1、HELLOBOOK翰博網(wǎng)上書店的設計與實現(xiàn) PAGE 1摘 要函數(shù)項級數(shù)是數(shù)學分析中的一個重要的概念,在工程技術(shù)領域也有著重要應用. 關(guān)于函數(shù)項級數(shù)的問題往往是數(shù)學分析的重點,又是難點,不易理解和掌握 而函數(shù)項級數(shù)的一個基本問題就是研究其一致收斂性,但是一致收斂的判別往往比較困難,我們的教材中對于函數(shù)項級數(shù)的收斂判別給出了一些基本方法,然而這些方法卻只能解決一些常見的問題,對于很多其它類型的函數(shù)項級數(shù),我們需要尋求其它更為方便的方法。例如,我們可以把正項級數(shù)的達朗貝爾判別法、柯西判別法、拉貝判別法和它們的極限形式順利地推廣到函數(shù)項級數(shù)的一致收斂的判別上,此外,還有很多種不常見的判別函數(shù)項級數(shù)一

2、致收斂的方法,它們在處理某些類型函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別問題上有著很重要的應用。本文旨在對上述函數(shù)項級數(shù)收斂判別的方法進行全面的總結(jié)和探究,為今后在處理函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判別提供理論基礎。關(guān)鍵詞：函數(shù)項級數(shù)、 一致收斂、函數(shù)列、部分和數(shù)列 AbstractThe function series is an important concept in mathematical analysis ,also has its importing application in engineering field. The function of series problems are often th

3、e focus of mathematical analysis, it is difficult, difficult to understand and master and one of the basic problems in function series is to study the convergence problems, but consistent convergence is often difficult, our textbooks for the convergence of functional series discriminate gives some b

4、asic methods in common use, however these methods can only solve some common problems, for series of function of many other types, we need to find other more convenient method. For example, we can put the positive term series by Darren Bell method, Cauchy method, Abe discriminate method and their li

5、miting forms smoothly to discriminant of uniform convergence of functional series of. In addition, there are many not often the discriminant function series convergence method, in which they some type of uniform convergence the function series problems of discriminant has a very important applicatio

6、n. This paper aims to make a comprehensive summary and research method to distinguish the function series convergence, for the future in the processing function of distinguishing uniform convergence of series and provide a theoretical basis. Keywords: function series, uniform convergence,function,pa

7、rtial sums目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc356472110 第1章 引 言 PAGEREF _Toc356472110 h 1 HYPERLINK l _Toc356472111 第2章 預備知識 PAGEREF _Toc356472111 h 2 HYPERLINK l _Toc356472112 2.1函數(shù)列及其一致收斂性 PAGEREF _Toc356472112 h 2 HYPERLINK l _Toc356472113 2.2 函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性的定義 PAGEREF _Toc356472113 h 2 HYPERLINK l

8、 _Toc356472114 第3章 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判定方法 PAGEREF _Toc356472114 h 4 HYPERLINK l _Toc356472115 3.1 常用判別方法 PAGEREF _Toc356472115 h 4 HYPERLINK l _Toc356472116 3.1.1 定義法 PAGEREF _Toc356472116 h 4 HYPERLINK l _Toc356472117 3.1.2 阿貝爾判別法 PAGEREF _Toc356472117 h 5 HYPERLINK l _Toc356472118 3.1.3 余項判別法 PAGEREF _Toc

9、356472118 h 5 HYPERLINK l _Toc356472119 3.1.4 狄利克雷判別法 PAGEREF _Toc356472119 h 6 HYPERLINK l _Toc356472120 3.1.5 比式判別法 PAGEREF _Toc356472120 h 6 HYPERLINK l _Toc356472121 3.1.6 根式判別法 PAGEREF _Toc356472121 h 7 HYPERLINK l _Toc356472122 3.1.7 對數(shù)判別法 PAGEREF _Toc356472122 h 7 HYPERLINK l _Toc356472123 3.

10、1.8 端點判別法 PAGEREF _Toc356472123 h 8 HYPERLINK l _Toc356472124 3.2 其它判別方法 PAGEREF _Toc356472124 h 9 HYPERLINK l _Toc356472125 3.2.1 兩邊夾判別法 PAGEREF _Toc356472125 h 9 HYPERLINK l _Toc356472126 3.2.2單調(diào)判別法 PAGEREF _Toc356472126 h 9 HYPERLINK l _Toc356472127 3.2.3 一致條件判別法 PAGEREF _Toc356472127 h 10 HYPERL

11、INK l _Toc356472128 3.2.4 導數(shù)判別法 PAGEREF _Toc356472128 h 11 HYPERLINK l _Toc356472129 3.2.5點列判別法 PAGEREF _Toc356472129 h 12 HYPERLINK l _Toc356472130 結(jié)束語 PAGEREF _Toc356472130 h 14 HYPERLINK l _Toc356472131 致謝 PAGEREF _Toc356472131 h 15 HYPERLINK l _Toc356472132 參考文獻 PAGEREF _Toc356472132 h 16函數(shù)項級數(shù)的一

12、致收斂判別法探究黃岡師范學院本科學位論文第 PAGE 18頁,共17頁第 PAGE 17頁,共17頁第1章 引 言函數(shù)項級數(shù)一致收斂的理論是數(shù)學分析的重要組成部分之一,也是學好后繼課程,如泛函分析、偏微分方程等的必備基礎.同時,函數(shù)項級數(shù)一致收斂是數(shù)學分析教學中的難點之一,數(shù)學分析中的積分運算與其它運算的可交換性,我們需要討論它的一致收斂性作為保證.目前,已有許多文獻對函數(shù)項級數(shù)一致收斂進行了研究,如文獻1中介紹了函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的概念,并介紹了判別函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的充要條件；文獻2對一致收斂分別從定義、充要條件、一般性質(zhì)、判別方法等方面做了討論；文獻3給出了判別函數(shù)項級數(shù)

13、一致收斂的新方法,這種方法與Dini定理的區(qū)別在于：Dini定理是數(shù)列單調(diào),而作者所給的是函數(shù)單調(diào).文獻4介紹了函數(shù)項級數(shù)中的Dini定理.文獻5則是對函數(shù)項級數(shù)的導數(shù)所需滿足怎樣的條件才能使級數(shù)一致收斂進行探討,從而得到了函數(shù)項級數(shù)一致收斂的導數(shù)判別法.雖然已有諸多文獻對如何判斷函數(shù)項級數(shù)一致收斂性進行了研究,但多數(shù)都有其局限性.本文試圖從函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法進行探索,在文獻2中未給出證明的定理,本文也將給出簡單的證明.本文準備從三個階段對其展開闡述：首先是簡單闡述函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)的定義以及一致收斂的概念.其次，分別列出常用的判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂的方法及其應用.最后是本文

14、的主要內(nèi)容,是在常用的判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂的方法上推出一些定理.先介紹兩邊夾判別法,然后介紹比較判別法,對魏爾斯特拉斯M判別法的條件進行改變得到一種新的比較判別法；探討在級數(shù)的和函數(shù)單調(diào)條件下,推出函數(shù)項級數(shù)的Dini定理；利用L條件,給出函數(shù)項級數(shù)一致L條件的定義,研究滿足一致L條件的函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性；探討在可微條件下,當在上的一致收斂時,函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性；把函數(shù)項級數(shù)所在點集歸結(jié)為點列來探討函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性.第2章 預備知識2.1 函數(shù)列及其一致收斂性設 （1）是一列定義在同一數(shù)集上的函數(shù),稱為定義在上的函數(shù)列.該函數(shù)也可簡單地寫作： 或,.定義 設函數(shù)列與函數(shù)定義在同

15、一數(shù)集上,若對任給的正數(shù),總存在某一正整數(shù),使得當時,對一切,都有 ,則稱函數(shù)列在上一致收斂于,記作 ,.2.2 函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性的定義 設是定義在數(shù)集上的一個函數(shù)列,表達式稱為定義在上的函數(shù)項級數(shù),簡記為.稱為函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列.定義 若函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列在數(shù)集上一致收斂于,則稱函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂于或稱在上一致收斂.我們可以看到,函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性歸結(jié)到其部分和函數(shù)列的一致收斂性的研究上,下面我們給出一個運用這個思想處理問題的例子. 例1 考察級數(shù)的一致收斂性 分析 由于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性要歸結(jié)到它的和函數(shù)列的一致收斂性上。所以我們首先要求出它的和函數(shù)列,由等

16、比級數(shù)求和公式知當時,對于任意,由于 因此級數(shù)的一致收斂性等價于函數(shù)列 對區(qū)間的一致收斂于零 證明： 由等比級數(shù)求和公式知當時 故對任意, 下面證明此函數(shù)列是一致收斂于零的.由于 所以 在有界且對于任意給定的,存在,當時,于是對所有自然數(shù),有 ,而當時,由知,當時,在上一致收斂于零,因此存在,當時,對所有,這樣當時,對所有,有,因此級數(shù) 在一致收斂.第3章 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判定方法 本章我們將給出一些判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂的基本方法：柯西一致收斂準則,魏爾斯特拉斯判別法,狄利克雷判別法,阿貝爾判別法以及不常用的方法,例如：兩邊夾判別法、比較判別法、單調(diào)判別法、一致條件判別法、導數(shù)判別法、點

17、列判別法這幾方面來介紹函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法.3.1 常用判別方法3.1.1 定義 設是函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列.若在數(shù)集上一致收斂于函數(shù),則稱函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂于函數(shù),或稱在上一致收斂. 由于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù)列來確定,所以由前段有關(guān)函數(shù)列一致收斂的定理,都可推出相應的有關(guān)函數(shù)項級數(shù)的定理： 定理（柯西一致收斂準則） 函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件：對任意的正數(shù),總存在某正整數(shù)N,使得當nN時,對一切x和一切正整數(shù)p都有 |或 |N, 成立,則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂.證明 易知 而等比級數(shù)當時收斂,從而收斂,由M判別法知, 在D上一致收斂.（極限形式

18、）設為定義在數(shù)集D上正的函數(shù)列, 若,由于,且在D 上一致有界,則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂.3.1.6 定理6 (根式判別法) 設為定義在數(shù)集D上的函數(shù)列,若存在正整數(shù)N,使, 對nN ,xD 成立,則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂.證明 由定理條件,|(x)| ,對nN成立,而幾何級數(shù)收斂,由優(yōu)級數(shù)判別法知,函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂.（注:當定理6條件成立時,級數(shù)在上收斂且絕對收斂）（極限形式）為定義在數(shù)集上的函數(shù)列,對成立,則函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂例5 在上一致收斂（）解 ，由根式判別法知級數(shù)一致收斂3.1.7 定理7(對數(shù)判別法) 設為定義在數(shù)集上正的函數(shù)列,若存在則(1)若對, ,則函數(shù)項級數(shù)

19、在上一致收斂；(2)若對,則函數(shù)項級數(shù)在上不一致收斂；證明 由定理條件知,對 , N ,使得對nN ,有 則當對成立時,有 而p級數(shù)當時收斂,由優(yōu)級數(shù)判別法知函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂；而當p1時,有,且由p級數(shù)當p1時發(fā)散,從而函數(shù)項級數(shù)在上不一致收斂.例6 在上不一致收斂解 3.1.8 定理8（端點判別法） 設在上單調(diào)，若絕對收斂，則在絕對且一致收斂證明 在上單調(diào)，由絕對收斂，知收斂，由M判別法知在上絕對且一致收斂由端點判別法我們很容易判斷函數(shù)項級數(shù)在（）上一致收斂教材中為我們提供了函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾種基本的判別方法,為我們解決這一類問題提供了條件；然而,在實際應用中,我們會遇到一些問題

20、,單純靠這些基本方法是難以解決的,因此,我們需要尋求其他的判別方法。3.2 其它判別方法 在熟悉以上常規(guī)的判別法以后,在處理一些問題時還會用到其它的判別法,例如：兩邊夾判別法、比較判別法、單調(diào)判別法、一致條件判別法、導數(shù)判別法、點列判別法等,下面將一一介紹.3.2.1 定理9（兩邊夾判別法） 對任意自然數(shù)和,都有成立且均在點集上一致收斂于,則也在點集D一致收斂于.證明 設都有,所以對有,又級數(shù)在上一致收斂于,即 由函數(shù)項級數(shù)一致收斂定義知,在上也一致收斂于定理10（單調(diào)判別法）在討論級數(shù)的和函數(shù)單調(diào)條件下,加上若干條件,可推出函數(shù)項級數(shù)的Dini定理. 設級數(shù)的每一項在有界閉區(qū)間上連續(xù)且非負,

21、如果它的和函數(shù)也在上連續(xù),那么該級數(shù)在上一致收斂. 證明用記級數(shù)的部分和,由于0,故對每個給定的,是單調(diào)增的數(shù)列.記 （）, 則是非負的單調(diào)減得數(shù)列.我們要證明在上一致趨于0.如果不是這樣,那么存在某個,不論多大,總能在找到這樣的點,使得 （）, 既然是中的一個點列,那么根據(jù)維爾斯特拉斯定理,從它中間能挑出一個收斂的子列,則根據(jù)的連續(xù)性,我們有： 另一方面,對于任意給定的,總能找到充分大的,.于是,對于任意給定的,就有,特別有.因而由得 ,令,就得 （）. 但知,（）,矛盾,從而證明了級數(shù)在上一致收斂于.（注：如果把定理中的有界閉區(qū)間換成開區(qū)間或者無窮區(qū)間,結(jié)論就可能不成立.例如級數(shù)的每一項在

22、區(qū)間中非負且連續(xù),它的和函數(shù)也在中連續(xù),但該級數(shù)在中并不一致收斂） 例7 證明函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上一致收斂.解 設該級數(shù)的和函數(shù)為,則,且當 時,由幾何級數(shù)求和公式,可得 =.因為,所以在上連續(xù).考慮到級數(shù)的每一項都同號,且在上連續(xù),由Dini定理可知,級數(shù)在上一致收斂.可見用Dini定理來判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性是很方便的.3.2.3 定理11（一致條件判別法）當滿足一致條件時,我們來探討的一致收斂性,得到函數(shù)項級數(shù)的一致條件判別法：設函數(shù)列在閉區(qū)間上連續(xù),且存在一點收斂,使得在點收斂；且在閉區(qū)間上滿足一致條件，即存在常數(shù),使得對于任意兩點,則函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂.證明 已知在點收斂,即任

23、意,存在,使得時,對任意,有；又因為在閉區(qū)間上滿足一致條件,即存在常數(shù),使得對于任意兩點,都有存在,當時,對一切,任意,對任意,有 于是任意,對任意, .即在上一致收斂.例8 在上一致收斂解 顯然在0處收斂3.2.4 定理12（導數(shù)判別法）下面探討在函數(shù)列可微條件下,當在上一致收斂時,函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性.設函數(shù)列在閉區(qū)間上連續(xù)可微,且存在一點使得在點收斂；在上一致收斂,則函數(shù)項級數(shù) 在上一致收斂.證明已知在點收斂, 在上一致收斂,即任意,存在,使得時,對任意,有對任意,有,根據(jù)拉格朗日中值定理,任意,任意,任意,有（介于與之間）于是任意,任意,任意, .即在上一致收斂. 例9 解：令,顯然

24、在處可導連續(xù),但,所以由導數(shù)判別法知級數(shù)發(fā)散.定理13（點列判別法）接下來,我們把在點集X歸結(jié)到點列的情況下來確定函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性.在點集X上一致收斂于的充分必要條件是對任意點列,都有證明 必要性 若在點集上一致收斂于,則于是對任意點列 ,都有 充分性（用反證法） 假設在點集X上不一致收斂于,則及,使得 于是,取,與,使：取,與,使： 取,與,使：.這樣就得到一點列使: 與已知條件相矛盾.由上述判別法也可判斷 在（）上是一致收斂的結(jié)束語 本次的畢業(yè)設計是對大學四年的一個總結(jié)，在歷經(jīng)將近半年的時間里，我通過去圖書館查閱文獻資料，對相關(guān)知識進行研究和總結(jié)，才得以完成本次畢業(yè)設計。在此過程中，

25、我也曾遇到過很多問題。例如，在對函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法進行總結(jié)時，一些文獻介紹的方法在應用上十分少見，找不到合適的實例。另外，在后期論文定稿時，格式上容易出現(xiàn)一些問題等，慢慢的這些問題才得以解決。雖然論文在內(nèi)容上還不夠全面，甚至在細節(jié)上還很粗糙，但總體上還是達到了當初的設計要求。 通過本次畢業(yè)設計，使我無論是對文獻資料的整理和搜集，還是運用公式編輯器對復雜的數(shù)學公式進行編輯等基本操作都能更加熟練，對函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法有了更清晰的認識和了解?？傊?，這次畢業(yè)論文在函數(shù)項級數(shù)收斂判別的方法上更加系統(tǒng)和全面，是我大學四年的總結(jié)，也是今后工作和研究的寶貴經(jīng)驗。本文從函數(shù)項級數(shù)的收斂判別方法著手,

26、對函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法做出系統(tǒng)且全面的介紹和歸納,從其定義出發(fā),對其基本的判別法進行論述,之后在這幾種基本判別法的基礎上進行推廣,可根據(jù)所給函數(shù)項級數(shù)的具體結(jié)構(gòu),選擇恰當?shù)呐袆e一致收斂的方法,以達到簡便、快速求解的目的.此外,當前對函數(shù)項級數(shù)的收斂性的討論研究已經(jīng)達到比較高的水平,只是在許多實際解題過程中,我們遇到的往往不是特殊的的函數(shù)項級數(shù),用特殊的方法不能解決,故需要對眾多判別方法進行總結(jié)和發(fā)展。致 謝值此論文完成之際,謹在此向多年來給予我關(guān)心和幫助的老師、同學和家人表示衷心地感謝.我能順利完成學業(yè),首先要感謝系領導及各科老師對我的關(guān)心和幫助.特別感謝夏丹老師給我的無私幫助,夏老師

27、淵博的專業(yè)知識,嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度,扎實的理論功底,精益求精的工作作風,誨人不倦的高尚師德,嚴于律己、寬以待人的高尚風范,都為我以后的治學態(tài)度和做人標準樹立了楷模.在論文的選題、寫作和修改過程中都得到了夏老師熱情的指導和細致的審閱,再次表示深深的感謝！最后, 感謝我的家人在各方面一直給予我的全力支持以及在我的同學在我搜集資料時給我提供的幫助,我能完成學業(yè)與他們的無私奉獻是分不開的. 參考文獻1 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第三版)M.北京:高等教育出版社,2006.2 劉玉璉,傅沛仁,林玎.數(shù)學分析講義M.高等教育出版社,2003.3 林榮斐.關(guān)于函數(shù)列一致收斂性的一點注記J.臺州學院報,200

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