1、數(shù)數(shù)=線線性性代代11 ,.,.n nn nn nABPP APBABABABAP APBPAAA對(duì)于若存在可逆矩陣使得則稱 與 相似 或 相似于記為并稱由的變換為相似變換為此相似變換的矩陣如果 與一個(gè)對(duì)角矩陣相似 則稱 可簡稱為定義8(相似矩陣)相相似似對(duì)對(duì)角角化化可可對(duì)對(duì)角角化化5.35.3相似矩陣與矩陣的對(duì)角化相似矩陣與矩陣的對(duì)角化1(1):;(2),?APDP APDPD方陣可對(duì)角化的條件如果方陣 會(huì)對(duì)角化 即存本節(jié)的兩個(gè)注意在可逆矩陣 及對(duì)角矩陣使得那么 如何求矩陣 和問呢題數(shù)數(shù)=線線性性代代11111-11-1-11:(1):()(2):,(, ()(),)(3):, C, C,(

2、P,Q,P,Q P,()().AA IAIAABBAPP APBPB PABAAB BAAPB Q BQCAPQCPQA PQC相似矩陣的簡單性質(zhì)反身性對(duì)稱性 若則若存在可逆矩陣使得則有故傳遞性 若則若存在可逆矩陣使得則即115 (),(1) ;(2) ( )( ) ,);ABABr Ar BABAB定理 方陣相似的幾個(gè)必要條件 設(shè)方陣與 相似 則特別當(dāng) 與 都為可逆矩陣時(shí) 有與相似定理定理 5 5數(shù)數(shù)=線線性性代代 由于對(duì)角句陣的特征值為對(duì)角線上的元素由于對(duì)角句陣的特征值為對(duì)角線上的元素,所以由定理所以由定理5得得推論推論 若若n階矩陣階矩陣A與對(duì)角陣與對(duì)角陣12nA12,.nAn 相似 則

3、是 的 特征值11105,.0101AI定理 的逆命題不真 例如與2111, ( )( )2,11(1),01,:,.AIr Ar IIAIIAIIPP APIAPIPIAIAI有但 不與 相似 因?yàn)榕c單位矩陣 相似的矩陣只能是單位矩陣即若存在可逆矩陣 使得則這與發(fā)生矛盾 故 不與 相似數(shù)數(shù)=線線性性代代12,(). ( ),nPx xxAPPD則由 可逆知向量組線性無關(guān) 當(dāng)然其中不含零向量 由式 有12112().:,nnnAAnAPP APDPPxxx定理6 方陣可對(duì)角化的充要條件階方陣 可對(duì)角化有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量證明設(shè) 可對(duì)角化 即存在可逆矩陣 使得記為 (*)設(shè) 按列分塊為定理定

4、理 6 6數(shù)數(shù)=線線性性代代 .,.,. 0), 2 , 1( 211221121212121依次為對(duì)應(yīng)的特征向量且的特征值為因?yàn)閚niiinnnnnnxxxAxnixAxxxxAxAxAxxxxxxxA.,就是充分性的證明將以上的證明倒推上去數(shù)數(shù)=線線性性代代12112(1).(2),:,1,2,nnjAAPDPP APDAPAnPjDjn 說明了方陣可對(duì)角化的條件在 會(huì)對(duì)角化時(shí) 如何求 的相似對(duì)角化的變換矩陣及對(duì)角矩陣如果存在可逆矩陣使得則就是 的全部特征值 而 的列向量組就是的 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 且 的第 個(gè)列向量是屬于對(duì)角矩陣 中 的特征向量定理6 定理6 推論推論1 如果矩陣如果

5、矩陣 A 的特征值都是單特征根，則的特征值都是單特征根，則 A 與與對(duì)角矩陣相似對(duì)角矩陣相似 .推論推論1數(shù)數(shù)=線線性性代代12().110550?,002,.11011550(2)55002(2)(6 )(2)(6)0AAAPDP APDAIA 推論 方陣可對(duì)角化的充要條件方陣 可對(duì)角化屬于 的每個(gè)重特征值的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)正好等于該特征值的重?cái)?shù)方陣是否相似于對(duì)角矩陣 若是 求可逆矩陣 及對(duì)角矩陣使得由 的特征方程例1:例1:解:解:推論推論 2 2數(shù)數(shù)=線線性性代代1231120,2,6.,.0,(0)0,11010001100002,(2)0,1101101002530020010

6、00000000AAAIA xIAAAIA xIA 得 的全部特征值為因 的特征值互不相同 故 必可對(duì)角化對(duì)于特征值解方程組由基礎(chǔ)解系對(duì)于特征值解方程組由2331230(0,0,1)6,(6)0,(1,5,0) ,3.TTIA xA 基礎(chǔ)解系對(duì)于特征值解方程組同樣可得則就是 的 個(gè)線性無關(guān)的特征向量數(shù)數(shù)=線線性性代代112311010105 ,20106()().001:,1?100,:0112nPP APAPAa bAabPP APAAIAa 令矩陣則有注意對(duì)角矩陣主對(duì)角元素的特征值 的排列次序與 的列向量的特征向量 的排列次序一定要一致常數(shù)滿足什么條件時(shí)可對(duì)角化 在可對(duì)角化時(shí) 求可逆矩陣使

7、得成為對(duì)角矩陣 并求由 的特征方例程解解2123(1) (1)0101,1bA 得 得全部特征值為數(shù)數(shù)=線線性性代代12:212()023()2()1101101110000101000000111000,AAIA xr IAr IAIAabababababAababA 由推論 知可對(duì)角化的屬于 重特征值的線性無關(guān)的特征向量有 個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系含有 個(gè)向量而的秩為故 可對(duì)角化當(dāng)時(shí) 下面來求化 為對(duì)角矩0011100PAaa陣的相似變換的矩陣此時(shí)數(shù)數(shù)=線線性性代代121231,()0,1011010100001 ,0101000011,()0101101101202201101000000IA

8、 xIAaaIA xIAIAaaaa 對(duì)于特征值解方程組由對(duì)于特征值解方程組3(1, , 1)Ta1123011110:10111PaP AP令,則有數(shù)數(shù)=線線性性代代AIAAAAAknIPIPAIDknDDPPDDDPPPDPPPDPDPPDPPDPAPDPAAkknnnnnnnn212111111111,12,2) 1(11111)()()()(:時(shí)時(shí)故當(dāng)因由上式可得下面求數(shù)數(shù)=線線性性代代例例3 設(shè)矩陣設(shè)矩陣0aaaaaaAaaaa.AA求的特征值與特征向量 ，并判斷 能否與對(duì)角矩陣相似aaaaaaIAaaa解數(shù)數(shù)=線線性性代代nananaaaaaaa111aaanaaaa1110000

9、na數(shù)數(shù)=線線性性代代1,nna12,01.nan 重10IA X即12101010nnaaaxanaaxaanax 11 , 1 , 1T11110.kk對(duì)應(yīng)的特征向量為 ：數(shù)數(shù)=線線性性代代2111000000aaaaaaIAaaa120nxxx21 ,1 , 0 , 0 , 0,T30 , 1 ,1 , 0 , 0,T0 , 0 , 0 , 1 ,1.nT .An有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 ，能與對(duì)角矩陣相似數(shù)數(shù)=線線性性代代例例4 設(shè)設(shè) A 是是 3 階矩陣且階矩陣且 I + A , 3IA ,I3A 均不均不可逆可逆 .證明證明 ： 1,2.AA可逆與對(duì)角矩陣相似 31,0 ,100

10、,IAIAIAIA 不可逆證12331.303.113300 ,331.3,.AIAAIAIAIAAAA是特征值由是的特征值是的特征值的特征值均不為零故可逆數(shù)數(shù)=線線性性代代 2,13.13AA 的特征值都是單特征值數(shù)數(shù)=線線性性代代212312425649?5374251256491149537137125125(1)149(1)124(1)01371120,10,1250149137AIAIAA判斷是否相似于對(duì)角矩陣各列加到第 列對(duì)于由于矩陣?yán)?:例5:解:解:121251250240120120002,0,.A的秩為 故屬于的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)故 不能對(duì)角化數(shù)數(shù)=線線性性代代12

11、200,02000(1),(2),.(2)(3)3(1)Baba bPP APBaaa設(shè)矩陣A與B相似,且1-11A=24-2-3-3 求的值 求可逆矩陣使解 (1) A的特征多項(xiàng)式為-11-1| I-A|= -2-4233例6 例6 12322,.2,2(3)3(1)0,2,bAaaa由A與B相似可知,A與B有相同的特征值由于 是 的二重特征值 因此是方程的根 把代入上式 得 =5.數(shù)數(shù)=線線性性代代2231212331123,| (2)(812)(2) (6),6.(2)2,(2)0,(1, 1,0) ,(1,0,1)6,(6)0,(1, 2,3)111()102 ,.013TTTIAbI

12、A xIA xPP APB 因此 有于是當(dāng)時(shí) 解方程組得其基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí) 解方程組得其基礎(chǔ)解系為令 則有數(shù)數(shù)=線線性性代代 由前面的例題可知由前面的例題可知,并不是任何一個(gè)方陣都可對(duì)角化的并不是任何一個(gè)方陣都可對(duì)角化的,但但是當(dāng)方陣是當(dāng)方陣A為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí),A必可對(duì)角化必可對(duì)角化,且實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)于且實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)于我們討論下面的二次型非常重要我們討論下面的二次型非常重要.11()()( ,)( ,).:, , , , , |ijijTTnnTAaAaxxxxxxABAB xyxyABABkAkA kxkxAAAx yx yx yxx x稱為的共軛矩陣稱為得共軛向量共軛運(yùn)算滿足方陣

13、為實(shí)矩陣對(duì)于復(fù)向量它們的內(nèi)積為221|nxx數(shù)數(shù)=線線性性代代定理定理 7 7實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值全為實(shí)數(shù)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值全為實(shí)數(shù).,(1)(1)(2)(1)(2),(),)TTTTTTTTTTTTTxAxxAxxxx Axx xxx Axx xx Axx Axx xx xx xx xx T 設(shè)A是任一實(shí)對(duì)稱矩陣, 為其任意一個(gè)特征值,對(duì)應(yīng)于 的特征向量為 即 式兩邊取共軛 兩邊左乘 得 (3)兩邊左乘 得 再兩邊轉(zhuǎn)置得 () (4)由(3),(4)得即(證證200,0,xx而得因此得也就是 為實(shí)數(shù).數(shù)數(shù)=線線性性代代121212,()0,. ,. ,.iiAIA xAx xxx 若 為實(shí)對(duì)稱

14、矩陣 的特征值 則為實(shí)系數(shù)方程組 因此 其解向量都可以取為實(shí)向量 因此 的特征向量可取為實(shí)向量 以下都這樣假定定理8 設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣的兩個(gè)不同特征值分別為對(duì)應(yīng)的特征向量則 與 正交.即實(shí)數(shù)對(duì)稱陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量相互正交定理定理 8 811 12221 1121 1212122121212121212,()TTTTTTTTAxxAxxxx Axx xx Axxxx xx xx xxx2由題設(shè)條件可知 由第一式轉(zhuǎn)置得 =上式兩邊右乘 得 =)=從而有 (=0 又 ,得 =0,即 與 正交. 證 證 數(shù)數(shù)=線線性性代代定理定理 9 9 由于相互正交的向量必線性無關(guān)，所以我們得到。由于相互正

15、交的向量必線性無關(guān)，所以我們得到。推論推論對(duì)應(yīng)實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量必定線性無關(guān)對(duì)應(yīng)實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量必定線性無關(guān)若若是實(shí)對(duì)稱矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣A的的r重特征根，則對(duì)應(yīng)特重特征根，則對(duì)應(yīng)特征值征值恰有恰有r個(gè)線性無關(guān)的特征向量。個(gè)線性無關(guān)的特征向量。證明證明（略）（略）由定理由定理6，定理，定理7，定理，定理8和定理和定理9可以得到可以得到定理定理 10 10實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A一定可以對(duì)角化。即存在正一定可以對(duì)角化。即存在正交矩陣交矩陣P,使使P-1AP=，其中其中是以是以 A的的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣。對(duì)角矩陣。121, .TnnAnPP A

16、PP AP對(duì)于任一 階實(shí)對(duì)稱矩陣必存在 階正交矩陣使得數(shù)數(shù)=線線性性代代1212(1) ,.(2) ,?,()0,niinijijijAPAnAIA xAne eee eAeeeeA 為 的全部特征值的列向量組為 的 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量 那么如何計(jì)算呢這只要對(duì) 的每個(gè)特征值求出方程組的標(biāo)準(zhǔn)正交的基礎(chǔ)解系 則由定理8可得到 的 個(gè)特征向量而且它們還是兩兩正交的 事實(shí)上 如果分別屬于 的兩個(gè)不同的特征向量 則由定理8若 與 屬于 的同一特征值 則由前面的取法12,.ne eeAn它們也是正交的 因此就是 的 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量1,?,4.TnPP APP AP對(duì)于 階實(shí)對(duì)稱矩陣 如何求正交矩陣

17、使得成對(duì)角陣 一般需經(jīng)求特征值 求特征向量 正交化 單位化 個(gè)步驟數(shù)數(shù)=線線性性代代：的步驟與對(duì)角矩陣求正交矩陣P ;,121nAIf ：的的根根求求 ;,0221iiriiiXAI ：的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系求求 ;,32121iiiriiirii ：正交化后再單位化得正交化后再單位化得將將 為正交矩陣且則令PPkkrkr,411111.,211ndiagAPPAPPT1,?TnPP APP AP對(duì)于 階實(shí)對(duì)稱矩陣如何求正交矩陣 使得成對(duì)角陣數(shù)數(shù)=線線性性代代1212112212,.211223(3)(1)021 3,1.221113,3,22001221111,22001APP APIAIAI

18、AIA 對(duì)于求一個(gè)正交矩陣使得成為對(duì)角矩陣對(duì)于由對(duì)于由例7:例7:解:解:121212121121122,:,11223,1TeePeePP APP AP與 已經(jīng)正交 再單位化令則 為正交矩陣 且使得數(shù)數(shù)=線線性性代代1012510,(1),;231(2).(1)5, , 1,1,01255( 1)003 2,-1 102 15( 1)432231(2)AaDba baPP APDAbbabADbAa 已知與相似求的值求正交矩陣 使得的特征值為由特征值的性質(zhì) 得對(duì)例8:例8:解:解:1123232351211015,5152021122200021121121,112000224000111 ,1,01IAIAIA 于由對(duì)于由已經(jīng)正交數(shù)數(shù)=線線性性代代12312312323,1,2,3,111632111,623210631:1,(0,2, 1) ,iiiTTeiAeeePeeeP APP APD 再單位化 即令則得 的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量于是令則有注屬于的相互正交的特征向量不唯一 例如 還可以取為 23221223( 5,1,2)2:1( 1,1,0) ,( 2,0,1),1.TTT 注如果取的特征向量為則不正交 這時(shí) 可以通過施密特正交化方法求得屬于的相互正交的特征向量數(shù)數(shù)=線線性性代代121212:(1),(2),()0(,),().(3),niiinjjnAAAIA