1、第14章 勾股定理14.1 勾股定理第2課時(shí) 直角三角形三邊的關(guān)系- 驗(yàn)證勾股定理1課堂講解勾股定理的驗(yàn)證勾股定理的應(yīng)用2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升知1講1知識(shí)點(diǎn)勾股定理的驗(yàn)證讀一讀 我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱(chēng)為勾， 較長(zhǎng)的直角邊稱(chēng)為股，斜邊稱(chēng)為弦.“弦圖”最早是由三 國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作注時(shí)給出的， 它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就.圖14. 1. 3是2002年在 北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)(ICM-2002)的會(huì)標(biāo)，其圖 案正是由“弦圖”演變而來(lái).知1講做一做 用四個(gè)全等的直角三角形，還可以拼成如圖 14. 1.5所示的圖形.與上面的方法類(lèi)似，根據(jù)這一圖 形，也能證

2、明勾股定理.請(qǐng)你試一試，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程.圖 14. 1.5知1講1.命題1：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b， 斜邊長(zhǎng)為c，那么a2b2c2.2.常用證法：通過(guò)拼圖法利用求面積來(lái)證明；這種方法 以數(shù)形轉(zhuǎn)換為指導(dǎo)思想、圖形拼補(bǔ)為手段，以各部分 面積之間的關(guān)系為依據(jù)達(dá)到目的知1講3用拼圖法證明命題1的思路：(1)圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面 積不會(huì)改變；(2)根據(jù)同一種圖形的面積的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性質(zhì)變換證明結(jié)論成立，即拼出圖形寫(xiě)出 圖形面積的表達(dá)式找出等量關(guān)系恒等變形推出 命題1的結(jié)論 圖14.1-1是用硬紙板做成的四個(gè)兩直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜

3、邊長(zhǎng)為c的全等的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能證明命題1的圖形(1)畫(huà)出拼成的這個(gè)圖形的示意圖；(2)證明命題1.知1講例1 圖14.1-1知1講可以以邊長(zhǎng)為c的正方形為基礎(chǔ)，一在形外補(bǔ)拼(不重疊)成新的正方形；二在形內(nèi)疊合成新的正方形導(dǎo)引： 知1講(1)解：如圖14.1-2.(2)證明：因?yàn)榇笳叫蔚?面積可表示為(ab)2， 也可表示為c24 ab， 所以(ab)2c24 ab，即a2b2 2abc22ab， 所以a2b2c2，即命題1成立方法一(補(bǔ)拼法)：圖14.1-2知1講(1)解：如圖14.1-3.(2)證明：因?yàn)榇笳叫蔚?面積可以表示為c2，也可以表示為

4、ab4 (ba)2，所以c2 ab4(ba)2，即 c22abb22aba2，所以a2b2c2， 即命題1成立方法二(疊合法)：圖14.1-3 命題1的證明主要是通過(guò)拼圖法利用面積的關(guān)系完成的，拼圖又常以補(bǔ)拼法和疊合法兩種方式進(jìn)行；補(bǔ)拼時(shí)要無(wú)重疊，疊合時(shí)要無(wú)空隙；用面積法驗(yàn)證命題1的關(guān)鍵是要找到一些特殊圖形(如直角三角形、正方形、梯形)的面積之和等于整個(gè)圖形的面積，從而達(dá)到證明的目的知1講知1練 用四個(gè)邊長(zhǎng)均為a、b、c的直角三角板，拼成如圖所示的圖形，則下列結(jié)論中正確的是()Ac2a2b2 Bc2a22abb2Cc2a22abb2 Dc24(ab)21知1練 2歷史上對(duì)勾股定理的一種證法采用

5、了如圖所示的圖形，其中兩個(gè)全等直角三角形的兩邊AE，EB在一條直線(xiàn)上證明中用到的面積相等關(guān)系是()ASEDASCEBBSEDASCEBSCDECS四邊形CDAES四邊形CDEBDSEDASCDESCEBS四邊形ABCD知1練 勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，在我國(guó)古算書(shū)周髀算經(jīng)中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載圖是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理圖是由圖放入長(zhǎng)方形內(nèi)得到的，BAC90，AB3，AC4，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在長(zhǎng)方形KLMJ的邊上，則長(zhǎng)方形KLMJ的面積為() A90 B100 C110 D1213知2講2知識(shí)點(diǎn)勾股定理的應(yīng)用勾股定理是一

6、個(gè)重要的數(shù)學(xué)定理，它將圖形(直角三角形)與數(shù)量關(guān)系(三邊關(guān)系)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)在幾何及日常生活中都有著廣泛的應(yīng)用勾股定理應(yīng)用的前提條件是直角三角形，在應(yīng)用時(shí)，對(duì)于非直角三角形的幾何問(wèn)題及實(shí)際生活問(wèn)題都要將它們轉(zhuǎn)化成直角三角形問(wèn)題；常見(jiàn)應(yīng)用主要有如下類(lèi)型：(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊；知2講(2)已知直角三角形的一邊確定另兩邊的關(guān)系；(3)證明含有平方關(guān)系的幾何問(wèn)題；(4)作長(zhǎng)為n(n1，且n為整數(shù))的線(xiàn)段；(5)一些非直角三角形的幾何問(wèn)題、日常生活中的 應(yīng)用問(wèn)題，對(duì)于這些問(wèn)題，首先要將它們轉(zhuǎn)化， 建立直角三角形模型，然后利用勾股定理構(gòu)建方 程或方程組解決如圖，Rt ABC的斜邊AC比直角邊

7、 AB長(zhǎng)2cm，另一直角邊BC長(zhǎng)為6 cm.求AC的長(zhǎng).知2講例2 由已知AB=AC 2, BC =6cm，根據(jù)勾股定理，可得 AB2 + BC2 = (AC 2)2 +62 = AC2, 解得AC= 10(cm).解： 如圖14. 1.7,為了求出位于湖兩岸的點(diǎn)A 、B之間的距離，一名觀測(cè)者在點(diǎn)C設(shè)樁，使ABC恰好為 直角三角形.通過(guò)測(cè)量，得到AC的長(zhǎng)為160米，BC的長(zhǎng)為128米.問(wèn)從點(diǎn)A穿過(guò)湖到點(diǎn)B有多遠(yuǎn)？知2講例3 知2講如圖14. 1.7,在RtABC中， AC=160 米，BC = 128 米， 根據(jù)勾股定理，可得AB = = =96(米).答：從點(diǎn)A穿過(guò)湖到點(diǎn)有96米.解： 如圖

8、所示，一根旗桿在離地面5米處斷裂，旗桿頂部落在離底部12米遠(yuǎn)處，則旗桿斷裂前有多高？知2講例4 因?yàn)槠鞐U與地面是垂直的，所以ACB90，即ABC是直角三角形根據(jù)勾股定理可得AB ，從而求出AB的長(zhǎng)，再計(jì)算BCBA即為旗桿斷裂前的高度導(dǎo)引： 知2講在ABC中，ACB90.BC5米，AC12米，根據(jù)勾股定理可得：AB 13(米)，BCBA51318(米)，即旗桿斷裂前的高度為18米解： 本題運(yùn)用建模思想解題，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題畫(huà)出直角三角形，再運(yùn)用勾股定理解答當(dāng)圖形不是直角三角形時(shí)，常常通過(guò)作垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形知2講如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC6 cm，BC8 cm，現(xiàn)將直角邊AC沿AD折疊

9、，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，試求CD的長(zhǎng)知2講例5 利用折疊前后重合的線(xiàn)段相等、重合的角相等，通過(guò)勾股定理列方程，在RtBDE中求出線(xiàn)段DE的長(zhǎng)，從而得到CD的長(zhǎng)導(dǎo)引： 知2講在RtABC中，AC6 cm，BC8 cm，AB2AC2BC26282100，AB10(cm)由折疊的性質(zhì)，可知CDEA90，ACAE6 cm，故BE1064(cm)設(shè)CDx cm，則DEx cm，BD(8x) cm.在RtBDE中，由勾股定理，得x242(8x)2，解得x3.CD的長(zhǎng)為3 cm.解： 關(guān)于折疊問(wèn)題，要緊扣折疊前后的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等；其解題步驟為：利用重合的圖形傳遞數(shù)據(jù)(一般不用重合的圖形進(jìn)行計(jì)算)；選擇直角三角形，這個(gè)直角三角形一般已知一邊，另兩邊可通過(guò)重合圖形找到數(shù)量關(guān)系，利用勾股定理列方程求解知2講知2練 如圖，一個(gè)長(zhǎng)為2.5 m的梯子，一端放在離墻腳1.5 m處，另一端靠墻，則梯子頂端距離墻腳()A0.2 m B0.4 m C2 m D4 m1知2練 將一根長(zhǎng)為24 cm的筷子置于底面直徑為15 cm，高為8 cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外的長(zhǎng)度為h cm，則h的取值范圍是()Ah17 Bh8C15h16 D7h162知2練 如圖所示，已知RtABC中，AB4，