1、第第0707講講隨機變量及其分布函數(shù)、離隨機變量及其分布函數(shù)、離散型隨機變量的分布律散型隨機變量的分布律 2.1.1 隨機變量隨機變量 為了全面研究隨機試驗的結果，揭示隨機現(xiàn)象的為了全面研究隨機試驗的結果，揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，就要用數(shù)學分析的方法來研究，統(tǒng)計規(guī)律性，就要用數(shù)學分析的方法來研究， 因此為因此為了便于數(shù)學上的推導和計算，就需將隨機事件的結果了便于數(shù)學上的推導和計算，就需將隨機事件的結果與實數(shù)對應起來，將隨機試驗的結果數(shù)量化當把一與實數(shù)對應起來，將隨機試驗的結果數(shù)量化當把一些非數(shù)量表示的隨機事件用數(shù)字來表示時，些非數(shù)量表示的隨機事件用數(shù)字來表示時， 就建立起就建立起了隨機變量的

2、概念了隨機變量的概念有些試驗結果本身與數(shù)值有關（本身就是一個數(shù)）有些試驗結果本身與數(shù)值有關（本身就是一個數(shù)）. 例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)； 七月份鄭州的最高溫度；七月份鄭州的最高溫度；每天從西安下火車的人數(shù)；每天從西安下火車的人數(shù)；昆蟲的產卵數(shù)；昆蟲的產卵數(shù)；在有些試驗中，試驗結果看來與數(shù)值無關，但我們可以在有些試驗中，試驗結果看來與數(shù)值無關，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結果引進一個變量來表示它的各種結果.也就是說，也就是說，把試驗結把試驗結果數(shù)值化果數(shù)值化. 正如裁判員在運動場上正如裁判員在運動場上不叫運動員的名字而叫不叫運動員的名字而叫號碼一樣

3、，二者建立了號碼一樣，二者建立了一種對應關系一種對應關系. 實例實例1 在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀觀察摸出球的顏色察摸出球的顏色.S=紅色、白色紅色、白色 非數(shù)量非數(shù)量將將 S 數(shù)量化數(shù)量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S紅色紅色白色白色)(eXR10即有即有 X (紅色紅色)=1 , ., 0, 1)(白白色色紅紅色色eeeXX (白色白色)=0.這樣便將非數(shù)量的這樣便將非數(shù)量的 S=紅色，白色紅色，白色 數(shù)量化了數(shù)量化了.實例實例2 拋擲骰子拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù)., 3)3(, 2)2(, 1)1( XXX, 6)6(,

4、5)5(, 4)4( XXX).6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1(,61 iiXPS=1，2，3，4，5，6樣本點本身就是數(shù)量樣本點本身就是數(shù)量恒等變換恒等變換且有且有eeX )(則有則有定義定義2.12.1 設隨機試驗設隨機試驗E的樣本空間為的樣本空間為S=e ，X=X(e)是定義在樣本空間是定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)，對于任上的實值單值函數(shù)，對于任何實數(shù)何實數(shù)X X，集合，集合 e| X(e ) X X 有確定的概率，稱有確定的概率，稱 X=X(e)為為隨機變量隨機變量. . 而表示隨機變量所取的值而表示隨機變量所取的值時時,一般采用小寫字母一般采用小寫字母x,y,z等等.

5、隨機變量通常用大寫字母隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母或希臘字母,等表示等表示隨機變量隨著試驗的結果不同而取不同的值隨機變量隨著試驗的結果不同而取不同的值, 由于由于試驗的各個結果的出現(xiàn)具有一定的概率試驗的各個結果的出現(xiàn)具有一定的概率, 因此隨機變量因此隨機變量的取值也有一定的概率規(guī)律的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)隨機變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機變量是一個函數(shù)隨機變量是一個函數(shù) , 但它與普通的函數(shù)有著本質但它與普通的函數(shù)有著本質的差別的差別 ,普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上的普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上的,而隨機變量是定而隨機變量是定義在樣本空間上的義在

6、樣本空間上的 (樣本空間的元素不一定是實數(shù)樣本空間的元素不一定是實數(shù)).說明說明(1)隨機變量與普通的函數(shù)不同隨機變量與普通的函數(shù)不同隨機事件包容在隨機變量這個范圍更廣的概念之隨機事件包容在隨機變量這個范圍更廣的概念之內內.或者說或者說 : 隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象,而隨機變量則是從動態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象而隨機變量則是從動態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象.(3)隨機變量與隨機事件的關系隨機變量與隨機事件的關系實例實例3 設某射手每次射擊打中目標的概率是設某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標射擊現(xiàn)該射手不斷向目標射擊 , 直到擊中目標為

7、止直到擊中目標為止,則則,)(所所需需射射擊擊次次數(shù)數(shù) eX是一個隨機變量是一個隨機變量.且且 X(e) 的所有可能取值為的所有可能取值為:., 3, 2, 1實例實例4 某公共汽車站每隔某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通過分鐘有一輛汽車通過, 如如果某人到達該車站的時刻是隨機的果某人到達該車站的時刻是隨機的, 則則,)(此此人人的的等等車車時時間間 eX是一個隨機變量是一個隨機變量.且且 X(e) 的所有可的所有可能取值為能取值為:.5 , 01.分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義說明說明,( ).XxF xP XxX設是一個隨機變量是任意實數(shù) 函數(shù)稱為 的分布函數(shù)2.1.2 隨機變量的分布函

8、數(shù)隨機變量的分布函數(shù)定義定義2.2實例實例5 5 拋擲均勻硬幣拋擲均勻硬幣, 令令 ., 0, 1出出反反面面出出正正面面X求隨機變量求隨機變量 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù).解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0時時當當 x;0 0)( xXPxF 0 1x,10時時當當 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1時時當當 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得2 01( )( ),(, );F xx 且有且有0()lim( ),xFF x 1()lim( );xFF x 0003( ) lim( )(),().xxF xF x

9、x 即分布函數(shù)是右連續(xù)的即分布函數(shù)是右連續(xù)的 2. 2.分布函數(shù)的性質分布函數(shù)的性質 即即 是一個不減函數(shù)是一個不減函數(shù)( )F x12121 ( )()(),();F xF xxx重要公式重要公式),()()1(aFbFbXaP ).(1)2(aFaXP 例例1 設隨機變量設隨機變量 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解：由分布函數(shù)的性質，我們有：由分布函數(shù)的性質，我們有( )arctanF xABxx 求常數(shù)求常數(shù)A、B。 0limlimarctanxxF xABx2AB 1limlimxxF xABarctgx2AB解方程組解方程組1202BABA得解得解，121BA1.1.分布律的定義分布

10、律的定義定義定義2.32.3 設離散型隨機變量設離散型隨機變量 X 所有可能的取值為所有可能的取值為 ，X 取各個可能值得概率，即事件取各個可能值得概率，即事件 的概率，為的概率，為 稱此為離散型隨機變量稱此為離散型隨機變量 X 的分布律。的分布律。1 2(, ,)kxk kXx1 2, ,kkP Xxpk2.2.1 2.2.1 離散型隨機變量的分布律離散型隨機變量的分布律 分布律也可以用表格的形式來表示分布律也可以用表格的形式來表示;, 2 , 1, 0)1( kpk X概率概率12kxxx12kppp離散型隨機變量離散型隨機變量 X 的分布律具有以下性質：的分布律具有以下性質： . 1)2

11、(1 kkp(3) (3) 離散型隨機變量的分布律與分布函數(shù)的關系：離散型隨機變量的分布律與分布函數(shù)的關系：離散型隨即變量離散型隨即變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)( )kkkkxxxxF xP XxP Xxpkxx這里和式是對所有滿足這里和式是對所有滿足 的的k求和。求和。反之，若已知離散型隨即變量反之，若已知離散型隨即變量X X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x),則其分布律為：則其分布律為：1111(),()(),kkkpF xpF xF xk例例2 2 設離散型隨機變量設離散型隨機變量 X的分布律如下，求的分布律如下，求a的值。的值。1 2(, , ,)!kaP Xxknk111!kkaakk解：解

12、：由歸一性，我們有由歸一性，我們有 ，而，而11!kak則有等式則有等式a( e- -1 1)=1, 1, 解得解得 a =1/(=1/(e -1)-1)011!kak1()a e例例3 3 設一汽車在開往目的地的道路上需經過四盞信號燈，設一汽車在開往目的地的道路上需經過四盞信號燈，每盞信號燈以每盞信號燈以 概率概率p允許或禁止汽車通過允許或禁止汽車通過. 以以 X 表示汽表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求 X 的分布的分布律律. (信號燈的工作是相互獨立的信號燈的工作是相互獨立的).PX=3=(1-p)3p解：解： 以以 p 表示每盞信號燈

13、禁止汽車通過的概率，則表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X 的分布律為：的分布律為：Xpk 0 1 2 3 4 p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 或寫成或寫成 PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4 例例4 設一求職者在應聘某一工作崗位時需先經過兩次設一求職者在應聘某一工作崗位時需先經過兩次測試，每次測試以測試，每次測試以1/2的概率允許或阻止其通過以的概率允許或阻止其通過以X表示求職者首次被淘汰時，他已通過的測試次數(shù)表示求職者首次被淘汰時，他已通過的測試次數(shù)(設設各次測試是相互獨立的各次測試是相互獨立的)，求，求X的分布律與分布函數(shù)的分布律與分布函數(shù)解解 以