任何組合仍具有工作點處的互易性，或稱局部對稱性(對稱的雅可比矩陣)?；蛘咚?、因果性與非因果性 一個初始條件為零的物理網(wǎng)絡，在相同的輸入(原

44、因)下將產(chǎn)生相同的輸出(效果)，這種特性就稱為因果性。對于一個網(wǎng)絡，在施加激勵前沒有響應，只有在激勵施加后才有響應，這個特性稱為起因性。 五、無增益特性 網(wǎng)絡的每一組解均滿足下列兩條性質(zhì):(1)網(wǎng)絡N中任一對節(jié)點之間的電壓幅值小于或等于所有獨立電源兩端電壓的幅值之和;(2)流入每一元件任一端鈕的電流的幅值小于或等于流過所有獨立電源電流的幅值之和。:充分必要條件:N中的每一個n端電阻元件滿足無增益判據(jù)(No Gain Criterion): 對于每一個直流工作點Q,存在一個由(n1)個線性正值二端電阻組成的n端連通網(wǎng)絡具有相同的工作點。六、網(wǎng)絡解的存在性與唯一性充分條件： 如果電路不含純電壓源回

45、路和純電流源割集，則該電路的解存在并且唯一。 定理： 線性電阻電路解的存在性和唯一性 設線性電阻電路由電路方程 描述，則當且僅當 時，該電路具有唯一解。 歐姆型矩陣 一個n階方陣F，如果在復數(shù)域中對每一個非零n維列向量X有電路無解示例“H”代表共軛轉(zhuǎn)置。則稱其為歐姆型矩陣。隧道二極管電路多解示例定理： 設N是一個既不包含有僅由獨立電壓源和受控電壓源組成的回路，又不包含有僅由獨立電流源和受控電流源組成的割集的網(wǎng)絡。N是把N中所有獨立電源置零后得到的網(wǎng)絡，如果N的支路導納矩陣為歐姆型，則網(wǎng)絡N擁有唯一解。 結論： 設N是一個含有獨立電源的RLCM網(wǎng)絡，當且僅當網(wǎng)絡沒有僅由電壓源組成的回路和沒有僅由電流源組成的割集時，該網(wǎng)絡擁有唯一解。 THE END例題集例 試寫出如圖所示連續(xù)分段線性函數(shù)的規(guī)范形式。 解 圖中所示函數(shù)的轉(zhuǎn)折點為各段的斜率為 則 則分段線性函數(shù)的規(guī)范形式為 返回(back) 例1 已知一雙口電阻元件的伏安關系為 式中R1和R2均為正值。試求該元件為無源元件的條件。 解 該元件吸收的功率為 當 時，R是對稱正定的，p(t)0，該雙口電阻元件是無源的。返回(back)例2 設雙口電感元件的電感矩陣為