1、第 PAGE17 頁 共 NUMPAGES17 頁高中正弦和余弦定理數(shù)學(xué)教案高中正弦和余弦定理數(shù)學(xué)教案1教學(xué)目的進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容，能純熟運(yùn)用余弦定理、正弦定理解答有關(guān)問題，如判斷三角形的形狀，證明三角形中的三角恒等式.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：純熟運(yùn)用定理.教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)展邊角關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化.教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1.寫出正弦定理、余弦定理及推論等公式.2.討論各公式所求解的三角形類型.二、講授新課：1.教學(xué)三角形的解的討論：出例如1：在ABC中，以下條件，解三角形.分兩組練習(xí)討論：解的個(gè)數(shù)情況為何會(huì)發(fā)生變化?用如以下圖示分析p 解的情況.(A為銳角時(shí))練習(xí)：在ABC中，以下

2、條件，判斷三角形的解的情況.2.教學(xué)正弦定理與余弦定理的活用：出例如2：在ABC中，sinAsinBsinC=654，求角的余弦.分析p ：條件可以如何轉(zhuǎn)化?引入?yún)?shù)k，設(shè)三邊后利用余弦定理求角.出例如3：在ABC中，a=7，b=10，c=6，判斷三角形的類型.分析p ：由三角形的什么知識(shí)可以判別?求角余弦，由符號(hào)進(jìn)展判斷出例如4：ABC中，試判斷ABC的形狀.分析p ：如何將邊角關(guān)系中的邊化為角?再考慮：又如何將角化為邊?3.小結(jié)：三角形解的情況的討論;判斷三角形類型;邊角關(guān)系如何互化.三、穩(wěn)固練習(xí)：3.作業(yè)：教材P11B組1、2題.高中正弦和余弦定理數(shù)學(xué)教案2一)教材分析p (1)地位和重

3、要性：正、余弦定理是學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量之后要掌握的兩個(gè)重要定理，運(yùn)用這兩個(gè)定理可以初步解決幾何及工業(yè)測(cè)量等實(shí)際問題，是解決有關(guān)三角形問題的有力工具。(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)。重點(diǎn)：正余弦定理的證明和應(yīng)用難點(diǎn)：利用向量知識(shí)證明定理(二)教學(xué)目的(1)知識(shí)目的：要學(xué)生掌握正余弦定理的推導(dǎo)過程和內(nèi)容;可以運(yùn)用正余弦定理解三角形;理解向量知識(shí)的應(yīng)用。(2)才能目的：進(jìn)步學(xué)生分析p 問題、解決問題的才能。(3)情感目的：使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)來于理論而又作用于理論，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。(三)教學(xué)過程老師的主要作用是調(diào)控課堂，適時(shí)引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，自主探究。使學(xué)生的綜合才能得到進(jìn)步。教學(xué)過程分如下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

4、教學(xué)過程課堂引入1、定理推導(dǎo)2、證明定理3、總結(jié)定理4、歸納小結(jié)5、反應(yīng)練習(xí)6、課堂總結(jié)、布置作業(yè)詳細(xì)教學(xué)過程如下：(1)課堂引入：正余弦定理廣泛應(yīng)用于消費(fèi)生活的各個(gè)領(lǐng)域，如航海，測(cè)量天體運(yùn)行，那正余弦定理解決實(shí)際問題的一般步驟是什么呢?(2)定理的推導(dǎo)。首先提出問題：RtABC中可建立哪些邊角關(guān)系?目的：首先從學(xué)生熟悉的直角三角形中引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)定理內(nèi)容，猜測(cè)，再完成一般性的證明，詳細(xì)環(huán)節(jié)如下：引導(dǎo)學(xué)生從SinA、SinB的表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)聯(lián)絡(luò)。繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察特點(diǎn)，有A邊A角，B邊B角;接著引導(dǎo)：能用C邊C角表示嗎?而后鼓勵(lì)猜測(cè)：在直角三角形中成立了，對(duì)任意三角形成立嗎?發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更

5、重要，我便是讓學(xué)生體驗(yàn)了發(fā)現(xiàn)的過程，從學(xué)生熟悉的知識(shí)內(nèi)容入手，觀察發(fā)現(xiàn)，然后產(chǎn)生猜測(cè)，進(jìn)而完成一般性證明。這個(gè)過程采用了不斷創(chuàng)設(shè)問題，啟發(fā)誘導(dǎo)的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和探究。第二步證明定理：用向量方法證明定理：學(xué)生不易想到，設(shè)計(jì)如下：?jiǎn)栴}：如何出現(xiàn)三角函數(shù)做數(shù)量積欲轉(zhuǎn)化到正弦利用誘導(dǎo)公式做直角難點(diǎn)打破理論：師生共同完成銳角三角形中定理證明獨(dú)立：學(xué)生獨(dú)立完成在鈍角三角形中的證明總結(jié)定理：師生共同對(duì)定理進(jìn)展總結(jié)，再認(rèn)識(shí)。在定理的推導(dǎo)過程中，我注重“重過程、重體驗(yàn)”培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和理論才能，教育學(xué)生獨(dú)立嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的求學(xué)態(tài)度，使情感目的、才能目的得以實(shí)現(xiàn)。在定理總結(jié)之后，老師布置考慮題：定理還

6、有沒有其他證法?通過這樣的考慮題，發(fā)散了學(xué)生思維，使學(xué)生的思維不僅僅禁錮在老師的啟發(fā)誘導(dǎo)之下，符合素質(zhì)教育的要求。(3)例題設(shè)置。例1ABC中，c=10，A=45，C=30，求b.(學(xué)生口答、老師板書)設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)定理的認(rèn)識(shí);進(jìn)步解決實(shí)際問題的才能例2ABC中，a=20，b=28，A=40，求B和C.例3ABC中，a=60，b=50，A=38，求B和C.其中兩組解，一組解例3同時(shí)給出兩道題，首先留給學(xué)生一定的考慮時(shí)間，同時(shí)讓兩學(xué)生板演，以便兩題形成對(duì)照、比擬。可能出現(xiàn)的情況：兩個(gè)學(xué)生都做對(duì)，那么繼續(xù)為學(xué)生提供展示的空間，讓學(xué)生來分析p 看似一樣的條件，為何二解一解情況，假如第二同學(xué)也做出兩

7、組解，那么讓其他學(xué)生積極參與評(píng)判，發(fā)現(xiàn)問題，找出對(duì)策。設(shè)計(jì)意圖：增強(qiáng)學(xué)生對(duì)定理靈敏運(yùn)用的才能進(jìn)步分析p 問題解決問題的才能激發(fā)學(xué)生的參與意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流、競(jìng)爭(zhēng)的意識(shí)，使學(xué)生在互相影響中共同進(jìn)步。(4)歸納小結(jié)。借助多媒體動(dòng)態(tài)演示：圖表使學(xué)生對(duì)于兩邊和其中一邊對(duì)角，三角形解的情況有一個(gè)明晰直觀的認(rèn)識(shí)。之后讓學(xué)生對(duì)題型進(jìn)展歸納小結(jié)。這樣的歸納總結(jié)是通過學(xué)生理論，在新舊知識(shí)比照之后形成的，防止了學(xué)生的被動(dòng)學(xué)習(xí)，抽象記憶，讓學(xué)生形成對(duì)自我的認(rèn)同和對(duì)社會(huì)的責(zé)任感。實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的情感目的。(5)反應(yīng)練習(xí)：練習(xí)ABC中，a=60，b=48，A=36ABC中，a=19，b=29，A=4ABC中，a=60，

8、b=48，A=92判斷解的情況。通過學(xué)生形成性的練習(xí)，穩(wěn)固了對(duì)定理的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用，也便于老師掌握學(xué)情，以為教學(xué)的進(jìn)展作出合理安排。(6)課堂總結(jié)，布置作業(yè)。高中正弦和余弦定理數(shù)學(xué)教案3教學(xué)目的：1.理解利用向量知識(shí)推導(dǎo)正弦定理;2.掌握正弦定理并能運(yùn)用正弦定理解斜三角形，并會(huì)利用計(jì)算器解決解斜三角形中復(fù)雜的計(jì)算問題;3.會(huì)斷定兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形的解時(shí)一解、兩解或無解;4.通過利用向量證明正弦定理，理解向量的工具性和知識(shí)間的互相聯(lián)絡(luò)，體會(huì)事物之間是互相聯(lián)絡(luò)的辯證思想;教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理及其推導(dǎo)過程，正弦定理在三角形中的應(yīng)用;教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的向量法證明以及運(yùn)用正弦定理解三角形時(shí)解的個(gè)

9、數(shù)的斷定.教學(xué)方法：情景問題、啟發(fā)引導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)過程(一)設(shè)置情境?？紤]：現(xiàn)實(shí)生活中如何測(cè)得某湖對(duì)岸A、B兩點(diǎn)之間間隔 。學(xué)生會(huì)很自然地構(gòu)造直角三角形來解決。但是很多情況，受地理?xiàng)l件的限制，我們很難構(gòu)造直角三角形，也就是在一般的三角形里我們?nèi)绾吻蟪鯝B的間隔 ?我們能不能發(fā)如今三角形中還蘊(yùn)涵著什么樣邊與角關(guān)系呢? #FormatTableID_5# 組織學(xué)生分組討論，老師參與學(xué)生的討論。(2-3鐘)讓學(xué)生匯報(bào)：通過對(duì)直角三角形的研究發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論。直角三角形中存在等式：小結(jié)：利用直角三角形中的這些邊角關(guān)系對(duì)任給直角三角形的兩邊或一邊一角可以求出這個(gè)三角形的其他邊與其他角.這個(gè)式子在任意三角形中也

10、是成立的，這就是我們今天要學(xué)的正弦定理.(二)推導(dǎo)定理過程1.學(xué)生考慮：1)在任意 中，3個(gè)向量 ， ， 間 滿 足什么關(guān)系?2)在 + + = 兩邊同乘以向量 ,有( + + ) .,這里的量 可否任意?又如何選擇向量3)由 + + = ,如何能形成數(shù)量積運(yùn)算?2.證明過程：如圖，在銳角中 ，過 作單位向量 垂直于 ，那么 與 的夾角為 與 的夾角為 。由向量的加法可得:對(duì)上面向量等式兩邊同取與向量 的數(shù)量積運(yùn)算，得到同理，過點(diǎn) 作與 垂直的單位向量 ，可得3.深化考慮：1) 當(dāng) 為鈍角三角形時(shí)如何證得2)正弦定理還有沒有其它的方法證明?3)觀察正弦定理，利用正弦定理可以解什么類型的三角形問

11、題?4.小結(jié)：正弦定理可以解決兩類三角形問題：1)兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角;2)兩邊和其中一邊的對(duì)角，可以求出三角形的其他的邊和角。(三)例題分析p 例1 在 中， ，求 (保存兩個(gè)有效數(shù)字)解： 且例2 在 中， ，求 。解：由 得 中 為銳角 例3 在 中， ，求 的面積 。解：首先可證明：這組結(jié)論可作公式使用。其次求 ,由正弦定理(四).練習(xí)穩(wěn)固，加深理解。(1)在 中，一定成立的等式是( ). . .(2)在 中，假設(shè) ，那么 是( ).等腰三角形 .等腰直角三角形 .直角三角形 .等邊三有形(3)在任一 中，求證 :證明：由于正弦定理：令 代入左邊得：(五)總結(jié)提煉(1

12、)三角形常用公式： ;(2)正弦定理表示形式： ( 外接圓直徑); 。(3)正弦定理應(yīng)用范圍：兩角和任一邊，求其他兩邊及一角。兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。幾何作圖時(shí)，存在多種情況。如 、 及 ，求作三角形時(shí)，要分類討論，確定解的個(gè)數(shù)。(六)穩(wěn)固作業(yè)：1 中， ，那么 為( )A 直角三角形 B 等腰直角三角形C 等邊三角形 D 等腰三角形2 在 中， 是 的A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件3在 中， 求 和 .(七)板書設(shè)計(jì)：高中正弦和余弦定理數(shù)學(xué)教案4三維目的1.通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探究，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，會(huì)運(yùn)用

13、正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類根本問題.2.通過正弦定理的探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)規(guī)律的思維才能，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問題的才能.通過學(xué)生的積極參與和親身理論，并成功解決實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立考慮和勇于探究的創(chuàng)新精神.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的證明及其根本運(yùn)用.教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探究和證明;兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，判斷解的個(gè)數(shù).課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(特例引入)老師可先通過直角三角形的特殊性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生推出正弦定理形式，如RtABC中的邊角關(guān)系，假設(shè)C為直角，那么有a=csinA，b=csinB，這兩個(gè)等式間存在關(guān)系嗎

14、?學(xué)生可以得到asinA=bsinB，進(jìn)一步提問，等式能否與邊c和C建立聯(lián)絡(luò)?從而展開正弦定理的探究.思路2.(情境導(dǎo)入)如圖，某農(nóng)場(chǎng)為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)火情，在林場(chǎng)中設(shè)立了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A和B，某日兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的林場(chǎng)人員分別測(cè)到C處有火情發(fā)生.在A處測(cè)到火情在北偏西40方向，而在B處測(cè)到火情在北偏西60方向，B在A的正東方向10千米處.如今要確定火場(chǎng)C距A、B多遠(yuǎn)?將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即“在ABC中，CAB=130，CBA=30，AB=10千米，求AC與BC的長(zhǎng).”這就是一個(gè)解三角形的問題.為此我們需要學(xué)習(xí)一些解三角形的必要知識(shí)，今天要探究的是解三角形的第一個(gè)重要定理正弦定理，由此展開新課的探究學(xué)習(xí).

15、推進(jìn)新課新知探究提出問題1閱讀本章引言，明確本章將學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容及本章將要解決哪些問題?2聯(lián)想學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)中的邊角關(guān)系，能否得到直角三 角形中角與它所對(duì)的邊之間在數(shù)量上有什么關(guān)系?3由2得到的數(shù)量關(guān)系式，對(duì)一般三角形是否仍然成立?4正弦定理的內(nèi)容是什么，你能用文字語言表達(dá)它嗎?你能用哪些方法證明它?5什么叫做解三角形?6利用正弦定理可以解決一些怎樣的三角形問題呢?活動(dòng)：老師引導(dǎo)學(xué)生閱讀本章引言，點(diǎn)出本章數(shù)學(xué)知識(shí)的某些重要的實(shí)際背景及其實(shí)際需要，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)解三角形知識(shí)的必要性.如老師可提出以下問題：怎樣在航行途中測(cè)出海上兩個(gè)島嶼之間的間隔 ?怎樣測(cè)出海上航行的輪船的航速和航向?怎樣測(cè)

16、量底部不可到達(dá)的建筑物的.高度?怎樣在程度飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨?這些實(shí)際問題的解決需要我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識(shí).讓學(xué)生明確本章將要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個(gè)定理解三角形及解決測(cè)量中的一些問題.關(guān)于任意三角形中大邊對(duì)大角、小 邊對(duì)小角的邊角關(guān)系，老師引導(dǎo)學(xué)生探究其數(shù)量關(guān)系.先觀察特殊的直角三角形.如以下圖，在RtABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有ac=sinA，bc=sinB，又sinC=1=cc，那么asinA=bsinB=csinC=c.從而在RtABC中，asinA=bsinB=csinC.那

17、么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢?老師引導(dǎo)學(xué)生畫圖討論分析p .如以下圖，當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，有CD=asinB=bsinA，那么asinA=bsinB.同理，可得csinC=bsinB.從而asinA=bsinB=csinC.(當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成)通過上面的討論和探究，我們知道在任意三角形中，上述等式都成立.老師點(diǎn)出這就是今天要學(xué)習(xí)的三角形中的重要定理正弦定理.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC上述的探究過程就是正弦定理的證

18、明方法，即分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況進(jìn)展證明.老師提醒學(xué)生要掌握這種由特殊到一般的分類證明思想，同時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生觀察正弦定理的特征.它指出了任意三角形中，各邊與其對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式.正弦定理的重要性在于它非常好地描繪了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系;描繪了任意三角形中大邊對(duì)大角的一種準(zhǔn)確的數(shù)量關(guān)系.因?yàn)榧偃鏏B，由三角形性質(zhì)，得asin(-A)=sinA，所以仍有sinA正弦定理的證明方法很多，除了上述的證明方法以外，老師鼓勵(lì)學(xué)生課下進(jìn)一步探究正弦定理的其他證明方法.討論結(jié)果：(1)(4)略.(5)三角形的幾個(gè)元素(把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的過程叫做解三角形.(6)應(yīng)用正弦定理可解決兩類解三角形問題：三角形的任意兩個(gè)角與一邊，由三角形內(nèi)角和定理，可以計(jì)算出三角形的另一角，并由正弦定理計(jì)算出三角形的另兩邊，即“兩角一邊問題”.這類問題的解是唯一的.三 角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，可以計(jì)算出另一邊的對(duì)角的正弦值，進(jìn)而確定這個(gè)角和三角形其他的邊和 角，即“兩邊一對(duì)角問題”.這類問題的