1、21.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（第3課時(shí)）人教版 數(shù)學(xué) 九年級(jí) 上冊(cè)【思考】通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，請(qǐng)談?wù)劻蟹匠探鈶?yīng)用題的一般步驟是怎樣的？關(guān)鍵是什么？步驟：審題；設(shè)元；列式；解答；驗(yàn)根；答案.導(dǎo)入新知【思考】現(xiàn)有長(zhǎng)19cm，寬為15cm長(zhǎng)方形硬紙片，將它的四角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形后，再折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方形紙盒，要使紙盒的底面積為77cm，問(wèn)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是多少?解：設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則紙盒的長(zhǎng)為（19-2x），寬為（15-2x）cm，依題意得（19-2x）（15-2x）=77 . 整理得：x-17x+52=0.解方程，得：（x-13）（x-4）=0.解得：x1=4，x

2、2=13（舍去）.因此剪去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為3cm.導(dǎo)入新知 如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長(zhǎng)27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？27cm21cm探究新知 幾何圖形的面積問(wèn)題知識(shí)點(diǎn) 1解法一：依據(jù)題意知，中央矩形的長(zhǎng)寬之比等于封面的長(zhǎng)寬之比9：7，由此可以判定:上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意得：中央矩形的長(zhǎng)為 cm，寬為 cm因?yàn)樗闹艿牟噬呉r所點(diǎn)面積是封面面積的_

3、,則中央矩形的面積是封面面積的_(27-18x) (21-14x) 所以可列方程得： （27-18x）（21-14x）= 3 4 2721.整理，得 16x2-48x+9=0.解方程，得 x= ，x12.8cm，x20.2.所以，9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm.因此，上下邊襯的寬均為1.8cm，左、右邊襯的寬均為1.4cm探究新知解法二:設(shè)正中央的矩形兩邊分別為9xcm，7xcm，列方程得： 解得 x 2.6.上、下的邊襯的寬為（27-9 2.6） 0.5=1.8cm.左、右的邊襯的寬為（21-7 2.6） 0.5=1.4cm. 探究新知例1 有一張長(zhǎng)6尺

4、，寬3尺的長(zhǎng)方形桌子，現(xiàn)用一塊長(zhǎng)方形臺(tái)布鋪在桌面上，如果臺(tái)布的面積是桌面面積的2倍，且四周垂下的長(zhǎng)度相同，試求這塊臺(tái)布的長(zhǎng)和寬各是多少？（精確到0.1尺）解：設(shè)四周垂下的寬度為x尺時(shí)，則臺(tái)布的長(zhǎng)為（2x+6）尺，寬為（2x+3）尺，依題意得：（6+2x）（3+2x）=263. 整理方程得：2x+9x-9=0. 解得：x10.84，x2-5.3（不合題意，舍去）. 因此：臺(tái)布的長(zhǎng)為：20.84+67.7（尺）. 臺(tái)布的寬為：20.84+34.7（尺）. 即這塊臺(tái)布的長(zhǎng)約為7.7尺，寬約為4.7尺.利用一元二次方程解答一般面積問(wèn)題素養(yǎng)考點(diǎn) 1探究新知要為一幅長(zhǎng)29cm,寬22cm的照片配一個(gè)鏡框，

5、要求鏡框的四條邊寬度相等，且鏡框所占面積為照片面積的四分之一，鏡框的寬度應(yīng)是多少厘米(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？解：設(shè)鏡框的寬為xcm，根據(jù)題意，得 整理得8x2+204x-319=0,解得 . x1= ,x2= (不合題意，舍去). x= 1.5. 答：鏡框的寬度約為1.5cm.鞏固練習(xí)例2 如右圖是長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的平面示意圖.一邊靠墻，另三邊用竹籬笆圍成，且竹籬笆總長(zhǎng)為35m.（1）若所圍的面積為150m，試求此長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬；ABCD解：設(shè)BC=xcm,則AB=CD= 1 2 （35-x），依題意可列方程： 1 2 (35-x)x=150.整理得：x2-35x+300=0,解方程，得（x-

6、20）(x-15)=0.即：x1=20，x2=15. 當(dāng)BC=x=20m時(shí)，AB=CD=7.5m，當(dāng)BC=15m時(shí)，AB=CD=10m，即這個(gè)長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)與寬分別為20m和7.5m或15m和10m.靠墻問(wèn)題的解答素養(yǎng)考點(diǎn) 2探究新知（2）如果墻長(zhǎng)為18m，則（1）中長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別是多少？解：當(dāng)墻長(zhǎng)為18m時(shí)，顯然BC=20m時(shí)，所圍成的雞場(chǎng)會(huì)在靠墻處留下一個(gè)缺口，不合題意，應(yīng)舍去，此時(shí)所圍成的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)與寬值能是15m和10m.點(diǎn)撥：在尋找關(guān)系式時(shí)，切記三邊之和等于總長(zhǎng)，而不是四邊之和等于總長(zhǎng).探究新知（3）能圍成面積為160m的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.解：不能圍成面積為16

7、0m的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，理由如下： 設(shè)BC=xm，由（1）知AB= (35-x)，從而有 (35-x)x=160， 方程整理為x-35x+320=0.此時(shí)=35-41320=-550， 原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，從而知用35m的籬笆按圖示方式不能圍成面積為160m的雞場(chǎng).探究新知如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m的門，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80平方米？ 住房墻1m解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻的一邊長(zhǎng)為x m，由題意得 x(25-2x+1)=80.整理，得 x2-13x+40=0.解方

8、程，得 （x-5）（x-8）=0. 即： x1=5 , x2=8.當(dāng)x=5時(shí)，26-2x=1612 (舍去）;當(dāng)x=8時(shí)，26-2x=1012 故所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m,寬為8m.則平行于住房墻的一邊長(zhǎng)(25-2x+1)m.鞏固練習(xí)2032xx解：設(shè)道路的寬為x米，依題意得例3 如圖，在一塊寬為20m, 長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的兩條道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540m2,求道路的寬為多少？還有其他方法嗎？2032-32x-20 x+x2=540.修路問(wèn)題的圖形面積素養(yǎng)考點(diǎn) 3探究新知解：設(shè)道路的寬為 x 米.2032xx20-x32-x(32-x)(20-x)=540

9、.整理，得x2-52x+100=0.解方程，得（x-50)(x-2）=0.即 x1=2,x2=50.當(dāng)x=50時(shí)，32-x=-18,不合題意，舍去.取x=2.答：道路的寬為2米.方法二:探究新知在寬為20m, 長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540m2,求這種方案下的道路的寬為多少？解：設(shè)道路的寬為 x 米.(32-x)(20-x)=540.可列方程為變式一探究新知2032xxx20-x如圖，在寬為20m, 長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540m2,求這種種方案下的道路的寬為多少？解：設(shè)道路的寬為 x 米

10、.(32-2x)(20-x)=540.可列方程為變式二32-2x探究新知2032xxxx20322x2x32-2x20-2x如圖，在寬為20m, 長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540m2,求這種方案下的道路的寬為多少？解：設(shè)道路的寬為 x 米(32-2x)(20-2x)=540.可列方程為變式三探究新知在寬為20m, 長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑四條道路,余下的部分種上草坪，如果橫、縱小路的寬度比為3：2，且使小路所占面積是矩形面積的四分之一,求道路的寬為多少？變式四探究新知小路所占面積是矩形面積的四分之一 剩余面積是矩形面積的四分之三解:設(shè)橫、豎小

11、路的寬度分別為3x、 2x， 于是可列方程(30-4x)(20-6x)= 2030.20303x2x30-4x20-6x3x2x6x4x30-4x20-6x探究新知 我們利用“圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變”的性質(zhì)，把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使列方程容易些（目的是求出結(jié)果，至于實(shí)際施工，仍可按原圖的位置進(jìn)行）. 方法點(diǎn)撥探究新知如圖是寬為20米,長(zhǎng)為32米的矩形耕地,要修筑同樣寬的三條道路(兩條縱向,一條橫向,且互相垂直),把耕地分成六塊大小相等的試驗(yàn)地,要使試驗(yàn)地的面積為570平方米,問(wèn):道路寬為多少米?鞏固練習(xí)解:設(shè)道路寬為x米，依題意得整理得，x2-36x+35=0.其中的 x=35超

12、出了原矩形的寬，應(yīng)舍去.答:道路的寬為1米.（32-2x）（20-x）=570.解方程，得（x-35）（x-1）=0.即：x1=35，x2=1.鞏固練習(xí)公園有一塊正方形的空地，后來(lái)從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花（如圖），原空地一邊減少了1m，另一邊減少了2m，剩余空地的面積為18m2，求原正方形空地的邊長(zhǎng)設(shè)原正方形的空地的邊長(zhǎng)為xm，則可列方程為（）A（x+1）（x+2）=18 Bx23x+16=0 C（x1）（x2）=18 Dx2+3x+16=0C連接中考1. 在一幅長(zhǎng)80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2，

13、設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（ ）Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=0B課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題2.一塊長(zhǎng)方形鐵板，長(zhǎng)是寬的2倍，如果在4個(gè)角上截去邊長(zhǎng)為5cm的小正方形，然后把四邊折起來(lái)，做成一個(gè)沒(méi)有蓋的盒子，盒子的容積是3000 cm3，求鐵板的長(zhǎng)和寬 解：設(shè)鐵板的寬為x cm,則有長(zhǎng)為2x cm，依題意得：5(2x-10)(x-10)=3000. 整理得x2-15x-250=0.解方程，得（x-25）（x+10）=0.即 x1=25 x2=-10(舍去）,所以 2x=50.答：鐵板的長(zhǎng)50cm,寬為25cm.課堂檢測(cè)解：設(shè)AB長(zhǎng)是x m，依題意得： (100-4x)x=400. 整理得 x2-25x+100=0. 解方程得（x-20）（x-5）=0. 即 x1=5，x2=20. x=20,100-4x=2025 x=5(舍去). 答：羊圈的邊長(zhǎng)AB和BC的長(zhǎng)各是20m,20m. 如圖：要利用一面墻（墻長(zhǎng)為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長(zhǎng)AB和BC的長(zhǎng)各是多少米？DCBA25米課堂檢測(cè)能力提升題如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)寬20cm,長(zhǎng)為30cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎彩條，橫豎彩條的寬度之比為23 ，若使