1、第4講隨機(jī)變量及其概率分布2021/8/8 星期日1知 識(shí) 梳 理1離散型隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為 ，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 離散型 2021/8/8 星期日22離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則表稱為離散型隨機(jī)變量X的 (2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)pi0(i1,2，n)； 1Xx1x2xixnPp1p2pipn概率分布列p1p2pn2021/8/8 星期日33常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從

2、兩點(diǎn)分布，其分布列為，其中pP(X1)稱為成功概率X01P1pp2021/8/8 星期日42021/8/8 星期日5辨 析 感 悟1離散型隨機(jī)變量(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量()(2)離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1. ()(3)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的 ()2021/8/8 星期日62分布列的性質(zhì)及兩個(gè)特殊的概率分布(4)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出：則它服從二點(diǎn)分布()(5)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布()X25P0.30.72021/8/8 星期日7感悟提升1離散型隨機(jī)變

3、量的特點(diǎn)一是在試驗(yàn)之前不能斷言隨機(jī)變量取什么值，即具有隨機(jī)性；二是在大量重復(fù)試驗(yàn)中能按一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律取值的變量，即存在統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，如(1)、(3)2分布列的兩條性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取各值的概率，如(6)；要理解兩種特殊的概率分布兩點(diǎn)分布與超幾何分布，如(4)、(5)；并善于靈活運(yùn)用兩性質(zhì)：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1檢驗(yàn)分布列的正誤，如(2).2021/8/8 星期日8考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)【例1】 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為求隨機(jī)變量Y|X1|的分布列解由分布列的性質(zhì)，知020.10.10.3m1，m0.3.列表X01234P0.

4、20.10.10.3mX01234|X1|101232021/8/8 星期日9P(Y1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(Y0)P(X1)0.1，P(Y2)0.3，P(Y3)0.3.因此Y|X1|的分布列為：Y0123P0.10.30.30.32021/8/8 星期日10規(guī)律方法 (1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)(2)若X是隨機(jī)變量，則Y|X1|仍然是隨機(jī)變量，求它的分布列可先求出相應(yīng)隨機(jī)變量的值，再根據(jù)互斥事件概率加法求Y取各值的概率，進(jìn)而寫(xiě)出分布列2021/8/8 星期日11【訓(xùn)練1】 隨機(jī)變量X的分布列如下：其中a，b，c

5、成等差數(shù)列，則P(|X|1)_.X101Pabc2021/8/8 星期日12考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列【例2】 (2013天津卷)一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1,2,3,4；白色卡片3張，編號(hào)分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望審題路線(1)編號(hào)為3的卡片來(lái)源有兩類，利用古典概型求事件的概率(2)根據(jù)任取4張卡片的不同情況確定X的所有可能取值，然后求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而確定分布列、計(jì)算數(shù)學(xué)期望20

6、21/8/8 星期日132021/8/8 星期日14所以隨機(jī)變量X的分布列是規(guī)律方法 (1)求隨機(jī)變量的分布列的主要步驟：明確隨機(jī)變量的取值，并確定隨機(jī)變量服從何種概率分布；求每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率；列成表格(2)求出分布列后注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列是否正確2021/8/8 星期日15【訓(xùn)練2】 (2014青島質(zhì)檢)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分現(xiàn)從該箱中任取(無(wú)放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和(1)求X的分布列；(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)2021/8/8 星期日162021/8/8 星

7、期日17考點(diǎn)三超幾何分布問(wèn)題【例3】 (2014哈爾濱調(diào)研)PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)從某自然保護(hù)區(qū)2013年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：2021/8/8 星期日18(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)

8、據(jù)記X表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求X的分布列審題路線(1)由頻數(shù)分布表，知10天中僅有3天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)，利用古典概型可求第(1)問(wèn)中的概率(2)超標(biāo)的天數(shù)X服從超幾何分布利用超幾何分布的概率公式代入求解PM2.5日均值(微克/立方米)25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85頻數(shù)3111132021/8/8 星期日192021/8/8 星期日202021/8/8 星期日21規(guī)律方法 (1)求解本題的關(guān)鍵在于：從統(tǒng)計(jì)圖表中準(zhǔn)確提取信息；明確隨機(jī)變量X服從超幾何分布(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)超幾何分布的特征是：

9、考察對(duì)象分兩類；已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.2021/8/8 星期日222021/8/8 星期日232021/8/8 星期日241求分布列的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的所有可能值及對(duì)應(yīng)的概率，要注意避免分類不全面或計(jì)算錯(cuò)誤2注意運(yùn)用分布列的兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)求得分布列的正誤3求概率分布的常見(jiàn)類型(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)表求離散型隨機(jī)變量的分布列；(2)由古典概型求離散型隨機(jī)變量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列2021/8/8 星期日25思想方法12分類討論思想在概率中的應(yīng)用【典例】 在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x，y，記X|x2|yx|.(1)求隨機(jī)變量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；(2)求隨機(jī)變量X的分布列2021/8/8 星期日262021/8/8 星期日272021/8/8 星期日28反思感悟 (1)解決本題的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的所有可能值及對(duì)應(yīng)的概率(2)隨機(jī)變量X的值是x，y的函數(shù)，所以要對(duì)x，y的取值進(jìn)行分類討論(3