1、人教A版高中數(shù)學(xué)必修4 第二章 平面向量;11=5:1:5.PABABCAEPABABCABhhACSS 所以，與的底邊上的高 與 的比值為，即DE圖1CABP21:.55PABABCPABCAPABACSS 是內(nèi)一點(diǎn)，則問(wèn)題原型：1PPDACABDPEABACE解析：如圖 所示，過(guò)點(diǎn) 作交于 ，交于 ，則211555APADAEABACADAB AEACAEAC ，又， ，故1hhAC細(xì)心的同學(xué)可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)比值與前的系數(shù)相同。這是個(gè)偶然嗎？; 一、面積比與系數(shù)的關(guān)系圖1CABP:.PABPACPABCAPABACSS 為內(nèi)一點(diǎn)，且，則：探究1：: 1:1.PABPACPBCABCPABCA

2、PABACSSSS 結(jié)合上述論證過(guò)程，善于觀察的同學(xué)可以發(fā)現(xiàn)更加完整的結(jié)論：若為內(nèi)一點(diǎn)，且，則:1.PABABCSS故1PPDACABDPEABACE解析：如圖 所示，過(guò)點(diǎn) 作交于 ，交于 ，則.APADAEABACADAB AEACAEAC ，又， ，故1=AEPABABCABhhAC 所以，與的底邊上的高 與 的比值為，1hDEh:1.: .PACABCPABPACSSSS 同理即1;PABC若點(diǎn) 位于外的其它6個(gè)區(qū)域呢？是否也有類(lèi)似結(jié)論呢？ACB圖2P 二、面積比與P點(diǎn)位置;( , )( ,0)( , ).APABACx yba c 由，可得.xbaPbacyc，即（，）探求2：笛卡爾建

3、立的平面直角坐標(biāo)系架起了幾何與代數(shù)橋梁，接下來(lái)，我們嘗試用代數(shù)方法處理這一幾何問(wèn)題。以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖平面直角坐標(biāo)系.( ,0),( , ), ( , )=( , )( ,0),( , )B bC a c P x yAPx y ABbACa c 可設(shè)，則,，:0()0ACBClcxaylcxab ybc又，：,PAB AC BC從而，點(diǎn) 到邊的距離分別為bac（，）BCxyA圖3P:0AClcxay()0BClcxab ybc：(,)a c(, 0)b(0, 0);111=222PABABSAB dbcbc所以，2222()- )1()()BCcbaa bcbcbcdcabcab（，

4、2222111=222PACACbcSAC dacbcac，22221111=()1222()PBCBCbcSBC dabcbcabc，ABdc ，11:1 :1.22ABCPABPACPBCABCSb cbcSSSS又，故bac（，）BCxyA(O圖3P:0AClcxay()0BClcxab ybc：ACdABdBCd2222()ACcbaacbcdcaca，(, 0)b(,)a c;, , ,:1:1.PABPACPBCABCP A B CAPABACSSSS 四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則結(jié)論：: .1PABPACABCPBCABCAPABACSSSPS 不妨假設(shè)點(diǎn) 在內(nèi)，若，則這個(gè)

5、結(jié)論比較容易記憶（系數(shù)顛倒即可），再把視為，所以余下的即為1- - ，加上絕對(duì)值就是一般結(jié)論了。結(jié)論記憶：AB ACAP ， ，用三個(gè)共起點(diǎn)的向量中的兩個(gè)表示出了第三個(gè)向量線性。條件特點(diǎn)：;3231,:43433 131:1: :1 9:1:4:12.4 3 43PABPACPBCABCAPBCBABPBA APBCBASSSS ：故解230:.PABPACPBCABCPABCPAPBPCSSSS ，為內(nèi)一點(diǎn)，則若應(yīng)應(yīng)用用2 2：+23023623523111 1 1 1: :11 3:2:1:6.322 3 3 2PABPACPBCABCPAPBPCAPPBPCAPPBPCAPABACAPA

6、BACSSSS .故：解： 此題屬于平面向量面積比的常見(jiàn)題型，假設(shè)也能有普通結(jié)論可用，解題必將事半功倍。32:.43PABPACPBCABCPABCAPBCBASSSS 為內(nèi)一點(diǎn)，則，若應(yīng)應(yīng)用用1 1：;0mPA nPB lPC 三三、滿(mǎn)滿(mǎn)足足面面積積比比問(wèn)問(wèn)題題, , , , ,0,()()().P ABCmnlmPA nPB lPCmAP nPB lPC n AB APl AC APm n l AP nAB lAC 四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，對(duì)于非零實(shí)數(shù)若則m0=0.n lnABlAC 若，則:1:1:.lnnllnmmn lmn lmn lmn lmn l ABAC 又與不共線，0.m

7、nl 故0,.nlmn lAPABACmn lmn l 即 與題設(shè)矛盾。我們可以令,nlmn lmn l :1:1PABPACPBCABCSSSS則;, , , , ,0:.PABPACPBCABCP A B Cm n lmPAnPBlPCSSSSmnlmnl 四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，對(duì)于非零實(shí)數(shù)則若，結(jié)論：mPBCPACPABABCSBCPAmSACPBnSABPClABnlPCS 很明顯，對(duì)應(yīng)不含的前面的系數(shù) ，對(duì)應(yīng)不含的前面的系數(shù) ，對(duì)應(yīng)不含的前面的系數(shù)，再聯(lián)想點(diǎn) 在內(nèi)時(shí)的情況可得對(duì)應(yīng)。對(duì)于一般情況，加上絕對(duì)值即可。結(jié)論記憶：0PAPBPC 用三個(gè)共起點(diǎn)的向量， ， ，線性表示出了。條件特點(diǎn)：;+22(+30:1:3:1:1 3 ( 1)1:3:1:3.PABPACPBCABCPA PB PCBCPCPBPAPBPCSSSS 解)析：32:.43PABPACPBCABCPABCAPBCBASSSS ，若為，則應(yīng)應(yīng)用用1 1：3232()()490,4343:9: 1:4: 9+9:1:4:12.PABPACPBCABCAPBCBAPAPCPBPA PBPA PBPCSSSS 另故（-1）4解： 兩個(gè)結(jié)論本質(zhì)上具有共通性，接下來(lái)嘗試?yán)玫诙€(gè)結(jié)論再解運(yùn)用1.+:.PABPA