1、數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程1.1 1.1 弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出1 1 方程的導(dǎo)出、定解條件方程的導(dǎo)出、定解條件1.2 1.2 定解條件定解條件1.3 1.3 定解問(wèn)題適定性概念定解問(wèn)題適定性概念數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程物理背景：物理背景： 波的傳播和彈性體振動(dòng)。波的傳播和彈性體振動(dòng)。1.1 1.1 弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出 首先，考察首先，考察弦橫振動(dòng)這個(gè)物理問(wèn)題：弦橫振動(dòng)這個(gè)物理問(wèn)題： 給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦線，設(shè)其給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦線，設(shè)其長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為l ，它在外力作用下在平衡位置

2、附近作微小的橫它在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動(dòng)，求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。振動(dòng)，求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 把實(shí)際問(wèn)題提煉為數(shù)學(xué)模型時(shí)必須做一定的理想化把實(shí)際問(wèn)題提煉為數(shù)學(xué)模型時(shí)必須做一定的理想化假設(shè)，以便抓住問(wèn)題的假設(shè)，以便抓住問(wèn)題的最本質(zhì)特征最本質(zhì)特征。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程1.1 1.1 弦振動(dòng)方程的導(dǎo)弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出出基本假設(shè)：基本假設(shè)：1. 弦的質(zhì)量是均勻的，弦的截面直徑與長(zhǎng)度相比可以忽略弦的質(zhì)量是均勻的，弦的截面直徑與長(zhǎng)度相比可以忽略。 弦可以視為一條曲線，線密度為常數(shù)弦可以視為一條曲線，線密度為常數(shù)。 （細(xì)弦）（細(xì)弦）2. 弦在某一個(gè)平面內(nèi)作微小

3、橫振動(dòng)弦在某一個(gè)平面內(nèi)作微小橫振動(dòng)。 弦的位置始終在一直線段附近，弦上各點(diǎn)在同一平面內(nèi)垂弦的位置始終在一直線段附近，弦上各點(diǎn)在同一平面內(nèi)垂直于該直線的方向上作微小振動(dòng)直于該直線的方向上作微小振動(dòng)。 （微幅微幅）3. 弦是柔軟的，它在形變時(shí)不抵抗彎曲。弦是柔軟的，它在形變時(shí)不抵抗彎曲。 弦上各質(zhì)點(diǎn)的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長(zhǎng)弦上各質(zhì)點(diǎn)的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長(zhǎng)變形與張力的關(guān)系服從虎克定律變形與張力的關(guān)系服從虎克定律。 （橫振動(dòng)）（橫振動(dòng)）基本規(guī)律：基本規(guī)律： 牛頓第二定律（沖量定律）牛頓第二定律（沖量定律）數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 gds

4、M M ds x T y xdx x T 弦線上任意一點(diǎn)在弦線上任意一點(diǎn)在 t 時(shí)刻沿時(shí)刻沿y軸上的位移軸上的位移研究對(duì)象：( , )u x t 在右圖所示的坐標(biāo)系，用在右圖所示的坐標(biāo)系，用u(x, t)表示弦表示弦上各點(diǎn)在時(shí)刻上各點(diǎn)在時(shí)刻t沿垂直于沿垂直于x方向的位移。在方向的位移。在這條弦上任意取一弦段這條弦上任意取一弦段(x, x+x)，它的，它的弧長(zhǎng)為弧長(zhǎng)為 ：xdxxusxxx2)(1 由假設(shè)由假設(shè)3 3，弦線張力，弦線張力T T(x)總是總是沿著弦在沿著弦在x處的切線方向由于弦只在垂直處的切線方向由于弦只在垂直x軸的方向進(jìn)行橫振動(dòng)，因此可以把弦線的張力軸的方向進(jìn)行橫振動(dòng)，因此可以把

5、弦線的張力T T(x)在在x軸的方向的分量軸的方向的分量看成看成常數(shù)常數(shù)。對(duì)于圖中選取的。對(duì)于圖中選取的弦段而言，張力在弦段而言，張力在x軸的垂直方向上的合力為：軸的垂直方向上的合力為：),(),()()(1212xtxuxtxxuTtgtgTsinsinT假設(shè)2和假設(shè)3數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程在時(shí)間段在時(shí)間段(t, t+t)內(nèi)該合力產(chǎn)生的沖量為：內(nèi)該合力產(chǎn)生的沖量為：dtxtxuxtxxuTttt),(),(另一方面，在時(shí)間段另一方面，在時(shí)間段(t, t+t)內(nèi)內(nèi)弦段弦段(x, x+x)的動(dòng)量變化為：的動(dòng)量變化為：dxttxutttxuxxx),(),(于是由沖

6、量定理：于是由沖量定理：dxttxutttxudtxtxuxtxxuTxxxttt),(),(),(),(從而有從而有：0),(),(2222dtdxxtxuTttxutttxxx數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程進(jìn)一步由進(jìn)一步由t， x 的任意性的任意性，有有/, 0),(),(222222Taxtxuattxu 假定有垂直于假定有垂直于x軸軸方向的外力存在方向的外力存在，并，并設(shè)其設(shè)其線密度為線密度為F(x,t)，則則弦段弦段(x, x+x)上的外力為：上的外力為：dxtxFxxx),(它在時(shí)間段它在時(shí)間段(t, t+t)內(nèi)的沖量為：內(nèi)的沖量為：dtdxtxFtttxx

7、x),(數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程/ ),(),(,/),(),(),(222222txFtxfTatxfxtxuattxu),()(222222222tzyxfzuyuxuatu類似地，三維波動(dòng)方程可以表示為類似地，三維波動(dòng)方程可以表示為：0),(),(),(2222dtdxtxFxtxuTttxutttxxx于是有：于是有：數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程簡(jiǎn)化假設(shè)：(2)振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向。cos1cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛頓運(yùn)動(dòng)定律

8、：sinsinTTgdsma橫向：coscosTT縱向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：其中：數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第

9、一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )Tux tu x tgxt22222uuagtx一維波動(dòng)方程2Ta 令：-非齊次方程非齊次方程自由項(xiàng)22222uuatx-齊次方程齊次方程忽略重力作用：忽略重力作用：數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程的函數(shù)，為和如果弦非均勻，則xT),()()(txuxFuxTxttx 非均勻弦的強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程非均勻弦的強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程一維波動(dòng)方程不僅可以描述弦的振動(dòng)，還可以描述：一維波動(dòng)方程不僅可以描述弦的振動(dòng)，還可以描述：彈性桿的縱向振動(dòng)彈性桿的縱向振動(dòng)管道中氣體小擾動(dòng)的傳播管

10、道中氣體小擾動(dòng)的傳播等等等等 因此，一個(gè)方程反應(yīng)的不止是一個(gè)物理現(xiàn)象，因此，一個(gè)方程反應(yīng)的不止是一個(gè)物理現(xiàn)象，而是一類問(wèn)題。而是一類問(wèn)題。1.1 1.1 弦振動(dòng)方程的導(dǎo)弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出出數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 列出微分方程的目的是要從微分方程中求得具體問(wèn)題的解或者研究列出微分方程的目的是要從微分方程中求得具體問(wèn)題的解或者研究解的性質(zhì)。前面我們看到，弦振動(dòng)方程描述的是弦作微小橫振動(dòng)時(shí)的位解的性質(zhì)。前面我們看到，弦振動(dòng)方程描述的是弦作微小橫振動(dòng)時(shí)的位移函數(shù)移函數(shù)u(x, t)所應(yīng)滿足的一般性規(guī)律。僅僅利用它并不能完全確定一條弦所應(yīng)滿足的一般性規(guī)律。僅僅利用它并不能完

11、全確定一條弦的具體運(yùn)動(dòng)狀況。這是因?yàn)橄业倪\(yùn)動(dòng)還與其初始狀態(tài)以及邊界所處的狀的具體運(yùn)動(dòng)狀況。這是因?yàn)橄业倪\(yùn)動(dòng)還與其初始狀態(tài)以及邊界所處的狀況有關(guān)系，因此對(duì)于具體的弦振動(dòng)問(wèn)題而言，還需要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題附加況有關(guān)系，因此對(duì)于具體的弦振動(dòng)問(wèn)題而言，還需要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題附加某些特定條件。某些特定條件。 例如例如: : 在前面的推導(dǎo)中，弦的兩端被固定在在前面的推導(dǎo)中，弦的兩端被固定在x=0和和x=l兩點(diǎn)，即兩點(diǎn)，即 u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，這兩個(gè)等式稱為這兩個(gè)等式稱為邊界條件邊界條件。此外，設(shè)弦在初始時(shí)刻。此外，設(shè)弦在初始時(shí)刻t=0時(shí)的位置和速度為時(shí)的位置和速度為)0()()0 ,(),(

12、)0 ,(lxxtxuxxu這兩個(gè)等式稱為這兩個(gè)等式稱為初始條件初始條件。邊界條件和初始條件總稱為。邊界條件和初始條件總稱為定解條件定解條件。把。把微分微分方程方程和和定解條件定解條件結(jié)合起來(lái)，就得到了與實(shí)際問(wèn)題相對(duì)應(yīng)的結(jié)合起來(lái)，就得到了與實(shí)際問(wèn)題相對(duì)應(yīng)的定解問(wèn)題定解問(wèn)題。對(duì)于弦振動(dòng)方程而言，與上述定解條件結(jié)合后，其定解問(wèn)題可以描述為對(duì)于弦振動(dòng)方程而言，與上述定解條件結(jié)合后，其定解問(wèn)題可以描述為：1.2 1.2 定解條件定解條件數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程4 . 20:3 . 20:02 . 2),(),(:01 . 2),(),(),(22222ulxuxxtuxu

13、ttxfxtxuattxu要在區(qū)域要在區(qū)域)0,0(tlx上（見右上圖）求上述定解問(wèn)題的解，就是上（見右上圖）求上述定解問(wèn)題的解，就是要求這樣的連續(xù)函數(shù)要求這樣的連續(xù)函數(shù)u(x, t) ，它在區(qū)域，它在區(qū)域0 x0中滿足波動(dòng)方程中滿足波動(dòng)方程(2.1)；在；在x軸上的區(qū)間軸上的區(qū)間 0,l 上滿足初始條件上滿足初始條件(2.2)；并在邊界；并在邊界x=0和和x=l上滿足邊界條件上滿足邊界條件(2.3)和和 (2.4)。 一般稱形如一般稱形如(2.3)和和(2.4)的邊界條件為第一類邊界條件，也叫的邊界條件為第一類邊界條件，也叫狄利克雷狄利克雷（DirichletDirichlet）邊界條件）邊

14、界條件。1.2 1.2 定解條件定解條件數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程波動(dòng)方程的初始條件00|( )( )ttuxuxt1、初始條件、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度1.2 1.2 定解條件定解條件數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程(2)自由端：自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、邊界條件、邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況描述系統(tǒng)在邊界上的狀況波動(dòng)方程的三類邊界條件(1)固定端：對(duì)于兩端固定的弦的橫振動(dòng)，其為：固定端：對(duì)于兩端固定的弦的橫振動(dòng)，其為：0|

15、0,xu( , )0u a t 或：或：0 x auTx0 x aux( , )0 xu a t (3) 彈性支承端：在彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧的支承。的彈簧的支承。x ax auTkux 或或0 x auux諾依曼（諾依曼（Neumann）邊界條件邊界條件狄利克雷（狄利克雷（Dirichlet）邊界條件邊界條件數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問(wèn)題又各有其特殊性。邊同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問(wèn)題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問(wèn)題的特殊環(huán)境和歷史，即界條件和初始條件反映了具體問(wèn)題的特殊環(huán)境和歷史

16、，即個(gè)性。個(gè)性。初始條件：初始條件：夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：邊界條件：能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件情況的條件。其他條件：其他條件：能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。1.2 1.2 定解條件定解條件數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程定解問(wèn)題定解問(wèn)題1.31.3 定解問(wèn)題適定性概念定解問(wèn)題適定性概念(1) (1) 初始問(wèn)題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問(wèn)題；初始問(wèn)題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解

17、問(wèn)題；(2) (2) 邊值問(wèn)題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問(wèn)題；邊值問(wèn)題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問(wèn)題；(3) (3) 混合問(wèn)題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問(wèn)題。混合問(wèn)題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問(wèn)題。 把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問(wèn)題。定解問(wèn)題的檢驗(yàn)定解問(wèn)題的檢驗(yàn) 解的存在性：定解問(wèn)題是否有解；解的存在性：定解問(wèn)題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng)解的穩(wěn)定性：定解條件有微小

18、變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng) 的微小變動(dòng)。的微小變動(dòng)。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 定解問(wèn)題的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問(wèn)題的適定解問(wèn)題的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問(wèn)題的適定性。如果一個(gè)定解問(wèn)題的解是存在的，唯一的，而且是穩(wěn)定定性。如果一個(gè)定解問(wèn)題的解是存在的，唯一的，而且是穩(wěn)定的，我們就稱這個(gè)問(wèn)題是適定的，即認(rèn)為這樣的定解問(wèn)題的提的，我們就稱這個(gè)問(wèn)題是適定的，即認(rèn)為這樣的定解問(wèn)題的提法是合適的。對(duì)定解問(wèn)題的適定性進(jìn)行一定的分析，可以幫助法是合適的。對(duì)定解問(wèn)題的適定性進(jìn)行一定的分析，可以幫助我們初步判定所歸結(jié)的定解問(wèn)題是否合理、所附加的定解條件我們初步判定所歸結(jié)的

19、定解問(wèn)題是否合理、所附加的定解條件是否合適以及對(duì)一個(gè)偏微分方程應(yīng)該如何指定定解條件等問(wèn)題，是否合適以及對(duì)一個(gè)偏微分方程應(yīng)該如何指定定解條件等問(wèn)題，同時(shí)也可以對(duì)求解定解問(wèn)題起到一定的指導(dǎo)作用同時(shí)也可以對(duì)求解定解問(wèn)題起到一定的指導(dǎo)作用。 除了研究定解問(wèn)題的適定性外，數(shù)理方程中還經(jīng)常研究的除了研究定解問(wèn)題的適定性外，數(shù)理方程中還經(jīng)常研究的問(wèn)題包括：解的正則性（光滑性）、解的漸近性（包括衰減性）問(wèn)題包括：解的正則性（光滑性）、解的漸近性（包括衰減性）和定解問(wèn)題的求解方法（精確解、漸近解、數(shù)值解）等和定解問(wèn)題的求解方法（精確解、漸近解、數(shù)值解）等。1.31.3 定解問(wèn)題適定性概念定解問(wèn)題適定性概念數(shù)學(xué)物

20、理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程0 02 21 14 44 42 22 24 44 44 4 yuyxuxu)(次次？階階數(shù)數(shù)？、非非線線性性的的？齊齊次次非非齊齊回回答答下下列列方方程程是是線線性性的的四階線性齊次四階線性齊次0 02 2 xuxyxuu)(一階非線性，擬線性的一階非線性，擬線性的0 03 32 22 22 2 yuxxu)(二二階階線線性性齊齊次次的的xyuyxuxusin)( 2 22 22 22 22 22 24 4二階線性非齊次的二階線性非齊次的0 02 25 52 23 32 22 2 uyxuxuln)(三階非線性三階非線性數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程

21、第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程課后作業(yè)：題1和7，P 67。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程2.1 2.1 疊加原理疊加原理2 2 達(dá)朗貝爾公式、波的傳播達(dá)朗貝爾公式、波的傳播2.2 2.2 弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法2.3 2.3 傳播波傳播波2.4 2.4 依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域2.5 2.5 齊次化原理齊次化原理數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程2.1 2.1 疊加原理疊加原理 從本節(jié)開始我們討論弦振動(dòng)方程的各類定解問(wèn)題。在此從本節(jié)開始我們討論弦振動(dòng)方程的各類定解問(wèn)題。在此之前，先介紹疊加原

22、理之前，先介紹疊加原理 在在物理學(xué)研究中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：幾種不同原因的物理學(xué)研究中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)（假設(shè)其他原因不綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)（假設(shè)其他原因不存在）產(chǎn)生的效果的累加。這就是疊加原存在）產(chǎn)生的效果的累加。這就是疊加原理。理。典型例典型例子：子：力和加速度的關(guān)系，萬(wàn)有引力場(chǎng)的可疊加性力和加速度的關(guān)系，萬(wàn)有引力場(chǎng)的可疊加性復(fù)復(fù)雜的雜的聲音聲音各各種單音的種單音的疊加疊加電磁場(chǎng)中的疊加原理電磁場(chǎng)中的疊加原理數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程則則對(duì)于任意的常數(shù)對(duì)于任意的常數(shù)C1、C2，函數(shù)，函數(shù)),()

23、,(),(2211txuCtxuCtxu是方程是方程),(),(221122222txfCtxfCxuatu的解。的解。例如：若例如：若u1 1(x, t)是方程是方程),(122222txfxuatu的解，的解，而而u2 2(x, t)是方程是方程),(222222txfxuatu的解，的解，因此，弦振動(dòng)方程滿足疊加原理因此，弦振動(dòng)方程滿足疊加原理都滿足都滿足疊加原理疊加原理數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程線性方程解（線性系統(tǒng)）具有疊加特性線性方程解（線性系統(tǒng)）具有疊加特性 iifLu ffiuuifLu 0iLuuui0Lu 幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不

24、同原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果的累加。(物理上)數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程2.2 2.2 弦振動(dòng)方程弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法的達(dá)朗貝爾解法 先先從最簡(jiǎn)單的情形入手，即首先考察邊界的影響可以忽略不計(jì)的從最簡(jiǎn)單的情形入手，即首先考察邊界的影響可以忽略不計(jì)的情情況（如況（如果所考察的物體（弦線）長(zhǎng)度很長(zhǎng)，而我們所關(guān)注的又只是在果所考察的物體（弦線）長(zhǎng)度很長(zhǎng)，而我們所關(guān)注的又只是在較短時(shí)間內(nèi)且距離邊界較遠(yuǎn)的一段范圍中的運(yùn)動(dòng)情況，那么邊界條件較短時(shí)間內(nèi)且距離邊界較遠(yuǎn)的一段范圍中的運(yùn)動(dòng)情況，那么邊界條件的影響就可以忽略，并不妨把所考察的物體的長(zhǎng)度視為無(wú)的影響就可以忽略，并不妨把所考察的物

25、體的長(zhǎng)度視為無(wú)限長(zhǎng)）。限長(zhǎng)）。這這樣的情況下，定解問(wèn)題歸結(jié)為如下形式：樣的情況下，定解問(wèn)題歸結(jié)為如下形式：6 . 1)(),(),(:05 . 1), 0(),(),(),(22222xxtuxutxttxfxtxuattxu 這個(gè)這個(gè)定解問(wèn)題中，定解條件只有初始條件，故通常稱為初值問(wèn)題定解問(wèn)題中，定解條件只有初始條件，故通常稱為初值問(wèn)題(也稱柯西（也稱柯西（Cauchy）問(wèn)題）。相應(yīng)地，前一節(jié)中的定解問(wèn)題）問(wèn)題）。相應(yīng)地，前一節(jié)中的定解問(wèn)題(1.1)(1.4)由于既有初始條件，又有邊界條件，故稱為初邊值問(wèn)題或混合問(wèn)題。由于既有初始條件，又有邊界條件，故稱為初邊值問(wèn)題或混合問(wèn)題。 方程方程(1

26、.5)中的自由項(xiàng)中的自由項(xiàng)f(x,t)是由于外力作用產(chǎn)生的，因此方程是由于外力作用產(chǎn)生的，因此方程(1.5)中中f(x,t)恒為零恒為零的情況對(duì)應(yīng)于的情況對(duì)應(yīng)于自由振動(dòng)自由振動(dòng)；f(x,t)不為零不為零的情況對(duì)應(yīng)于的情況對(duì)應(yīng)于強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程10.1,0,0:09 .1),(),(),()II(22222tuuttxfxtxuattxu 下面，我們求解上述初值問(wèn)題。首先注意到下面，我們求解上述初值問(wèn)題。首先注意到微分方程微分方程及及定解條件定解條件都都是是線性線性的。的。對(duì)于這種定解問(wèn)題，同樣存在疊加原理對(duì)于這種定解問(wèn)題，同樣存在疊加原理

27、，即，即若若u1 1(x, t)和和u2 2(x, t)分別是下述初值問(wèn)題分別是下述初值問(wèn)題8.1),(),(:07.1,0),(),() (22222xtuxutxtxuattxu和和的解，那么的解，那么u=u1 1(x, t)+u2 2(x, t)就一定是原初值問(wèn)題就一定是原初值問(wèn)題(1.5)、(1.6)的解的解(證明證明作為課后習(xí)題作為課后習(xí)題)。這樣求解。這樣求解初值問(wèn)題初值問(wèn)題(1.5)、(1.6)就轉(zhuǎn)化為分別求解齊次就轉(zhuǎn)化為分別求解齊次方程帶非齊次邊界條件的初值問(wèn)題方程帶非齊次邊界條件的初值問(wèn)題(I I)和非齊次方程帶齊次初始條件的和非齊次方程帶齊次初始條件的初值問(wèn)題初值問(wèn)題(II

28、II)單獨(dú)初始振動(dòng)狀態(tài)對(duì)單獨(dú)初始振動(dòng)狀態(tài)對(duì)振動(dòng)過(guò)程的影響。振動(dòng)過(guò)程的影響。單獨(dú)考慮外力因素對(duì)單獨(dú)考慮外力因素對(duì)振動(dòng)過(guò)程的影響振動(dòng)過(guò)程的影響。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 首先，我們考察代表首先，我們考察代表自由振動(dòng)自由振動(dòng)情況的情況的初值問(wèn)題初值問(wèn)題(I I)，它可以通過(guò)自變，它可以通過(guò)自變量變換的方法求解。引如新自變量：量變換的方法求解。引如新自變量：=x-at， =x+at。利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的法則，有的法則，有uuxuxuxu22222222)()(uuuxxuxxuxu類似地，類似地，)2();(22222222uuuatuuuatu從而，方程

29、從而，方程(1.7)就化為就化為 ，這個(gè)方程可以直接求解。把它關(guān)于，這個(gè)方程可以直接求解。把它關(guān)于積分積分一次，再關(guān)于一次，再關(guān)于積分一次，就可以得到它的通解為積分一次，就可以得到它的通解為u(,)=F()+G()，其中，其中，F(xiàn)和和G是任意兩個(gè)可微分的單變量函數(shù)。代回原來(lái)的自變量，方程是任意兩個(gè)可微分的單變量函數(shù)。代回原來(lái)的自變量，方程(1.7)的通的通解表示為解表示為u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)。02 u數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 利用這個(gè)通解表達(dá)式，就可以利用初始條件利用這個(gè)通解表達(dá)式，就可以利用初始條件(1.8)來(lái)決定函數(shù)來(lái)決定函數(shù)F和和G，

30、進(jìn)而求出初值問(wèn)題進(jìn)而求出初值問(wèn)題(I I)的解。把上述通解表達(dá)式代入的解。把上述通解表達(dá)式代入初始條件初始條件(1.8)，得到：，得到：12.1)()()(11.1)()()(00 xxGxFaxuxxGxFutt(1.12)式是一個(gè)簡(jiǎn)單的常微分方程，求解它得到式是一個(gè)簡(jiǎn)單的常微分方程，求解它得到13.1)()()(0CdxGxFaxx由由(1.11)和和(1.13)式聯(lián)立求解可以得出函數(shù)式聯(lián)立求解可以得出函數(shù)F和和GxxxxaCdaxxGaCdaxxF00.2)(21)(21)(,2)(21)(21)(把它們代入方程把它們代入方程(1.7)的的通解表達(dá)式就得到了通解表達(dá)式就得到了初值問(wèn)題初值

31、問(wèn)題(I I)的解的解數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 這個(gè)公式這個(gè)公式(1.14)稱為達(dá)朗貝爾公式。從以上推導(dǎo)過(guò)程可以看出：如果稱為達(dá)朗貝爾公式。從以上推導(dǎo)過(guò)程可以看出：如果初值問(wèn)題初值問(wèn)題(I I) 有解，則解一定可以根據(jù)初始條件由有解，則解一定可以根據(jù)初始條件由達(dá)朗貝爾公式表達(dá)出來(lái)，達(dá)朗貝爾公式表達(dá)出來(lái)，因此該問(wèn)題的解是唯一的因此該問(wèn)題的解是唯一的。唯一性唯一性 同時(shí)，若函數(shù)同時(shí)，若函數(shù)(x)在求解區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在求解區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，(x)在求解區(qū)在求解區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么可以驗(yàn)證公式域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么可以驗(yàn)證公式(1.14

32、)給出的的確是初值問(wèn)給出的的確是初值問(wèn)題題(I I)的解。的解。存在性存在性 另外，另外，初值問(wèn)題初值問(wèn)題(I I)的解關(guān)于初始條件的連續(xù)依賴性也可以很容易地的解關(guān)于初始條件的連續(xù)依賴性也可以很容易地從從達(dá)朗貝爾公式中看出。達(dá)朗貝爾公式中看出。穩(wěn)定性穩(wěn)定性14. 1)(212)()(),(daatxatxtxuatxatx數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 如右圖所示，在如右圖所示，在t=0時(shí)，時(shí)， (x,0)=F(x)，它對(duì)應(yīng)，它對(duì)應(yīng)于初始振動(dòng)狀態(tài)（弦在初始時(shí)刻各點(diǎn)位移狀態(tài)）。于初始振動(dòng)狀態(tài)（弦在初始時(shí)刻各點(diǎn)位移狀態(tài)）。經(jīng)過(guò)時(shí)刻經(jīng)過(guò)時(shí)刻t0后，后， (x,t0)=F(x-

33、at0)，在，在(x,u)平面上平面上 ，它相當(dāng)于原來(lái)的圖形向右平移了一段距離它相當(dāng)于原來(lái)的圖形向右平移了一段距離at0。這。這說(shuō)明振動(dòng)的波形以常速度說(shuō)明振動(dòng)的波形以常速度a向右傳播。因此，齊次向右傳播。因此，齊次波動(dòng)方程的形如波動(dòng)方程的形如F(x-at)的解所描述的運(yùn)動(dòng)規(guī)律稱的解所描述的運(yùn)動(dòng)規(guī)律稱為右傳播波，同樣形如為右傳播波，同樣形如G(x+at)的解稱為左傳播波。的解稱為左傳播波。并且，我們知道了方程并且，我們知道了方程(1.5)中的常數(shù)中的常數(shù)a實(shí)際上表示實(shí)際上表示了波動(dòng)的傳播速度。了波動(dòng)的傳播速度。（行波法）（行波法）2.3 2.3 傳播傳播波波 由前文中推導(dǎo)可見，自由振動(dòng)情況下的波

34、動(dòng)方程由前文中推導(dǎo)可見，自由振動(dòng)情況下的波動(dòng)方程的解可以表示為形如的解可以表示為形如F(x-at)和和G(x+at)的兩個(gè)函數(shù)的和。由此可以特別清楚地看出波動(dòng)傳播的的兩個(gè)函數(shù)的和。由此可以特別清楚地看出波動(dòng)傳播的性質(zhì)。性質(zhì)。 考察考察(x,t)=F(x-at) (a0)，顯然它是齊次波動(dòng)方程的解。給出不同的，顯然它是齊次波動(dòng)方程的解。給出不同的t值就可以看出作一維振動(dòng)的物體在各個(gè)時(shí)刻的相應(yīng)位置。值就可以看出作一維振動(dòng)的物體在各個(gè)時(shí)刻的相應(yīng)位置。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x 軸正、反向傳播的兩列波速軸正、反向傳播的兩列波速為

35、為a波的疊加，故稱為行波法。波的疊加，故稱為行波法。a. 只有初始位移時(shí)，只有初始位移時(shí)， 代表以速度代表以速度a 沿沿x 軸正向傳播的波軸正向傳播的波 代表以速度代表以速度a 沿沿x 軸負(fù)向傳播的波軸負(fù)向傳播的波1( , )()()2u x txatxat()xat()xatb. 只有初始速度時(shí)：只有初始速度時(shí)：假使初始速度在區(qū)間假使初始速度在區(qū)間 上是常數(shù)上是常數(shù) ，而在此區(qū)間外恒等于，而在此區(qū)間外恒等于01( , )( )d2x atx atu x ta 11( , )()()u x txatxat換一個(gè)角度看波的傳播換一個(gè)角度看波的傳播數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)

36、方程例例2 在上述問(wèn)題中，初值條件在上述問(wèn)題中，初值條件為為1,10( )1,010 xxxxx ，其它試說(shuō)明其解的物理意義。試說(shuō)明其解的物理意義。( )x-22011( )0 x數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程可見右行波與左行波分別可見右行波與左行波分別為為1()()2f xatxat1()()2g xatxat由達(dá)朗貝爾公式由達(dá)朗貝爾公式有有()()( , )2xatxatu x t于是右行波與左行波的波形均為于是右行波與左行波的波形均為1( )( )( )2f xg xx隨著時(shí)間的推移，其波形如圖所示：隨著時(shí)間的推移，其波形如圖所示：數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第

37、一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程0-2-424121 t-224012-422t012-2-4240t 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程3t012-2-4244t012-2-4245t012-2-424數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程小結(jié)行波法3 適用范圍： 無(wú)界域內(nèi)波動(dòng)方程，等1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。2 關(guān)鍵步驟： 通過(guò)變量變換，將波動(dòng)方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程xxtxuxxutxxuatu),()0 ,(),()0

38、,(0,222220122222tuaxu0122222utax0122utax011utaxtaxtax1tax102uu)(fu)()(21ffuatx atx 2xat2ttxxttxx)()(21atxfatxfutax121tax121數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程xxtxuxxutxxuatu),()0 ,(),()0 ,(0,22222)()(21atxfatxfu)()()()0 ,(21xxfxfxu)()()()0 ,(21xxf axf atxuCaxfxfx021d)(1)()(2d)(21)(21)(01Caxxfx2d)(21)(21)(02

39、Caxxfx2d)(21)(212d)(21)(2100CaatxCaatxuatxatx11()()( )d22x atx atuxatxata 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式 行波法 1t2t2f1f數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程11( , )()()( )d22x atx atu x txatxata 結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x 軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。a. 只有初始位移時(shí)， 代表以速度a 沿x 軸正向傳播的波 代表以速度a 沿x 軸負(fù)向傳播的波1( , )()()2u x txatxat()xat()xat4 解的物理意義b. 只有初始速度

40、時(shí)：假使初始速度在區(qū)間 上是常數(shù) ，而在此區(qū)間外恒等于01( , )( )d2x atx atu x ta 11( , )()()u x txatxat數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程2.42.4 依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域()()1( , )( )22x atx atxatxatu x ts dsa看達(dá)朗貝爾公式，回答下面三個(gè)問(wèn)題：看達(dá)朗貝爾公式，回答下面三個(gè)問(wèn)題：（1） ，即在，即在(x, t)處函數(shù)值由哪些初值決定？進(jìn)一步處函數(shù)值由哪些初值決定？進(jìn)一步由由x軸上哪些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的初值決定？軸上哪些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的初值決定？ ( , )u x t答：由

41、區(qū)間答：由區(qū)間x-at, x+at上的初值決定。將此區(qū)間稱為點(diǎn)上的初值決定。將此區(qū)間稱為點(diǎn)(x, t) 的依賴區(qū)間。的依賴區(qū)間。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程進(jìn)一步分析：方程的特征線為進(jìn)一步分析：方程的特征線為xatC過(guò)過(guò)(x, t)的兩條特征線與的兩條特征線與x軸的軸的交點(diǎn)正好是交點(diǎn)正好是x-at和和x+at. 如圖如圖（2）區(qū)間）區(qū)間 上的初值都能上的初值都能確定哪些點(diǎn)處的函數(shù)值？確定哪些點(diǎn)處的函數(shù)值？12 ,x x特征線，斜率1/a特征線答：過(guò)答：過(guò) 和和 分別作斜率分別作斜率為為 和和 的兩條直線，與的兩條直線，與x軸圍成的三角形區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的軸圍成的三角形區(qū)域

42、內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值都可由函數(shù)值都可由 上的初值決上的初值決定。定。1( ,0)x2(,0)x1a1a12 ,x x稱此區(qū)域?yàn)榉Q此區(qū)域?yàn)?的決定域。的決定域。12 ,x x依賴區(qū)間依賴區(qū)間x1xxatt1x決定區(qū)域2x2xxat數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程（3）區(qū)間）區(qū)間 上的初值都能影響到哪些點(diǎn)處的函數(shù)值？上的初值都能影響到哪些點(diǎn)處的函數(shù)值？12,xx答：過(guò)答：過(guò) 和和 分別作斜率為分別作斜率為 和和 的兩條直線，的兩條直線，與與x軸圍成的無(wú)界區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值都能受到軸圍成的無(wú)界區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值都能受到 上上的初值的影響。的初值的影響。1( ,0)x2(,0)x

43、1a1a12,x x稱此區(qū)域?yàn)榉Q此區(qū)域?yàn)?的影響域。的影響域。12 ,x x一點(diǎn)的影響域如右圖一點(diǎn)的影響域如右圖1xx2xt2xxat影響區(qū)域1xxat1xxt1xxat影響區(qū)域1xxat數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 在前面的討論中，我們看到在在前面的討論中，我們看到在(x,t)平面上平面上斜率為斜率為1/a的直線的直線x=x0-at和和x=x0+at對(duì)波動(dòng)方程對(duì)波動(dòng)方程的研究起著重要作用，它們稱為波動(dòng)方程的的研究起著重要作用，它們稱為波動(dòng)方程的特特征征線線。 我我們看到，們看到，擾動(dòng)實(shí)際上沿特征線傳播擾動(dòng)實(shí)際上沿特征線傳播。擾。擾動(dòng)以有限速率傳播，是弦振動(dòng)方程的一個(gè)

44、重要?jiǎng)右杂邢匏俾蕚鞑?，是弦振?dòng)方程的一個(gè)重要特點(diǎn)。特點(diǎn)。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程例：例：利用行波法來(lái)討論一端固定的半無(wú)界弦的自由振動(dòng)問(wèn)題利用行波法來(lái)討論一端固定的半無(wú)界弦的自由振動(dòng)問(wèn)題0:0)0()(),(:0),0 , 0(022222uxxxtuxutxtxuatu 為了求解此問(wèn)題，我們可以設(shè)想在為了求解此問(wèn)題，我們可以設(shè)想在x=0的左側(cè)仍然有弦存在的左側(cè)仍然有弦存在,只是在振只是在振動(dòng)過(guò)程中動(dòng)過(guò)程中x=0點(diǎn)始終不動(dòng)。問(wèn)題于是轉(zhuǎn)化為：如何將點(diǎn)始終不動(dòng)。問(wèn)題于是轉(zhuǎn)化為：如何將x0上已知的初始函上已知的初始函數(shù)延拓為整個(gè)直線數(shù)延拓為整個(gè)直線-x+上的函數(shù)，并使得用

45、延拓后的函數(shù)作初值的柯上的函數(shù)，并使得用延拓后的函數(shù)作初值的柯西問(wèn)題的解在西問(wèn)題的解在x=0點(diǎn)恒為零。點(diǎn)恒為零。 記記(x)及及(x)是由是由(x)和和(x)分別延拓而得到的函數(shù)。由達(dá)朗貝爾公分別延拓而得到的函數(shù)。由達(dá)朗貝爾公式，以式，以(x)及及(x)為初值的柯西問(wèn)題的解為為初值的柯西問(wèn)題的解為15. 1)(212)()(),(daatxatxtxUatxatx數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程要使要使U(x,t)在在x=0點(diǎn)恒為零，就應(yīng)當(dāng)成立點(diǎn)恒為零，就應(yīng)當(dāng)成立0)(21)()(21daatatatat為此只需要將為此只需要將(x)和和(x)分別作奇延拓就可以滿足上式，

46、也就是說(shuō)，令分別作奇延拓就可以滿足上式，也就是說(shuō)，令),0()(),0()()(),0()(),0()()(xxxxxxxxxx于是將上面定義的于是將上面定義的(x)及及(x)的表達(dá)式代入的表達(dá)式代入(1.15)式即得到問(wèn)題的解式即得到問(wèn)題的解)0()(212)()(),()()(212)()(),(atxdaxatatxtxuatxdaatxatxtxuatxxatatxatx數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程2.5 2.5 齊次化原理齊次化原理考慮非齊次問(wèn)題考慮非齊次問(wèn)題不能用達(dá)朗貝爾公式不能用達(dá)朗貝爾公式可分解成如下兩個(gè)問(wèn)題可分解成如下兩個(gè)問(wèn)題和和用達(dá)朗貝爾公式求解用

47、達(dá)朗貝爾公式求解如何求解？用齊次化原理如何求解？用齊次化原理6 . 1),(),(:05 . 1),(),(),(22222xtuxuttxfxtxuattxu10.1,0,0:09 .1),(),(),()II(22222tuuttxfxtxuattxu8.1),(),(:07.1,0),(),() (22222xtuxutxtxuattxu數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程(1.10) , 0, 0)0 ,( (1.9) , ),(022222ttuxutxfxuatu作用下描述了靜止弦在外力定解問(wèn)題),(),()10. 1 ()9 . 1 (txftxF.時(shí)刻的位移點(diǎn)

48、在產(chǎn)生振動(dòng)時(shí)，弦上tx.),(的情況上受到外力作用產(chǎn)振動(dòng)，弦段我們可以考察時(shí)刻dxxx;),(),(dxtxfdxxx受到的外力是弦段dxdtxfddxtxf),(),(),(時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的沖量為在作作用用時(shí)時(shí)間間作作用用力力沖沖量量 Vdxdtxf一個(gè)速度增量作用于弦段，使其獲得沖量),(FtVm由動(dòng)量原理 dtxfdxdxdtxfV),(),( .),(的影響代替可以用相應(yīng)的瞬時(shí)沖量時(shí)間內(nèi)對(duì)弦振動(dòng)的影響于是外力在d齊次化原理齊次化原理的物理背景的物理背景數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程面面問(wèn)問(wèn)題題的的解解時(shí)時(shí)刻刻的的位位移移，正正好好是是下下點(diǎn)點(diǎn)處處上上由由這這個(gè)個(gè)速速

49、度度增增量量引引起起弦弦)( ttx ),(, 0),( , 22222dxftvxvtxvatvt.),(),(),(是下面定解問(wèn)題的解是下面定解問(wèn)題的解其中其中 txwdtxwtxv, (1.17) , ),(, 0),( (1.16) , 22222xftwxwtxwatwt累累加加起起來(lái)來(lái)，的的速速度度增增量量引引起起的的位位移移之之前前的的各各個(gè)個(gè)瞬瞬時(shí)時(shí)將將時(shí)時(shí)刻刻 t.),(時(shí)時(shí)刻刻引引起起的的位位移移處處在在造造成成的的弦弦上上就就是是連連續(xù)續(xù)外外力力txtxf (1.18) ),(),(0dtxwtxut數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程齊次化原理（齊次化

50、原理（DuhamelDuhamel原理）原理）（以一維弦振動(dòng)為例）（以一維弦振動(dòng)為例）是是下下面面初初值值問(wèn)問(wèn)題題的的解解設(shè)設(shè)兩兩次次連連續(xù)續(xù)可可微微函函數(shù)數(shù)),( txww (1.17) , ),(, 0),( (1.16) , 22222xftwxwtxwatwt則則 ),(),(0dtxwtxut為為(1.10) , 0, 0), 0( (1.9) 0, ),(022222ttuxuttxfxuatu.的解的解.),(),(條條件件即即可可滿滿足足偏偏微微分分方方程程和和定定解解只只需需證證明明 dtxwtxut 0 0數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 dtxwtx

51、ut0 0),(),( .),(),(是定解問(wèn)題的解是定解問(wèn)題的解證明證明 dtxwtxut 0 0 dtxwtttxut 0 0),(),( dtxwttxwtt 0 0),(),( dtxwtt0 0),( dtxwttttxut 0 02 22 2),(),(0 00 00 00 0 dttxwttxut),(),(, 0),()0 ,(00dtxwxu dtxwttttxwt 0 02 22 2),(),( (1.17) , ),(, 0),( (1.16) , 22222xftwxwtxwatwt dtxwxatxft 0 02 22 22 2),(),(2 22 22 22 22

52、2xuatxftu ),(1.10) , 0, 0)0 ,( (1.9) 0 ),(022222ttuxuttxfxuatu0 0 ),(ttxw數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程(1.17) , ),(, 0),( (1.16) , 22222xftwxwtxwatwt(1.10) , 0, 0)0 ,( (1.9) 0, ),(022222ttuxuttxfxuatu方方程程定定解解問(wèn)問(wèn)題題的的解解：如如果果要要求求下下面面非非齊齊次次杜杜阿阿梅梅爾爾原原理理告告訴訴我我們們),( txw定定解解問(wèn)問(wèn)題題的的解解只只須須求求解解下下面面齊齊次次方方程程進(jìn)進(jìn)行行積積分分即

53、即可可：然然后后對(duì)對(duì)解解),( txw(1.18) ),(),(0dtxwtxut數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程()0()sin()sin()1( , )221 22x tx ttxtxtxtxtu x tsdsd d 解：由如上公式，有解：由如上公式，有21sin()sin()2xtxtxtxt2sin cosxtxtxt例例1：求解下列初值問(wèn)題：求解下列初值問(wèn)題：002 ,0|sin ,|ttxxtttuuxxtuxux 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程課后作業(yè)：題8，Page15。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程3.1

54、3.1 分離變量法分離變量法3 3 初邊值問(wèn)題的分離變量法初邊值問(wèn)題的分離變量法3.2 3.2 解的物理意義解的物理意義3.3 3.3 非齊次方程的情形非齊次方程的情形3.4 3.4 非齊次邊界條件的情形非齊次邊界條件的情形數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 本節(jié)進(jìn)一步考察波動(dòng)方程的本節(jié)進(jìn)一步考察波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題初邊值問(wèn)題，并介紹一種常用并介紹一種常用的解法的解法分離變量法分離變量法。首先考察波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題：。首先考察波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題：0:0:0),(),(:0),(22222ulxuxxtuxuttxfxuatu3.1 3.1 分離變量法分離變量法數(shù)學(xué)物理方

55、程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程利用疊加原理，上述初邊值問(wèn)題可以分解為下面兩個(gè)利用疊加原理，上述初邊值問(wèn)題可以分解為下面兩個(gè)初邊值問(wèn)題：初邊值問(wèn)題：. 0:, 0:0),(),(:0, 0) (11112122212ulxuxxtuxutxuatu. 0:, 0:0, 0, 0:0),()(22222222222ulxuxtuuttxfxuatu 與上一節(jié)中一樣，與上一節(jié)中一樣，關(guān)鍵是求解問(wèn)題關(guān)鍵是求解問(wèn)題()，因?yàn)閱?wèn)題因?yàn)閱?wèn)題()可以運(yùn)用可以運(yùn)用齊次化原理齊次化原理歸結(jié)為問(wèn)題歸結(jié)為問(wèn)題()的求解。的求解。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程為了對(duì)方程進(jìn)行分離變量

56、，我們先分析駐波在傳播中的真實(shí)形狀。為了對(duì)方程進(jìn)行分離變量，我們先分析駐波在傳播中的真實(shí)形狀。如果選定一個(gè)坐標(biāo)軸的話，他表示某時(shí)刻各點(diǎn)處的位移分布，實(shí)驗(yàn)表明，如果選定一個(gè)坐標(biāo)軸的話，他表示某時(shí)刻各點(diǎn)處的位移分布，實(shí)驗(yàn)表明， 如果兩列相干波（頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定的簡(jiǎn)諧波）在同一直線如果兩列相干波（頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定的簡(jiǎn)諧波）在同一直線上沿相反方向傳播，會(huì)形成一種特殊的干涉現(xiàn)象叫做上沿相反方向傳播，會(huì)形成一種特殊的干涉現(xiàn)象叫做駐波駐波。在空間的某一些點(diǎn)，在空間的某一些點(diǎn)，介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)不運(yùn)動(dòng)，而另一些點(diǎn)，介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幅度最大；每一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)不運(yùn)動(dòng)，而另一些點(diǎn)，

57、介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幅度最大；每一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與緊挨著的下一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)好像是無(wú)關(guān)的。我們把這種不向前傳播的波動(dòng)叫做緊挨著的下一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)好像是無(wú)關(guān)的。我們把這種不向前傳播的波動(dòng)叫做駐波，不運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)叫做駐波，不運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)叫做波節(jié)波節(jié)，振幅最大的點(diǎn)叫做，振幅最大的點(diǎn)叫做波腹波腹。 波由波疏介質(zhì)垂直入射到波密介質(zhì)界面上反射時(shí)，有半波損失，界面處為合成駐波由波疏介質(zhì)垂直入射到波密介質(zhì)界面上反射時(shí)，有半波損失，界面處為合成駐波的波節(jié)，這樣的反射稱為半波反射；而當(dāng)波由波密介質(zhì)垂直入射到波疏介質(zhì)界波的波節(jié)，這樣的反射稱為半波反射；而當(dāng)波由波密介質(zhì)垂直入射到波疏介質(zhì)界面上反射時(shí)，無(wú)半波損失，界面處為合成駐波的

58、波腹，這種反射叫做全波反射。面上反射時(shí)，無(wú)半波損失，界面處為合成駐波的波腹，這種反射叫做全波反射。 兩個(gè)頻率、振幅相同的聲波相反方向傳播時(shí)，若滿足駐波條件，也能形成駐波。兩個(gè)頻率、振幅相同的聲波相反方向傳播時(shí)，若滿足駐波條件，也能形成駐波。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程分分離離變變量量，設(shè)設(shè)第第一一步步 )()(),(tTxXtxu)()()()(tTxXatTxX 2 2代入方程將上式)()(tTxXxxttuau2 2 (1.5) )()()()(tTatTxXxX2 2 0)()( 0)()(2 xTaxTxX

59、xX 二階線性常微分方程二階線性常微分方程,)()(),(,)()(),(0 00 00 00 0 tTlXtlutTXtu由由條條件件0 00 00 00 0 )()(,)(,),(lXXtTtxu要要求求非非零零解解0 00 0 )()(lXX 0)( xXxX )(稱為該問(wèn)題的固有值（特征值）稱為該問(wèn)題的固有值（特征值）)(xX使該問(wèn)題有非零解使該問(wèn)題有非零解稱為它的固有函數(shù)稱為它的固有函數(shù) 相應(yīng)的非零解相應(yīng)的非零解求求固固有有（值值）函函數(shù)數(shù)第第二二步步 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第一章第一章 波動(dòng)方程波動(dòng)方程,)(3 32 21 1

60、2 2 nlnn 固有值0 00 0 )()(lXX由由 0)(xXxX )(0 ) 1 ( rr, 0 02 2 )(21xxeCeCxX0 02121lleCeCCC011 , 011lleeCC0 0 .0 方方程程沒沒有有非非零零解解，不不行行 0 )2(21)(CxCxX0 00 0 )()(lXX由由00 00212121CCClCCC.0 行行方方程程沒沒有有非非零零解解，也也不不 0 ) 3(xBxAxX sincos)( , 00 sincos00112121ClClCCC!要求非零解要求非零解 nll ,sin0 0必須必須xlxnBxXnn sin)( 固有函數(shù)0 00