1、各位老師光臨指導(dǎo) 主講人：許昌高級(jí)中學(xué) 鄧煥迎6 三垂線定理 9.4 直線與平面垂直的判定和性質(zhì)教學(xué)目的掌握三垂線定理及逆定理運(yùn)用三垂線定理及逆定理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題在實(shí)際生活中運(yùn)用三垂線定理及逆定理重點(diǎn)與難點(diǎn)三垂線定理及逆定理的適用條件三垂線定理及逆定理的應(yīng)用復(fù)習(xí)提問(wèn)1.直線和平面垂直的判定定理。2.平面的斜線段的長(zhǎng)與射影長(zhǎng)的關(guān)系。一、三垂線定理aABC1.三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。這個(gè)結(jié)論是如何得到呢？一、三垂線定理aABC1.三垂線定理：已知：AC和AB分別是平面的垂 線和斜線，BC是AB在平面 上的射影，a，aBC。求證： a

2、AB。 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。 一、三垂線定理aABC1.三垂線定理：在平面如果和這個(gè)平面的一條斜線那么它已知：AC和AB分別是平面的垂 線和斜線，BC是AB在平面 上的射影，a，aBC。求證： aAB。內(nèi)的一條直線，的射影垂直，也和這條斜線垂直。一、三垂線定理aABC1.三垂線定理：在平面如果和這個(gè)平面的一條斜線那么它已知：AC和AB分別是平面的垂 線和斜線，BC是AB在平面 上的射影，a，aBC。求證： aAB。證明：AC面，內(nèi)的一條直線，的射影垂直，也和這條斜線垂直。一、三垂線定理aABC1.三垂線定理：在平面如果和這個(gè)平面的一條

3、斜線那么它已知：AC和AB分別是平面的垂 線和斜線，BC是AB在平面 上的射影，a，aBC。求證： aAB。證明：AC面，內(nèi)的一條直線，的射影垂直，也和這條斜線垂直。一、三垂線定理aABC1.三垂線定理：在平面如果和這個(gè)平面的一條斜線那么它已知：AC和AB分別是平面的垂 線和斜線，BC是AB在平面 上的射影，a，aBC。求證： aAB。證明：AC面，ACaa 面內(nèi)的一條直線，的射影垂直，也和這條斜線垂直。一、三垂線定理aABC1.三垂線定理：在平面如果和這個(gè)平面的一條斜線那么它已知：AC和AB分別是平面的垂 線和斜線，BC是AB在平面 上的射影，a，aBC。求證： aAB。證明：AC面，ACa

4、a 面BCa ，ACBCCa平面ACBAB 面ACBa AB內(nèi)的一條直線，的射影垂直，也和這條斜線垂直。 注意：三垂線定理中的“三垂”指的是平面中的三個(gè)垂直關(guān)系1、線和面垂直：AC和垂直2、線和射影垂直：a和BC垂直3、線和斜線垂直：a和AB垂直aABC？ 那么，什么是三垂線定理的逆定理呢？2.三垂線定理的逆定理aABC在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直那么它也和這條斜線的射影2.三垂線定理的逆定理aABC在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直那么它也和這條斜線的射影垂直。 三垂線定理和逆定理的關(guān)鍵在于應(yīng)用，這也是我們本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)！ 先看一例生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題二、應(yīng)用A

5、B 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。二、應(yīng)用 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。AB二、應(yīng)用 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。AEFB ？怎樣才能求出 旗桿頂部A到樓底部的距離呢？二、應(yīng)用 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。AEFB二、應(yīng)用 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。AEFB二

6、、應(yīng)用 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過(guò)B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，AEFCB二、應(yīng)用 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過(guò)B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，AEFCB二、應(yīng)用 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過(guò)B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFACAEFCB二、應(yīng)用 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部

7、A到樓底部的距離。解：過(guò)B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFACAEFCB二、應(yīng)用 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過(guò)B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFACAEFCB二、應(yīng)用 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過(guò)B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFACAEFCB二、應(yīng)用 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過(guò)B作樓底部所在直線

8、EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFACAEFCB二、應(yīng)用 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過(guò)B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFAC所以AC是A到EF的距離，AEFCB二、應(yīng)用 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過(guò)B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFAC所以AC是A到EF的距離，AEFCB二、應(yīng)用 例1.已知學(xué)校的旗桿高20米，測(cè)量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過(guò)B作樓底

9、部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFAC所以AC是A到EF的距離，由勾股定理得：（米）答：旗桿底部B到樓底部 的距離為 米。AEFCB 感覺(jué)不錯(cuò)吧！ 再來(lái)看一個(gè)例子：例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC ABCPOEF例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC ABCPOEF例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC ABCPOEF例2.已知

10、：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC ABCPOEF例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC ABCPOEF例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC ABCPOEF例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC ABCPOEF 喲，這個(gè)有點(diǎn)難，動(dòng)動(dòng)腦筋吧！例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)

11、，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC 證明：連接OE，連接OF，它們分別是PEABCPOEF例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC 證明：連接OE，連接OF，它們分別是PEPFABCPOEF例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC 證明：連接OE，連接OF，它們分別是PEPFABCPOEF在平面內(nèi)的射影。例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF A

12、C于FPEPF求證：AO平分 BAC 證明：連接OE，連接OF，它們分別是PEPF在平面內(nèi)的射影。 PE PFABCPOEF例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC 證明：連接OE，連接OF，它們分別是PEPF在平面內(nèi)的射影。 PE PF OEOF AB PE PO 平面ABCPOEF例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC 證明：連接OE，連接OF，它們分別是PEPF在平面內(nèi)的射影。 PE PF OEOF AB PE PO 平面ABC

13、POEF例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC 證明：連接OE，連接OF，它們分別是PEPF在平面內(nèi)的射影。 PE PF OEOF AB PE PO 平面由三垂線定的逆定理，有OE AB，ABCPOEF例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC 證明：連接OE，連接OF，它們分別是PEPF在平面內(nèi)的射影。 PE PF OEOF AB PE PO 平面由三垂線定的逆定理，有OE AB，ABCPOEF例2.已知：P為BAC所在平面外一點(diǎn)，O

14、為P在平面內(nèi)的射影，PE AB于E，PF AC于FPEPF求證：AO平分 BAC 證明：連接OE，連接OF，它們分別是PEPF在平面內(nèi)的射影。 PE PF OEOF AB PE PO 平面由三垂線定的逆定理，有OE AB，ABCPOEF同理 OF AC有OE AB， AO為 BAC的平分線即AO平分 BAC學(xué)以致用 下面幾道題要檢驗(yàn)同學(xué)們聽(tīng)講的效果三、練習(xí)1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個(gè)平面，它就垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線 （ ）？認(rèn)真想一想 線面垂直的定義三、練習(xí)1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個(gè)平面，它就垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線 （ 真 ）（2）已知a是平面

15、的斜線，b是a在平面上的射影，如果直線c b,那么a c （ ）abc三、練習(xí)1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個(gè)平面，它就垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線 （ 真 ）（2）已知a是平面的斜線，b是a在平面上的射影，如果直線c b,那么a c （ ）abc三、練習(xí)1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個(gè)平面，它就垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線 （ 真 ）（2）已知a是平面的斜線，b是a在平面上的射影，如果直線c b,那么a c （ ）abc三、練習(xí)1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個(gè)平面，它就垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線 （ 真 ）（2）已知a是平面的斜線，b是a在平面上的

16、射影，如果直線c b,那么a c （ ）abc三、練習(xí)1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個(gè)平面，它就垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線 （ 真 ）（2）已知a是平面的斜線，b是a在平面上的射影，如果直線c b,那么a c （ ）abc三、練習(xí)1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個(gè)平面，它就垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線 （ 真 ）（2）已知a是平面的斜線，b是a在平面上的射影，如果直線c b,那么a c （ ）abc 通過(guò)直線C的運(yùn)動(dòng)，我們可知這道題的答案應(yīng)該是三、練習(xí)1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個(gè)平面，它就垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線 （ 真 ）（2）已知a是平面的

17、斜線，b是a在平面上的射影，如果直線c b,那么a c （ ）abc三、練習(xí)1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個(gè)平面，它就垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線 （ 真 ）（2）已知a是平面的斜線，b是a在平面上的射影，如果直線c b,那么a c （ ）abc假(3)已知a是平面的斜線，b是a在平面上旋轉(zhuǎn)一周一射影，是平面的垂線，如果直線c a，c b,那么c 。 ( )abc(3)已知a是平面的斜線，b是a在平面上旋轉(zhuǎn)一周一射影，是平面的垂線，如果直線c a，c b,那么c 。 ( )abc(3)已知a是平面的斜線，b是a在平面上旋轉(zhuǎn)一周一射影，是平面的垂線，如果直線c a，c b,那么c

18、。 ( )abc(3)已知a是平面的斜線，b是a在平面上旋轉(zhuǎn)一周一射影，是平面的垂線，如果直線c a，c b,那么c 。 ( )abc ？ 這道題的答案應(yīng)該是(3)已知a是平面的斜線，b是a在平面上旋轉(zhuǎn)一周一射影，是平面的垂線，如果直線c a，c b,那么c 。 ( )abc真2.正方體的邊長(zhǎng)為5厘米，求點(diǎn)A到BD的距離。AABBCCDDO注意：認(rèn)真分析題目所給的條件2.正方體的邊長(zhǎng)為5厘米，求點(diǎn)A到BD的距離。AABBCCDDO2.正方體的邊長(zhǎng)為5厘米，求點(diǎn)A到BD的距離。AABBCCDD解：連接BD，連接AC，它們交于O，再連接AO，ABCDABCD是正方體，ACBD 即AOBDO2.正方

19、體的邊長(zhǎng)為5厘米，求點(diǎn)A到BD的距離。AABBCCDD解：連接BD，連接AC，它們交于O，再連接AO，ABCDABCD是正方體，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAOO2.正方體的邊長(zhǎng)為5厘米，求點(diǎn)A到BD的距離。AABBCCDD解：連接BD，連接AC，它們交于O，再連接AO，ABCDABCD是正方體，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAOO2.正方體的邊長(zhǎng)為5厘米，求點(diǎn)A到BD的距離。AABBCCDD解：連接BD，連接AC，它們交于O，再連接AO，ABCDABCD是正方體，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAOO2.正方體的邊長(zhǎng)為5

20、厘米，求點(diǎn)A到BD的距離。AABBCCDD解：連接BD，連接AC，它們交于O，再連接AO，ABCDABCD是正方體，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAO即AO就是點(diǎn)A到BD的距離。O2.正方體的邊長(zhǎng)為5厘米，求點(diǎn)A到BD的距離。AABBCCDD解：連接BD，連接AC，它們交于O，再連接AO，ABCDABCD是正方體，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAO即AO就是點(diǎn)A到BD的距離。O2.正方體的邊長(zhǎng)為5厘米，求點(diǎn)A到BD的距離。AABBCCDD解：連接BD，連接AC，它們交于O，再連接AO，ABCDABCD是正方體，ACBD 即AOBDAO是AO在底面

21、AC上的射影。BDAO即AO就是點(diǎn)A到BD的距離。O2.正方體的邊長(zhǎng)為5厘米，求點(diǎn)A到BD的距離。AABBCCDD解：連接BD，連接AC，它們交于O，再連接AO，ABCDABCD是正方體，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAO即AO就是點(diǎn)A到BD的距離。O2.正方體的邊長(zhǎng)為5厘米，求點(diǎn)A到BD的距離。AABBCCDD解：連接BD，連接AC，它們交于O，再連接AO，ABCDABCD是正方體，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAO即AO就是點(diǎn)A到BD的距離。O2.正方體的邊長(zhǎng)為5厘米，求點(diǎn)A到BD的距離。AABBCCDD解：連接BD，連接AC，它們交于O，再連接AO，ABCDABCD是正方體，ACBD 即AOBDAO是AO在底面AC上的射影。BDAO即AO就是點(diǎn)A到BD的距離。又AA5即點(diǎn)A到BD的距離是 厘米。O 注意： 通過(guò)這道題我們可以發(fā)現(xiàn)，在應(yīng)用三垂線定理及逆定理時(shí)關(guān)鍵在于：選好平面位置，定好垂足，找出射影。在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。 小 結(jié)一、三垂線定理一、三垂線定理逆定理課后作業(yè)課本第29頁(yè)11、12、13題。謝謝二OO三年三月107.寶劍鋒從磨礪出，梅花香