1、 蘇州大學(xué)本科畢業(yè)論文（2012屆）淺談矩陣的對(duì)角化問題 學(xué)號(hào) 0807402069 姓名 馬莉瑩 院系 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）指導(dǎo)老師朱廣俊 目錄中文 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc293486645 摘要1 HYPERLINK l _Toc293486646 Abstract2 HYPERLINK l _Toc293486647 前 言3 HYPERLINK l _Toc293486651 第一章 矩陣相似對(duì)角化問題的引入4 HYPERLINK l _Toc293486657 第二章 矩陣相似對(duì)角化的條件5 HYPERLINK l _T

2、oc293486657 第三章 矩陣對(duì)角化的若干方法7 HYPERLINK l _Toc293486658 3.1 一般矩陣對(duì)角化的方法7 HYPERLINK l _Toc293486659 3.2 實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法20第四章 特殊矩陣的對(duì)角化 HYPERLINK l _Toc293486663 27總 結(jié) HYPERLINK l _Toc293486664 31參考文獻(xiàn) HYPERLINK l _Toc293486665 32致 謝 HYPERLINK l _Toc293486666 33 中文摘要 矩陣的對(duì)角化是矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)重要問題，本文利用高等代數(shù)的有關(guān)理論給出了矩陣可對(duì)角化的

3、若干條件；從初等變換、線性方程組、特征子空間等不同角度探究了將一般矩陣和實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩陣的對(duì)角化問題，如冪等矩陣、冪零矩陣、實(shí)對(duì)稱矩陣和Hermite矩陣等.關(guān)鍵詞：對(duì)角化，特征值，特征向量，相似變換，線性變換. Abstract Diagonalization of Matrix is an important problem in the matrix theory. We give several conditions of matrix diagonalization by the use of higher algebra related theo

4、ry. We give some methods of diagonalization of general matrix and real symmetric matrix from different aspects, such as elementary transformation, system of linear equations and characteristic subspace. In the end, we analysis the diagonalization of some special matrix, such as idempotent matrix, ni

5、lpotent matrix，real symmetric matrix and hermite matrix.Keywords : diagonalization，eigenvalue，eigenvectors， similarity transformation，linear transformation. 前 言 矩陣的對(duì)角化在國(guó)內(nèi)外已有一定的研究.早在十九世紀(jì)末，人們?cè)谘芯啃辛惺降男再|(zhì)和計(jì)算時(shí)，提出了對(duì)角矩陣的概念.隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，矩陣對(duì)角化的應(yīng)用前景也變得更為廣闊. 對(duì)角矩陣是一類最簡(jiǎn)單的矩陣，它在許多領(lǐng)域如量子力學(xué)、無線電、電子信息工程、計(jì)算機(jī)等中起著重要的作用.由于通過相似變換

6、，許多矩陣在相似意義下都與一個(gè)對(duì)角矩陣等價(jià)，而對(duì)角矩陣的性質(zhì)很容易從它自身元素的特點(diǎn)得出，所以對(duì)于可對(duì)角化的矩陣，我們只要研究它的相似標(biāo)準(zhǔn)形即可. 本文主要簡(jiǎn)述了矩陣可對(duì)角化的若干條件；從初等變換,線性方程組,特征子空間等不同角度探究了將一般矩陣和實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩陣的對(duì)角化問題，如冪等矩陣、冪零矩陣、實(shí)對(duì)稱矩陣和Hermite矩陣等.符號(hào)說明 數(shù)域 復(fù)數(shù)域 數(shù)域上的線性空間 的全體線性變換的集合 數(shù)域上的維向量全體所組成的集合 數(shù)域上的階矩陣的集合 單位矩陣 矩陣的逆 矩陣的轉(zhuǎn)置 矩陣的共軛轉(zhuǎn)置 矩陣的秩 矩陣的跡第一章 矩陣相似對(duì)角化問題的引入 在高等代數(shù)中

7、，對(duì)于有限維線性變換的研究，主要有兩種方法.第一種：對(duì)某空間的全體線性變換的集合就構(gòu)成了數(shù)域上的線性空間.我們可利用這些運(yùn)算來研究線性變換.第二種：在空間中取定一組基，建立起線性變換與矩陣之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過對(duì)線性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣的線性性質(zhì)的探索了解，來獲得線性變換的線性性質(zhì)的相關(guān)信息. 當(dāng)利用矩陣這一工具來研究線性變換時(shí)，我們自然希望它所對(duì)應(yīng)的矩陣較為簡(jiǎn)單，最好為對(duì)角矩陣，以便容易了解它的性質(zhì).接下來我們自然會(huì)問：(1) 對(duì)一個(gè)線性空間中的線性變換而言，是否一定存在某個(gè)基，使得它對(duì)應(yīng)的矩陣是對(duì)角形的？(2) 若存在，則需滿足什么條件？將矩陣變?yōu)閷?duì)角矩陣又有哪些方法？(3) 若不存在，那么

8、我們能否退而求其次，使得線性變換在某一基下的矩陣是準(zhǔn)對(duì)角矩陣？事實(shí)上，對(duì)于第三個(gè)問題，在復(fù)數(shù)域上已得到了非常完美的解決，這就是矩陣的Jordan相似標(biāo)準(zhǔn)形問題.下面給出相關(guān)定義和定理.定義1：設(shè)矩陣,稱為屬于的一個(gè)Jordan塊，其中是它的主對(duì)角元，Jordan塊的準(zhǔn)對(duì)角矩陣為Jordan形矩陣.定理1（4)：設(shè)是復(fù)數(shù)域上的Jordan形矩陣，使得與Jordan塊的排列順序，這樣的Jordan形矩陣是唯一的. 一般情況下，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形不是對(duì)角矩陣，它的主對(duì)角線上的元素是Jordan塊，但當(dāng)所有的Jordan塊都是一階時(shí)，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形變?yōu)閷?duì)角矩陣，即對(duì)角矩陣是它的一種特殊情況.那么，

9、滿足什么條件時(shí)，所有的Jordan塊都是一階的？這就是接下來要討論的矩陣可對(duì)角化的條件.第二章 矩陣相似對(duì)角化的條件隨著矩陣的類型和其所在數(shù)域范圍的不同，矩陣可對(duì)角化的條件也有所不同.下面分別列出了矩陣在任意數(shù)域、復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上所需滿足的條件.任意數(shù)域上矩陣相似對(duì)角化的條件充要條件設(shè)為階方陣的個(gè)互異的特征值，且它們的重?cái)?shù)分別為，.可對(duì)角化有個(gè)線性無關(guān)的特征向量 對(duì)于的每個(gè)特征值,其代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù) 的最小多項(xiàng)式無重根 對(duì)于的每個(gè)特征值，都有 的初等因子都是1次的 與某個(gè)循環(huán)矩陣相似充分條件有個(gè)不同特征值可對(duì)角化的零化多項(xiàng)式（稱滿足的多項(xiàng)式為矩陣的零化多項(xiàng)式）無重根可對(duì)角化（9）復(fù)數(shù)域上

10、Hermite矩陣相似對(duì)角化的條件定義2：滿足的階復(fù)矩陣稱為酉矩陣.定義3：滿足的階復(fù)矩陣稱為Hermite矩陣.定理2（4)：設(shè)，并且是Hermite矩陣，則存在一個(gè)酉矩陣，使得,并且是實(shí)數(shù)，. 由定理2知Hermite矩陣必可對(duì)角化.實(shí)數(shù)域上對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化的條件定義4：滿足的階實(shí)矩陣稱為正交矩陣.定義5：滿足的階實(shí)矩陣稱為實(shí)對(duì)稱矩陣.定理3(4)：設(shè)是一個(gè)階的實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在一個(gè)正交矩陣,使得,并且是實(shí)數(shù)，. 由定理3知實(shí)對(duì)稱矩陣既可相似對(duì)角化又可合同對(duì)角化.第三章 矩陣對(duì)角化的若干方法3.1 一般矩陣對(duì)角化的方法 本文介紹了將一般矩陣對(duì)角化的五種方法，分別是特征向量法、矩陣乘積運(yùn)算

11、法、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法、矩陣標(biāo)準(zhǔn)形法和數(shù)字矩陣對(duì)角形法.下面我們一一加以討論. 設(shè)矩陣與相似，且，并設(shè)，得,即.由此可見，這里只要取的列為方陣的可逆，所以的對(duì)角化問題最終歸結(jié)為求其特征值以及求特征值所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的問題. 如果階方陣相似于對(duì)角矩陣,則的相似對(duì)角化的一般步驟如下: (1)求出的全部特征值.(2)對(duì)的每個(gè)特征值，求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,將所有這樣 的基礎(chǔ)解系中的向量合在一起,假定這樣的向量共有個(gè),它們就是的個(gè)線性無關(guān)的特征向量，分別設(shè)它們?yōu)?令，則，其中是屬于特征值的列向量的排列次序應(yīng)該與對(duì)角矩陣的主對(duì)角線元素的排列次序相一致.例1：判定矩陣能否對(duì)角化

12、，若能，求可逆矩陣，使得 為對(duì)角矩陣. 解：由，得的特征值， 當(dāng)時(shí)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，. 當(dāng)時(shí)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系. 令，則有.此方法的原理簡(jiǎn)單易懂，是最常規(guī)的方法.但在解決問題時(shí)，需要去求矩陣的特征值，并且對(duì)于求得的每個(gè)特征值都要逐一帶入齊次線性方程組求出該特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，過程繁瑣且當(dāng)矩陣的階數(shù)越來越高時(shí)，求起來也越來越困難.設(shè)是在數(shù)域,且，記為的屬于的特征子空間. 對(duì)于齊次線性方程組，有如下結(jié)論：若可對(duì)角化，則對(duì)于的每個(gè)特征值，都有個(gè)與其對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量.可對(duì)角化的充要條件是對(duì)于的每個(gè)特征值,其代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù)，即. 類似地，我們有定理4.定理4（

13、3)：設(shè)是在數(shù)域上的全部互不相同的特征值，其重?cái)?shù)分別為,且，記=. 對(duì)于，有如下結(jié)論：（1）若可對(duì)角化，則矩陣的列向量組中有對(duì)應(yīng)于的個(gè)線性無關(guān)的特征向量.（2）可對(duì)角化的充要條件是. 定理4表明，要構(gòu)造可對(duì)角化矩陣的相似變換矩陣,完全可以不像常規(guī)方法那樣解齊次線性方程組，而只需對(duì)每一特征值（），從矩陣乘積中找出個(gè)與對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量，以這樣所得的個(gè)特征向量為列作一個(gè)階矩陣即可. 下面我們利用此方法來解決具體問題.例2：判定矩陣能否對(duì)角化，若能，求可逆矩陣，使得 為對(duì)角矩陣. 解：由 ，得的特征值（二重)， 因?yàn)?，所以可?duì)角化. 當(dāng)（二重）時(shí)， 取中的兩個(gè)線性無關(guān)的向量， 由定理4知，即為

14、特征值-1對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 當(dāng)時(shí)， 取中的向量. 由定理4知即為特征值5對(duì)應(yīng)的特征向量. 故相似變換矩陣，且例3：判定矩陣能否對(duì)角化，若能，求可逆矩陣，使得 為對(duì)角矩陣. 解：由，得 （二重）， 所以矩陣可對(duì)角化.當(dāng)（二重）時(shí)： 取中的兩個(gè)線性無關(guān)的向量. 由定理4知，即為特征值-1對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量.當(dāng)時(shí)： 取中的 由定理4知即為特征值5對(duì)應(yīng)的特征向量.當(dāng)時(shí)： 取中的. 由定理4知即為特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量.于是相似變換矩陣，且該方法區(qū)別于傳統(tǒng)的特征向量法，把矩陣對(duì)角化問題歸結(jié)為矩陣的乘法運(yùn)算，不需要解方程組就可以得到特征向量及相似變換矩陣.3.Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法我

15、們知道復(fù)數(shù)域上任意的階矩陣都相似于一個(gè)Jordan矩陣，即存在可逆矩陣，使得（定理1）.在的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中，主對(duì)角線上的元素是在復(fù)數(shù)域?yàn)閷?duì)角矩陣，則可對(duì)角化，否則，不可對(duì)角化.一般情況下，我們采用初等因子法來確定一個(gè)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.但在此過程中,我們不能直接得到相似變換矩陣.下面，我們將從相似變換的角度來求一個(gè)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，該方法可以同時(shí)求得矩陣的特征值，特征向量以及相似變換矩陣.由于矩陣可逆，所以存在一系列的初等矩陣，使得: ，.又因?yàn)椋杂校?.在對(duì)施行初等變換時(shí)，我們可對(duì)先施行一次初等行變換后，接著再施行一次相應(yīng)的初等列變換，且上述兩次初等變換所對(duì)應(yīng)的初等矩

16、陣是互逆的.用初等變換的語言表述為：先將的第行乘以后加到第行，再將它的第列乘以后加到第施行了一次相似變換.顯然，可對(duì)施行一系列的相似變換，將化為Jordan形矩陣.由于第一種初等變換和第二種初等變換均可由第三種初等變換得到，所以只需對(duì)施行第三種初等變換即可.下面我們來看具體實(shí)例.例4：判定矩陣能否對(duì)角化. 解：將矩陣化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 由的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形可知，矩陣不可對(duì)角化且它的特征值為1,1,2.例5：判定矩陣能否對(duì)角化，若能，求可逆矩陣，使得 為對(duì)角矩陣. 解：將矩陣化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 由的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形可知，矩陣可對(duì)角化，它的特征值為-2,1,1，且對(duì)共施行了三次相似變換

17、，其中，三次初等列變換分別為： 所以，且. 由可知：特征值-2對(duì)應(yīng)的特征向量為，特征值1（二重）對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量分別為，.4.矩陣標(biāo)準(zhǔn)形法引理1（5)：設(shè)是階方陣，則必能用初等變換將 變?yōu)閷?duì)角矩陣： 并且多項(xiàng)式 的所有根恰好是的所有特征值.定理5（5）：設(shè)是階方陣， 是對(duì)角形矩陣，是可逆的矩陣，且滿足.如果 .即用對(duì)作初等行變換，用對(duì)作初等列變換，使變?yōu)閷?duì)角矩陣.隨著行的變化而變?yōu)?則若的所有根都在內(nèi)，則就是的所有特征值.對(duì)于的特征值，設(shè)第行是的全部為零的行，則的第行即構(gòu)成為特征值的特征子空間.（3）可對(duì)角化，此處是的重?cái)?shù).根據(jù)定理5即可得到矩陣標(biāo)準(zhǔn)形法：（1） 對(duì)作初等變換，使之

18、成為對(duì)角矩陣，隨著行的變化而變?yōu)?設(shè)，求出的所有解.（2） 若的解都在內(nèi)，并且對(duì)每個(gè)解都有中零行的數(shù)目等于的重?cái)?shù)，則可對(duì)角化，轉(zhuǎn)（3）；否則不可對(duì)角化，結(jié)束.（3） 對(duì)于的任一特征值，若的第行都為零，則取出的第， ,行構(gòu)作: 則 下面利用上述步驟來解答具體問題.例6：判定矩陣能否對(duì)角化，若能，則求出可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣. 解：作初等變換： 按照上述方法：（1）記， 由和，得，（2）當(dāng)時(shí)，中零行的數(shù)目的重?cái)?shù) 當(dāng)時(shí)，中零行的數(shù)目的重?cái)?shù) 由定理5知可對(duì)角化.（3）當(dāng)時(shí)， 取中與中零行所對(duì)應(yīng)的向量， 由定理5知即為屬于特征值2的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 當(dāng)時(shí)， 取中與中零行所對(duì)應(yīng)的向量. 由定理5

19、知即為屬于特征值-4的特征向量. 令，則例7：判定矩陣能否對(duì)角化，若能，則求出可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣. 解：作初等變換： 按照上述方法：（1）記， 由和，得（2）當(dāng)時(shí)，中零行的數(shù)目的重?cái)?shù) 當(dāng)時(shí)，中零行的數(shù)目的重?cái)?shù).由定理5知可對(duì)角化.（3）當(dāng)時(shí)， 取中與中零行所對(duì)應(yīng)的向量， 由定理5知即為屬于特征值0的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 當(dāng)時(shí)， 取中與中零行所對(duì)應(yīng)的向量. 由定理5知即為屬于特征值2的特征向量. 令，則5. 數(shù)字矩陣對(duì)角形法若矩陣在數(shù)域上可對(duì)角化，則存在上的可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣，且的主對(duì)角線上的元素為的全體特征值.由于矩陣可逆，所以存在一系列的初等矩陣，使得: .于是，做初等變換：

20、 .該變換形式表示：對(duì)施行一系列的初等行變換和初等列變換,使其變?yōu)閷?duì)角矩陣，對(duì)只施行相應(yīng)的初等列變換變?yōu)?在施行初等變換時(shí),可施行若干次行（或列）變換后再施行若干次相應(yīng)的列（或行）變換，只要保持變換后，最后所得矩陣與相似即可.例8：判定矩陣 能否對(duì)角化，若能，則求出可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣. 解：作初等變換： . 所以可對(duì)角化. 令，則有.例9：判定矩陣 能否對(duì)角化，若能，則求出可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣. 解：作初等變換： 所以可對(duì)角化. 令，則有 利用初等變換將矩陣對(duì)角化時(shí)，不需要單獨(dú)去求特征值與特征向量，只須通過對(duì)矩陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)某醯茸儞Q就可同時(shí)求出矩陣的特征值與特征向量，收到了判定求解一體

21、化的效果，它簡(jiǎn)單易操作，大大簡(jiǎn)化了求解過程，以至于判定求解都是從最終的矩陣讀出來的.3.2 實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法實(shí)對(duì)稱矩陣是研究二次型，線性空間和線性變換等問題的有利工具，現(xiàn)在我們來研究將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法.將一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同對(duì)角化的方法實(shí)際就是求二次型標(biāo)準(zhǔn)形的方法,即通過坐標(biāo)變換（或者配方）的方法來實(shí)現(xiàn)的；將一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化的方法與一般矩陣的相似對(duì)角化方法相同，在本章的第一節(jié)已給出了五種方法；下面我們重點(diǎn)研究將一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣既合同又相似對(duì)角化的方法.這里主要介紹三種,分別是Schmidt正交法、直接正交法和度量矩陣法.1.Schmidt正交法該方法是在相似對(duì)角化的基礎(chǔ)上將可逆

22、矩陣化為正交矩陣.由于實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交，因此將實(shí)對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化后，只需要將代數(shù)重?cái)?shù)大于1的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量先正交化，然后再將所有的特征向量單位化即可.對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣, 求一個(gè)正交矩陣, 使得為對(duì)角矩陣的步驟如下:（1）求的特征值.（2）求對(duì)應(yīng)于每個(gè)特征值的特征向量.對(duì)于單特征值，只需將屬于它的特征向量單位化；對(duì)于重特征值，先求出屬于它的個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 然后對(duì)這個(gè)特征向量進(jìn)行正交單位化，這樣就可得到個(gè)兩兩正交的單位特征向量.（3）以正交單位化的特征向量為列組成矩陣, 它就是所需的正交矩陣,且滿足為對(duì)角矩陣.例10：設(shè) .求一正交矩陣, 使得為對(duì)角矩陣. 解

23、：由，得（二重），. 當(dāng)時(shí)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系,. 將,正交化： ， 再將單位化: ， 當(dāng)時(shí)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系. 將單位化: 令,則. 用Schmidt正交方法求正交特征向量時(shí)，必須牢記公式，且當(dāng)特征值的重?cái)?shù)較大時(shí)，計(jì)算較為復(fù)雜. 當(dāng)實(shí)對(duì)稱矩陣的某一特征根為重根時(shí)，我們可以求出屬于的個(gè)特征向量，要得到個(gè)彼此正交的單位特征向量，可以直接從特征子空間中求出正交向量，然后單位化即可.且當(dāng)特征根的重?cái)?shù)較大時(shí)，能夠大大減少計(jì)算量.例11：設(shè) ，求一正交矩陣, 使得為對(duì)角矩陣. 解：由，得（三重），. 設(shè) 當(dāng)時(shí)，解齊次線性方程組，得. 先取一個(gè)特征向量. 設(shè)特征向量. 因與正交，從而

24、有.又因?yàn)?，所以可? 取.再設(shè)特征向量. 因與和都正交，從而有，.又因?yàn)椋?所以可得.取. 現(xiàn)將，都單位化： ，. 當(dāng)時(shí),可求得單位特征向量：. 令，則.例12：設(shè)，求一正交矩陣, 使得為對(duì)角矩陣. 解：由，得（三重），. 設(shè) 當(dāng)時(shí),解齊次線性方程組，得. 先取一個(gè)特征向量.設(shè)特征向量. 因與正交，從而有，又因?yàn)?，所以可? 取 .再設(shè)特征向量 . 因與和都正交，從而有，又因?yàn)椋?所以可得.取. 現(xiàn)將，都單位化.得： ， 當(dāng)時(shí),可求得單位特征向量：. 令，則.該方法從向量正交的基本定義出發(fā)，易于理解和掌握，且在特征值出現(xiàn)重根的情況下,計(jì)算量也大為減少.對(duì)于維歐氏空間,令是它的一個(gè)基，它的度量

25、矩陣 是正定矩陣,于是合同于單位矩陣，即可求得階可逆矩陣，使得.利用和的基作一個(gè)新基:.那么，新基的度量矩陣即為： . 所以是歐式空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基.對(duì)例12利用度量矩陣和合同變換來求正交矩陣：已知(三重)，. 當(dāng)時(shí)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系 ， 當(dāng)時(shí)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系 則 是一組基.記其度量矩陣為，那么 對(duì)矩陣作合同變換：=. 取，即有.利用和基作新基: . 則： ， . ， . 由于的度量矩陣，故是的標(biāo)準(zhǔn)正交基.令，則是正交矩陣且.例13：設(shè).求一正交矩陣, 使得為對(duì)角矩陣. 解：由，得 當(dāng)時(shí)， 解齊次線性方程組， 得基礎(chǔ)解系 . 當(dāng)時(shí)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系 . 當(dāng)時(shí)

26、， 解齊次線性方程組， 得基礎(chǔ)解系 . 當(dāng)時(shí)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系 . 則是的一個(gè)基. 令其度量矩陣為，那么. 對(duì)矩陣作合同變換：. 取，即有. 利用可逆矩陣和基作新基: . 則: 由于的度量矩陣，故是的標(biāo)準(zhǔn)正交基. 令，則是正交矩陣且. 使用該方法時(shí)，需要對(duì)度量矩陣和合同變換有清晰的了解.利用正定矩陣合同于單位矩陣，求的原基與新基之間的“過渡矩陣”是該方法的關(guān)鍵.特殊矩陣的對(duì)角化下面我們來探討一些特殊矩陣的對(duì)角化問題.定義6：設(shè)是數(shù)域上的階矩陣，如果，則稱為冪等矩陣.引理2（5)：冪等矩陣的特征多項(xiàng)式是的零化多項(xiàng)式.定理6（5)：階冪等矩陣一定可以對(duì)角化，并且的相似標(biāo)準(zhǔn)形是 ，其中,

27、是階單位矩陣.證明： 因?yàn)?所以有零化多項(xiàng)式，因?yàn)闊o重根，所以的特征值只有0和1，所以的相似標(biāo)準(zhǔn)形是,其中.由該定理可以推出冪等矩陣的若干性質(zhì)：性質(zhì)1：冪等矩陣的特征值為0或1.性質(zhì)2：若是冪等矩陣，則性質(zhì)3：冪等矩陣的跡等于的秩.證明：設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)階冪等矩陣，. 如果，則.如果，則從而 下面設(shè).由定理6知的相似標(biāo)準(zhǔn)形是 于是性質(zhì)4：任意階矩陣都可以表示成為一個(gè)可逆矩陣與一個(gè)冪等矩陣的乘積.證明：設(shè)階方陣的秩為，則存在階可逆矩陣 使得： 所以. 令，.則.易知，所以階矩陣都可以表示成為一個(gè)可逆矩陣與一個(gè)冪等矩陣的乘積.2.冪零矩陣 定義7：設(shè)，若存在正整數(shù)，使，則稱的最小正整數(shù)為的冪零指數(shù)

28、.引理3（4）：若 為的特征多項(xiàng)式，為的最小多項(xiàng)式，則.引理4（9)：設(shè)為階矩陣的特征值，則對(duì)任意的多項(xiàng)式有的特征值為.冪零矩陣具有下列性質(zhì)：性質(zhì)5：為冪零矩陣的充分必要條件是的特征值全為0.證明：（必要性) 若為冪零矩陣，則存在正整數(shù)，使得.令為的任意一個(gè)特征值，則存在,使得.由引理4知為的特征值. 所以存在 ，使得 ，從而有即有. 又由，知，所以 . 所以為的任意性知的特征值全為0. （充分性）因?yàn)榈奶卣髦等珵?, 所以的特征多項(xiàng)式為,由引理3知,所以為冪零矩陣.性質(zhì)6：若為冪零矩陣且，則不可對(duì)角化.證明：若可對(duì)角化，則存在可逆矩陣，使得，此處是為冪零矩陣，則存在正整數(shù)，使得，即： ， 又

29、因?yàn)?，所以有?，與題設(shè)矛盾. 定義8：設(shè)，若存在正整數(shù)，使得，則稱為冪幺矩陣.性質(zhì)7：冪幺矩陣在復(fù)數(shù)域上可對(duì)角化.證明：若為冪幺矩陣，則存在正整數(shù)，使得，所以有零化多項(xiàng)式. 因?yàn)樵趶?fù)數(shù)域上，的根都是次單位根，故無重根，所以可對(duì)角化.注意：在實(shí)數(shù)域上不一定可對(duì)角化！例如，滿足，即為冪幺矩陣，但是在實(shí)數(shù)域上無根，所以在實(shí)數(shù)域上不可對(duì)角化.性質(zhì)8：實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值的特征向量相互正交.性質(zhì)9：設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣的重特征值，則對(duì)應(yīng)于特征值，矩陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.定理3（4）：設(shè)是一個(gè),使得,并且是實(shí)數(shù)，.證明：設(shè)的互不相等的特征值為，并且它們的重?cái)?shù)依次為.則對(duì)于特征值，恰有個(gè)線性無關(guān)的實(shí)特征向

30、量.把它們正交化并單位化，即得知，這樣的特征向量共可得個(gè).由于不同特征值的特征向量正交，故這個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?，以它們?yōu)榱邢蛄孔鞒烧痪仃嚕瑒t： 為一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣.5.Hermite矩陣歐氏空間實(shí)質(zhì)上是實(shí)數(shù)域上的一個(gè)內(nèi)積空間.類似地可考慮復(fù)數(shù)域上的內(nèi)積空間酉空間和酉空間上的線性變換.與正交變換和實(shí)對(duì)稱矩陣類似，酉空間中有酉變換與Hermite矩陣.性質(zhì)10：設(shè)是Hermite矩陣，則的特征值均為實(shí)數(shù).證明：設(shè)為的特征值，為其對(duì)應(yīng)的特征向量，即，那么： 但，所以，即為實(shí)數(shù).性質(zhì)11：設(shè)是Hermite矩陣，則對(duì)應(yīng)于的不同特征值的特征向量必正交.證明：設(shè)是的兩個(gè)不同的特征值，分別是它們所對(duì)應(yīng)的

31、特征向量，則有 ，. ，即.由于的特征值為實(shí)數(shù)，也即.又因?yàn)?，所以，即正?引理 5 （9)：設(shè)，則存在一個(gè)酉矩陣，使得是一個(gè)上三角形矩陣.定理2（4)：設(shè)，并且是Hermite矩陣，則存在一個(gè)酉矩陣, 使得,并且是實(shí)數(shù)，.證明：由引理5知存在一個(gè)酉矩陣,使得 是一個(gè)上三角形矩陣.又是一個(gè)酉矩陣，故也是Hermite矩陣. 于是，對(duì)任意，都有，這迫使當(dāng)時(shí)，有；并且是實(shí)數(shù)，. 因此，Hermite矩陣必定可以對(duì)角化，且它的特征多項(xiàng)式的復(fù)數(shù)根都是實(shí)數(shù).總 結(jié) 本文給出了矩陣可對(duì)角化的若干條件；從不同角度探究了將矩陣對(duì)角化的方法；最后分析了若干特殊矩陣的對(duì)角化問題.關(guān)于矩陣可對(duì)角化的條件，由于目前在

32、這一方面的研究比較多，所以本文直接列出了判定矩陣可對(duì)角化的常用條件.矩陣對(duì)角化的方法是本文研究的重點(diǎn).本文先對(duì)一般矩陣進(jìn)行了研究，分別給出了特征向量法,矩陣乘積運(yùn)算法,Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法，矩陣標(biāo)準(zhǔn)形法和數(shù)字矩陣對(duì)角形法這五種方法.其中，特征向量法是常規(guī)方法的研究方法，是我們接觸最早的方法.矩陣乘積運(yùn)算法是在特征向量法的基礎(chǔ)上得到的，該方法把矩陣對(duì)角化問題歸結(jié)為矩陣的乘法運(yùn)算，不需要解方程組就可以得到特征向量及相似變換矩陣. Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法、矩陣標(biāo)準(zhǔn)形法和數(shù)字矩陣對(duì)角形法這三種方法均是從初等變換這一角度來研究問題的,它們不僅能同步求解特征值，特征向量，相似變換矩陣，而且計(jì)算過程較為簡(jiǎn)單，具有一定的優(yōu)越性.對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣，本文列出了Schmidt正交法、直接正交法和度量矩陣法這三種方法. 其