1、 第4章不定積分內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容不 疋 積 分不 疋 積 分 的 概 念設(shè)f(x) , XEI，若存在函數(shù)F(x)，使得對(duì)任意XE 1均有F(x)=f(x) 或dF(x) = f (x)dx，則稱F(x)為f (x)的一個(gè)原函數(shù)。f (x)的全部原函數(shù)稱為f (x)在區(qū)間1上的不定積分，記為f (x)dx = F (x) +C注：(1)若f(x)連續(xù)，則必可積；(2)若F(x),G(x)均為f (x)的原函數(shù)，貝U F(x) =G(x) +C。故不定積分的表達(dá)式不唯一。性質(zhì)性質(zhì) 1:右jf(x)dx卜 f(x)或 d jf(x)dx= f(x)dx ;性質(zhì) 2:F(x)dx= F(x)+C

2、 或dF(x) = F(x)+C ；性質(zhì) 3:f (x) Bg(x)dxJ f (x)dx B Jg(x)dx , a ,B 為非零常數(shù)。計(jì)算 方 法第一換元 積分法(湊微分 法)設(shè)f(u)的 原函數(shù)為F(u) , u=P(x)可導(dǎo)，則有換元公式：Jf(x)A(x)dx= Jf(x)d(x) =F(x)+C第二類 換元積 分法設(shè)x=(t)單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，f(t)4(t)有原函數(shù)F(t),則f f (x)dx = J f (毋(t)毋 Yt)dt = F (t) + C = F (砕(x) + C分部積分法Ju(x)v(x)dx = Ju(x)dv(x) = u(x)v(x) - Jv(

3、x)du(x)有理函數(shù) 積分若有理函數(shù)為假分式，則先將其變?yōu)槎囗?xiàng)式和真分式的和；對(duì)真 分式的處理按情況確定。本章 的地 位與 作用在下一章定積分中由微積分基本公式可知求定積分的問題，實(shí)質(zhì)上是求被積函數(shù)的原函數(shù)問題；后繼課程無論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，最 終的解決都?xì)w結(jié)為對(duì)定積分的求解；而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。從這種意義上講，不定積分在整個(gè)積分學(xué)理論中起到了根基的作用，積分的問題會(huì) 不會(huì)求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對(duì)這一章掌握的好壞。這一點(diǎn)隨著學(xué) 習(xí)的深入，同學(xué)們會(huì)慢慢體會(huì)到！課后習(xí)題全解習(xí)題4-1 1求下列不定積分：知識(shí)點(diǎn)：直接積分法的練習(xí)一一求不定

4、積分的基本方法。思路分析：利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式，直接求出不定積分!(1) -2dX思路：被積函數(shù)5 2，由積分表中的公式(2)可解。dx 解: dXx2dx=2x3-丄)dx思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。解：(3、X -)dx = j(x3 x)dx 二 X勺dx xdxx2(2 x )dx思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。2X 1解：(2X +x2)dx = J2Xdx+ x2dx = +丄 x3 +CIn 23 (4).x(x-3)dx思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。3153解：、.x(x-

5、3)dx = x2dx-3 x2dx =2x2 -2x2 C3x4 3x21dx思路：觀察到3x4 3x21x21x2 十后，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì),將被積函數(shù)分項(xiàng),解：3X4 亠3X2 亠11X2-1dX3XdX列沁 C分別積分。 (6)x2dx2 2 思路：注意到2 x 1 一1=1，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng),分別積分。2解:dx = x arctan x C.x dx =1 x2注：容易看出（5）（6）兩題的解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個(gè)有理的假分式, 通常先將其分解為一個(gè)整式加上或減去一個(gè)真分式的形式，再分項(xiàng)積分。 TOC o 1-5 h z / x 134

6、 （7）（+ 飛-T）dxL 2 x x x思路:分項(xiàng)積分。x13411解:（+ 飛- 4）dxxdx dx 3 xdx-4 x*dx2xxx2x1 23 _2 4 -3x -1n|x| x， x” C.423 (8)(31 x2思路:分項(xiàng)積分。3解：仁1dx2dx 二 3arctan x2arcsin x C.，J1-x2 (9) x x xdx思路:二？看至U x x - x = x2 8 = x8，直接積分。解:!：xx xdx 二 x8dx15C.dx思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)積分。1 1 1 1解:(2)dx 二 _ dxdx 二一一一 arctan x C.x 1 xx1 xxxre T (1

7、1) x dx e -1e2x _1解：“G 嚴(yán) 1 (ex 1)dxxe -1=ex x C. (12) 3xexdx思路：初中數(shù)學(xué)中有同底數(shù)幕的乘法:指數(shù)不變，底數(shù)相乘。顯然3xex =(3e)x。 思路：初中數(shù)學(xué)中有同底數(shù)幕的乘法:指數(shù)不變，底數(shù)相乘。顯然3xex =(3e)x。 #解:3xexdx_ (3e)dx_(3e)C.In (3e)2 (13) cot xdx思路：應(yīng)用三角恒等式cot2 x二CSC2 X1 ”。解:2 2cot xdx = (csc x - 1)dx = - cot x - x CXX(14) dx思路:被積函數(shù)2 3x -5 2x3x=2 - 5(2)x，積

8、分沒困難。3xx(-)x2 3x 5 22解：dx 二(2-5()x)dx=2x-53 C.3x3In 2 I n32 x (15) cos dx2思路：若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時(shí)，一般地先降幕，再積分。解：cos2 xd =2 (16)1 dx1 +cos2x思路:應(yīng)用弦函數(shù)的升降幕公式，1dx22cos xIsinx C.2 21解：一1 cos2x (17)cos2xcosx s in先升幕再積分。1dx1 2 1 sec xdx tan x C.- 2dxx(cosx sin x)(cosx -sin x) ”。解:dx = (cosx sin x)dx =sin x-cosx C.

9、 cosx sin x22思路：不難，關(guān)鍵知道cos2x = cos2 x- sin2 x = (18)cos x sin-dx x思路：同上題方法，應(yīng)用cos2x = cos2 x -sin2 x ”，分項(xiàng)積分。解:cos2x2 . 2 cos x sin-dxx2 . 2cos x sin x i1,1-dx dxxcos x sin x sin x cos x （i9）（m）dx思路：注意到被積函數(shù)保后=攔+亦=啟，應(yīng)用公式（5）即可。 (20) 1 dL1 十 cos 2xdx思路:注意到被積函數(shù)1 cos2 x 1 cos2 x 121sec x1 cos2x2cos x22則積分易

10、得。解:1 cos2 x ,dx1 cos2x冷sec2xdx 2恥于 C. 2、設(shè) xf (x)dx = arccosx C，求 f (x)。知識(shí)點(diǎn)：考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：直接利用不定積分的性質(zhì)1： f（x）dx二f（x）即可。dx 解：等式兩邊對(duì) x求導(dǎo)數(shù)得：xf(X)： 2 ， f (x)= 3、設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為si nx，求f （x）的原函數(shù)全體。知識(shí)點(diǎn)：仍為考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。解：由題意可知，f（x）二 sin xdx 二-cosx C1所以 f （x）的原函數(shù)全體為：（一cosx+Cjdx =s

11、in x+C+C?。1ce4、證明函數(shù)e x,exshx和exchx都是一的原函數(shù)chx- shx知識(shí)點(diǎn)：考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析：只需驗(yàn)證即可。一2x H d 1 2xd xd x2x解：e ，而 一（ 一 ） e shx e chx二一chx -shxdx 2dxdx曲線的方程。知識(shí)點(diǎn)：屬于第12章最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定 積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)帶入方程確定具體的方程即可。 TOC o 1-5 h z d1解：設(shè)曲線方程為y = f(x)，由題意可知：f(x)， f(x) = l

12、n|xC ；dxx22又點(diǎn)(e ,3)在曲線上，適合方程，有3二ln(e ) C, C =1，所以曲線的方程為 f (x) = ln |x| 1. 6、一物體由靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t秒后的速度是3t2(m/s)，問：在3秒后物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？物體走完360米需要多少時(shí)間？知識(shí)點(diǎn)：屬于最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得物體的位移方程的一般式，然后將條件帶入方程即可。解：設(shè)物體的位移方程為：y = f (t)，do-,則由速度和位移的關(guān)系可得：f(t) =3t2= f (tt3 C，dt又因?yàn)槲矬w是由靜止開始運(yùn)動(dòng)的，.f(0)=

13、0, C =0, f(t)二t3。33秒后物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離為：f (3) = 327米；令 t3 =360= t = 3 360 秒。習(xí)題4-2 1、填空是下列等式成立。知識(shí)點(diǎn)：練習(xí)簡單的湊微分。思路分析：根據(jù)微分運(yùn)算湊齊系數(shù)即可。111解：(1)dx d(7x-3);(2) xdx d(1 - x2);(3) xdxd(3x4-2); TOC o 1-5 h z 7212dx1dx1(4)e2xdxd(e2x);(5)d(5ln |x|);(6)d(3-5ln | x |);x5x51rdx 1dx 1(7) rdt =2d(、t);(8)2d(tan2x);(9)2d(arctan3x

14、).、tcos 2x 21 9x 32、求下列不定積分。知識(shí)點(diǎn)：(湊微分)第一換元積分法的練習(xí)。思路分析：審題看看是否需要湊微分。直白的講，湊微分其實(shí)就是看看積分表達(dá)式中，有沒有成塊的形式作為一個(gè)整體變量，這種能夠馬上觀察出來的功夫來自對(duì)微積分基本公式的熟 練掌握。此外第二類換元法中的倒代換法對(duì)特定的題目也非常有效，這在課外例題中專門介紹！3t (1) e dt思路：湊微分。解：e3tdt 二-e3td(3t) =e3t C TOC o 1-5 h z J333(2) (3 -5x) dx思路:湊微分。31314解：(3 -5x) dx(3 -5x) d(3 -5x)(3 -5x)4 C520

15、1(3)dx”3 -2x思路:湊微分。1 1 1 解：dxd(3-2x) In |3-2x| C.32x 232x21 3*思路:湊微分。1 1解：3Kdx 一 3 3飛1d(5-3x)二-1 2- 1(5-3x) 3d(5-3x)(5-3x)3 C.解:(sin ax-eb )dxcos “ t1b-cosax - beb C ax (5) (sin ax -eb)dx思路:湊微分。思路：如果你能看到d(.t)二一Ldt，湊出dC t)易解。解:t=2 cos-td (, t) =2sin “t C (7) tan10 xsec xdx思路:湊微分。解:tan10 xsec2xdx 二 ta

16、n10 xd(tan x) = csc2xd2x = In| csc2x-cot2x| C tan11 x C.11dx (8)xln xln ln x方法二：將被積函數(shù)湊出tan x的函數(shù)和tan x的導(dǎo)數(shù)。dxsin xcosx2dxsin 2xdxsin xcosxf cosx ,.f2 dx =sin x cos x tan x方法三：三角公式sin x - cos2 x =1，然后湊微分。dxsin xsin xcosxsin2 x cos2 x ,dx = sin xcosxdx 空 dxd sin xcosxsin xt d cosx 丄 t=_J J .cosx sin x思路

17、：連續(xù)三次應(yīng)用公式(3)湊微分即可。dxd(ln |x|)d(ln |ln x|)解：In |ln In x| CxlnxlnlnxIn xln In x In In x (9) tan .1 x2 xdx思路:本題關(guān)鍵是能夠看到 一是什么，是什么呢？就是 d ： 1亠X !這有一定難度!解：tan 一 1x2xdxtan 1x2d、1x2=-1 n | cos 1x2| C+x2 (10) sin xcosx思路:湊微分。解: 方法一： 倍角公式 sin2x=2sin xcosx。| ta n x | C=-In | cosx | In | sin x| Cdx (11) -dxe思路:湊微

18、分:dxexdxdexdexx-xe e2x e11e2x1 (ex)2 dx解： dxJ X I -Xe eexdxdex2x e1 (ex)2二 arctanex C2 (12) xcos(x )dx思路:湊微分。2 1解:xcos(x )dx =2cosx2dx2=1 sin x2C2(13). xdx2 -3x2思路xdx.2 匚 3x1 21dx222亍3x221 d（2=3x ）湊微分易解。6 3x2解:xdx2-3x21 d(2 -3x2)6一 2 3x2-(23x2)Jd(23x2)62 (14) cos ( t)sin( t)dt思路：湊微分。解：cos2(，t)sin(，t

19、)dt1 2 1 2 cos ( t)sit)d tcos ( t)d cos( t)o L Lcos3C t) - C. (15)竺 dx1 -x思路:湊微分。4x34dx3x33解: bxH 1-x14 1于厶 d(1x4r-X3ln44|1 -X4 | c. (16)sin3x dxcos x思路:湊微分。解：弓ndx 二-cos xcos x1 1cosx2 cos xC.9x (17)dxJ2-X20思路:經(jīng)過兩步湊微分即可。解：.dx 二2 - x2020Xdx1010 x1 arcsin( _ 2 10 、210 x ) C99 99 1 d 2，( 2：)212x2xdx(19

20、)牛18 一 9-4x2d4x22 _( 2x)238, 9-4x2x1 = arcsin() +_(9 _4x2 +C.341 二 d(94x2)2思路：裂項(xiàng)分項(xiàng)后分別湊微分即可。dxdx解：_2x2142x+1)/2x-1) 2 八72x1 j2x+1)dx1 1 1(乂1飛1)八2x2.2 d(S2.22x 1d2 ： I、2x-12.22x1C. (20)空, 2(4 -5x)思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。xdx解：2(4 5x)1 45x _41,)dx抵(右-45?)d(45x)d(4 _5x)_r:d(4 _5x)=丄巾 |4_5x|+C.25 4 -5x25 (4 -5x)225

21、25 4 5xx2dx (21) (x-1)100思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。x2dx解：，No(x-1)_ (x-1 1)2dx(x-1)22 (x-1)1100 ( 100 2 (x-1)1002100100 )dx(x-1) (x-1) (x-1)=(x-1)98J 1(x_1)99(x-1)100)d(xT)97 (x-1)971111C.49 (x -1)9899 (x -1)99 (22)xdx思路：裂項(xiàng)分項(xiàng)后分別湊微分即可。解:xdxx8 -1t xdx44(x -1)(x1)1 11 1 廠)xdx(廠一廠曲1 1E宀八-4dx2 二 1 -21- d (x2x4 18x2 -

22、1-1)-1x21d(x21)dxTln|x21-arcta nx2 C.4 (23) cos3 xdx思路：湊微分。cosxdx二d sin x。解： cos3 xdx = fcos2 x cosxdx =cos2 xd sin x = J(1 - sin2 x)d sin x1.3=sin xsin x C3 (24) COS2( t )dt思路：降冪后分項(xiàng)湊微分。解：COS2()dt 二 1 cos2(讓 )dt 二 ht 丄 cos2()d2(J2 b1 1tsin2(J C TOC o 1-5 h z 24 (25) sin 2x cos3xdx思路:積化和差后分項(xiàng)湊微分。11 1解

23、:sin 2xcos3xdx (sin 5x-sin x)dxsin 5xd 5x sin xdx 210 2 L11cos5x cosx C102 (26) sin 5xsin 7 xdx思路:積化和差后分項(xiàng)湊微分。cos2xd2x- 1 cos12xd(12x)4241 1解:sin5xsin 7xdx (cos2x-cos12x)dx 二 2 TOC o 1-5 h z 11sin 2x sin12 x C. HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 24 (27) tan3 xsecxdx思路:湊微分 tan xsecxdx 二 d secx。

24、3222解:tan xsecxdx 二 tan x tan xsecxdx 二 tan xd secx 二 (sec x-1)dsecx TOC o 1-5 h z 213= sec xd secx - d secx sec x -secx C 3arccosx (28)dx，/ -x2=d( - arccosx)。1思路：湊微分丄_ dx山-X2arccosx解：JkT10darccosxarccosx10 C.In 10dx (29)(arcsinx)2 J _x2思路：湊微分1一 dx = d(arcsin x)。、1 - xdx解：.(arcsinx)2 J -x2d arcs inx

25、2(arcs inx)1 C arcs inx, arctan丘(30)dx 仮(1 + x)思路:湊微分仮d(arctan7x)。解：arctan = dx =x(1 x)farcta、 d Jx = 2arctan Vxd (arctan 依)1( x)= (arctan x)2 C (31)血?dú)w dxcosxsin x思路：被積函數(shù)中間變量為tanx，故須在微分中湊出tan x，即被積函數(shù)中湊出 sec? x ,In tanxIn tan xIn tan xdx =2dx =sec xdxcosxsinxcos xtanxtanxIn tan xd tan xtan x解：Jntadxc

26、osxsin x1 2 (In tan x) C21 2=In tan xd (In tan x)二 d (In tan x)2In tan xd tan x 二 In tan xd (In tan x)In tan x ,2dx =cos xtanxtanx4 4 11 n x ,(32)2 dx(xln x)2思路：d (xln x) = (1 In x)dx解：冊(cè)恥（xlnx）12d(xln x) 口C xln xdx (33)M -e - In |1 -| C解：方法一：思路:將被積函數(shù)的分子分母同時(shí)除以，則湊微分易得。dxx1-e1d(e-1) =-In |e-1| C -1方法二：

27、思路:分項(xiàng)后湊微分dxx1-ex x1-ee1 dx1dx -dx二心）= x-ln |1 -ex | C = x-ln(ex |e-1|) C|e -1| Cx_Y=x -(1 n e -In |e -1|) C - -In方法三:思路：將被積函數(shù)的分子分母同時(shí)乘以裂項(xiàng)后湊微分。dxXexdxdexx . xX1-e e (1 - e )xXe (1-e )1八點(diǎn)一 r?d(1=-In|e*-1| Cdx(34) L解：方法一：思路：分項(xiàng)后湊積分。dx14dx1x6+4-x6dx 151xx(x6+4)4x(x6 +4)4 Lx(x6+4)_4一 6 +/ tx X +4 丿Jln|x| 1

28、624 A1 6|x| -另n|X 4| C 2 dt o t2t6(Jdt-丄収)t224 1 4t1d(4t6 1)241 4t61 6ln(1 4t ) C 244ln(16) C.x24方法二：思路:利用第二類換元法的倒代換。1 令x ，貝y dx =tA A A A , dx(35) 解：方法一：思路：分項(xiàng)后湊積分。dx-82 xx (1 - X )8 81 -xx .8嚇 dx 二X (1 - X )(1-x )(1 x )(1 x ) x8(1-x2)4ldx 嚴(yán)1 x246x xdx + (1x)(1+x)dx11x dx1 _3_37x7 5x5 3x 3 x 2-1x方法二

29、： 思路：利用第二類換元法的倒代換。1令x ，則dx t dxx8(1 -x2)1（-嚴(yán)）一七dt(t6 t4t211廠)dt-.(t6t42 1t 1)dt - (-：)dtt2 -11 t -1 Tn I | C =丄5 t3 -t -5= -j(t6 t4 t2 1)dt -丄21丄丄_n7 x75 x53 x3 x 2 T xkc)dtln |上仝 | c3、求下列不定積分。知識(shí)點(diǎn)：（真正的換元，主要是三角換元）第二種換元積分法的練習(xí)。思路分析：題目特征是被積函數(shù)中有二次根式，如何化無理式為有理式？三角函數(shù)中, 下列二恒等式起到了重要的作用。sin2 x cos2 x = 1;sec

30、x- tan2 x = 1.為保證替換函數(shù)的單調(diào)性， 通常將交的范圍加以限制，以確保函數(shù)單調(diào)。 不妨將角的范圍統(tǒng)統(tǒng)限制在銳角范圍內(nèi)，得出新變量的表達(dá)式，再形式化地?fù)Q回原變量即可。 1_x2思路：令x二Sint,t，先進(jìn)行三角換元，分項(xiàng)后，再用三角函數(shù)的升降幕公式。2解：令 x = Sin t, t ，則2 costdtdx = costdt。dx11 匚X2 *1 costplx=dt - t- T +costL o2cosdt2 t2=t- se-d-2 2t=t -ta n C = arcs in2x:+C.(或=arcsinxJ -xxx3(萬能公式tan - 竺匚21 +cost富，又

31、sx時(shí)，costk)(x 二 3secx 時(shí), (3)dx (2)9dxx思路：令x = 3sect,t (0,)，三角換元。2解：令 x =3sect,t (0,)，則 dx = 3sect tantdt。29dx = 3tant3secttantdt =3 tan2tdt = 3 (sec1)dtx 3sect= 3tant -3t C =一 x2 -9 -3arccos2 +C.|x|sec2 tdtsec t (4)dx. n思路：令x=tant,t，三角換元。2 TOC o 1-5 h z 兀2解：令 x = tan t, t ，貝U dx = sec tdt。2dtxcostdt

32、= sin t C C1 x2sect思路：令x = atant,t ，三角換元。2解：令-atant,t -，則 dxrseftdt。dx(x2 a2)32a sec tdta3 sec t2dta2 sect1 costdt 二丄 si nt C aa2:-=xc.a2 . a2 x2 (5)x21dxXX41思路：先令u-x2，進(jìn)行第一次換元；然后令u = tant, t江，進(jìn)行第二次換元。2x21解：jx書dxx2 1x.x4 1dxx2 1dx ,令u = x2得:I 一du，令 u =tant, t -，貝U du =sec tdt， 2uVT-x、x4Tdu2 u、u2 1tan

33、t 12 丄亠 1 tant 1sec tdt2 tant sect2 tantsectdtIn sect +tant + In csct cott +C1(csct sect) dt 口2Wln|R+u1ln、u2 11“21 1-In Jx4+1+x2 +Inx2C.(與課本后答案不同) (6)5 -4x -x2dx思路:三角換元，關(guān)鍵配方要正確。 TOC o 1-5 h z 片I 22兀解：i54xx =9(x+2)，令 x+2 =3s in t, t + 16 t -1 16 t 14 5t2 8t 5 8 5t2 8t 5dxz 1191110t 871、，(5 4sinx)cosx

34、 16 t -1 16 t 14 5t2 8t 5 8 5t2 8t 5dx(5 4sin x)cos xLdJ16 t 14 5t2 8t 510t+8 dt78 5t2 & 5dtint_1+mnt+1_4in(5t2+8t+5)larctan(5LJ)c243In tan -ln tan +116扣5噸噸5)x5ta n 47arcta n( 2)C243思路二：利用代換t =sin x !解：令 t = sinx.兀2，dxdt,cosx 二 1 -12dt主 1(5 4t)(t2 一1)一(5 4t)(t -1)(t 1)令乙一二一 ，等式右邊通分后比較兩邊分子t的同次項(xiàng)的系數(shù)(5

35、4t)(t -1)5 4tt -1t 1得：J十(5 4sin x)cosx (5 4t) *1t2(5 4t)(1 -t2)(5 4t)(t2 -1)1 _16(5 4t)(t2 -1廠 91 J115 4t 18 t -12 t 1A 4B 4C =09B C =0-A 5B -5C =11解之得：B =181C = 一一 2(T-1)9 5 4t1 1 1dt 面匚1dt2t 1dt= 4ln 5 +4t9+ 1ln 1 -1 -bn 1 +t -C18dx(5 4sin x)cos x TOC o 1-5 h z 11=一一ln 5 +4s in x 一ln 1 -si n x +-l

36、n 1 + s in x +C. 918注：比較上述兩解法可以看出應(yīng)用萬能代換對(duì)某些題目可能并不簡單!十 1 +sin x (8)dx(1 +cosx)sin x思路：將被積函數(shù)分項(xiàng)得，對(duì)兩個(gè)不定積分分別利用代換t = COSX和萬能代換!x22 思路：將被積函數(shù)分項(xiàng)得，對(duì)兩個(gè)不定積分分別利用代換t = COSX和萬能代換!x22 解: 1 sinx(1 +cosx)sin x1 +sin x , dx (1 cosx)sin x對(duì)積分 (1 +cosx)sin x得:1+(1 cosx)sin x 1 cosxdx + f(1 cosx)sin xdx1 cosxdx，令 t = cosx,

37、 x w (0,兀)，則 dx = -一_dt ,sin x =-t2dx =(1 cosx)sin xdt(1 t) J -t2dt(1 t)2(t-1)_ A一 t -1B C(1 t)2等式右邊通分后比較兩邊分子 t的同次項(xiàng)的系數(shù)A B =02A C =0解之得:A -B -C =1A 1A =4B14C二-丄21(1 t)2(t -1)4 t 一121 t 2 (1 t)12 (1 t)2dt2 dt(1 t) (t -1)1 1 .=In t 1 In t +1 + 42+ &dx(1 cosx)sin x11=一In 1 cosx -一 In 1 + cosx442 1 cosxG

38、；1對(duì)積分 dx1 + cosx令 t = tan,cosx =2耳 *1 t22dt2dt1 t21dx1 1 i 1+t21 sin xdx In (1 cosx)sin x 4丿In tanx1 cosx2dt1 t211 t2x dt t C2 = tan C2;211 - cosx一一In1 +cosx-1 tan C32 1 cosx 2tan2 x ta n C.422 dx廠3尸思路：變無理式為有理式，變量替換t =31 x o解：令 t1+x =t3,dx =3t2dt;dx3t2dtt2dt=33,十3仆3 Fd 1 t=3訓(xùn)十x)2 _3啟7 + 3ln 知匸+1 +C.

39、213dt=t2-3t+3|nt+1+C(10) 11(:?dx思路：變無理式為有理式，變量替換t二 x o解：令 t = x, x 二t2,dx 二2tdt;1 (x)3dx 二1 X1 t-2t3 t2 c =x2323-2tdt1,xJ。2=2 (t-t 1Xdt =2 (t3 -t2 t)dt2x3 x C.3 (11)x+V-1dx1. x 1思路：變無理式為有理式，變量替換t1 o解：令 x 1，則x 1 二t2,dx=2tdt;市一1dx 二T ,x 1t Idt1 t=2 - dt=2 (t-2 )dt1 t1 tt -1 2tdt =21 t=2 tdt -4 dt 4 ；d

40、t 二t2 -4t 41 n t 1 C =x-4右 4ln( C 1) C (12)思路：變無理式為有理式，變量替換t o解：令 t = Vx,x =t8,dx = 8t7dt;dxtdt=81+t2t5 Z乩8仁丄)dt1+t21 t24 X _ X= 2t4 _4t2 4ln(1 t2) C =2.x -44 x 4ln(1C (13) JL J1 +x2思路：變無理式為有理式，三角換元。兀2解：令 x =tant, t 0 時(shí)，有 f(x)F(x)= sirf 2，且 F(0) =1，F(xiàn) (x) _ 0試求 f (x)。知識(shí)點(diǎn)：原函數(shù)的定義性質(zhì)考察。思路分析：注意到dF(x)二f(x)

41、dx，先求出F(x)，再求f(x)即可。解：f (x)F (x) =si n22x； f(x)F(x)dx= sin2 2xdx 即 F(x)dF(x)= sin22xdx, . 1 (F(x)2 = sin22xdx,2 2 1.(F (x) =2 sin 2xdx = (1-cos4x)dx = x sin 4x C;2 1又 F(0) =1,. C=1;. (F(x) =x-sin4x 1;(x 0.)4又 F(x) 0, F(x)二sin4x 1,4又 f (x)F (x)二 sin22x, f (x)sin2 2x店一討n4x+15、求下列不定積分。知識(shí)點(diǎn)：求不定積分的綜合考察。思路

42、分析：具體問題具體分析。 (1) x.2-5xdx思路：變無理式為有理式，變量替換解：令 t = ,2-5x ,則 x2 -t2,dx52tdt,52 _t2x 一 2 -5xdxtLL 5=-J(2 -5x)3 +751254t5) C(2t2-t4)dt =2525 3.(2 -5x)5 C = - 30 xJ (2 -5x)3 C.375(x 1)思路：變無理式為有理式，變量替換X二sect。解:令 x 二sect,0 :t ： 一，貝V dx =secttantdt。 2dxx h x2 -1sect tantdtsect tant二 dt = t C 二 arccos1 Cx &2x

43、思路：將被積函數(shù)9x -4x變?yōu)?解：令t =( )x3則 *|)x|n2x3xx(I)x（彳門2dxIn2(ln 3 - In 2)t -1In2(I n3-l n2)3 -2X26edx(a 0)a -x思路：湊微分。解:x22dt -t一右1n33x -a6a3dx dx,x(1 x)2x1 - G2-dx。31 - （3）丫dt后換元或湊微分。j(丄丄)dtIn 2 - I n3 1 - t 2(In 3-I n 2) t -1 t 1In2(ln 3 - In 2)2 x(3)1C.In3 _3嚴(yán)令-x31 1 1 16a3(t-a3t a3)dt6a3 x3a333x -aC.思路

44、：將被積函數(shù)進(jìn)行配方后換元或先湊微分再換元。解：方法dxdxt-a3t a3x(1 x)込）2-）21dx sect tantdt;2令 X 1 = 1 sect,0 :：: t 廠，則2 2 2dx.x(1 x)-sect tant21 tant2dt = Jsectdt = In sect + tant=ln 2x +1 +2jx2 +x +C.dxd、x=2 =2.J X1(、x)令；x(dxx)n2再令 t = tan z, z ,貝U dt = sec zdz2dxx(1 x)2=2沁dseczz = 2 Jseczdz = 2In secz + tan z + C=2ln1 x x

45、| C=ln 2x +1 +2Jx2 +x + C.dx x75思路：倒代換！1解：令x二，則dx =-dxx(2x10)ddt)t92 t10一 2?dt1010 2t10 1101 d(2t 1)202t10 - 111) 20In(10 xx102)C. 7cos3sinxdx5cosx +2sin x思路：大凡被積函數(shù)的分子分母皆為同一個(gè)角的正余弦函數(shù)的線性組合的形式的積分，一般思路是將被積函數(shù)的分子寫成分母和分母的導(dǎo)數(shù)的線性組合的形式，然后分項(xiàng)分別積分即 可。解：；7cos x -3sin x = 5cos x 2sin x (5cos x 2sin x)7cosx -3sin x

46、,dx 二5cosx 2sin x5cosx 2sin x (5cos x 2sin x)fdx5cosx + 2sin x(5cosx 2sin x)d(5cosx 2sin x)二1dx 二 dx5cosx+2sin x 5cosx+2sin x=x + In 5cosx + 2sin x + C.,d(5cosx+2s inx)二 dx5cosx + 2sin x (8)ex(1 sx)dx1 cosx思路：分項(xiàng)積分后對(duì)前一積分采用分部積分，后一積分不動(dòng)。解:-叭1麗九二(坯)dx=(1 cosx 1 cosx1 cosxC 2 x2cos 一2x xe tan -)dx22cos2x2

47、dx extan2dxx 2 x x x x.esec2d2 etan2dxx xe tan C.2 6、求不定積f(x)f (x)(x)f (x) f 3(x)dx知識(shí)點(diǎn)：分部積分法考察兼顧湊微分的靈活性。思路分析：分項(xiàng)后，第二個(gè)積分顯然可湊現(xiàn)成的微分，分部積分第二個(gè)積分，第一個(gè)積分不動(dòng)，合并同種積分，出現(xiàn)循環(huán)后解出加一個(gè)任意常數(shù)即可。解:3-f2(x3f(x)dx 二 3dx_ f2(x3f(x)dx1 f(x) f (x)f (x)廠(x) 而如需df(x)=需3 5(開f2(x)f 2 (x)2f(x)f 4(x)-3f 5(x)f (x)f2(x)dxf2(x)f 2 (x)dxf(

48、x) f (x)f 3(x)2f (x3f (x)dx 二 f 3(x)2 2f (x)f (x)dx屮r2(x)2f c.2 f 2(x) 7、設(shè) ln = tannxdx,(n 1)，求證:I知識(shí)點(diǎn):分部積分法考察，三角恒等式的應(yīng)用,1n 1湊微分等。tan nX ln” 并求 tan5xdx。思路分析:由要證明的目標(biāo)式子可知，應(yīng)將tann x分解成tann，xtan2 x，進(jìn)而寫成證明：ln 二 tannxdx 二 tann J xtan2 xdx 二 tann_2 x(se； x1)dxI n,。n 22tan x(sec x -1)，分部積分后即可得到= tann_2 xd tanx

49、-tann_2xdxtannx _ I n/n -1jtan5xdx 二 l5=-tan4 x - l3 二-tan444x -(丄 tan2 x - IJ2Jtaf41x2tan2x 亠 itanxdxtan4x41 2-tan x In cosx +C2 8思路：化無理式為有理式，三交換元。1亠x 1亠X解：* J =，令 x = sin t, t ，貝dx = costdt。Y1-XJ1X22-Xdx 二1X2costdt 二 cost(1 sin t)dt 二 t - cost C二 arcsi nx：-1-x2 C.1 + xx 9設(shè)不定積分I X1pdx，若則有(D)。思路：VVu

50、 xe ,提示我們將被積函數(shù)的分子分母冋乘以e后再積分。解：打1 xex (1 x)I1x dxxX dxx(1 xe )e x(V xe )又；* du 二(ex xeX)dx = ex(1 x)dx;2,選(D)。2 #2 10、求下列不定積分：知識(shí)點(diǎn)：求無理函數(shù)的不定積分的綜合考察。思路分析：基本思路一一將被積函數(shù)化為有理式。(i)、fdx .x Ji + x4思路：先進(jìn)行倒代換，在進(jìn)行三角換元。dxx、1x42令 t = tanu,0dxx .1x4t dtt (,dt)-1 t2 丿,1 t41 t4JIu藥，則dt2dt2=sec2 udu。1 sec2 udu2 secudt22

51、.1 t4secudu2 1-In secu +tanu +C2A.Aln( .1 t4 t2) C 二In(2 2丄n(1x4 12 (2)、dx.思路：進(jìn)行三角換元，化無理式為有理式。3T解：令 x 二 sect,。：: t ，則 dx 二 sect tantdt,2dx1 sectsec ttantsect tantdt =d (cost 1)dt sect=t sint Cx-arcsin C.x注:1 ” 1 ” (arccos-) =(-arcsin ) xxx +2 (3)、 dx.思路：進(jìn)行三角換元，化無理式為有理式。解：令 x =sint,0 :： t ：，則 dx = co

52、stdt ； x2sint 2,2 costdtX；2 dx 1_x2sin tcost1 2亍)dt = icsctdt 2 csc2 tdt si ntJ-x2dxdxcostdtdtdtsec tdt(1 x2) ,1 X2(1 sin21 )cos t 1 sin21cos21 2sin2112 tan2tta nt)21 ( 2tant)詩 arctan(3ant) -dx (5)、x2-x=ln csct cott 2cott +C =ln (4)、(1 + X2) J X2思路：進(jìn)行三角換元，化無理式為有理式。解：令 x = sin t,0 : t ：，則 dx = costdt

53、 ；2思路：進(jìn)行三角換元，化無理式為有理式。3T解：令 x =2sint,0 : t ，則 dx = 2costdt;2dx2costdtx、4 _ x2 2sin t 2costdt 1,csctdt 2si nt 21 ,=一 In csct2 cott +C4lnC.11、求下列不定積分：知識(shí)點(diǎn)：較復(fù)雜的分部積分法的考察。思路分析：基本思路一一嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕、三、指”順序湊微分。、ln(x ,1 x2 )dx思路：分部積分。解：In(x1 x2 )dx 二 x ln(x 、1 x2) - .x二J。：Hx=xln( x1 x2)1 x221 d(x_1)2x2=xln(x . 1

54、x2) i；1 x2 (2)、 ln(1x2)dx思路：分部積分。解：ln(1 x2)dx =xln(1 x2)-2x21 x22dx = xln(1 x2)- 空iUdx1x2id J2 取 2 1x2$dx 二 xln(1 x ) _2x 2arctan x C。4 (3)、xtanxsecxdx思路：分部積分。解： xtan xsec4xdx 二 xsec xd secx 二 xsec4 x -secx(sec3 x3xsec xtanx)dx 二 xseCx- seCxdx-3 xtanxseCxdx二 x sec x-(tan2x 1)dtanx-3 xtanxsedxdx1 tan

55、3x-tanx-3 xtanxsexdx3xtanxsexdx =丄xsefx tanxtanx C.41244=x sec x2x (4)、2 arctan xdx1 +x2思路：分項(xiàng)后分部積分。2解:2 arcta nxdxT +x2x2 ：1 12 arcta n xdx = arcta n xdx -1 x1 x1 2 arctan xdxRx - arcta n xd arcta n x=x arctan x -1 2 1 2=xarctanx ln(1 x ) (arctan x) C.2 22 (5)、ln(1 3x )dxx思路：分部積分后倒代換。解:2ln(1 )dx= jl

56、n (1 x2)d(fx 冷二-2ln(1 x )-2 xdx1 x217x ln(1 x).dx2x(1 x )dx對(duì)于積分一竺亍應(yīng)用倒代換，令 x(1 +x )x=，貝U dx t*dt，x(1 x2)t 1丁嚴(yán))t2= -l n(1 t2) C =1 t2211 x2一尹LCln(1x2),3 dx xln(1 x2)x2-2n(1二)Cdx (6)、1 + COSX思路：將被積函數(shù)變形后分部積分。dx = x dxxsec xd jxsec -d-x2 cos -2解:x1 cosx-j xd tancosx +C2xxxxxx二 xtantan dx 二 xtan2 tan d xt

57、an 2ln222222=xta n In21 cosx2x+C =xtan + ln 1 +cosx +G。2 12、求不定積分：ln = xnexdx, n為自然數(shù)。知識(shí)點(diǎn)：較復(fù)雜的分部積分法的考察。思路分析：基本思路一一嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕、三、指”順序湊微分，推一個(gè)遞推關(guān)系式。解: l xex - x Cnxnxnxn_jxnxIn 二 xedx 二 x de x e -nx edx 二 xe -n 1門二ex(xn nxn n(n - 1)xn，n(n -1)(n -2)xn 川(-1)k n(n -1)( n- 2)川(n- k1)xn川(T)n n!x)(-1)n n!l0=ex

58、(xn -nxnn(n -1)xn， n(n -1)(n -2)xn 川(-1)k n(n -1)(n- 2)(n_ k1)xn川(T)nn!x)(-1)n n!exC2 13、求不定積分：(x -2x 3)cos2xdx.知識(shí)點(diǎn)：較復(fù)雜的分部積分法的考察。思路分析：基本思路一一嚴(yán)格按照“反、對(duì)、幕、三、指”順序湊微分，分項(xiàng)后分別積分。2 2解:(x -2x 3)cos 2xdx 二 x cos2xdx -2 xcos2xdx 3 cos2xdx TOC o 1-5 h z 23x d sin2x- “xdsin 2x cos2xd2x2123(x si n2x2 xsi n2xdx)-(xs

59、i n2x sin 2xdx)+ sin2x213(x sin 2x 亠 ixd cos2x)- (xsin 2xsin2xd2x)+ sin 2x2221113x sin 2x xcos2x -cos2xdx-xsin 2x - cos2x sin 2x222221113二一x sin 2x xcos2x-si n2x-xsi n2xcos2x si n 2x C2422511=(xx)sin 2x (x )cos 2x C.42214、求下列不定積分：知識(shí)點(diǎn)：求解較復(fù)雜的有理函數(shù)和無理函數(shù)的不定積分。思路分析：基本思路有理式分項(xiàng)、無理式化為有理式。11.、8 x dxx +3x +2思路：

60、將被積函數(shù)化為一個(gè)整式加上一個(gè)真分式的形式，然后積分。解:t x11dx 3(xX7 2x1 * 3x8 3x42)dxx3dx -3x7 2x3x8 3x42dxI8x712x320 3x3x8 3x42dx3 卑*dx8 x8 3x42 TOC o 1-5 h z 384420 x dx 143 d(x 3x 2)5 dx84x8488 x8 3x 2 48x8 3x4 28 x8 3x4 2dx21484d(x 3x 2)8 x8 3x42JxTn48x8 +3x4 +2 +5ln81434 丄 4 丄=x In (x +1)(x +2)8丄4ln仝4x4 2C.8、卄dx思路：將被積函