1、二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷 一、一、 函數(shù)函數(shù) 三、三、 極限極限 習(xí)題課習(xí)題課機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第一章 )(xfy yxoD一、一、 函數(shù)函數(shù)1. 函數(shù)的概念定義定義:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定義域 值域圖形圖形:DxxfyyxC, )(),( 一般為曲線 )設(shè),RD函數(shù)為特殊的映射:其中機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 函數(shù)的特性有界性 , 單調(diào)性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函數(shù))(:DfDf設(shè)函數(shù)為單射, 反函數(shù)為其逆映射DDff)(:14. 復(fù)合函數(shù)給定函數(shù)鏈)(:11DfDf1)(:DDgDg則復(fù)合函數(shù)為

2、 )(:DgfDgf5. 初等函數(shù)有限個常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與復(fù)復(fù)合而成的一個表達(dá)式的函數(shù).機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 設(shè)函數(shù),1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10 x1,xx求.)(xff解解:,13 x機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0

3、xx設(shè)其中).(xf求令即即令即畫線三式聯(lián)立1111)(xxxxf即xxxxxff) 1(2111)()(例例2.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx與axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax與0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 與相同相同相同相同相同相同機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 下列各種關(guān)系式表示的 y 是否為 x 的函數(shù)? 為什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsi

4、n)3(xuuy不是不是40 x,cosx24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0,10,1)()4(33xxxxxf0, 10, 1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf,2xxxyo4211, 11, 13xx1) 1(32xx,16xoxy110 x1xRx3. 下列函數(shù)是否為初等函數(shù) ? 為什么 ?0,0,)() 1 (xxxxxf2xxy1以上各函數(shù)都是初等函數(shù) .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 設(shè),0)(,1)(,)(2xxxfexfx且求)(x及其定義域 .5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求.

5、 )5(f6. 設(shè),coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2xex1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 f5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f) (f310)10(f)7(f f)12(f) (f312)9(f66. 設(shè),coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sin)(sin2sin1sin12xxfxx3)(sin2sin1xx3)(2xxf機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷1. 函數(shù)連續(xù)的

6、等價形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0時當(dāng) xx有)()(0 xfxf2. 函數(shù)間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有界定理 ; 最值定理 ; 零點(diǎn)定理 ; 介值定理 .3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例例3. 設(shè)函數(shù))(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20

7、 xbfxblnbaln122e機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1)()(xaxbexfx有無窮間斷點(diǎn)0 x及可去間斷點(diǎn), 1x解解:為無窮間斷點(diǎn),0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba為可去間斷點(diǎn) ,1x) 1(lim1xxbexx極限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例4. 設(shè)函數(shù)試確定常數(shù) a 及 b .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 設(shè) f (x) 定義在區(qū)間),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若 f (x) 在連續(xù),0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx

8、)0()(fxf)0( xf)(xf閱讀與練習(xí)閱讀與練習(xí)且對任意實(shí)數(shù)證明 f (x) 對一切 x 都連續(xù) .P64 題2(2), 4; P73 題5機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:P73 題題5. 證明: 若 令,)(limAxfx則給定,0,0X當(dāng)Xx 時, 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根據(jù)有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM則),(,)(xMxf)(xf在),(內(nèi)連續(xù),)(limxfx存在, 則)(xf必在),(內(nèi)有界.)(xfXXA1Myox機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、 極限極限1. 極限定義的等價形式 (以 為例 )0 xx

9、 Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 為無窮小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(00機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則3. 無窮小無窮小的性質(zhì) ; 無窮小的比較 ;常用等價無窮小: 4. 兩個重要極限 6. 判斷極限不存在的方法 xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5. 求極限的基本方法 例例6. 求下列極限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxx

10、sin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx無窮小有界機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e則有)()(1lim0 xvxxxu復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 x

11、uxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 331xy例例7. 確定常數(shù) a , b , 使0)1(lim33bxaxx解解: 原式0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0 xy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 當(dāng)0 x時,32xx 是x的幾階無窮小?解解: 設(shè)其為x的k階無窮小,則kxxxx320lim0 C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故6

12、1k機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 閱讀與練習(xí)閱讀與練習(xí)1. 求的間斷點(diǎn), 并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 為第一類可去間斷點(diǎn))(lim1xfx x = 1 為第二類無窮間斷點(diǎn), 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 為第一類跳躍間斷點(diǎn)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 求.sin12lim410 xxeexxx解:xxeexxxsin12lim410 xxeeexxxxsin12lim43401xxeexxxsin12lim410 xxeexxxsin12lim4101原式 = 1