1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程第二章 函數(shù)的極限與連續(xù)性第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的概念一、連續(xù)函數(shù)的概念二. 函數(shù)的間斷點連續(xù)函數(shù)的運算 及其初等函數(shù)的連續(xù)性 四.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的概念極限形式增量形式1.連續(xù)性概念的增量形式在某過程中, 變量 u 的終值 u2 與它的初值 u1 的差 u2 u1, 稱為變量 u 在 u1處的增量, 記為 u = u2u1.u 是一個整體記號, 它可以取正值、負值或零. 有時我們也稱 u 為變量 u 在 u1 處的差分. 設(shè)函數(shù) f (x) 在 U(x0)內(nèi)有定義, xU(x0) , 則稱x = x x0 為自變量 x 在 x

2、0 點處的增量. = f (x0 + x) f (x0 )y = f (x) f (x0 )xyOx0 xxyy = f (x)此時, x = x0 + x , 相應(yīng)地, 函數(shù)在點 x0 點處有增量 y0lim0yx)(0 xxx則稱 f (x) 在點 x0 處連續(xù).設(shè) f (x) 在 U(x0) 內(nèi)有定義. 假設(shè)自變量的增量趨于零時, 函數(shù)的增量也趨于零.設(shè) f (x) 在 U(x0) 內(nèi)有定義, 假設(shè))()(lim0 0 xfxfxx則稱函數(shù) f (x) 在點 x0 處是連續(xù)的.2.函數(shù)連續(xù)性的定義 (極限形式) 函數(shù)的連續(xù)性是一個局部性的概念, 是逐點定義的.是整個鄰域函數(shù) f (x )

3、 在點 x0 處連續(xù), 應(yīng)該滿足以下三點：(1) f (x) 在 U(x0) 內(nèi)有定義；(包括在點 x0 處有定義). )( ) 3(0 xfa (極限值等于函數(shù)在點 x0 處的函數(shù)值) )(lim )2(0；存在axfxx) )( , ( 0有極限時xfxx 函數(shù) y = x2 在點 x = 0 處是否連續(xù) ? 0lim20 xx 函數(shù) y = x2 在點 x = 0 處連續(xù).又且0020 xxxy y = x 2 在 U(0) 內(nèi)有定義,例1解 函數(shù)的連續(xù)性是通過極限定義的, 當(dāng)然可以 運用 語言描述它.3.連續(xù)性的 語言形式設(shè)函數(shù) f (x) 在 U(x0) 內(nèi)有定義. , 假設(shè) , 當(dāng)

4、 | x x0 | 時, 有則稱函數(shù) f (x) 在點 x0 處是連續(xù)的.| f (x) f (x0) | 0sinx x 00 21x在 x = 0 處的連續(xù)性.yxO121)(xfy y = sinxyx+1 由圖可知, 函數(shù)在 點 x0 處間斷.例6 21)0(f)(lim 0 xfx)(lim0 xfx)(lim)(lim 00 xfxfxx故 x = 0 是 f (x) 的第一類間斷點. 將左、右極限存在但不相等的間斷點, 稱為函數(shù)的跳躍型間斷點.) 0 )( 處有定義在xxf1) 1(lim0 xx0sinlim0 xx解討論. 1 11)(2處的連續(xù)性在xxxxf函數(shù)在 x =1

5、 無定義,2) 1(lim11lim 121xxxxx而故 x =1 為函數(shù)的第一類間斷點. x =1 為函數(shù)的間斷點為函數(shù)的間斷點.yxO11P(1,2)y x + 1 進一步分析該間斷點的特點.例7解補充定義211lim|211xxyxx則函數(shù) f *(x) 在 x =1 連續(xù).f * (x) =1 112xxx2 x = 1 即定義分析211lim 21xxx由于這種間斷點稱為可去間斷點.處函數(shù)值后, 可得到一個新的連續(xù)函數(shù) , 故將在且相等, 即極限存在, 經(jīng)過補充定義間斷點這個間斷點的特點是該處的左、右極限存 補充定義f * (x) =)(lim0 xfxx, x = x0 , )(

6、0 xxxf 跳躍型間斷點 可去間斷點 第一類間斷點 左右極限存在 極限不相等 極限相等、補充定義(2) 第二類間斷點 凡不屬于第一類的間斷點, 稱為函數(shù)的第二類間斷點.這算定義嗎？即左右極限至少有一個不存在的點即左右極限至少有一個不存在的點.討論函數(shù). 0 1)(處的連續(xù)性在xxxfxyOxy1在 x = 0 無定義,xxf1)(x = 0為函數(shù)的間斷點,1lim)(lim 00 xxfxx又故 x = 0為函數(shù)的第二類間斷點.xxf1)()(lim 0 xfx所以稱它為無窮間斷點.由于例8解. 0 1sin)( 處的連續(xù)性在討論函數(shù)xxxf在 x = 0 處無定義,xxf1sin)(. 0

7、 為函數(shù)的間斷點x又xxfxx1sinlim)(lim00不存在,故 x = 0 為函數(shù)的第二類間斷點. 看看該函數(shù)的圖形.例9解O11xy 1sinxy . 1sin)( 0 的振蕩型間斷點為稱xxfx 無窮型間斷點 其它間斷點 第二類間斷點左右極限至少有一個不存在左右極限至少有一個為無窮 振蕩型間斷點 左右極限至少有一個振蕩 連續(xù)函數(shù)的運算 及其基本性質(zhì) 3.復(fù)合函數(shù)連續(xù)性4. 初等函數(shù)的連續(xù)性, )(lim0axfxx, )(lim0bxgxx那么baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim00

8、0)0( )(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx的極限存在、函數(shù)時設(shè)當(dāng) )( )( , 0 xgxfxx , )(lim0axfxx, )(lim0bxgxx那么baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0( )(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx)(0 xf)(0 xg0)()()()(00 xxxgxfxgxf) 0)( ( )()()()(0000 xgxgxfxgxfxx現(xiàn)在怎么說?的極限存在、函數(shù)時設(shè)當(dāng) )(

9、)( , 0 xgxfxx 0)()()()(00 xxxgxfxgxf, )( )( 0處連續(xù)在點、設(shè)函數(shù)xxgxf1.連續(xù)函數(shù)的四則運算 設(shè)函數(shù) f (x)、 g(x), fi (x) 在點 x0 處連續(xù), , )()(lim00 xfxfxx那么) , , 2 , 1 ( )()(lim00nxfxfiixx即, )()(lim00 xgxgxx )()()()(lim 000 xgxfxgxfxx 有限個在點 x0 處連續(xù)函數(shù)的和仍是一個 在點 x0 處連續(xù)的函數(shù). 即 )()()( )()()(lim 00201210 xfxfxfxfxfxfnnxx)()()()(lim 000

10、xgxfxgxfxx(2) 有限個在點 x0 處連續(xù)的函數(shù)之積仍是一個在點 x0 處的連續(xù)函數(shù). 即)()()()()()(lim 00201210 xfxfxfxfxfxfnnxx0)( )()()(lim)(lim)()(lim 000000 xgxgxfxgxfxgxfxxxxxx(3) 兩個在點 x0 處連續(xù)函數(shù)的商, 當(dāng)分母不為 零時, 仍是一個在點 x0 處連續(xù)函數(shù). 即Oxy y = f 1(x) 的圖形只是 y = f (x) 的圖形繞直線 y = x 翻轉(zhuǎn) 180 而成, 故單調(diào)性、連續(xù)性仍保持.從幾何上看:x = f 1(y) 與 y = f (x)的圖形相同,連續(xù)性保持.

11、 從而, 單調(diào)性、)(1yfx)(xfy )(1xfy設(shè)函數(shù) y = f (x) 在區(qū)間 I 上嚴(yán)格單調(diào)增加(減少) 且連續(xù), 則其反函數(shù))(1yfx在相應(yīng)的區(qū)間 I* = y | y = f (x) , xI 上嚴(yán)格單調(diào)增加 (減少) 且連續(xù).(反函數(shù)連續(xù)性定理)xy2211O增加單調(diào) ) 1 , 1 (arcsinCxy22xy11O增加單調(diào) ) 2 ,2 (sinCxy例11設(shè)函數(shù) u = (x) 在點 x0 處連續(xù), 且u0 = (x0) ,函數(shù) y = f (u) 在 u0 處連續(xù).若復(fù)合函數(shù) y = f ( (x)在 U(x0) 內(nèi)那么 y = f ( (x) 在 x0 點處連續(xù).

12、有定義, 這個條件有必要嗎？(復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理), uy 盡管u = cos x 1 是在定義域內(nèi)的定義域是一個孤立點集D = x | x = 2k , kZ 1cos xy1cosxy從而, 函數(shù)在其定義域內(nèi)的但由它們構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)連續(xù)的函數(shù),每一點均不連續(xù).例12在定理 4 的條件下,)(lim()(lim00 xfxfxxxx 在定理4 的條件下, 極限符號可與連續(xù)函數(shù) 符號交換順序. 推論推論xxxxee202sinlimsin0lim10 e求xxe2sin0lim例13解設(shè)函數(shù) u = (x) 的極限存在：函數(shù) y = f (u) 在點 u = a 處連續(xù).復(fù)合函數(shù) f ( (x

13、) 當(dāng) x x0 時的極限存在, 且，axxx)(lim00U x)()(lim()(lim00afxfxfxxxx若復(fù)合函數(shù) f ( (x) 在內(nèi)有定義, 那么求xxxxsinlnlim0y = ln u 在其定義域內(nèi)連續(xù), 0 sin處無定義在點xxxu, 1sinlim 0 xxx但故xxxsinlnlim001ln sinlim ln0 xxx（ y = ln u 在 u = 1 處連續(xù)）例14解4.初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的. 初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù). 注意兩者的區(qū)別！求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim214

14、1arctan) 12ln(12 連續(xù)性給極限運算帶來很大方便.例15解1.最大值和最小值定理2.介值定理3. 方程根的計算1. 最大值和最小值定理設(shè) f (x) C ( a, b ), 那么 (i) f (x) 在 a, b 上為以下四種單調(diào)函數(shù)時 aObxyaObxyOab xyOabxyy = f (x) a, b , y = f (x) a, b , . )()(max,bfxfbax, )()(min,afxfbax， )()(max,afxfbax. )()(min,bfxfbax此時, 函數(shù) f (x) 恰好在 a, b 的 端點 a 和 b 處取到最大值和最小值.那么那么 (i

15、i) y = f (x) 為一般的連續(xù)函數(shù)時,maxmax654321,baaaaaaabaxmmmmmmmm,minmin654321,baaaaaaabaxmmmmmmmmxya a1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)O1am2am3am4am5am6am(最大值和最小值定理)假設(shè) f (x) C ( a, b ) , 則它在該閉區(qū)間上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 . 在定理中, 閉區(qū)間的條件是很重要的, 例如, y = x 在 (1, 3) 內(nèi)連續(xù), 但它不能取到它的最大值和最小值.假設(shè) f (x)C( a, b ), 那么 f (x) 在 a, b 上有界. xy

16、a a1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)O1am2am3am4am5am6am 看圖就知道如何證明了. 推論推論2.介值定理axyy = f (x)f (a)bf (b)Of (x)C ( a, b ), f (a) f (b) 0, f ( )0.先看一個圖 描述一下這個現(xiàn)象(介值定理)設(shè) f (x)C ( a, b ), f (a)A, f (b)B,且 A B, 則對于 A, B 之間的任意一個數(shù) C, 至少存在一點 (a, b), 使得 f () = C.(根存在定理或零點定理)則至少存在一點 (a, b), 使得 f ( )0.設(shè) f (x) C ( a, b ), 且 f (a) f (b) 0,axyy = f (x)f (a)bf (b)O最大、最小值定理介