1、1.1.2 余 弦 定 理1 一、教學(xué)內(nèi)容 分析余弦定理第一課時；通過利用平面幾何法, 坐標法 兩點的距離公式 ,向量的模 , 正弦定理等方法推導(dǎo)余弦定理,正確懂得余弦定理的結(jié)構(gòu)特點,初 步體會余弦定懂得決 “邊、角、邊 ”和“邊、邊、邊 ”問題,懂得余弦定理是勾股 定理的特例 , 從多視角摸索問題和發(fā)覺問題,形成良好的思維品質(zhì) , 激發(fā)同學(xué) 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和深厚的愛好,培育同學(xué)思維的寬闊性；二、同學(xué)學(xué)習(xí)情形分析本課之前,同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩點間的距離公式, 三角函數(shù)、向量基本學(xué)問和正弦定理有關(guān)內(nèi)容,對于三角形中的邊角關(guān)系有了較進一步的熟悉；在此基 礎(chǔ)上利用多種方法探求余弦定理,同學(xué)已有肯定的學(xué)

2、習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)愛好；三、教學(xué)目標 連續(xù)探究三角形的邊長與角度間的詳細量化關(guān)系、把握余弦定理的兩種表 現(xiàn)形式,體會多種方法特殊是向量方法推導(dǎo)余弦定理的思想；通過例題運用余 弦定懂得決 “邊、角、邊 ”及“邊、邊、邊 ”問題；懂得余弦定理是勾股定理的特 例,懂得余弦定理的本質(zhì)；四、教學(xué)重點與難點 教學(xué)重點：余弦定理的證明過程特殊是向量法與坐標法及定理的應(yīng)用；教學(xué)難點：用正弦定理推導(dǎo)余弦定理的方法 五、教學(xué)過程：1. 學(xué)問回憶aAbBc正弦定理在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即sinsinsin C正弦定理可以解什么類型的三角形問題？1已知兩角和任意一邊,可以求出其他兩邊和一角 AAS,

3、ASA ；2已知兩邊和其中一邊的對角,可以求出三角形的其他的一邊和另外兩角 SSA ；2. 提出問題 已知三角形兩邊及其夾角如何求第三邊？SAS 問題 在三角形 ABC中, 已知邊 a,b, 夾角 C, 求邊 c A b c A C a B 3. 解決問題通過預(yù)習(xí)由同學(xué)給出自己的證明方法；同學(xué)甲：利用和正弦定理證明相像的方法bA a c B 法一：平面幾何法（作高法）解 過 點作 : AADBC交BC于點DADbsinC CDbcosCA BDBCCDabcosCC 在直角三角形ABC 中 由勾股定理得 ,D c2 sinC2abcosC2c2a2b22abcosC同學(xué)乙：由于涉及邊長問題,可

4、考慮求兩點的距離；利用坐標法來推導(dǎo)余弦定 理：法二：坐標法x 解: 以 C為原點 ,BC 為 x 軸建立直角坐標系y c cos Ca 2 sinC02AbcosC,bsinC cb2cos2C2abcosCa2b2sin2Cbc A 2 ca22 b2 abcos CC a Ba,0 同學(xué)丙：由于涉及邊長問題,從而可以考慮用向量來討論這個問題；利用向量法推導(dǎo)余弦定理：法三：向量法cC bA a c B 解：令CAb CBa AB由三角形法就有cabA |c|2 cab2C|c2 |a2b22a bc2a2b22abcos老師：由于我們才學(xué)習(xí)了正弦定理,那么用正弦定理可以證明余弦定理嗎？法四：

5、由aAcC得csinAasinC1cos sinsin同理 csinBbsinC2利用B CA 代入2 消去角B 得ccosAbacos C3利用2 12 +3 消去 即得證法五：求證:c22 ab22 abcos C證明 右邊2RsinA 22RsinB 22 8 RsinAsinBcos CCAB 右邊42 R2 sin AB 法六：利用c2RsinC 證明由CAB得c22 4 Rsin2A2 cosB2 cosA2 sinB2sinAcos sinB把2 cosA12 sin2 A ,cosB12 sinB 代入得c22 ab22 abcos C4. 歸納概括余弦定理：a2b2c22 b

6、ccosAb2a2c22 accosB作用： SAS問題c2a2b22 abcosC三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍；2c22 a作 用 ： SSS（ 已 知 三 邊 求 三 個 夾推論：cosAb2 bccosBa22 cb22 accos C2 a角）b2c22 ab5余弦定理的簡潔應(yīng)用例 1：.在三角形 ABC 中,已知 b=8,c=3,A=600（1）求 a; 2 求三角形中最大角的余弦值 ;3 判定三角形的外形. 用銳角 , 鈍角 , 直角三角形回答解: 1 由a22 bc22bccosA 得a2822 32 83cos 6049a72

7、由bac 得角 B最大cosB=a2c2b24996412 ac27 373cosB0B90所以ABC 為鈍角三角形.6余弦定理與勾股定理的關(guān)系：余弦定理是一般三角形中邊與角的平方關(guān)系,引導(dǎo)同學(xué)聯(lián)想到勾股定理；余弦定理22 abcos C有關(guān)系嗎 .勾股定理b2c2a2b2 c2 a例 2：用,= 填空1 在ABC 中 當 為銳角時,a2b22 c2 在ABC 中 當 為直角時,a22 bc23 在ABC 中 當 為鈍角時,a22 b2 c例2. 解:1 當0C90時 ,cosC0c22 ab22 abcos C2 ab22 當C90時 ,cosC02 ca2b22 abcos Ca2b23 當 90C180時 ,cosC02 ca22 b2 abcos Ca22 b勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系,余弦定理就指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系；理是余弦定理的特例7. 課堂小結(jié)c2 =a2+ b22abcosC 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣,