1、第四講 矩陣的初等變換與初等矩陣矩陣的初等變換階梯形矩陣初等矩陣矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算，它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鸬椒浅Ｖ匾淖饔谩Ｒ河孟ń庀旅娴木€性方程組一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換 在上述過程中，對線性方程組的消元操作實際上就是對整個線性方程組進(jìn)行了三種操作:(1)對某一方程兩邊同時乘以不為零的常數(shù)；(2)交換方程組中兩個方程的位置；(3)給某一方程乘以常數(shù)k加到另一個方程上去。相當(dāng)于是對該方程組所對應(yīng)的增廣矩陣進(jìn)行了：(1)給某一行所有元素都乘以一個非零常數(shù)；(2)交換兩行元素的位置；(3)給某一行所有元素乘常數(shù)

2、 k 加到另一行的對應(yīng)元素上去。一、矩陣的初等變換 顯然，三種初等變換都是可逆的，且其變換是同一類型的初等變換。變換rirj的逆變換就是本身；變換 rjk 的逆變換為 rjk ；變換 ri+krj 的逆變換為ri k rj。如果 A 經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃?B，稱矩陣 A與 B是等價的，記為A B 。矩陣的等價關(guān)系有如下性質(zhì)： 反身性： A A 對稱性： A B ，則B A 傳遞性： A B， B C，則A C一、矩陣的初等變換矩陣的初等變換的應(yīng)用1 行列式的計算2 求矩陣的逆3 求矩陣的秩4 求線性方程組的解5 求向量組的線性關(guān)系6 一向量組能否由另一向量組線性表出7 求向量組的秩與極大

3、無關(guān)組8 判斷兩向量組是否等價一、矩陣的初等變換下列矩陣中哪幾個是階梯形矩陣?哪幾個不是?二、階梯形矩陣定理1 任何一個矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形矩陣.二、階梯形矩陣練習(xí)：定義3 一個行階梯形矩陣若滿足 (i) 每個非零行的第一個非零元素為 1 ; (ii) 每個非零行的第一個非零元素所在列的其他元素全為零. 二、階梯形矩陣則稱之為簡化階梯形矩陣（行最簡形矩陣）.定理2 任何矩陣都可經(jīng)過有限次初等行變換化為行最簡形矩陣. 二、階梯形矩陣定義4 由單位陣 E 經(jīng)過一次初等變換所得的矩陣稱為初等矩陣。 對應(yīng)于三種初等變換，有三種初等矩陣：三、初等矩陣對n 階單位陣E，有i列j列j 行i 行i列i 行j 行i 行初等矩陣的性質(zhì)：(1) 初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍然是初等矩陣;(2)初等矩陣均是可逆矩陣，其逆矩陣是同類型的初等矩陣。定理3 設(shè)A=(aij)是mn 矩陣，則 (1)對A進(jìn)行一次初等行變換，相當(dāng)于用一個m階的初等矩陣左乘矩陣A； (2) 對