1、第10章 一維氣體動力學基礎 在前面的章節(jié)中，都將流體視為不可壓縮流體，即流體的密度 =常量。在工程實際問題中，當氣體的流速很高，壓差很大時；溫度變化很大且伴隨熱效應時，氣體的密度會發(fā)生顯著的變化，此時氣體的運動規(guī)律和不可壓縮流體大相徑庭。研究此類問題時必須采用可壓縮流體模型。本章主要討論完全氣體（在熱力學中稱理想氣體）一維恒定流動。 在學習本章的過程中不僅需要流體力學知識，還需要一定的熱力學知識，在進行氣體動力學計算時，壓強只能用絕對壓強，溫度只能用開爾文溫度。 工程流體力學10.1 聲速和馬赫數(shù) 10.1.1 聲速 凡是微小擾動在流體介質中的傳播速度都定義為聲速，它是氣體動力學的重要參數(shù)。

2、 對于小擾動波的傳播過程，可通過下例說明。 取等斷面積為A，左端帶活塞的直長管如圖10.1（a）。工程流體力學 管中充滿靜止的可壓縮氣體，壓強為p，密度為 ?；钊诹Φ淖饔孟?，以微小速度dv向右移動，產(chǎn)生的一個微小擾動平面波不斷地從左端波及到右端，波的傳播速度即聲速，以符號c表示。特別要注意的是聲速c與氣體受擾動后的速度dv是不同的。 為了便于分析波陣面前后流體狀態(tài)參數(shù)的變化關系，將坐標系固定在波陣面上圖10.1（b），這樣，對位于該坐標系的觀察者而言，流體的流動是恒定的 聲速公式 拉普拉斯在1816年提出聲音的傳遞是一個等熵過程。 工程流體力學 在聲波傳遞過程中，熱力學參數(shù)的變化是無窮小量，

3、忽略了黏性作用，因而整個過程可視為可逆的絕熱過程（即等熵 s = 常數(shù)），那末式（10.1）更精確的表達式為 公式中下標s代表等熵過程。上式不僅適用于微小擾動平面波，也適用于球面波，對氣體、液體均適用。 對于完全氣體等熵流體的狀態(tài)參數(shù)方程式為 工程流體力學式中 稱為比熱比（或稱為絕熱指數(shù)），對于空氣 于是可導出完全氣體的理論聲速公式 式中 稱為氣體常數(shù)，空氣的 。 由以上聲速公式可得出 ：1. 是反映流體的壓縮性， 當越大，表示流體越易壓縮，此時由式（10.1） 越小；反之，當流體越不易壓縮，則聲速c越大，若流體為不可壓縮流體，那么聲速 。因而聲速是反映流體壓縮性大小的物理參數(shù)。 工程流體力學

4、2.由式（10.4）可得，不同的氣體有不同的比熱比，及不同的氣體常數(shù)R，因而不同的氣體聲速是不同的。如在常壓下，15空氣中在相同的壓強和溫度下，氫氣的聲速為 。 3.聲速與氣體熱力學溫度T有關，如在常壓下空氣中聲速為由于在氣體動力學中，溫度是空間坐標的函數(shù)，所以聲速也是空間坐標的函數(shù)，為此，常稱為當?shù)芈曀佟?工程流體力學4. 對于液體，由式（1.10）液體的彈性模量E和壓縮系數(shù) k的關系為代入式（10.1）得聲速公式的另一種形式10.1.2 馬赫數(shù)和馬赫錐 1馬赫數(shù) 馬赫數(shù)是慣性力與由壓縮引起的彈性力之比，它是氣體動力學中最重要的相似準數(shù)，即定義馬赫數(shù) 式中 v當?shù)貧饬魉俣龋?c當?shù)芈曀佟?工

5、程流體力學氣體動力學中，依據(jù)馬赫數(shù)對可壓縮氣流進行分類： ，即 ，稱為超聲速流動； ，即 ，稱為聲速流； ，即 ，稱為亞聲速流動。 對于氣體流動以 為界，對于 ，為不可壓縮流動，對于 ，為可壓縮流動。 【例10.1】用聲納探測儀，探測水下物體，已知水溫20，水的彈性模量 ，密度為 ，今測得往返時間為6秒，求聲源到該物體的距離。 【解】 由式（10.6） 從聲源到物體之間的距離為工程流體力學【例10.2】某飛機在海平面和11 000m高空均以速度 飛行，問這架飛機在這兩個高度飛行時的馬赫數(shù)相同嗎？ 【解】 由于海平面的聲速為 。 故海平面的飛行飛機 ， 為亞聲速飛行。 在11 000m高空飛行時

6、，該處的溫度為216.5K （見第二章），則由式（10.5） 故該高度飛行的飛機為超聲速飛行。工程流體力學工程流體力學2.馬赫錐 圖10.2是一小擾動波（例如點聲源）在四種流動中的轉播。 工程流體力學（1）當小擾動波在靜止流場中傳播（ ）圖10.2（a）。 （2）當小擾動波在亞聲速流場中傳播（ ）如圖10.2（b）。 （3）當小擾動波在聲速流場中傳播（ ），此種情況同上面（2）相同。10.2圖(c) AOB平面是所有小擾動波的包絡面，稱為馬赫波。它是寂靜區(qū)和擾動區(qū)的分界面。（4）當小擾動波在超聲速流場中傳播（ ），此時的馬赫波不再保持為平面，而是以固定點O為頂點向右擴張的旋轉圓錐面，這個圓錐面

7、稱為馬赫錐，圓錐頂角的一半稱為馬赫角 如10.2圖（d）。 其中 對于完全氣體的馬赫數(shù)可表示為 由于溫度是氣體分子運動動能的度量，所以式（10.8）說明馬赫數(shù)是流體宏觀運動動能和分子運動動能之比。 【例10.3】飛機距地面的1 000m上空，飛過人所在位置600m時，才聽到飛機的聲音，當?shù)貧鉁貫?5，試求飛機的速度、馬赫數(shù)及飛機的聲音傳到人耳所需的時間。 工程流體力學解：當?shù)芈曀贋?馬赫角 為 (如圖10.3) 由式（10.7） 故馬赫數(shù) 飛機速度 所需要時間 工程流體力學10.2 氣體一維恒定流動的基本方程 基本方程主要是由連續(xù)方程、歐拉運動微分方程和能量方程等組成。 10.2.1 連續(xù)性方

8、程 如圖10.4為一維恒定氣流。 或者對任一過流斷面滿足式（10.9）即為一維恒定氣流的連續(xù)性方程，它的微分形式為工程流體力學10.2.2 歐拉運動微分方程 在一維恒定氣流中，取長度為ds微段，并沿軸線方向為s軸。 如圖10.5，即可得到 上兩式稱為完全氣體一元恒定流動的歐拉運動微分方程式。式中的密度 不再是常數(shù)。而 三者之間的關系由微分方程式來確定。為求解此方程式除了要應用氣流的連續(xù)性方程外，還必須補充氣體狀態(tài)方程，或者熱力學過程方程。 工程流體力學 連續(xù)性方程和歐拉運動微分方程也可引用馬赫數(shù)Ma來表示如下 連續(xù)性方程可表達為 歐拉運動微分方程為10.2.3 不同形式的能量方程 （1）氣體一

9、維定容流動 工程流體力學 上式為不可壓縮流體，不計質量力的能量方程。表示一維氣流各斷面上單位質量（或重量）具有的壓能和動能之和守恒。 （2）氣體一維等溫流動 在等溫流動中，T=常數(shù)，則氣體狀態(tài)方程 或者（3）氣體一維等熵流動 工程流體力學 在熱力學中，無能量損失且與外界又無熱量交換的情況下，為可逆的絕熱過程，又稱等熵過程。 ，在熱力學中，這項正是在等熵過程中，單位質量氣體所具有的內(nèi)能e。表示為 工程流體力學 該式表明完全氣體的等熵流中，沿流任意斷面上，單位質量氣體所具有的內(nèi)能、壓能和動能之和是不變的。 【例10.4】用文丘里流量計來測量空氣流量（圖10.6），流量計進口直徑 ，喉管直徑 ，實測

10、進口斷面處壓強 （相對壓強），溫度為20，喉管處壓強 （相對壓強），試求空氣的質流量。（設當?shù)卮髿鈮?） 工程流體力學【解】 氣流通過文丘里流量計時，由于流速大，流程短，氣流和壁面接觸時間短，來不及進行熱交換，且摩擦損失亦可不計，因此按一維恒定等熵流動來處理。 先計算進口斷面1處，喉管斷面2處空氣的密度由 式，進口斷面空氣的密度由式10.3）， ，即 工程流體力學由連續(xù)性方程式（10.9） ，得 將以上量代入等熵能量方程式（10.16） 工程流體力學解得 故空氣的質流量【例10.5】氦氣（ ）作等熵流動，在管道截面1處參數(shù)為 ， ，測得截面2處的速度為 ，求該截面上的以 及 值。解：由等熵流動

11、能量方程式（10.16） 工程流體力學從截面 因此 解得 或 由等熵過程 工程流體力學10.2.4 一維等熵流動氣體動力學函數(shù) 1用滯止狀態(tài)參數(shù)表示的氣體動力學函數(shù) 當流體質點由某一個真實狀態(tài)經(jīng)等熵過程速度降為零。（可以假想）這時流體質點的狀態(tài)稱為對應于真實狀態(tài)的滯止狀態(tài)。流體質點所具有的流體參數(shù)稱為該真實狀態(tài)的滯止參數(shù)，以下標“0”表示。例如以 分別表示滯止壓強，滯止密度，滯止溫度，以及滯止聲速。在工程中，如氣體從大體積的容器中流出（如煤氣儲氣罐等），容器內(nèi)氣體的流速可視為零，那其它參數(shù)就是滯止參數(shù)；當氣流繞過某物體，則駐點處氣流的流動參數(shù)也是滯止參數(shù)。 工程流體力學上述公式稱為用滯止參數(shù)表

12、示的等熵流動氣體動力學函數(shù)。 工程流體力學圖10.7表示氣體動力學函數(shù)的曲線。 為便于計算，氣體動力學函數(shù)列表10.2如下。 工程流體力學表10.2 氣體動力學函數(shù)數(shù)值關系（一維等熵關系） 0.0 1.000 0 1.000 0 1.000 0 1.000 0 0.000 0 0.000 0 0.000 00.1 0.993 0 0.995 0 0.998 0 0.999 0 0.099 9 0.171 8 0.173 00.2 0.972 5 0.980 3 0.992 1 0.996 0 0.199 2 0.337 4 0.346 90.3 0.939 5 0.956 4 0.982 3

13、0.991 1 0.297 3 0.491 4 0.523 00.4 0.895 6 0.924 3 0.969 0 0.984 4 0.393 7 0.628 8 0.702 20.5 0.843 0 0.885 2 0.952 4 0.975 9 0.487 9 0.746 4 0.885 30.6 0.784 0 0.840 5 0.932 8 0.965 8 0.579 5 0.841 6 1.073 50.7 0.720 9 0.791 6 0.910 7 0.954 3 0.668 0 0.913 8 1.267 50.8 0.656 0 0.740 0 0.886 5 0.941

14、 6 0.753 2 0.963 2 1.468 20.9 0.591 3 0.687 0 0.860 6 0.927 7 0.834 9 0.991 2 1.676 41.0 0.528 3 0.633 9 0.833 3 0.912 9 0.912 9 1.000 0 1.892 91.1 0.468 4 0.581 7 0.805 2 0.893 1 0.987 0 0.992 1 2.118 41.5 0.272 4 0.395 0 0.689 7 0.830 5 1.245 7 0.850 2 3.121 22.0 0.127 8 0.230 0 0.555 6 0.745 4 1.

15、490 7 0.592 0 4.636 72.5 0.058 5 0.131 7 0.444 4 0.666 7 1.666 7 0.379 3 6.480 03.0 0.027 2 0.076 2 0.357 1 0.597 6 1.792 8 0.236 2 8.674 55.0 0.001 9 0.011 3 0.166 7 0.408 2 2.041 2 0.040 0 21.164 0工程流體力學2.臨界狀態(tài)和臨界參數(shù) 當氣流速度 等熵地加速或減速到當?shù)芈曀?的狀態(tài)，也就是流動的馬赫數(shù)等于1（可以假想）。此狀態(tài)稱為對應于真實狀態(tài)的臨界狀態(tài)。臨界狀態(tài)的流動參量稱為臨界參數(shù)。以下標“ ”

16、表示。例如記作 等。 工程流體力學以 代入上式，可得到某真實狀態(tài)所對應的滯止狀態(tài)參數(shù)和臨界狀態(tài)參數(shù)之間的關系式: 工程流體力學對空氣（ ），具體數(shù)值為: 工程流體力學 在等熵的條件下，當溫度降到絕對零度時，此時速度達到最大 的狀態(tài)稱為最大速度狀態(tài)。由于真實溫度不可能達到絕對零度，因此最大速度狀態(tài)只具有理論意義，反映氣流總能量的大小。 最大速度和滯止參數(shù)關系為:最大速度與臨界速度（聲速）的關系對于空氣（ ），則 工程流體力學3.最大速度狀態(tài) 【例10.6】大容積壓縮空氣罐中的壓縮空氣，經(jīng)一收縮噴管向大氣噴出，設噴嘴出口處的大氣絕對壓強為101.3kPa，溫度為5，流速為 ，試求壓縮空氣罐中的壓強

17、和溫度。 【解】本流動可看作等熵流動 方法一： 壓縮空氣罐中的空氣速度可視為零，其流動參數(shù)為滯止參數(shù)。由式10.19（b）噴口出口處聲速馬赫數(shù)由式10.19（a）方法二：由式（10.16），壓縮空氣罐中的溫度為由完全氣體狀態(tài)方程工程流體力學由等熵過方程式 ，上式代入（10.16）式解得 本題從以上兩種解法可看出，應用滯止參數(shù)表示的等熵流動的氣體動力學函數(shù)方法要簡單得多。 得：工程流體力學【例10.7】空氣氣流在收縮噴管進口截面上的參數(shù)為 ， ， ，在出口截面上 ，試求出口處的壓強，溫度和直徑。 解：本題也視為等熵流動 進口處 現(xiàn)求滯止溫度，由式 10.19（a） 得 出口處 ， ,氣流達到臨界

18、狀態(tài)。 工程流體力學出口處的溫度，由式10.23（a）由式10.19（a）和式10.19（b）得由式10.23（b）工程流體力學由連續(xù)方程式10.9解得 工程流體力學10.2.5 氣流按不可壓縮流體處理的限度 對于低速氣流，可忽略氣體容易壓縮的個性，而按照不可壓縮流體處理。那么“低速”的限度就是下面要討論的內(nèi)容。 完全氣體一維流動，按不可壓縮流體時，能量方程為: 工程流體力學或者寫成 比較無量綱式（a）和（c），氣流按不可壓縮流體處理時，能量方程式的計算相對誤差為 在常溫（15）下，空氣的聲速 ，倘若允許的相對誤差為1，那么，相應的 ，此時相應的氣流速度v為 工程流體力學即，當氣流速度小于 時

19、，按不可壓縮流體來處理時，其相對誤差 。實質上氣流按不可壓縮流體來處理的限度是由計算要求的精度來決定。 由式10.19（c）密度比式當 時，空氣 ,代入上式,得密度的相對變化為工程流體力學 在同樣的氣流速度下，按不可壓縮流體處理的話，其密度的相對變化較大。若要求氣流密度的變化不超過1，相當?shù)鸟R赫數(shù)為 ，相應的氣流速度v為 。 【例10.8】某空氣動力計算中，允許壓強的相對誤差 ，對于常溫下的空氣速度小于多少時可按不可壓縮流體來處理；此時密度的相對變化為多少？ 【解】 按式（10.27）壓強的相對誤差 工程流體力學據(jù)題意 故 常溫下聲速 氣流速度 即，空氣速度小于時 ，可按不可壓縮流體來處理。故

20、密度的相對變化為由式10.19（c）工程流體力學10.3 噴管的等熵出流 噴管是指在很短的流程內(nèi)，通過改變斷面的幾何尺寸來控制氣流速度的裝置。由于高速氣流在噴管內(nèi)流動時來不及和外界進行熱交換，同時摩擦阻力也可忽略不計，這樣的流動過程可作為等熵流動。 工程流體力學 利用上述關系式，將斷面面積A、氣流速度v、壓強p、密度 及單位面積的質流量 等與馬赫數(shù)Ma之間的關系，能很清楚地表示如表10.3所列。 表10-3 一維氣體各流動參數(shù)隨馬赫數(shù)的變化關系工程流體力學幾點結論：1.亞聲速氣流（ ）在收縮管（ ）中，將加速（ ）和減壓（ ）；在擴張管（ ）中，將減速（ ）和增壓（ ）和不可壓縮流體相似。2.

21、超聲速氣流（ ）在收縮管（ ）中，將減速（ ）和增壓（ ）；在擴張管（ ）中，將加速（ ）和減壓（ ），與亞聲速流恰好相反。 圖10.8為一收擴管，流體自左向右流動。若在該管道中達到聲速，必定在最小截面處即喉部，稱喉部的截面為臨界截面記作。 在擴張段流體被加速成超聲速，并不斷加速。這種流動成為噴管流。 瑞典工程師拉伐爾（Laval）將先收縮后擴大的噴管拉伐爾噴管（圖10.9 ），用于蒸氣渦輪機中。拉伐爾噴管在沖壓式噴氣發(fā)動機、超聲速風洞等領域廣泛地被應用 。工程流體力學10.4 可壓縮氣體管道流動 對于可壓縮氣體的管道流動，有時要考慮摩擦阻力和熱交換對壓縮性的影響，需針對不同的熱力過程進行分析

22、計算。 工程流體力學10.4.1 一維恒定等熵管流 下面主要對變截面管道內(nèi)的流動進行分析。 1管截面積和流動馬赫數(shù)的關系 若已知 和 及某一處的馬赫數(shù)，如 ，要求另一 ，卻并不是很容易，為此假定一個參考截面 ，當流動至該截面馬赫數(shù) ，該截面流動參量就是臨界參量，這個截面可實際存在于管流中，也可以是假想的。 工程流體力學 以上公式在一維管流的計算中被大量使用，公式算得的數(shù)據(jù)已列于表10.2之中。圖10.10是根據(jù)上式繪制的 曲線。 工程流體力學 為假想的臨界截面，即假想流體沿繼續(xù)延伸的噴管流動，在截面積 處達到聲速，噴管其他截面上的參數(shù)與該假想臨界截面上的參數(shù)關系符合等熵流氣動函數(shù)關系。現(xiàn) 由表

23、10.2上，按 插入，查得 。 工程流體力學【例10.10】設一噴管內(nèi)為等熵流,出口截面積 , 出口 ，求噴管內(nèi)截面積為 處的 。 解：由于 ，說明這是一個收縮噴管。由 ，查等熵流氣動函數(shù)表可得 2質流量的計算公式 質流量 或者 工程流體力學 當管道內(nèi)存在臨界截面 時，那末該處質流量達到最大值【例10.11】一個容積很大密閉容器中裝滿氮氣，氮氣的 ，容器中 ，氮氣通過一收縮管向外流出，設出口處直徑為 ，背壓為 ，求流出氮氣的質流量。 解：工程上常稱管外的環(huán)境壓強為背壓（或反壓）用 表示，當封閉容器中壓強 時管內(nèi)無流動。當 時，在壓差作用下產(chǎn)生流動。本題首先要判斷在流動中管內(nèi)是否會出現(xiàn)臨界狀態(tài)。 工程流體力學由式10.22（a） 故 由式10.22（b） 由于 ，則說明在管道出口處前已出現(xiàn)臨界狀態(tài)，流量為最大，以后管內(nèi)流動不再變化，通常稱這種現(xiàn)象為壅塞現(xiàn)象。出口處的壓強 ，不再等于 ，氣流流出后經(jīng)稀疏過程才降到 。 工程流體力學其中 故方法二:上面已分析由于 ，則收縮管出口處工程流體力學方法一:按式（10.37）質流量按 計算 故由式10.22（c）10. 4. 2 絕熱摩擦管流 實際管流一般有兩種，一種是在隔熱的長管中流動，即具有摩擦但不考慮熱交換的流動，如果這種流動在等截面管中流動被稱為范諾（Fanno）流動。一種由于管道很長，氣體與外界能夠進行充分的