1、33函數(shù)的奇偶性與周期性(教師獨具內(nèi)容)1結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義2對比函數(shù)單調(diào)性的證明方法，理解函數(shù)奇偶性的證明方法，結(jié)合圖象特征體會奇偶性的作用3了解函數(shù)周期性的概念和幾何意義4通過數(shù)形結(jié)合，理解函數(shù)奇偶性及周期性的概念，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)；通過對函數(shù)奇偶性的證明，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)(教師獨具內(nèi)容)1函數(shù)的奇偶性是函數(shù)性質(zhì)的重點內(nèi)容，也是歷年高考的熱點內(nèi)容，每年高考均有涉及，常與函數(shù)的單調(diào)性等其他知識相結(jié)合進行考查，體現(xiàn)其綜合性在近五年的全國卷中，考查過由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，考查過由函數(shù)的奇偶性求不等式的解集，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)2準確理解函數(shù)奇偶性的概念，

2、并能夠應(yīng)用函數(shù)的奇偶性解決以下問題：(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)根據(jù)奇偶性確定函數(shù)的值、參數(shù)的值；(3)奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合解決抽象函數(shù)不等式的問題，同時要注意對奇偶性隱性結(jié)論考查的問題3解決周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合問題，通常先利用周期性轉(zhuǎn)化為自變量所在的區(qū)間，再利用奇偶性和單調(diào)性求解(教師獨具內(nèi)容)(教師獨具內(nèi)容)1函數(shù)的奇偶性一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做 eq o(,sup3(01)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做 eq o(,sup3(02)

3、奇函數(shù)注：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件若f(x)0，則奇(偶)函數(shù)定義的等價形式如下：(1)f(x)f(x)f(x)f(x)0 eq f(f（x）,f（x）)1f(x)為偶函數(shù)；(2)f(x)f(x)f(x)f(x)0 eq f(f（x）,f（x）)1f(x)為奇函數(shù)偶函數(shù)的圖象特點：關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象特點：關(guān)于原點中心對稱2函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有 eq o(,sup3(01)f(xT)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期注：周期函數(shù)定義的實

4、質(zhì)存在一個非零常數(shù)T，使f(xT)f(x)為恒等式，即自變量x每增加一個T后，函數(shù)值就會重復出現(xiàn)一次(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期3常用結(jié)論(1)函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義，則一定有f(0)0；如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|).奇函數(shù)在兩個關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性(2)函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量x：若f(xa)f(x)，則T2a(a0).若f(xa) eq f(1,f（x）)，則T

5、2a(a0).若f(xa) eq f(1,f（x）)，則T2a(a0).若f(xa)f(x)c，則T2a(a0，c為常數(shù)).(3)函數(shù)圖象的對稱性若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，即f(ax)f(ax)，則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱若對于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱若函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，即f(xb)f(xb)0，則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱若對于R上的任意x都有f(2bx)f(x)0，則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱1下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()Af(x)x1 Bf(x)x2xCf(x)2x

6、2x Df(x)2x2x答案D解析對于A，f(x)x1f(x)，f(x)f(x)；對于B，f(x)(x)2(x)x2xf(x)，f(x)f(x)；對于C，f(x)2x2xf(x)；對于D，f(x)2x2xf(x).故選D.2已知f(x)滿足f(x2)f(x)，當x0，1時，f(x)2x，則f eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)等于()A eq f(1,2) B eq r(2) C eq f(r(2),2) D1答案B解析由f(x2)f(x)，可知函數(shù)f(x)的周期T2，則f eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(

7、f(1,2)2 eq f(1,2) eq r(2).3已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(，0上是增函數(shù)，則f(x)f(x1)的解集為_答案 eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2)解析f(x)為偶函數(shù)，且在(，0上是增函數(shù)，f(x)在0，)上是減函數(shù)，f(x)f(x1)，|x|x1|，兩邊平方得x2x22x1，解得x eq f(1,2).4已知f(x)ax2bx是定義在a1，2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是_答案 eq f(1,3)解析f(x)是定義在a1，2a上的偶函數(shù)， eq blc(avs4alco1(a12a0，,b0，) eq blc(avs4alco1(af(1,3)

8、，,b0，)ab eq f(1,3).5已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，當x(1，1)時，f(x) eq blc(avs4alco1(4x22，1x0，,0，0 x0；當x(2，0)(2，)時，f(x)0，所以由xf(x1)0可得 eq blc(avs4alco1(x0，,0 x12或x12)或x0，解得1x0或1x3，所以滿足xf(x1)0的x的取值范圍是1，01，3.故選D.4(2021新高考卷)已知函數(shù)f(x)x3(a2x2x)是偶函數(shù)，則a_答案1解析設(shè)g(x)a2x2x.因為函數(shù)f(x)x3(a2x2x)是R上的偶函數(shù)，函數(shù)h(x)x3是R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)g(

9、x)a2x2x是R上的奇函數(shù)，故g(0)a2020a10，因此a1.5(2019全國卷)已知f(x)是奇函數(shù)，且當x0，則x0.當x0時，f(x)eax，f(x)eax.f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)eax，f(ln 2)ea ln 2(eln 2)a2a.又f(ln 2)8，2a8，a3.一、基礎(chǔ)知識鞏固考點函數(shù)奇偶性的判定例1(2022長沙市南雅中學高三模擬)下列判斷正確的是()A函數(shù)f(x) eq f(x2x,x2)是奇函數(shù)B函數(shù)f(x)(1x) eq r(f(1x,1x)是偶函數(shù)C函數(shù)f(x)x1是非奇非偶函數(shù)D函數(shù)f(x)1既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案C解析f(x) eq f(x2x

10、,x2)，函數(shù)的定義域為(，2)(2，)，不關(guān)于原點對稱，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，A錯誤；f(x)(1x) eq r(f(1x,1x)，函數(shù)的定義域為1，1)，不關(guān)于原點對稱，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，B錯誤；f(x)x1的定義域為R，且f(x)f(x)，f(x)f(x)，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，C正確；函數(shù)f(x)1的圖象關(guān)于y軸對稱，是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，D錯誤故選C.例2(2021浙江溫州高三模擬)下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且是奇函數(shù)的是()A.yln ( eq r(x21)x) Bytan xCy3x3x Dyx31答案C解析對于A，xR，yf(x)ln eq f(（r(x21)x）（r(

11、x21)x）,r(x21)x)ln eq f(1,r(x21)x)，因為y eq f(1,r(x21)x)是減函數(shù)，yln x是增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法(同增異減)，得f(x)是減函數(shù)，故A錯誤；對于B，x eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2)，kf(,2)，kZ，由于ytan x在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故B錯誤；對于C，xR，因為y3x與y3x都是增函數(shù)，所以y3x3x是增函數(shù)，f(x)3x3xf(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，故C正確；對于D，xR，f(x)(x)31f(x)，故D錯誤故選C.1.(2021遼寧沈陽高三月考)已知函數(shù)f(x)e|x|e|x|，則

12、函數(shù)f(x)()A是偶函數(shù)，且在(0，)上單調(diào)遞增B是奇函數(shù)，且在(0，)上單調(diào)遞減C是奇函數(shù)，且在(0，)上單調(diào)遞增D是偶函數(shù)，且在(0，)上單調(diào)遞減答案A解析f(x)e|x|e|x|，f(x)e|x|e|x|e|x|e|x|f(x)，函數(shù)f(x)e|x|e|x|為偶函數(shù)，當x(0，)時，f(x)exexex eq f(1,ex)，函數(shù)yex在(0，)上單調(diào)遞增，函數(shù)y eq f(1,ex)在(0，)上單調(diào)遞減，f(x)exex在(0，)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)e|x|e|x|在(0，)上單調(diào)遞增故選A.2(2021河南鄭州高三月考)已知函數(shù)f(x)log2(2x2 eq r(4x28x8

13、)，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()Af(x1)1 Bf(x1)1Cf(x1)1 Df(x1)1答案A解析由題意可得，f(x)log22(x1) eq r(4（x1）24)log2(x1) eq r(（x1）21)1，則f(x1)1log2(x eq r(x21)，令g(x)log2(x eq r(x21)，定義域為R，g(x)g(x)log2(x eq r(x21)log2(x eq r(x21)log210，故g(x)f(x1)1是奇函數(shù)故選A.判斷函數(shù)奇偶性的兩個必備條件(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系

14、，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立考點函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例3(多選)(2022江蘇泰州高三期中)若函數(shù)f(x) eq f(k2x,1k2x)在定義域上為奇函數(shù)，則實數(shù)k的值可以是()A1 B0 C1 D2答案AC解析因為函數(shù)f(x) eq f(k2x,1k2x)在定義域上為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，即 eq f(k2x,1k2x) eq f(k2x,1k2x).所以 eq f(k2x1,2xk) eq f(k2x,1k2x)，所以(k21)(2x)210，所以k210，所以k1.故選AC.例4(20

15、22湖南岳陽模擬)設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且當x0時，f(x)ex1，則當x0時，f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1答案D解析設(shè)x0，因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且當x0時，f(x)ex1，所以f(x)ex1f(x)，即f(x)ex1.故選D.3.(2022遼寧沈陽模擬)若函數(shù)f(x) eq f(x,（2x1）（xa）)為奇函數(shù)，則a()A eq f(1,2) B eq f(2,3) C eq f(3,4) D1答案A解析f(x) eq f(x,（2x1）（xa）)為奇函數(shù)，f(1)f(1)0，得a eq f(1,2).故選A.4(2021江蘇南京模擬)如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3，1上

16、是增函數(shù)且有最大值5，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間1，3上是()A增函數(shù)且最小值為5B增函數(shù)且最大值為5C減函數(shù)且最小值為5D減函數(shù)且最大值為5答案A解析因為f(x)為奇函數(shù)，在區(qū)間3，1上是增函數(shù)且有最大值5，所以f(x)在1，3上的單調(diào)性與在3，1上一致且有最小值5.故選A.利用函數(shù)奇偶性可以解決的問題(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知解析式的區(qū)間上的函數(shù)值(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上，再利用奇偶性的定義求出(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)f(x)0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得方程(組)，進而得出參數(shù)的值(4)畫函數(shù)圖

17、象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其關(guān)于原點對稱區(qū)間上的圖象(5)求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值考點函數(shù)的周期性例5(2021嫩江市高級中學模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，當0 x1時，f(x)x2，則f(2023)()A20232 B1 C0 D1答案D解析因為f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，因為f(x)為R上的奇函數(shù)，且當0 x1時，f(x)x2，所以f(2023)f(50641)f(1)f(1)1.故選D.例6(2021安徽金安六安一中高三月考)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x1)

18、為奇函數(shù)，f(x2)為偶函數(shù)，當x(1，2)時，f(x)3x22，則f eq blc(rc)(avs4alco1(f(14,3)()A eq f(10,3) B eq f(10,3)C eq f(2,3) D eq f(2,3)答案B解析f(x1)為奇函數(shù)，f(x1)f(x1)，f(x2)為偶函數(shù)，f(x2)f(x2)，f(x1)1)f(x1)1)f(x)，即f(x2)f(x)，f(x2)f(x2)f(x).令tx，則f(t2)f(t)，f(t4)f(t2)f(t)，f(x4)f(x).故函數(shù)f(x)的周期為4.f eq blc(rc)(avs4alco1(f(14,3)f eq blc(rc

19、)(avs4alco1(f(2,3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3) eq f(10,3).故選B.5.(2021河北正定中學高三月考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，當x3，5時，f(x)1|x4|，則下列不等式成立的是()Af eq blc(rc)(avs4alco1(sin f(,3)f eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,3)Bf(sin 1)f(cos 1)Cf eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(2,3)f eq blc(rc)(avs4alco1(sin f(2,3)Df(sin 2)f(cos 2)

20、答案C解析當x3，5時，f(x)1|x4|，f(x2)f(x)，當x1，1時，f(x)f(x2)f(x4)1|x|，當x0，1時，f(x)1x，函數(shù)f(x)在0，1上為減函數(shù)，又0cos eq f(,3)sin eq f(,3)1，f eq blc(rc)(avs4alco1(sin f(,3)f eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,3)，A錯誤；0cos 1sin 11，f(sin 1)f eq blc(rc)(avs4alco1(sin f(2,3)，C正確；f(sin 2)1sin 2，f(cos 2)1|cos 2|1cos 2，又sin eq f(2,3)sin

21、21，cos eq f(2,3)cos 20，01sin 21 eq f(r(3),2)， eq f(1,2)1cos 21，f(sin 2)f(cos 2)，D錯誤故選C.6(2021山西八校聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x2) eq f(1,f（x）)，當2x3時，f(x)x，則f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2)_答案 eq f(5,2)解析因為f(x2) eq f(1,f（x）)，所以f(x4)f(x)，所以f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，又2x3時，f(x

22、)x，所以f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2) eq f(5,2)，所以f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2) eq f(5,2).1求解與函數(shù)的周期性有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期2周期函數(shù)的圖象具有周期性，如果發(fā)現(xiàn)一個函數(shù)的圖象具有兩個對稱性(對稱中心在垂直于y軸的直線上，對稱軸垂直于x軸)，那么這個函數(shù)一定具有周期性考點函數(shù)的對稱性例7(1)已知定義域為R的函數(shù)f(x)在區(qū)間(，5上單調(diào)遞減，對任意實數(shù)t，都有f(5t)f(5t)，那么下列式子一定成立的是()Af(1)f(9)f(13)Bf(13)f(9)f(1)Cf(9

23、)f(1)f(13)Df(13)f(1)0，,|x3|，4x0且a1).若函數(shù)f(x)的圖象上有且只有兩個點關(guān)于原點對稱，則實數(shù)a的取值范圍是()A eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,4)B eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,4)(1，)C eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，1)(1，)D(0，1)(1，4)答案C解析當4x0時，函數(shù)y|x3|關(guān)于原點對稱的函數(shù)為y|x3|，即y|x3|(0 x4)，因為函數(shù)f(x)的圖象上有且只有兩個點關(guān)于原點對稱，則等價為函數(shù)f(x)logax(x0)與y|x3|(0 x4)的圖象只有一個交點，

24、作出兩個函數(shù)的圖象如圖所示，若a1，則f(x)logax(x0)與y|x3|(0 x4)的圖象只有一個交點，滿足條件，當x4時，y|43|1，若0a1，要使兩個函數(shù)圖象只有一個交點，則滿足f(4)1，即loga41，得 eq f(1,4)a1.綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，1)(1，).故選C.7.(2022福建泉州模擬)已知函數(shù)g(x)的圖象與f(x)x2mx的圖象關(guān)于點(1，2)對稱，且g(x)的圖象與直線y4x4相切，則實數(shù)m()A2 B4C4 D1答案C解析設(shè)(x，y)是函數(shù)g(x)的圖象上任意一點，則其關(guān)于(1，2)對稱的點為(

25、2x，4y)，因此點(2x，4y)在f(x)的圖象上，所以4y(2x)2m(2x)，整理得yx2mx4x2m，即g(x)x2mx4x2m，又g(x)的圖象與直線y4x4相切，所以方程x2mx4x2m4x4，即x2mx2m40有兩個相等的實數(shù)根，則m24(2m4)0，可得m4.故選C.8(2021南京市中華中學高三月考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2x)f(x)，且當x1時，f(x) eq blc(avs4alco1(x3，1x4，,1log2x，x4，)若對任意的xt，t1，不等式f(2x)f(x1t)恒成立，則實數(shù)t的最大值為()A1 B eq f(2,3)C eq f(1,3) D e

26、q f(1,3)答案C解析f(2x)f(x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，當x1時，f(x) eq blc(avs4alco1(x3，1x0，a1)與yax(a0，a1)的圖象關(guān)于直線yx對稱；函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；yf(x)與yf(x)關(guān)于x軸對稱；yf(x)與yf(x)關(guān)于原點對稱等考點奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合應(yīng)用例9定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且在1，0上單調(diào)遞減，設(shè)af(2.8)，bf(1.6)，cf(0.5)，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aabc BcabCbca Dacb答案D解析偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，函數(shù)f

27、(x)的周期為2.af(2.8)f(0.8)，bf(1.6)f(0.4)f(0.4)，cf(0.5)f(0.5).0.80.5cb.故選D.例10函數(shù)yf(x)的定義域為R，并且滿足f(xy)f(x)f(y)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)1，且當x0時，f(x)0.(1)求f(0)的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明；(3)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并解不等式f(x)f(2x)2.解(1)令xy0，則f(0)f(0)f(0)，f(0)0.(2)f(x)是奇函數(shù)證明如下：函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱令yx，得f(0)f(x)f(x)0，f(x)f(x)，故函數(shù)f(x

28、)是R上的奇函數(shù)(3)f(x)是R上的增函數(shù)證明如下：任取x1，x2R，x10，f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)0，f(x1)f(x2)，故f(x)是R上的增函數(shù)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)1，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2，f(x)f(2x)f(x(2x)f(2x2)f eq blc(r

29、c)(avs4alco1(f(2,3)，由yf(x)是定義在R上的增函數(shù)，得2x2 eq f(2,3)，解得x0，若f(2)1，則不等式f(x1)11或3x0B.x|x3Cx|x1或0 x3Dx|1x0，不妨設(shè)x1x20，則f(x1)f(x2)，故函數(shù)f(x)在0，)上為增函數(shù)，因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故f(2)f(2)1，由f(x1)10可得f(|x1|)1f(2)，可得|x1|2，解得1x3.因此不等式f(x1)10的解集為x|1xg(t)成立，則滿足條件的實數(shù)m構(gòu)成的集合為()A eq blcrc(avs4alco1(mblc|(avs4alco1(mf(1,4) B eq blcrc

30、(avs4alco1(mblc|(avs4alco1(mf(1,4)C eq blcrc(avs4alco1(mblc|(avs4alco1(0f(1,4)答案A解析由函數(shù)yf(x1)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱可知，函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于原點對稱，即函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)，由對于任意的x，總有f(x2)f(x2)成立，即f(x4)f(x)恒成立，得函數(shù)yf(x)的周期是4，又當x(0，2)時，f(x)x22x1，則當x(0，2)時，0f(x)1，而f(x)是奇函數(shù)，則當x(2，0)時，1f(x)0，又f(2)f(2)，f(2)f(2)，從而得f(2)f(2)f(0)0，即x2，2)時，1f(

31、x)g(t)成立，從而得不等式g(x)1在R上有解，即mx2x1在R上有解，當m0時，取x2，4m220時，mx2x10在R上有解，必有14m0，解得m eq f(1,4)，則有00時，f(x)2x1，則使不等式f(log3x)30時，f(x)2x1是增函數(shù)，又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)0，滿足f(x)2x1，又函數(shù)f(x)在R上是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(2)3，進而原不等式化為f(log3x)f(2)，結(jié)合f(x)的單調(diào)性可得log3x2，所以0 x0(x1x2)恒成立，則f eq blc(rc)(avs4alco1(f(15,2)，f(4)，f e

32、q blc(rc)(avs4alco1(f(11,2)的大小關(guān)系正確的為()Af eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2)f(4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(15,2)Bf(4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(15,2)Cf eq blc(rc)(avs4alco1(f(15,2)f(4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2)Df eq blc(rc)(avs4alco1(f(15,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2)f(4)答案

33、C解析因為f(x2)f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)因為f(x2)為奇函數(shù)，所以f(x2)f(x2)f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)由x1，x20，1)有 eq f(f（x1）f（x2）,x1x2)0(x1x2)恒成立，得f(x)在區(qū)間0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)為奇函數(shù)可得函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，1)內(nèi)單調(diào)遞增，因為f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(6f(1,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(15,2)f eq b

34、lc(rc)(avs4alco1(f(1,2)8)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(4)f(0)，所以f eq blc(rc)(avs4alco1(f(15,2)f(4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2).函數(shù)的奇偶性是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣，特別是與函數(shù)其他性質(zhì)的綜合應(yīng)用更加突出，這類問題從通性通法的角度來處理，顯得較為繁瑣，若能靈活利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，常能達到化難為易、事半功倍的效果課時作業(yè)一、單項選擇題1下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的為()Ayx1 Byx2Cy eq f(1,x) Dyx|x|答案D解析對于

35、A，yx1為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件；對于B，yx2是偶函數(shù)，不滿足條件；對于C，y eq f(1,x)是奇函數(shù)，但在定義域上不是增函數(shù)，不滿足條件；對于D，設(shè)f(x)x|x|，則f(x)x|x|f(x)，則函數(shù)為奇函數(shù)，當x0時，yx|x|x2，此時為增函數(shù)，當x0時，yx|x|x2，此時為增函數(shù)綜上，yx|x|在R上為增函數(shù)故選D.2設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x) eq blc(avs4alco1(log2（x1），x0，,g（x），x0，)則f(7)()A3 B3C2 D2答案B解析因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x) eq blc(avs4alco1(log

36、2（x1），x0，,g（x），x0，)所以f(7)f(7)log2(71)3.故選B.3已知f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當x(0，1)時，f(x)3x1，則f eq blc(rc)(avs4alco1(f(2023,2)()A eq r(3)1 B eq r(3)1C eq r(3)1 D eq r(3)1答案D解析因為f(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以f(x2)f(x)f(x)，所以f eq blc(rc)(avs4alco1(f(2023,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(1010f(3,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)f eq bl

37、c(rc)(avs4alco1(f(3,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2).又當x(0，1)時，f(x)3x1，所以f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq r(3)1，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(2023,2) eq r(3)1.故選D.4已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，且當x0，1時，f(x)log2(x1)，則下列不等式正確的是()Af(log27)f(5)f(6)Bf(log27)f(6)f(5)Cf(5)f(log27)f(6)Df(5)f(6)f(log27)答案C解析因為奇函數(shù)f(x)

38、的圖象關(guān)于直線x1對稱，所以f(1x)f(1x)，f(x)f(x)，所以f(2x)f(x)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(5)f(1)f(1)1，f(6)f(2)f(0)0.于是，結(jié)合題意可畫出函數(shù)f(x)在2，4上的大致圖象，如圖所示又2log273，所以結(jié)合圖象可知1f(log27)0，故f(5)f(log27)f(6).故選C.5(2021岳麓湖南師大附中高三月考)函數(shù)f(x)2x4 eq f(1,2x)的圖象關(guān)于()A點(2，0)對稱B直線x2對稱C點(2，0)對稱D直線x2對稱答案B解析因為f(x)2x4 eq f(1,2x)2

39、x42x，該函數(shù)的定義域為R，f(x4)2x442(x4)2x2x4f(x)，因此，函數(shù)f(x)2x4 eq f(1,2x)的圖象關(guān)于直線x2對稱故選B.6已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0 xf(a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1)(2，)B(1，2)C(2，1)D(，2)(1，)答案C解析f(x)是奇函數(shù)，當xf(a)，得2a2a，解得2af(3) Bf(2)f(6)Cf(3)f(5) Df(3)f(6)答案A解析因為yf(x4)為偶函數(shù)，所以f(x4)f(x4)，所以yf(x)的圖象關(guān)于直線x4對稱，所以f(2)f(6)，f(3)f(5).又yf(x)在(4，)上為

40、減函數(shù)，所以f(5)f(6)，所以f(3)f(6)，f(3)f(2)，故A錯誤，B，C，D正確二、多項選擇題9設(shè)函數(shù)f(x) eq f(exex,2)，則下列結(jié)論正確的是()A|f(x)|是偶函數(shù)Bf(x)是奇函數(shù)Cf(x)|f(x)|是奇函數(shù)Df(|x|)f(x)是偶函數(shù)答案ABC解析因為f(x) eq f(exex,2)，則f(x) eq f(exex,2)f(x).所以f(x)是奇函數(shù)所以f(x)是奇函數(shù)所以|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|是偶函數(shù)，所以f(x)|f(x)|為奇函數(shù)因為f(|x|)f(|x|)，所以f(|x|)是偶函數(shù)，所以f(|x|)f(x)是奇函數(shù)10(202

41、1武漢質(zhì)檢)設(shè)f(x)為定義在R上的函數(shù)，f(x)f(x)0，f(x1)f(x3)0，f(x)在0，1上單調(diào)遞減，下列說法正確的是()A函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱B函數(shù)f(x)的最小正周期為2Cf(3)f(4)D函數(shù)f(x)在2021，2022上單調(diào)遞減答案ABC解析由f(x)f(x)0可得f(x)f(x)，故函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，所以A正確；由f(x1)f(x3)0可得f(x1)f(x3)，f(x)f(x2)，即函數(shù)f(x)的最小正周期為2，所以B正確；因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在0，1上單調(diào)遞減，最小正周期為2，故函數(shù)f(x)在1，2上單調(diào)遞增，在3，4上單調(diào)遞增，

42、f(3)0)為奇函數(shù)，則a_答案1解析由題意，得f(x)f(x)，則f(1)f(1)，即1aa1，得a1(經(jīng)檢驗符合題意).12(2021河南鄭州十一中高三期中)若函數(shù)f(x)同時滿足：a.對于定義域上的任意x，恒有f(x)f(x)0；b.對于定義域上的任意x1，x2，當x1x2時，恒有 eq f(f（x1）f（x2）,x1x2)0，則稱函數(shù)f(x)為“理想函數(shù)”給出下列四個函數(shù)：f(x) eq f(1,x)；f(x)x2；f(x) eq f(2x1,2x1)；f(x) eq blc(avs4alco1(x2，x0，,x2，x0，)其中能被稱為“理想函數(shù)”的有_(填相應(yīng)的序號).答案解析對于定義域上的任意x，恒有f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；對于定義域上的任意x1，x2，當x1x2時，恒有 eq f(f（x1）f（x2）,x1x2)0，即(x1x2)f(x1)f(x2)0，當x1f(x2)，即函數(shù)f(x)是減函數(shù)故f(x)為定