1、.需要用定積分來(lái)解決需要用定積分來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題中有不少問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題中有不少問(wèn)題,路路程程和和功功等等問(wèn)問(wèn)題題積積我我們們已已介介紹紹過(guò)過(guò)的的就就有有面面、:,.,. ,總的思路是總的思路是以曲邊梯形的面積為例以曲邊梯形的面積為例是很有必要的是很有必要的等問(wèn)題時(shí)的方法和步驟等問(wèn)題時(shí)的方法和步驟路程和功路程和功面積面積回顧一下用定積分解決回顧一下用定積分解決因此因此解決解決需用定積分需用定積分何量和物理量何量和物理量以后還會(huì)遇到其他的幾以后還會(huì)遇到其他的幾、的近似值為的近似值為個(gè)子區(qū)間上的面積個(gè)子區(qū)間上的面積第第個(gè)子區(qū)間個(gè)子區(qū)間分成分成將區(qū)間將區(qū)間iAinba ,(1) ,)(iiixfA 的近似

2、值為的近似值為從而總面積從而總面積A ,)(1 niiixfA 的近似值為的近似值為個(gè)子區(qū)間上的面積個(gè)子區(qū)間上的面積第第個(gè)子區(qū)間個(gè)子區(qū)間分成分成將區(qū)間將區(qū)間iAinba ,(1) ,)(iiixfA 的近似值為的近似值為從而總面積從而總面積A ,)(1 niiixfA 取極限得取極限得(2) d)()(lim10 baniiixxfxfA .此處理的此處理的路程和功的問(wèn)題也是如路程和功的問(wèn)題也是如.,把把上上述述步步驟驟簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化一一下下為為了了今今后后使使用用方方便便.)2()1(,)2()1(式式的的雛雛形形式式就就是是可可以以看看到到式式式式與與比比較較.,)1(經(jīng)經(jīng)形形成成積積分分式式中

3、中的的主主要要部部分分已已式式有有了了:簡(jiǎn)化如下簡(jiǎn)化如下.d,)1(xxxii寫寫為為寫寫為為式式中中的的把把 .)2()1(式式式式上上加加積積分分號(hào)號(hào)就就可可得得到到這這樣樣在在:,具體做法如下具體做法如下設(shè)所求量為設(shè)所求量為Q.d,)1表表示示用用內(nèi)內(nèi)任任取取一一個(gè)個(gè)子子區(qū)區(qū)間間在在區(qū)區(qū)間間xxxba .,xQQi 取取的的部部分分量量記記為為此此區(qū)區(qū)間間上上.d)(,d)(xxfQxxfQ 即即形形式式的的近近似似值值具具有有求求出出).(d)(d稱稱為為微微元元寫寫成成xxfQ 得得取取極極限限后后求求和和,)2、.d)( baxxfQ簡(jiǎn)化后的方法稱為簡(jiǎn)化后的方法稱為.微元法微元法形

4、形的的面面積積直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的平平面面圖圖. 1問(wèn)題問(wèn)題,)(),(,),()(均均為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)xgxfbaxxgxf ).(),(),(下下圖圖面面積積所所圍圍成成圖圖形形的的及及求求由由曲曲線線bxaxxgyxfy oxyab)(xfy )(xgy :.d, 微元為微元為在此區(qū)間上面積在此區(qū)間上面積內(nèi)任取一個(gè)子區(qū)間內(nèi)任取一個(gè)子區(qū)間在在xxxba 解解xxxd ,d)()(dxxgxfA 所以所以.d)()( baxxgxfA例例1 1).(2見(jiàn)見(jiàn)下下圖圖所所圍圍成成的的面面積積與與求求由由曲曲線線xyxy 解解oxy1xy 2xy ),1 , 1(),0 , 0(,

5、2得得的的交交點(diǎn)點(diǎn)與與先先求求出出xyxy :根據(jù)上述公式得根據(jù)上述公式得 102d)(xxxA103233132 xx.31 例例2 2.0, 0, 12222的面積的面積求橢圓求橢圓 babyax解解oxyab)(,見(jiàn)見(jiàn)下下圖圖為為所所求求面面積積所所以以軸軸軸軸和和因因圖圖形形對(duì)對(duì)稱稱于于Ayx.d40 axyA得得從從方方程程中中解解出出y.22xaaby 得得代入上式代入上式, axxaabA022d4.dcosd,sinttaxtax 令令ttab 202dcos4 原式原式.ab 的面積的面積極坐標(biāo)系中的平面圖形極坐標(biāo)系中的平面圖形. 2問(wèn)題問(wèn)題,)(表示表示設(shè)曲線由極坐標(biāo)方程設(shè)

6、曲線由極坐標(biāo)方程 .),(,)(此此類類圖圖形形稱稱為為曲曲邊邊扇扇形形見(jiàn)見(jiàn)下下圖圖所所圍圍圖圖形形的的面面積積及及射射線線求求由由曲曲線線 )( AO解解:,d, 得面積的微元得面積的微元作扇形面積作扇形面積在此區(qū)間上面積近似看在此區(qū)間上面積近似看上任取一個(gè)子區(qū)間上任取一個(gè)子區(qū)間在在 d,)d(21d2 A積分后得積分后得.)d(212 A例例3 3).0()cos1( aa所所圍圍圖圖形形的的面面積積求求心心形形線線 解解得面積得面積見(jiàn)右圖見(jiàn)右圖圖形對(duì)稱極軸圖形對(duì)稱極軸),(oA)cos1( a 02d212A 022d)cos1(a 022d)coscos21(a 02d)2cos21c

7、os223(a. 232a 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積. 3問(wèn)題問(wèn)題所所圍圍的的及及軸軸求求由由曲曲線線bxaxxxfy , 0)(.體積體積軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的曲邊梯形繞曲邊梯形繞x解解),(d,見(jiàn)見(jiàn)下下圖圖內(nèi)內(nèi)任任取取一一子子區(qū)區(qū)間間在在xxxba oxy)(xfy baxxxd 得體積的微元得體積的微元的薄圓柱的薄圓柱高為高為視作底面積為視作底面積為將該子區(qū)間上的旋轉(zhuǎn)體將該子區(qū)間上的旋轉(zhuǎn)體,d)(2x、xf ,dd)(d22xyxxfV 則則旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積為為.d2 baxyV 所所圍圍的的及及軸軸若若由由曲曲線線dycyyyx , 0)( 則所成旋轉(zhuǎn)體的體積

8、為則所成旋轉(zhuǎn)體的體積為軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)圖形繞圖形繞,y.d2yxVdc .1 2222體體積積旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所得得到到的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的軸軸軸軸和和所所圍圍的的圖圖形形分分別別繞繞求求橢橢圓圓yxbyax 例例4 4解解由公式得由公式得軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞,x aaxyVd2 aaxaxbd)1(222 axaxb0222d)1(2 aaxxb0232)3(2 .342ab 得得軸旋轉(zhuǎn)時(shí)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)繞繞,y bbyxVd2 bbybyad)1(222 bybya0222d)1(2 bbyya0232)3(2 .342ba .解解決決一一些些物物理理問(wèn)問(wèn)題題我我們們?nèi)匀匀蝗焕糜梦⑽⒃ǚ▉?lái)來(lái)引力引力.

9、1的的引引力力大大小小為為的的質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)之之間間兩兩個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)量量分分別別為為由由萬(wàn)萬(wàn)有有引引力力知知道道21,mm,221rmmkf .是是兩兩個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)之之間間的的距距離離其其中中r.與桿之間的引力與桿之間的引力現(xiàn)在來(lái)求較復(fù)雜的質(zhì)點(diǎn)現(xiàn)在來(lái)求較復(fù)雜的質(zhì)點(diǎn)).(., 見(jiàn)見(jiàn)下下圖圖之之間間的的引引力力求求桿桿與與質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的位位置置有有一一質(zhì)質(zhì)量量為為上上距距離離端端點(diǎn)點(diǎn)為為在在桿桿的的一一端端的的延延長(zhǎng)長(zhǎng)線線質(zhì)質(zhì)量量均均勻勻分分布布的的桿桿設(shè)設(shè)長(zhǎng)長(zhǎng)為為mal例例5 5mxlal o解解,點(diǎn)點(diǎn)由由于于桿桿不不能能看看成成一一個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)取取坐坐標(biāo)標(biāo)如如上上圖圖.公式公式不能直接使用萬(wàn)有引力

10、不能直接使用萬(wàn)有引力.d, 0 xxxl 上任取一個(gè)子區(qū)間上任取一個(gè)子區(qū)間在區(qū)間在區(qū)間xxxd ,可可近近似似地地看看成成一一個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)由由于于子子區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度很很短短),(稱稱為為線線密密度度為為單單位位長(zhǎng)長(zhǎng)度度上上桿桿的的質(zhì)質(zhì)量量設(shè)設(shè) .dx 這這個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的質(zhì)質(zhì)量量為為:,d,的微元的微元得引力得引力式式的引力可用萬(wàn)有引力公的引力可用萬(wàn)有引力公的質(zhì)點(diǎn)之間的質(zhì)點(diǎn)之間上的小段桿與質(zhì)量上的小段桿與質(zhì)量這樣子區(qū)間這樣子區(qū)間fmxxx ),(稱稱為為線線密密度度為為單單位位長(zhǎng)長(zhǎng)度度上上桿桿的的質(zhì)質(zhì)量量設(shè)設(shè) ,)(dd2xlaxkmf 積分得積分得為引力系數(shù)為引力系數(shù)其中其中,k lx

11、laxkmf02)(d lxlakm0 )(laakml ,)(laakMm ).(lMM 是是桿桿的的質(zhì)質(zhì)量量其其中中., 之之間間的的引引力力求求鐵鐵絲絲與與質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)有有一一質(zhì)質(zhì)量量為為在在圓圓心心處處質(zhì)質(zhì)量量均均勻勻分分布布半半徑徑為為設(shè)設(shè)半半圓圓弧弧鐵鐵絲絲mmR例例6 6解解xymzymoRR .,軸上分力為零軸上分力為零之間引力在之間引力在鐵絲與質(zhì)點(diǎn)鐵絲與質(zhì)點(diǎn)由對(duì)稱性由對(duì)稱性xm.,yfy記為記為軸上的分力軸上的分力故只需求引力在故只需求引力在.0之之間間任任意意劃劃分分到到將將圓圓心心角角 上任取一個(gè)子區(qū)間上任取一個(gè)子區(qū)間在在, 0 ,d, ).(d見(jiàn)見(jiàn)下下圖圖其其上

12、上的的圓圓弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)為為 R d, 設(shè)線密度設(shè)線密度的微元為的微元為所以所以均為均為的距離的距離由于圓弧上各點(diǎn)距圓心由于圓弧上各點(diǎn)距圓心yfR, sindd2RkmRfy xymzymoRR 的微元為的微元為所以所以均為均為的距離的距離由于圓弧上各點(diǎn)距圓心由于圓弧上各點(diǎn)距圓心yfR, sindd2RkmRfy 因而因而 dsin0 Rkmfy 0)cos( RkmRkm 2 ,22RmMk .為為半半圓圓鐵鐵絲絲的的質(zhì)質(zhì)量量其其中中M變力做功變力做功. 2).(., 2, 1見(jiàn)下圖見(jiàn)下圖的功的功求克服引力所做求克服引力所做的位置的位置為為移至距移至距沿直線沿直線將質(zhì)點(diǎn)將質(zhì)點(diǎn)它們相距為它們相距為的

13、兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)有質(zhì)量分別設(shè)有質(zhì)量分別bAABBaBAmm例例7 7x)(AOBB xxxd abab 解解.取坐標(biāo)如上圖取坐標(biāo)如上圖可可計(jì)計(jì)算算功功的的微微元元為為上上任任取取一一子子區(qū)區(qū)間間在在,d,xxxba ,ddxfw ,dd221xxmmkw 即即,ddxfw ,dd221xxmmkw 即即積分得積分得為與引力有關(guān)的常數(shù)為與引力有關(guān)的常數(shù)其中其中.k baxxmkmwd221).11(21bamkm xA)(BOB abab 結(jié)結(jié)果果應(yīng)應(yīng)是是一一樣樣的的如如果果坐坐標(biāo)標(biāo)取取為為下下圖圖所所示示,).d)(0221 abxxamkmw積分式為積分式為).m/ t 1( .H(m)

14、R(m), 3質(zhì)量密度為質(zhì)量密度為水的水的部吸出至少要做多少功部吸出至少要做多少功問(wèn)水泵將水桶內(nèi)的水全問(wèn)水泵將水桶內(nèi)的水全水水的圓柱體水桶中盛滿了的圓柱體水桶中盛滿了高為高為半徑為半徑為例例8 8分析分析.的的是是一一層層一一層層地地抽抽到到桶桶口口這這個(gè)個(gè)問(wèn)問(wèn)題題可可以以理理解解為為水水,看成一樣看成一樣如果我們把每一層水量如果我們把每一層水量這也是一個(gè)做功問(wèn)題這也是一個(gè)做功問(wèn)題,位位移移是是不不同同的的但但每每一一層層水水提提到到桶桶口口的的那那么么力力是是不不變變的的.位移是變量位移是變量解解.取坐標(biāo)系如右圖取坐標(biāo)系如右圖zymyHORyyyd ,d, 0yyyH 上上任任取取一一子子區(qū)

15、區(qū)間間在在區(qū)區(qū)間間,d2yR 其其上上的的水水量量為為的微元為的微元為功功w解解.取取坐坐標(biāo)標(biāo)系系如如右右圖圖zymyHORyyyd ,d, 0yyyH 上任取一子區(qū)間上任取一子區(qū)間在區(qū)間在區(qū)間,d2yR 其其上上的的水水量量為為的的微微元元為為功功wyRyHgwd)(d2 .), 8 . 9(為為重重力力加加速速度度其其中中 g則則 HyRyHgw02d)( ).kJ(222gHR 水壓力水壓力. 3處處的的水水的的壓壓強(qiáng)強(qiáng)為為水水深深為為由由物物理理學(xué)學(xué)知知道道h,),1,( 為水的比重為水的比重hp.其方向垂直于物體表面其方向垂直于物體表面,的的大大小小與與方方向向皆皆不不變變強(qiáng)強(qiáng)如如果

16、果物物體體表表面面上上各各點(diǎn)點(diǎn)壓壓p則物體受的總壓力為則物體受的總壓力為.面面積積壓壓強(qiáng)強(qiáng) P.)(,.R(m) 求求閘閘門門所所受受的的總總壓壓力力下下圖圖水水面面與與閘閘門門頂頂齊齊的的圓圓形形水水閘閘門門設(shè)設(shè)半半徑徑為為例例9 9oxy水面水面 yyyd x解解.取坐標(biāo)如右圖取坐標(biāo)如右圖,d,2 , 0yyyR 上上任任取取一一子子區(qū)區(qū)間間在在,其上水的壓強(qiáng)看成不變其上水的壓強(qiáng)看成不變且用矩形且用矩形,代替原來(lái)的長(zhǎng)條代替原來(lái)的長(zhǎng)條的的微微元元這這樣樣得得壓壓力力PyxpPd2d yxyd2 ),m/ t 1( d23 yxy則則,d220 RyxyP,)(,)(22222RyRxRRyx

17、 其其中中則則,d220 RyxyP得得代入上式代入上式,yRyRyPRd)(22022 yRyRRRyRd)()(22022 yRyRRRyRyRRyRRd)(2 )(d)()(220222022 yRyRRRyRyRRyRRd)(2 )(d)()(220222022 )(積積后一個(gè)積分為半圓的面后一個(gè)積分為半圓的面 2202322212)(32RRRyRR ).t (3R 函數(shù)在區(qū)間上的平均值函數(shù)在區(qū)間上的平均值. 4是是表表示示用用的的算算術(shù)術(shù)平平均均值值個(gè)個(gè)數(shù)數(shù))(,21yyyynn.21nyyyyn .,)(上上的的平平均均值值在在區(qū)區(qū)間間現(xiàn)現(xiàn)在在介介紹紹函函數(shù)數(shù)baxfy .,有有

18、無(wú)無(wú)窮窮多多個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)值值因因?yàn)闉樵谠趨^(qū)區(qū)間間上上顯顯然然不不能能直直接接利利用用上上式式,等等分分將將用用微微元元法法來(lái)來(lái)解解決決nba.個(gè)個(gè)有有相相等等長(zhǎng)長(zhǎng)度度的的子子區(qū)區(qū)間間得得n),(見(jiàn)下圖見(jiàn)下圖值看成相等的值看成相等的將每一個(gè)子區(qū)間上函數(shù)將每一個(gè)子區(qū)間上函數(shù)oxyax 01x2x1 nxnxb 0y1y2y1 ny),(見(jiàn)下圖見(jiàn)下圖值看成相等的值看成相等的將每一個(gè)子區(qū)間上函數(shù)將每一個(gè)子區(qū)間上函數(shù)得平均值得平均值.1210nyyyyn 得平均值得平均值.1210nyyyyn .,)(,的平均值的平均值上上在區(qū)間在區(qū)間這個(gè)平均值就愈接近于這個(gè)平均值就愈接近于愈大愈大baxfn顯然顯然記

19、它為記它為 . y,lim1210nyyyyynn ,1,abxnnabx 即即又因?yàn)橛忠驗(yàn)樯鲜綖樯鲜綖闀r(shí)時(shí)且當(dāng)且當(dāng). 0, xn)(1lim12100 xyxyxyxyabynx )(1lim12100 xyxyxyxyabynx 1001limniixxyab,d1 baxyab.d1 baxyaby即即).(, 0,.sin 0EtEE記為記為上的平均電動(dòng)勢(shì)上的平均電動(dòng)勢(shì)即即半個(gè)周期內(nèi)半個(gè)周期內(nèi)求在求在設(shè)交流電流的電動(dòng)勢(shì)設(shè)交流電流的電動(dòng)勢(shì) 例例1010解解得得代入公式代入公式,dsin 1 00ttEE 00)cos(tE .20E 例例1111解解,4 , 0 , yy為為積積分分變變量量取取體積微元為體積微元為:dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,