1、 第三章 動量與角動量 （Momentum and Angular Momentum）第1頁，共45頁。13.1 沖量，動量，質(zhì)點動量定理3.2 質(zhì)點系動量定理 3.3 動量守恒定律3.4 變質(zhì)量系統(tǒng)、火箭飛行原理3.5 質(zhì)心3.6 質(zhì)心運動定理3.7 質(zhì)點的角動量3.8 角動量守恒定律3.9 質(zhì)點系的角動量3.10 質(zhì)心系中的角動量定理前言本章目錄第2頁，共45頁。2前言我們往往只關心過程中力的效果力對時間和空間的積累效應。力在時間上的積累效應：平動沖量動量的改變轉動沖量矩角動量的改變力在空間上的積累效應功改變能量 牛頓定律是瞬時的規(guī)律。在有些問題中，如：碰撞（宏觀）、（微觀）散射第3頁，共

2、45頁。33.1 沖量，動量，質(zhì)點動量定理定義：力的沖量（impulse）質(zhì)點的動量（momentum）質(zhì)點動量定理：（微分形式）（積分形式）（theorem of momentum of a particle）第4頁，共45頁。4平均沖力例已知：一籃球質(zhì)量m = 0.58kg， 求：籃球?qū)Φ氐钠骄鶝_力解：籃球到達地面的速率從h=2.0m的高度下落，到達地面后，接觸地面時間 t = 0.019s。FFto t速率反彈，以同樣第5頁，共45頁。5船行“八面風”第6頁，共45頁。6演示逆風行舟 (KL011)帆v1 v2v1 v2v風 F風對帆 F橫 F進 F橫 F阻龍骨F帆對風v第7頁，共45頁

3、。7 3.2 質(zhì)點系動量定理 （theorem of momentum of particle system）Fipi fj i fi j為質(zhì)點 i 受的合外力，i j質(zhì)點系 為質(zhì)點 i 受質(zhì)點 j 的內(nèi)力，為質(zhì)點 i 的動量。對質(zhì)點 i ：對質(zhì)點系：由牛頓第三定律有：第8頁，共45頁。8所以有：令則有：或質(zhì)點系動量定理（微分形式）質(zhì)點系動量定理（積分形式）用質(zhì)點系動量定理處理問題可避開內(nèi)力。系統(tǒng)總動量由外力的沖量決定，與內(nèi)力無關。第9頁，共45頁。9 3.3動量守恒定律這就是質(zhì)點系的動量守恒定律。即幾點說明： 1.動量守恒定律是牛頓第三定律的必然推論。 2.動量定理及動量守恒定律只適用于慣性

4、系。 質(zhì)點系所受合外力為零時，質(zhì)點系的總動量不隨時間改變。（law of conservation of momentum）第10頁，共45頁。10 4.若某個方向上合外力為零， 5.當外力內(nèi)力 6.動量守恒定律是比牛頓定律更普遍、更基本則該方向上動盡管總動量可能并不守恒。量守恒，且作用時間極短時（如碰撞），可認為動量近似守恒。的定律，它在宏觀和微觀領域均適用。7.用守恒定律作題，應注意分析 過程、系統(tǒng) 切慣性系中均守恒。3. 動量若在某一慣性系中守恒，則在其它一和條件。第11頁，共45頁。11 粘附 主體的質(zhì)量增加（如滾雪球） 拋射 主體的質(zhì)量減少（如火箭發(fā)射） 低速（v c）情況下的兩類變

5、質(zhì)量問題：下面僅以火箭飛行為例，討論變質(zhì)量問題。 3.4變質(zhì)量系統(tǒng)、火箭飛行原理 （自學書3.4和本電子教案）這是相對論情形，不在本節(jié)討論之列。以隨速度改變 m = m(v)，情況下，還有另一類變質(zhì)量問題是在高速（v c）這時即使沒有粘附和拋射，質(zhì)量也可第12頁，共45頁。12條件：燃料相對箭體以恒速u噴出初態(tài)：系統(tǒng)質(zhì)量 M，速度v (對地)，動量 M v 一. 火箭不受外力情形（在自由空間飛行） 1.火箭的速度系統(tǒng)： 火箭殼體 + 尚存燃料總體過程：i (點火) f (燃料燒盡)先分析一微過程： t t +dt末態(tài)：噴出燃料后噴出燃料的質(zhì)量：dm = - dM，噴出燃料速度(對地)： v -

6、 uvu第13頁，共45頁。13火箭殼體 +尚存燃料的質(zhì)量： M - dm系統(tǒng)動量： ( M- dm)(v + d v) + - dM(v - u) 火箭殼體 +尚存燃料的速度(對地)：v + d v 由動量守恒，有 M v = - dM(v - u) +( M- dm)(v + d v ) 經(jīng)整理得： Mdv = -udM速度公式： 第14頁，共45頁。14引入火箭質(zhì)量比：得討論：提高 vf 的途徑 (1)提高 u（現(xiàn)可達 u = 4.1 km/s） (2)增大 N（受一定限制）為提高N，采用多級火箭（一般為三級）v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3 資料：長征三號（三

7、級大型運載火箭） 全長：43.25m， 最大直徑：3.35m， 起飛質(zhì)量：202噸，起飛推力：280噸力。第15頁，共45頁。15t +dt時刻：速度 v - u， 動量dm(v - u)由動量定理，dt內(nèi)噴出氣體所受沖量 2.火箭所受的反推力研究對象：噴出氣體 dmt 時刻：速度v (和主體速度相同)，動量 vdm F箭對氣dt = dm(v - u) - vdm = - F氣對箭dt由此得火箭所受燃氣的反推力為第16頁，共45頁。16二. 重力場中的火箭發(fā)射 可得 t 時刻火箭的速度： 忽略地面附近重力加速度 g 的變化， Mt ： t 時刻火箭殼和尚余燃料的質(zhì)量第17頁，共45頁。17r

8、c3.5質(zhì)心（center of mass）一. 質(zhì)心的概念和質(zhì)心位置的確定Cmizri yx0定義質(zhì)心 C 的位矢為： 質(zhì)心位置是質(zhì)點位置以質(zhì)量為權重的平均值。為便于研究質(zhì)點系總體運動，引入質(zhì)心概念。第18頁，共45頁。18二.幾種系統(tǒng)的質(zhì)心 兩質(zhì)點系統(tǒng)m2m1r1r2C m1 r1 = m2 r2 連續(xù)體rrcdmC0m zx y第19頁，共45頁。19R “小線度”物體的質(zhì)心和重心是重合的。例如圖示， CxC Or Orddx y O均質(zhì)圓盤求挖掉小圓盤后系統(tǒng)的質(zhì)心坐標。由對稱性分析，質(zhì)心C應在x軸上。解： 令 為質(zhì)量的面密度，則質(zhì)心坐標為：挖空 均勻桿、圓盤、圓環(huán)、球，質(zhì)心為其幾何中心

9、。第20頁，共45頁。20 3.6質(zhì)心運動定理 （theorem of motion of center of mass）一. 質(zhì)心運動定理rcCvcmizri yx0vi即質(zhì)點系的總動量 是質(zhì)點系的“平均”速度第21頁，共45頁。21由 質(zhì)心運動定理有拉力紙C球往哪邊移動？該質(zhì)點集中了整個質(zhì)點系的質(zhì)量和所受質(zhì)心的運動如同一個在質(zhì)心位置處的質(zhì)點的運動，的外力。實際上是物體質(zhì)心的運動。在質(zhì)點力學中所謂“物體”的運動，思考演示質(zhì)心運動 (KL005)第22頁，共45頁。22 系統(tǒng)內(nèi)力不會影響質(zhì)心的運動， 在光滑水平面上滑動的扳手， 做跳馬落地動作的運動員盡管在翻轉，但 爆炸的焰火彈雖然碎片四散，但

10、其質(zhì)心仍在做拋物線運動其質(zhì)心仍做拋物線運動例如：其質(zhì)心做勻速直線運動第23頁，共45頁。23若合外力為零，二 . 動量守恒與質(zhì)心的運動質(zhì)點系動量守恒若合外力分量為0，質(zhì)點系分動量守恒質(zhì)點系動量守恒和質(zhì)心勻速運動等價！則則相應的質(zhì)心分速度不變第24頁，共45頁。24 1. 質(zhì)心系質(zhì)心系是固結在質(zhì)心上的平動參考系。質(zhì)心系不一定是慣性系。 質(zhì)點系的復雜運動通?？煞纸鉃椋?在質(zhì)心系中考察質(zhì)點系的運動。討論天體運動及碰撞等問題時常用到質(zhì)心系。質(zhì)點系整體隨質(zhì)心的運動；各質(zhì)點相對于質(zhì)心的運動 三. 質(zhì)心（參考）系（frame of center of mass）第25頁，共45頁。252.質(zhì)心系的基本特征質(zhì)

11、心系是零動量參考系。m1v10m2v20m1v1m2v2質(zhì)心系中看兩粒子碰撞等值、反向的動量。兩質(zhì)點系統(tǒng)在其質(zhì)心系中，總是具有第26頁，共45頁。26 3.7 質(zhì)點的角動量（angular momentum of a particle）一. 質(zhì)點的角動量角動量是質(zhì)點運動中的一個重要的物理量，在物理學的許多領域都有著十分重要的應用。 LmO pr 質(zhì)點m對慣性系中的固定點O的角動量定義為：單位：kg m2/s大?。悍较颍簺Q定的平面（右螺旋）第27頁，共45頁。27LRvmO 質(zhì)點作勻速率圓周運動時，對圓心的角動量的大小為方向圓面不變。L = mvR，同一質(zhì)點的同一運動，其角動量卻可以隨固定點的不

12、同而改變。例如：方向變化方向豎直向上不變OlO錐擺m第28頁，共45頁。28二. 質(zhì)點的角動量定理，力矩由有：定義力對定點 O 的力矩 (moment of force) 為：FMrOm稱力臂r0第29頁，共45頁。29于是有質(zhì)點角動量定理或積分質(zhì)點角動量定理稱沖量矩力矩對時間的積累作用。（積分形式）（微分形式）第30頁，共45頁。30例 錐擺的角動量對O點：合力矩不為零，角動量變化。對O點：合力矩為零，角動量大小、方向都不變。（合力不為零，動量改變?。㎡lO錐擺m第31頁，共45頁。31zFrO平面 z軸FF/MMzr/rrrsin三. 質(zhì)點對軸的角動量 1. 力對軸的力矩 把對O點的力矩向

13、過O點的軸（如 z 軸）投影：力對軸的力矩。第32頁，共45頁。322.質(zhì)點對軸的角動量質(zhì)點對軸的角動量3.對軸的角動量定理 即 質(zhì)點對軸的 角動量定理rsin prrOz第33頁，共45頁。33質(zhì)點角動量守恒定律 3.8 角動量守恒定律 （law of conservation of angular momentum）OmvFL（中心力）r（1） mv r sin =const.，（2）軌道在同一平面內(nèi)。第34頁，共45頁。34 角動量守恒定律可導出行星運動的開普勒第二定律：（書161頁例3.16） 質(zhì)點對軸的角 動量守恒定律 角動量守恒定律是物理學的基本定律之一， 它不僅適用于宏觀體系，也

14、適用于微觀體系，而且在高速低速范圍均適用。rvFrLvSm演示質(zhì)點在有心力作用下運動 (KL014)離心節(jié)速器 (KL018)第35頁，共45頁。35 星云具有盤形結構： pc 秒差距，1pc = 3.0861016m旋轉的星云第36頁，共45頁。36星球具有原始角動量vr 星球所需向心力：引力不能再使 r 減小 ?？梢栽谝ψ饔孟虏粩嗍湛s。粗略的解釋：r0v0zm引力使r到一定程度 r 就不變了，但在z 軸方向卻無此限制，可近似認為引力：第37頁，共45頁。373.9 質(zhì)點系的角動量 質(zhì)點系的角動量（自己證） 質(zhì)點系角動量定理于是有：第38頁，共45頁。38 質(zhì)點系角動量守恒定律質(zhì)點系角動量

15、守恒和動量守恒是否相互獨立？思考 脈沖星的角動量守恒時間間隔 ：1s脈沖星的精確周期性信號周期約1.19 s第39頁，共45頁。39星體不被慣性離心力甩散，必須滿足條件：如此推算，脈沖星的 超過了白矮星密度。這說明，脈沖星是高速旋轉的中子星。第40頁，共45頁。40例一根長為l的輕質(zhì)桿，端部固結一小球m1 ，碰撞時重力和軸力都通過O，解：選m1（含桿）+ m2為系統(tǒng)另一小球m2以水平速度v0碰桿中部并與桿粘合。求：碰撞后桿的角速度對O 力矩為零，故角動量守恒。lm1Ov0m2解得：思考 （m1m2 ）的水平動量是否守恒？有第41頁，共45頁。413.10 質(zhì)心系中的角動量定理一. 質(zhì)心系中的角動量 O 是慣性系中的一個定點C 是質(zhì)心兼質(zhì)心坐標系原點對質(zhì)心對O點C 對O利用關系：可以證明（自己推導）：O系為慣性系 vivCC y x OrCriviFi z 第42頁，共45頁。42二. 質(zhì)點系對質(zhì)心的角動量定理： 質(zhì)心系中