1、線性空間的應(yīng)用Durer 魔方1514年，德國(guó)著名的藝術(shù)家 Albrecht Durer （1471-1521 ）曾鑄造過(guò)一枚名為的銅幣，這枚銅幣的畫面充滿了數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)字及幾何圖像。這里，我們可 以看一下銅幣右上角的數(shù)字問題，這是一個(gè)自然數(shù)組成的方塊（可以看作一個(gè) 矩陣），稱之為Durer魔方（如果一個(gè)4x4數(shù)字矩陣，它的每一行，每一列， 每一對(duì)角線以每小方塊上的數(shù)字相加）。其形式為16321351011896712415141此魔方中，每行、每列、對(duì)角線上的數(shù)字加在一起其和為34,若用水平線盒垂直線把它四個(gè)小方塊每個(gè)小方塊的數(shù)字和也是 34,若把四個(gè)角上的數(shù)字相加，其和仍是34。另外15，

2、14排在最后一行，正好是銅幣的鑄造時(shí)間。我們可以經(jīng)過(guò)一些換行、列的交換，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，通過(guò)中間軸和對(duì)角線的映射，得到一些新的Durer魔方，那么有多少個(gè)可定義的Durer魔方？是否有構(gòu) 成所有魔方的方法？我們說(shuō)有。下面通過(guò)用0，1數(shù)字組合的方法構(gòu)成R=C=D=S=1的所有魔方（這里R為行和，C為列和，D為對(duì)角線和，S為小方塊和），稱之為基本魔方Q , Q , Q , Q , Q , Q , Q 和 Q。12345678Q1=1 0 0 01 0 0 00 0 00 0 0 0 0 10000110 0 00 10 0,Q =,Q =,Q =0 0 0 120 10 030010410 0 00 1

3、0 00 0 100 10 00 0 100 0 100 10 00 0 100 10 010 0 0001001000 0 0 1,Q =,Q =,Q =0 10 0610 0 07000180 0 100 0 0 10 0 0 110 0 010 0 0若我們把每一個(gè)Durer魔方看成是一個(gè)矩陣，那么Durer可實(shí)行矩陣的數(shù)乘、加法運(yùn)算。因此，可以通過(guò)已知的Durer魔方進(jìn)行線性組合，構(gòu)成新的Durer 魔方，所有Durer魔方構(gòu)成一個(gè)線性空間，記為V。V顯然是一個(gè)有限維的線性Q1，QQ3,Q4,Q5,Q，Q的線性組合來(lái)表示Durer魔方，例如67163213510118967125151

4、41=8Q + 8Q + 7Q + 6Q - 3Q + 3Q + 5Q1234567空間。我們?nèi)菀鬃C明Q，Q，Q，Q，Q，Q，Q 是其一組基，這樣我們就可以用 。1234567，V的基0 1 -1 06 7 9 80 00 012 6 5 7N =例如：T =00 00 05 10 9 60 -1 1 07 7 7 9而，R=C=D=30例如要求列和、行和及每條主、V是Q的7維子空間。次對(duì)角上數(shù)字和都相等，得改變對(duì)Durer魔方數(shù)字和的要求，我們可以利用線性子空間的定義，構(gòu)造V 的子空間或者包含V的子空間。例如求行和，列和及兩條對(duì)角線上的元素和相127等，得到8維線性空間Q，基向量為Q = Q

5、，Q，-,Q，N，其中Q，Q，-,Q是5維向量空間B1721116161122-3127621126712H=N=R=C=46其中H為主對(duì)角線和，N為次對(duì)角線和，B的基為10 101 0 0 0 11010 10011010 0 1P =,P =,P =10 10 12100130 1100 10 10 11010 0 10 10 1110 010 100 0 11P=,P =410 105110 00 10 10 0 11Botsch于1967年證明了可以構(gòu)造大量的V子空間或V的擴(kuò)張空間，對(duì)于 1-16之間的每一個(gè)數(shù)K，都存在K維4x4方陣構(gòu)成的線性空間。向量在的調(diào)整氣象觀測(cè)站問題中應(yīng)用某地

6、區(qū)有12個(gè)氣象觀測(cè)站，10年來(lái)各觀測(cè)站的年降水量如下表。X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11x121981276.2324.5158.6412.5292.8258.4334.1303.2292.9243.2159.7331.21982251.6287.3349.5297.4227.8453.6321.5451466.2307.5421.1455.11983192.7436.2289.9366.3466.2239.1357.4219.7245.7411.1357353.21984246.2232.4243.7372.5460.4158.9298.7314.5256.6327296.5

7、4231985291.7311502.4254245.6324.8401266.5251.3289.9255.4362.11986466.5158.9223.5425.1251.4321315.4317.4246.2277.5304.2410.71987258.6327.4432.1403.9256.6282.9389.7413.2466.5199.3282.1387.61988453.4365.5357.6258.1278.8467.2355.2228.5453.6315.6456.3407.21989158.5271410.2344.2250360.7376.4179.4159.2342.

8、4331.2377.71990324.8406.5235.7288.8192.6284.9290.5343.7283.4281.2243.7411.1為了節(jié)省開支，想要適當(dāng)減少氣象觀測(cè)站。問題：減少哪些氣象觀測(cè)站可以使所得降水量的信息仍然足夠大?解：用 氣,以2，氣2分別表示氣象觀測(cè)站在1981-1990年內(nèi)的降水量的列向 量，a a a由于氣2,一,氣2是含有12個(gè)向量的十維向量組，所以該向量組必然相關(guān)。若能求出一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，則最大無(wú)關(guān)組所對(duì)應(yīng)的氣象站就可以將其他氣象站的資料表示出來(lái)，因而其他氣象站就是可以減少的。因此，最多只需要10個(gè)氣象觀 測(cè)站。由為列向量組 作矩陣A，可 以求出一個(gè)

9、最大無(wú)關(guān)組:以1，以2， E以,以2,以3,以4,以5,以6,以7,以8,以9以0且有：以= 0.0275以1.078以2 - 0.1256以3 + 0.1383a4 1.8927以5 1.6552以 + 0.6391以1.0134以 + 2.1608以 + 3.794以678910a12 = 2.0152a1 + 15.1202a 2 + 13.8396a3 + 8.8652a4 + 27.102a 5+ 28.325a 6 38.2279a 7 + 8.2923a8 22.2767a 9 38.878口10故可以減少第11和12個(gè)觀測(cè)站，可以使得到的降水量信息仍然足夠大。當(dāng)然， 也可以減少

10、另外兩個(gè)觀測(cè)站，只要這兩個(gè)列向量可以由其他列線性表示。注：如果確定只需要8個(gè)觀測(cè)站，那么我們可以從上表中取某8年的數(shù)據(jù)（比 如，最近8年的數(shù)據(jù)），組成含12個(gè)向量的向量組，然后求其最大無(wú)關(guān)組，則必有4 個(gè)向量可由其他向量線性表示。這4個(gè)向量所對(duì)應(yīng)的氣象觀測(cè)站就可以減少。向量在基因的“距離”中的應(yīng)用在ABO血型的人們中，對(duì)各種群體的基因頻率進(jìn)行了研究。如果把四種等位基 因A1,A2,B,O區(qū)別開，有人報(bào)告了如下的相對(duì)頻率：愛斯基摩人f1k班圖人f2k英國(guó)人f3k朝鮮人f4kA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.1

11、2000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合計(jì)1111現(xiàn)在的問題是：一個(gè)群體與另一個(gè)群體的接近程度如何？換句話說(shuō)，就是要找 到一個(gè)表示基因距離的合適的度量。解：解決這個(gè)問題可以用向量的方法。首先我們用單位向量表示每一個(gè)群體，為此對(duì)各個(gè)群體向量單位化:0.39500.14500.29910.341100.12140.09960a =,a =,a =,a =10.042820.168230.087640.31960.91770.96740.94490.8840由此可見最小的基因“距離”是愛斯基摩人和英國(guó)人之間，最大的基因“距 離”是愛斯基摩人和班圖人之間。另一種度量方法是考慮在四維向量空間中，這些向量(氣,a2,a3,氣)都是單位 向量，它們的終點(diǎn)都位于一個(gè)球心在原點(diǎn)半徑為1的球面上，現(xiàn)在用兩個(gè)向量的夾 角來(lái)表示對(duì)應(yīng)的群體間的基因“距離”是合理的。我們把a(bǔ) i與氣之間的夾角記為9 ”，由于| a JI = |a=1，再由夾角公式cos9 =一L,其值為9 = arccos(a ,a )，則(a ,a )的大小與9的大小成反比。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark19 o Current Document ia ji - a ，j ，j經(jīng)計(jì)算得:：7(a ,a ) = 0.95