1、第第4 4章化工過程系統(tǒng)優(yōu)化根底章化工過程系統(tǒng)優(yōu)化根底 化工過程分析與合成課件化工過程分析與合成課件制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511284.1.2 常見的化工優(yōu)化問題常見的化工優(yōu)化問題典型的化工優(yōu)化問題主要包括(1)廠址選擇(2)管道尺寸確實(shí)定和管線布置(3)設(shè)備設(shè)計(jì)和裝置設(shè)計(jì)(4)維修周期和設(shè)備更新周期確實(shí)定(5)單元設(shè)備如反響器、塔器等操作確實(shí)定(6)裝置現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)，過程數(shù)學(xué)模型的建立制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)

2、系電話7)最小庫(kù)存量確實(shí)定(8)原料和公用工程的合理利用等(9)生產(chǎn)方案確實(shí)定(10)換熱網(wǎng)絡(luò)確實(shí)定(11)別離次序確實(shí)定(12)催化劑更換周期確實(shí)定制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話圖4-2那么是另一個(gè)生產(chǎn)過程的維修周期和產(chǎn)品本錢關(guān)系。由圖4-2可知，最正確的維修周期為2年圖4-2 產(chǎn)品本錢隨維修周期改變關(guān)系2制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話過計(jì)算，某換熱器的綜合本錢和冷卻水的出口溫度關(guān)系如下已利用模型方程消去傳熱面積、冷卻水流量1)-(4 30480130)1 . 014ln(225222tttJ制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊

3、聯(lián)系電話作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話工優(yōu)化問題的一般數(shù)學(xué)模型化工優(yōu)化問題的一般數(shù)學(xué)模型化工優(yōu)化模型包括目標(biāo)函數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)和系統(tǒng)模型約束方程，一般的數(shù)學(xué)形式如下：目標(biāo)函數(shù)： J=f(X,U) 4-2 約束條件：gi(X,U)=0(i=1,2,.n) 4-3qj(X,U)0 (j=n+1,n+2,.p) 4-4 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話前尚沒有一種優(yōu)化方法能有效地適用所有的優(yōu)化問題。針對(duì)某一特定問題選擇優(yōu)化方法的主要根據(jù)為：(1)目標(biāo)函數(shù)的特性(2)約束條件的性質(zhì)(3)決策變量和狀態(tài)變量的數(shù)目制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)

4、系電話化問題求解的一般步驟為：(1)對(duì)過程進(jìn)行分析，列出全部變量(2)確定優(yōu)化指標(biāo)，建立指標(biāo)和過程變量之間的關(guān)系，即目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式經(jīng)濟(jì)模型(3)建立過程的數(shù)學(xué)模型和外部約束包括等式約束及不等式約束，確定自由度和決策變量。一個(gè)過程的模型可以有多種，應(yīng)根據(jù)需要，選擇簡(jiǎn)繁程度適宜的模型(4)如果優(yōu)化問題過于復(fù)雜，那么將系統(tǒng)分成假設(shè)干子系統(tǒng)分別優(yōu)化；或者對(duì)目標(biāo)函數(shù)的模型進(jìn)行簡(jiǎn)化(5)選用適宜的優(yōu)化方法進(jìn)行求解(6)對(duì)得到的解檢驗(yàn)，考察解對(duì)參數(shù)和簡(jiǎn)化假定的靈敏度制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話工優(yōu)化問題的根本方法化工優(yōu)化問題的根本方法優(yōu)化問題的求解方法稱

5、為優(yōu)化方法。優(yōu)化問題的性質(zhì)不同，求解的方法也將不同。根據(jù)優(yōu)化問題有無約束條件，可分為無約束優(yōu)化問題和有約束優(yōu)化問題。無約束條件優(yōu)化可分為單變量函數(shù)優(yōu)化和多變量函數(shù)優(yōu)化；而有約束優(yōu)化問題也可分為兩類：線性規(guī)劃問題和非線性規(guī)劃問題。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)及約束條件均為線性時(shí)，稱為線性規(guī)劃問題；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一個(gè)為非線性時(shí)，稱為非線性規(guī)劃問題。求解線性規(guī)劃問題的優(yōu)化方法已相當(dāng)成熟，通常采用單純形法制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話解非線性規(guī)劃問題的優(yōu)化方法可歸納為兩大類1間接優(yōu)化方法 間接優(yōu)化方法就是解析法，即按照目標(biāo)函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件用數(shù)學(xué)分析的方法求解。再按照充分條件或

6、者問題的物理意義，間接地確定最優(yōu)解是極大還是極小。例如，微分法即屬于這一類2直接優(yōu)化方法 直接優(yōu)化方法屬于數(shù)值法。由于不少優(yōu)化問題比較復(fù)雜，模型方程無法用解析法求解，目標(biāo)函數(shù)不能表示成決策變量的顯函數(shù)形式，得不到導(dǎo)函數(shù)。此時(shí)須采用數(shù)值法。這種方法是利用函數(shù)在某一局部區(qū)域的性質(zhì)或在一些點(diǎn)的數(shù)值，確定下一步計(jì)算的點(diǎn)。這樣一步步搜索，逼近，最后到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)，直接法是化工系統(tǒng)優(yōu)化問題的主要求解方法制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511284.2 優(yōu)化的數(shù)學(xué)根底優(yōu)化的數(shù)學(xué)根底制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511284.2.1 凸集凸集 如果對(duì)于一個(gè)集合中的任意一對(duì)點(diǎn)x1和x2，連

7、接兩點(diǎn)的直線段總是完全地被包含在集合內(nèi)，那么這組點(diǎn)或區(qū)域被定義為n維空間的凸集。圖4-4表示了二維情況下的凸集。凸集兩點(diǎn)之間的任意一點(diǎn)可表示為：5)-(4 10 )1 ( 21xxx圖4-4 封閉凸集圖4-5 非凸集圖4-6 開放凸集制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511284.2.2 凸函數(shù)和表達(dá)凸集的定義相仿，如果函數(shù)f(x)滿足下面式4-6的條件，那么f(x)在凸集F下是凸函數(shù)，見圖4-76)-(4 10 )()1 ( ) ()1 (21 21xfxfxxfx1 x x2 f(x) x1 x x2 f(x) 圖4-7 凸函數(shù)圖4-8 凹函數(shù)制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 13

8、6222511284.2.3 4.2.3 單變量函數(shù)的極值情況單變量函數(shù)的極值情況對(duì)于單變量函數(shù)的極值，如果函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，在數(shù)學(xué)可以方便地通過求解一階導(dǎo)數(shù)y=0的方法來得到如對(duì)y =2x32-16x+5，其圖形見圖4-10-5-4-3-2-1012345-100-50050100150200250300 xy圖圖4-9 4-9 具有具有2 2個(gè)極值個(gè)極值點(diǎn)的單變量函數(shù)點(diǎn)的單變量函數(shù)0.511.522.533.52.752.82.852.92.9533.053.13.15xy圖圖4-10 4-10 具有具有3 3個(gè)極個(gè)極值點(diǎn)的單變量函數(shù)值點(diǎn)的單變量函數(shù)制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222

9、51128對(duì)于像式4-1的函數(shù)，可以通過求導(dǎo)的方法獲得極值點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)實(shí)際情況判斷是否最值點(diǎn)來獲取總費(fèi)用最小時(shí)的冷卻物流出口溫度t2。式4-1對(duì)t2求導(dǎo)得：1)-(4 30480130)1 . 014ln(225222tttJ5)-(4 )30(480)130(140130)1 . 014ln(2252222222tttttJ制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話x f(x) x f(x) x f(x) 圖4-11-a 不連續(xù)函數(shù)圖4-11-b 不可導(dǎo)函數(shù)圖4-11-c 離散函數(shù)制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511284.2.4 4.2.4 多變量函數(shù)的極值情況

10、多變量函數(shù)的極值情況對(duì)于多變量數(shù)，其極值情況和最大小值的關(guān)系更為復(fù)雜。一般情況下，只有兩個(gè)變量的函數(shù)還可以用圖形來表示，此時(shí)包括函數(shù)本身，需要用3維空間。超過3維空間就很那用圖形來表示。如果目標(biāo)函數(shù)是含有兩個(gè)變量的二次函數(shù)或可以用二次函數(shù)式4-6來近似表示6)-(4 x)(2222112211122110 xaxxaxaxaxaaf對(duì)于求式4-6的最大(小值，如果該函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，那么也可仿照單變量函數(shù)優(yōu)化的思路，通過分別對(duì)兩個(gè)不同的變量求導(dǎo)，令下式4-7成立7)-(4 02021122222221211111xaxaaxfxaxaaxf通過求解式4-7的方程組，求得式4-6函數(shù)的駐點(diǎn)即一階偏導(dǎo)

11、數(shù)為零的點(diǎn)制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話函數(shù)：8)-(4 8x)(2221211xxxxxf求一階偏導(dǎo)數(shù)：9)-(4 02021122211xxxfxxxf現(xiàn)在在來計(jì)算該函數(shù)的H(xH(x)。對(duì)于一般的二個(gè)變量的二次函數(shù)，H(xH(x)的通式定義如下10)-(4 222122212212xfxxfxxfxfH那么式4-8函數(shù)的H(x)為：11)-(4 2112H制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話4-12 橢圓形等高線-具有最小值圖4-13圓形等高線-具有最小值圖4-14 圓形等高線-具有最大值圖4-15馬鞍狀圖形-無極值制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系

12、電話4-16 穩(wěn)谷圖形-具有最小值圖4-16 穩(wěn)脊圖形-具有最大值圖4-18 上升山脊-無極值圖4-19 多極值圖制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511284.2.5 函數(shù)最優(yōu)解的最后確定對(duì)于具有多個(gè)極值的函數(shù)，在優(yōu)化求解時(shí)，有時(shí)利用優(yōu)化問題的實(shí)際意義確定最大值或最小值，比利用純粹的數(shù)學(xué)分析方法更方便，更符合實(shí)際情況。因此，對(duì)于具有豐富實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的人來說，利用化工專業(yè)知識(shí)，來判斷最優(yōu)解的存在及最優(yōu)解的性質(zhì)，比采用各種數(shù)學(xué)工具的分析更直接更可靠制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話t110.0014.0018.0020.0122.0026.0

13、030.0035.0040.00dt220.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 dt1/dt20.50 0.70 0.90 1.00 1.10 1.30 1.50 1.75 2.00 dt15.00 17.00 19.00 20.01 21.00 23.00 25.00 27.50 30.00 lndt 14.43 16.82 18.98 20.00 20.98 22.87 24.66 26.80 28.85 dt%3.82 1.05 0.09 0.00 0.08 0.57 1.35 2.53 3.82 表5-1 對(duì)數(shù)平均溫差與

14、算術(shù)平均溫差比較dt1:進(jìn)口溫差；進(jìn)口溫差；dt2:出口溫差；出口溫差；dt1/dt2:溫差之比；溫差之比；dt:算術(shù)平均溫算術(shù)平均溫差；差；lndt:對(duì)數(shù)平均溫差；對(duì)數(shù)平均溫差；dt%：兩種溫差相差百分比：兩種溫差相差百分比制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511284.3 4.3 無約束函數(shù)優(yōu)化無約束函數(shù)優(yōu)化制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511284.3.1 單變量函數(shù)優(yōu)化對(duì)于單變量函數(shù)的優(yōu)化，必須先確定單變量函數(shù)的極值情況。只有一個(gè)極值的單變量函數(shù)稱單峰函數(shù)，單峰函數(shù)只有一個(gè)唯一的極值(極大或極小)。下面介紹的大局部單變量函數(shù)優(yōu)化方法對(duì)單峰函數(shù)有效，對(duì)多峰函數(shù)有時(shí)

15、必須先分割成假設(shè)干個(gè)單峰函數(shù)進(jìn)行分區(qū)間求解。多峰函數(shù)具有多個(gè)極值稱多峰函數(shù)。單峰函數(shù)和多峰函數(shù)的示意圖見圖4-20制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話x f(x) x f(x) 圖4-20-1 單峰函數(shù)圖4-20-2 多峰函數(shù)制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話使是單峰函數(shù)，其極值也分兩種情況，分別是極小值見圖4-21-1和極大值見圖4-21-2。對(duì)極小值而言，需滿足(假設(shè)x*為極值點(diǎn))f(x1)f(x2)f(x*) x1x2f(x3)f(x*) x*x3x4 4-14 x1 x2 x* x3 x4 f(x) f(x) x1 x2 x* x3 x4圖4-

16、21-1極小值函數(shù)圖4-21-2 極大值函數(shù)制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話極大值而言，需滿足(假設(shè)x*為極值點(diǎn))：f(x1)f(x2)f(x*) x1x2x* 4-15f(x4)f(x3)f(x*) x*x3x4 4-16為了計(jì)算方便，統(tǒng)一將單變量函數(shù)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變成求極小值或最小值問題，因?yàn)榍蠛瘮?shù)f(x)的最大值可以通過求函數(shù)-f(x)的最小值來獲得最優(yōu)解。如： max f(x)=-x2+2x+4 (4-17)的最優(yōu)解為x=1，最大值為5，等價(jià)與： min -f(x)= x2-2x-4 (4-18)的最優(yōu)解為x=1，最小值為-5。比較可以發(fā)現(xiàn)式4-17和式4-18的

17、解均是x=1，而目標(biāo)函數(shù)剛好符號(hào)相反，但絕對(duì)值相同 所以，單變量函數(shù)優(yōu)化問題就可以統(tǒng)一為求單變量函數(shù)的最小值已規(guī)定為單峰區(qū)間，極值已是全局最值制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話于利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的各種方法如牛頓法，擬牛頓法作者認(rèn)為，對(duì)于單變量函數(shù)，尤其對(duì)于化工優(yōu)化問題，常常為了花去約束條件，目標(biāo)函數(shù)已變得相當(dāng)復(fù)雜，即使函數(shù)可導(dǎo)，如何求取其一階、二階導(dǎo)數(shù)也是一個(gè)問題，還不如直接利用數(shù)值分析的方法來的簡(jiǎn)單明了1、窮舉法窮舉法是最直接最具有物理意義的計(jì)算單變量函數(shù)的方法。其計(jì)算思路就是根據(jù)優(yōu)化問題的實(shí)際意義，確定最優(yōu)解的區(qū)間為a0,b0，然后將a,b區(qū)間分成n1 等分，計(jì)算各個(gè)

18、函數(shù)值，找到最小值點(diǎn)及其左右兩點(diǎn)。將左右兩點(diǎn)作為新的優(yōu)化區(qū)間a1,b1再分成n2等分，計(jì)算各個(gè)函數(shù)值，找到最小值點(diǎn)及其左右兩點(diǎn)；不斷重復(fù)上述過程，直至最優(yōu)解的區(qū)間縮至規(guī)定的精度要求制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話謂快速掃描就是從目標(biāo)函數(shù)的某一點(diǎn)出發(fā)，通過不斷增加步長(zhǎng)，找到中間低，兩頭高的三個(gè)點(diǎn)，掃描法的步驟為：1給定步長(zhǎng)，初始點(diǎn)x1,置n=1，f1=f(x1)2xn+1=xn+2n-1, fn+1=f(xn+1)，if f1fnfn+1的三點(diǎn)，否那么取n=n+1,轉(zhuǎn)2 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話4-1為例，假設(shè)步長(zhǎng)， t21=32, 利用m

19、atlab 編程如下：clear all;clc;close all;n=1;%alfai=1;alfait1=32;f1=ff(t1) t2=t1+alfai*2(n-1) 由于本目標(biāo)函數(shù)的特殊性，建議用帶“%的語句代替，下同% t2=t1+alfai*(n-1)f2=ff(t2)if f1f2 alfai=-alfai t2=t1+alfai*2(n-1) %t2=t1+alfai*(n-1)else endwhile n100 可以給定其他數(shù) n=n+1 t3=t2+alfai*2(n-1) %t3=t2+alfai*(n-1) f3=ff(t3) if f2f3 break;跳出循環(huán)

20、end t1=t2; f1=f2 t2=t3;f2=f3 enda=t1b=t3 % -function ff=ff(t)ff=225*log(14-0.1*t)/(130-t)+480/(t-30); 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話=收縮后的區(qū)間Ln/初始優(yōu)化區(qū)間L0 (4-19) 解決了優(yōu)化區(qū)間，就可以方便地利用計(jì)算的快算計(jì)算功能，通過不斷窮舉，就可以計(jì)算出最優(yōu)解。其實(shí)根據(jù)式4-1所表示的實(shí)際過程，可以知道最優(yōu)一般在30，140之間，為了防止出現(xiàn)被零除，跳過130，取32,128。每輪計(jì)算時(shí)將區(qū)間分成100等分，需計(jì)算101個(gè)點(diǎn)，剩下的區(qū)間由最小點(diǎn)和左右兩點(diǎn)組成，

21、所以每輪就算后剩下的區(qū)間為原來區(qū)間的2%，一般稱為區(qū)間收縮率E，計(jì)算公式為制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話設(shè)連續(xù)進(jìn)行3輪如此的計(jì)算，那么總收縮率到達(dá)0.0008%，完全符合最優(yōu)化溫度要求。其程序的核心代碼如下：function qiongjvfaclear all;clc;close all;tict1=32;t2=128;for k=1:3t=linspace(t1,t2,101);for i=1:101 f(i)=ff(t(i);end fmin=min(f(:);index=find(f(:)=fmin);t1=t(index-1);t2=t(index+1);e

22、nd optimizedtemp=t(index)minf=ff(t(index)toc % -function ff=ff(t)ff=225*log(14-0.1*t)/(130-t)+480/(t-30); 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511282、二分法所為二分法，就是將原來的優(yōu)化區(qū)間一分為二，在分界點(diǎn)的左右兩側(cè)各取兩點(diǎn)和原來的區(qū)間兩端點(diǎn)共4個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)優(yōu)化判斷區(qū)間點(diǎn)，見圖4-22。在這4個(gè)點(diǎn)中找中間低，兩頭高的3個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成新的優(yōu)化區(qū)間，不斷重復(fù)以上過程，直至收縮率E到達(dá)規(guī)定精度1要求為止。二分法點(diǎn)的計(jì)算規(guī)那么如下：x1= (a+b)/2 (b-a) (4-20) x2=

23、 (a+b)/2 +(b-a) (4-21)收斂判據(jù)： E1 4-22 理論極大收縮率的計(jì)算公式為：23)-(4 )21(nE 圖圖4-22 4-22 二等分法示意圖二等分法示意圖 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話管理論上如果值越小，收縮率也越小，收縮效率越高。但如果取得過小，可能將最優(yōu)解的區(qū)域錯(cuò)過，從而導(dǎo)致無法求得最優(yōu)解或盡管程序提示求得最有優(yōu)解，其實(shí)不是最優(yōu)解。當(dāng)然也可以通過強(qiáng)加收斂判據(jù)來判斷是否沒有求得最優(yōu)解，其判據(jù)如下：24)-(4 )(1)()( 2afbfaf制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話1=32;t2=128;n=1;a0=t1;

24、b0=t2;beita=0.005;eer1=0.000001;eer2=0.000001;ticwhile n=f2 t1=c; e1=(b-c)/(a0-b0); optimizedtem=d; minf=f2; else t2=d; e1=(b-c)/(a0-b0); optimizedtem=c; minf=f1; end e2=abs(f2-f1)/(1+abs(f1) ; if e1=eer1 if e2=eer2 break; end endend optimizedtemminftoc 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511283、三分法、三分法圖圖4-23 4-2

25、3 三等分法示意圖三等分法示意圖所謂3分法就是將原來的優(yōu)化區(qū)間，一分為3等份，中間兩點(diǎn)和原來的區(qū)間兩端點(diǎn)共4個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)優(yōu)化判斷區(qū)間點(diǎn)，見圖4-23。在這4個(gè)點(diǎn)中找中間低，兩頭高的3個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成新的優(yōu)化區(qū)間，不斷重復(fù)以上過程，直至收縮率E到達(dá)規(guī)定精度1要求為止。三分法點(diǎn)的計(jì)算規(guī)那么如下： x1= a+(b-a)/3=(b+2a)/3 (4-25) x2= b-(b-a)/3=(2b+a)/3 (4-26)此方法的理論極大收縮率的計(jì)算公式為 27)-(4 )32(nE 三分法編程計(jì)算和二分法完全一致，只需將點(diǎn)的計(jì)算公式改成如下：c=(2*a+b)/3d=(a+2*b)/3 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)

26、系電話 136222511284、黃金分割法 (Golden Section Search MethodbL-xx1x2xLax圖圖4-25 4-25 黃金分割比示意圖黃金分割比示意圖 對(duì)于長(zhǎng)為L(zhǎng)的線段，將它分割成長(zhǎng)短不同的兩局部，長(zhǎng)的一段為x，短的一段為L(zhǎng)-x。如圖4-25所示。假設(shè)這兩個(gè)線段的比值滿足下面的關(guān)系式，那么稱為黃金分割。28)-(4 xxLLx根據(jù)上面的定義,可解出x同L的關(guān)系。由上式4-28可得x2+Lx-L2=0，即：012LxLx解之得：618. 02152411Lx制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話eita=(5)0.5-1)/2tic a=t1;

27、 b=t2; c=a+(1-beita)*(b-a); d=b-(1-beita)*(b-a); f1=ff(c);f2=ff(d)while n=f2 e1=(b-c)/(a0-b0) optimizedtem=d; minf=f2; e2=abs(f2-f1)/(1+abs(f1) a=c; c=d f1=f2 d=b-(1-beita)*(b-a); f2=ff(d) else optimizedtem=c; minf=f1; e1=(b-c)/(a0-b0); e2=abs(f2-f1)/(1+abs(f1) b=d; d=c; c=a+(1-beita)*(b-a); f2=f1 f

28、1=ff(c) end 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511285、拋物線法、拋物線法該法利用優(yōu)化區(qū)間兩端點(diǎn)及內(nèi)部任意一點(diǎn)共3點(diǎn)為根底見圖4-26，將該3點(diǎn)利用二次函數(shù)擬合，再利用拋物線求頂點(diǎn)公式得到拋物線的極值點(diǎn)，將該點(diǎn)和原來3點(diǎn)一起進(jìn)行比較，找到中間低，兩頭高的3點(diǎn)。在從該3點(diǎn)出發(fā)，進(jìn)行二次函數(shù)擬合，求拋物線頂點(diǎn)，不斷重復(fù)以上過程，直至滿足收斂條件為止，拋物線的頂點(diǎn)計(jì)算公式如下：x1 x2 x* x3 f(x) 圖4-26 拋物線法示意圖29)-(4 )()()()()()(21213132121222132123221221*xxfxxfxxfxxfxxfxxfx制作人：方

29、利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511284.3.2 4.3.2 多變量函數(shù)優(yōu)化多變量函數(shù)優(yōu)化通用的計(jì)算步驟是一致的，具體如下：(1) 給定精度，初始點(diǎn)X0，置k=0(2)決定搜索方向Sk，一維搜索f(XK+kSk)=Minf(XK+Sk),令XK+1=XK+kSk得到一個(gè)新點(diǎn)(3) 判斷: 30)-(4 1kkXX假設(shè)式(4-30)成立，那么停止計(jì)算，反之那么令k=k+1，轉(zhuǎn)2，直至精度滿足要求為止制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話量輪換法變量輪換法變量輪換法的根本原理是對(duì)于有變量輪換法的根本原理是對(duì)于有n n個(gè)變量的函數(shù)，以個(gè)變量的函數(shù)，以n n個(gè)線性無關(guān)的個(gè)線性無

30、關(guān)的向量作為向量作為n n個(gè)搜索方向，搜索步長(zhǎng)可用各種方法個(gè)搜索方向，搜索步長(zhǎng)可用各種方法變量輪換法的具體步驟如下1給定精度，初始點(diǎn)X0，置k=0， j=1，Y1=X0，單位向量 ej=(0,01,0)T，單位向量ej中元素為1的位置在第j個(gè)元素上2沿沿n個(gè)單位向量方向作個(gè)單位向量方向作n次一維優(yōu)化搜索次一維優(yōu)化搜索 ： f(Yj+jej)=Minf(Yj+ej)假設(shè)假設(shè)jn，那么令，那么令Yj+1= Yj+jej，j=j+1，重復(fù)，重復(fù)(2)；假設(shè)；假設(shè)j=n,那么下那么下一步一步 3 Xk+1=Yn+1，收斂判斷：，收斂判斷：kkXX1假設(shè)此式成立，那么停止計(jì)算，反之那么令Y1=Xk+1，

31、k=k+1，j=1，轉(zhuǎn)2，直至精度滿足要求為止制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話例【例4-14-1】 用變量輪換法計(jì)算函數(shù)用變量輪換法計(jì)算函數(shù)f=(x1-2)2+(x1-x2)2f=(x1-2)2+(x1-x2)2的最小的最小值。值。X0=(0,0)TX0=(0,0)T，=0.001 e1=(1,0)T =0.001 e1=(1,0)T ，e2=(0,1)T e2=(0,1)T 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話：解：j=1, k=0由初始點(diǎn)得由初始點(diǎn)得Y1=(0,0)T,那么那么Y2= Y1 +1 e1= (1+0,0)T, 代入目標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，

32、對(duì)函數(shù)，對(duì)1作一維搜索作一維搜索 : min(1-2)2+(1-0)2 求出求出1=1，那么，那么Y2=(1,0)T，Y3=Y2+2 e2=(1, 2) 對(duì)對(duì)2作一維搜索作一維搜索: min(1-2)2+(1-2)2 可得可得2=1，那么，那么Y3=(1,1)T,此時(shí)此時(shí)j=2，所以，所以 X1= Y3=(1,1)T和和X0比較顯然尚未收斂，那么比較顯然尚未收斂，那么 : j=1 ,k=k+1=2進(jìn)行下一輪計(jì)算。進(jìn)行下一輪計(jì)算。Y1=X1=(1,1)T,Y2= Y1 +1 e1 =(1+1,1)T, 代入目標(biāo)函數(shù)，對(duì)代入目標(biāo)函數(shù)，對(duì)1作一維搜索作一維搜索: min(1+1-2)2+(1+1-1

33、)2 得得1=0.5, Y3=(1.5,1+2),同理可得同理可得:2，所以，所以X2=(1.5,1.5)T ,經(jīng)屢次迭代經(jīng)屢次迭代10輪可得：輪可得： x1*=1.999024 x2* 此問題的解析精確解為此問題的解析精確解為x1=2，x2=2，可見經(jīng)，可見經(jīng)10輪變量輪換法，已接近精確解輪變量輪換法，已接近精確解 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話純形法單純形法單純形法和上面介紹的坐標(biāo)輪換法一樣，在優(yōu)化計(jì)算過程中無需計(jì)算函數(shù)的梯度，它屬于模式搜索法，即是一種按照事先規(guī)定的模式來探索最優(yōu)點(diǎn)的方法1、單純形定義及計(jì)算原理M次大點(diǎn) H最大點(diǎn) KL最小點(diǎn)R映射點(diǎn) C中心 E擴(kuò)

34、張點(diǎn)S壓縮點(diǎn)圖4-28 單純形計(jì)算過程各點(diǎn)示意圖各點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式：2/ )(5 . 010)(12 . 0)(1)(0LiKHRHSHRREHCCRniHiCUUUUUUUUUUUUUUUnUUU制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511282 2、初始單純形的形成、初始單純形的形成用單純形法進(jìn)行多變量函數(shù)優(yōu)化計(jì)算時(shí)，首先要形成一個(gè)初始單純形，在這個(gè)初始單純形的根底上方可按照一定的搜索模式進(jìn)行優(yōu)化搜索。要在n維空間中建立由n+1個(gè)頂點(diǎn)組成的單純形，同時(shí)又要防止單純形的退化，可按以下兩種方法建立初始單純形1正單純形所謂正單純形也就是各邊邊長(zhǎng)相等的單純形。由初始點(diǎn)U0，可得其它n點(diǎn)坐標(biāo)如下

35、： U0=(u1,u2,ui.un)T U1=(u1+p,u2+q,u3+q,ui+qun+q)T Ui=( u1+q,u2+q,u3+q,ui+pun+q)T Un=( u1+q,u2+q,u3+q,ui+qun+p)T hnnqhnnnp211211制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511282直角單純形直角單純形直角單純形的生成較簡(jiǎn)單，由初始點(diǎn)U0可得其它各點(diǎn)坐標(biāo)如下： Ui=U0+hei ei=(0,0,01第第i個(gè)元素個(gè)元素,.0)Tei 為單位列向量，h為直角邊長(zhǎng) 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511283、單純形法計(jì)算步驟、初始化：函數(shù)f(U)，給定初始點(diǎn)

36、U0及、建立初始單純形，求得各點(diǎn)坐標(biāo)Ui、計(jì)算各點(diǎn)函數(shù)fi=f(Ui)，并求出最大點(diǎn)H，次大點(diǎn)M，最小點(diǎn)L。max fi=fH=f(UH)， min fi=fL=f(UL) max fi=fM=f(UM)iH、收斂判據(jù)：ABS(fH-fL)/Fh) ,假設(shè)此式成立，那么停止計(jì)算，輸出函數(shù)最小值為fL，最小點(diǎn)坐標(biāo)為UL，否那么轉(zhuǎn)下一步。映射：先計(jì)算重心坐標(biāo)，然后計(jì)算映射點(diǎn)UR=UC+(UC-UH), 計(jì)算f R=f(UR)制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話縮：取US=UH+(UR-UH) ， fS =f(US) 壓縮成功： 假設(shè)fSfM成立，那么以S點(diǎn)代替原最大值點(diǎn)H，構(gòu)成

37、新的單純形，回到；壓縮失?。?假設(shè)fSfM不成立，那么轉(zhuǎn)下一步收縮 收縮：Ui=(Ui+UL)/2, 轉(zhuǎn)影射成功：影射成功： 假設(shè)假設(shè)fRfM 成立，那么擴(kuò)張至成立，那么擴(kuò)張至E點(diǎn)，同時(shí)計(jì)算點(diǎn)，同時(shí)計(jì)算E點(diǎn)點(diǎn)的函數(shù)值，并和的函數(shù)值，并和R點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較。點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較。擴(kuò)張成功擴(kuò)張成功 ：假設(shè)：假設(shè)fEfR 成立，那么以成立，那么以E點(diǎn)代替原最大值點(diǎn)點(diǎn)代替原最大值點(diǎn)H，構(gòu)，構(gòu)成新的單純形，回到；成新的單純形，回到； 擴(kuò)張失?。杭僭O(shè)擴(kuò)張失?。杭僭O(shè)fEfR不成立那么以不成立那么以R點(diǎn)代替原最大值點(diǎn)點(diǎn)代替原最大值點(diǎn)H，構(gòu)成新的單純形，回到構(gòu)成新的單純形，回到 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話

38、136222511284、實(shí)例計(jì)算【例4-2】請(qǐng)用單純形法計(jì)算函數(shù)f(U)=(u1-2)2+(u2-3)2的最小值。 U0=(0,0)T,h=2,=1,=0.75,=1。 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話：由初始點(diǎn)及步長(zhǎng)構(gòu)成初始單純形及各點(diǎn)函數(shù)值采用直角單純形：U0=(0,0)T, f0=13U1=(0,0)T+2(1,0)T=(2,0)T, f1=9U2=(0,0)T+2(0,1)T=(0,2)T, f2=5進(jìn)行函數(shù)值大小比較可得： UH=U0=(0,0)T， fH=13 UM= U1=(2,0)T ， fM=9 UL= U2=(0,2)T ， fL=5 計(jì)算除最大值

39、點(diǎn)外的重心：UC=UM+ UL/2=(1,1)T影射：UR=UC+(UC-UH)=(2,2)T, fR=1 fR=1擴(kuò)張失敗，以R點(diǎn)代替原H點(diǎn)，構(gòu)成新的單純形，進(jìn)行重新計(jì)算制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話單純形三點(diǎn)： U0=(2,2)T , f0=1U1=(2,0)T, f1=9U2=(0,2)T, f2=5進(jìn)行函數(shù)值大小比較可得： UH=U1=(2,0)T, fH=9 UM= U2=(0,2)T fM=5 UL= U0=(2,2)T fL=1計(jì)算除最大值點(diǎn)外的重心：UC=(UM+ UL)/2=(1,2)T影射：UR=UC+(UC-UH)=(0,4)T, fR=5=fM

40、, 影射失敗，壓縮。壓縮：US=UH+(UR-UH)=(2,0)T+.75(0,4)T-(2,0)T)=(0.5,3)T, fS=2.25 fM=5 壓縮成功。以S點(diǎn)代替原H點(diǎn)，構(gòu)成新的單純形，進(jìn)行重新計(jì)算： 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話單純形三點(diǎn)： U0=(2,2)T, f0=1U1=(0.5,3)T, f1U2=(0,2)T, f2=5進(jìn)行函數(shù)值大小比較可得： UH=U2=(0,2)T ， fH=5 UM=U1=(0.5,3)T ， fM UL= U0=(2,2)T ， fL=1計(jì)算除最大值點(diǎn)外的重心：UC=(UM+ UL)/2=(1.25,2.5)T影射：UR

41、=UC+(UC-UH)=(2.5,3)T, fR=0.25 fR=1擴(kuò)張失敗，以R點(diǎn)代替原H點(diǎn)，構(gòu)成新的單純形，進(jìn)行重新計(jì)算。制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話單純形三點(diǎn)： U0=(2,2)T, f0=1U1=(0.5,3)T, f1U2=(2.5,3)T, f2真正的最優(yōu)解為U*=(2,3)T,經(jīng)過三輪計(jì)算單純形已包含最優(yōu)解，假設(shè)繼續(xù)算下去，就可以得到滿足精度要求的最優(yōu)解。單純形法常常用在目標(biāo)函數(shù)比較復(fù)雜，函數(shù)不連續(xù)，獲得偏導(dǎo)數(shù)比較苦難的情況。如強(qiáng)化傳熱中根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件擬合得到的傳熱準(zhǔn)數(shù)方程進(jìn)行管參數(shù)優(yōu)化時(shí)常常利用單純形法。 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 1362225

42、11284.3.2.4.3.2.3梯度法1 1、根本原理、根本原理多變量函數(shù)的負(fù)梯度方向是函數(shù)下降最快的方向。梯度是一個(gè)向量，其各元素的值為函數(shù)對(duì)各變量偏導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)處的值。 有某一n維函數(shù)f(X),那么其梯度f(X)記作30)-(4 ,=f(X) 21Tnxfxfxf梯度法新點(diǎn)的迭代公式如下： Xk+1=Xk+kSk 4-31 Sk=-f(Xk) 4-32其中k為搜索步長(zhǎng)，可利用解析求解或數(shù)值求解或直接給定一個(gè)比較小的步長(zhǎng) 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511282、計(jì)算步驟計(jì)算步驟1給定精度，初始點(diǎn)X0，置k=0。2計(jì)算梯度 f(Xk)，令Sk=-f(Xk)。3判斷： 33)

43、-(4 )(kXf假設(shè)上式成立，那么停止計(jì)算，否那么轉(zhuǎn)下一步假設(shè)上式成立，那么停止計(jì)算，否那么轉(zhuǎn)下一步4一維搜索k，f(XK+kSk)=Minf(XK+Sk)，令XK+1=XK+kSk，k=k+1轉(zhuǎn)第2步圖4-29 梯度法計(jì)算過程示意圖制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511284、實(shí)例計(jì)算【例4-3】請(qǐng)用梯度法計(jì)算f(X)=(x1-2)2+(x1-x2)2-2x2的最小值， X0=(0,0)T 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話：先計(jì)算函數(shù)的梯度表達(dá)式： f(X)=(4x1-2x2-4, 2x2-2x1-2)T 第一輪： f0=4，S0=-(-4,-2)T=(

44、4,2)T, X1=X0+0S0=(0,0)T+0(4,2)T =(40,20)T 將x1=40，x2=20代入目標(biāo)函數(shù)，得： min f1=2002-200+4，對(duì)0進(jìn)行一維搜索可得： 0=0.5, X1=(2,1)T, f1=-1, x11=2, x21=1 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話二輪：第二輪： S1=-f(X1)=-(2,-4)T=(-2,4) X2=X1+1S1=(2-21,1+41) , 將將X2代入目標(biāo)函數(shù)，代入目標(biāo)函數(shù)， 并對(duì)并對(duì)1進(jìn)行一維優(yōu)化搜索，得進(jìn)行一維優(yōu)化搜索，得1，那么：，那么： X2=(1.5,2)T,f2=-3.5, f(U2)=(

45、-2,-1)T,S2=(2,1)T 經(jīng)過兩輪計(jì)算，目標(biāo)函數(shù)值從最初的4快速下降到，自變量也從(0,0)T,變成(1.5,2)T,假設(shè)計(jì)算計(jì)算下去，目標(biāo)函數(shù)將向-6靠近，最優(yōu)的自變量也向3,4)T接近，但要真正到達(dá)需要無窮多輪計(jì)算。實(shí)際計(jì)算時(shí)，只要到達(dá)一定精度要求即可制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511285、matlab 編程計(jì)算某三級(jí)串聯(lián)換熱過程，示意圖見圖4-30，根據(jù)條件推導(dǎo)得到在滿足出口溫度為500C時(shí)，3個(gè)換熱面積之和為最下的目標(biāo)函數(shù)如下T0=100換熱器1換熱器 2換熱器3t1=300t2=400t3=600t10t20T1T2T3=500t30圖4-30 三級(jí)串聯(lián)換

46、熱示意圖34)-(4 )40050083200123600100(10000min221211TTTTTTJ制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話atlab編程計(jì)算的主要程序如下：function gengradmethodclear all；clc；tick=1;x0=200 300;n=length(x0);while k=100000 k=k+1;f0=J(x0);for i=1:n x(i,:)=x0; for j=1: n if i=j x(i,j)=x0(j)+0.00001*x0(j); else end end xx=x(i,:); f(i)=J(xx); d

47、f(i)=(f(i)-f0)/(0.00001*x0(i);end ddff=(sum(df(:).*df(:)0.5; if ddff0.001; break; else x0(:)=x0(:)-0.001*df(:); end end optimx=x0optimobj=J(x0)disp(k=),ktoc% -function minf=J(x)minf=105*(x(1)-100)/(3600-12*x(1)+(x(2)-x(1)/(3200-8*x(2)+(500-x(2)/400); 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511284、共軛梯度法(1)根本原理共軛梯度法是基于

48、當(dāng)函數(shù)到達(dá)最優(yōu)值附近時(shí)，函數(shù)的等高線近似于同心橢圓族，而由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，兩條平行于同心橢圓族的切線必定通過同心橢圓族的中心，這個(gè)中心就是最優(yōu)解，見圖4-31圖4-31 共軛梯度搜索方向示意圖制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話例4-4】請(qǐng)用共軛梯度法計(jì)算f(X)=(x1-2)2+(x1-x2)2-2x2的最小值， X0=(0,0)T 解：第一步和梯度法相同： g0=f(X0)=(4x1-2x2-4, 2x2-2x1-2)T =(-4,-2)T S0=- g0 =(4,2)T, 0=0.5, X1=(2,1)T, g1=-(2,-4)T 第二次搜索：TT0011011(2,6

49、) )2, 4()2, 4()4 , 2()4 , 2()2 , 4(-2,4) TTTTTggggSgS那么X2=X1+1S1=(2+21,1+61)T,代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行一維搜索，得:1=0.5, X2=(3,4)T, g2=(0,0)T,f=-6. 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511284.4 線性及混合整數(shù)規(guī)劃制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511284.4.1 線性規(guī)劃化工生產(chǎn)和管理中常見的線性規(guī)劃問題的實(shí)例有:(1)產(chǎn)品生產(chǎn)方案的安排(2)勞動(dòng)力和設(shè)備使用安排(3)生產(chǎn)環(huán)節(jié)各個(gè)單元的合理配置(4)投標(biāo)爭(zhēng)取合同這些問題的數(shù)學(xué)描述包含眾多變量、大量方程和不等

50、式。問題的解不僅需滿足約束方程,還需使目標(biāo)函數(shù)到達(dá)最優(yōu)制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511281 1、線性規(guī)劃模型、線性規(guī)劃模型【例4-5】某化工廠有一生產(chǎn)系統(tǒng)，可以生產(chǎn)A、B、C、D四種產(chǎn)品，每個(gè)生產(chǎn)周期所需的原料量、貯存面積、生產(chǎn)速度及利潤(rùn)由下表4-2給出，每天可用的原料總量為2000噸，貯存間總面積為5000m2，該系統(tǒng)每天最多生產(chǎn)22小時(shí)，每天生產(chǎn)結(jié)束后，才將產(chǎn)品送到貯存間，假定四種產(chǎn)品占用原料、生產(chǎn)時(shí)間、貯存間等資源的時(shí)機(jī)平等，問A、B、C、D四種產(chǎn)品每天生產(chǎn)的桶數(shù)如何安排，才能使該系統(tǒng)每天的利潤(rùn)最大？制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話定變量(單位

51、均為桶/天):x1=A的產(chǎn)量; x2=B的產(chǎn)量; x3=C的產(chǎn)量; x4=D的產(chǎn)量.假設(shè)以利潤(rùn)J為經(jīng)濟(jì)指，目標(biāo)函數(shù)為： maxJ= f(X)= 10 x1+13x2+9x3+11x4 約束條件：總原料約束 12342000貯存面積約束 12345000生產(chǎn)時(shí)間約束 x1/3000+x2/6000+x3/2000+x4/300022變量本身約束： x1、x2、x3、x4 0(原那么上應(yīng)為大于等于零的整數(shù)，但由于數(shù)值較大，可作為連續(xù)變量來處理，最后優(yōu)化結(jié)果會(huì)有微小的不同，不影響最優(yōu)效果，如果數(shù)值較小，需采用以后介紹的混合整形規(guī)劃MILP) 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話4

52、-2 生產(chǎn)過程各種數(shù)據(jù)產(chǎn)品（桶）ABCD 原料（噸/桶）0.2000.1800.1500.250貯存面積（m2/桶）0.40.50.40.3生產(chǎn)速度（桶/小時(shí)）3000600020003000利潤(rùn)（元/桶）1013911制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話例4-6】某煉油廠利用1號(hào)原油和2號(hào)原油煉制汽油、煤油、燃料油和殘油，煉制過程的得率、加工費(fèi)用、原料價(jià)格、產(chǎn)品價(jià)格見表4-3，如何安排，才能使該系統(tǒng)每天的利潤(rùn)最大？表4-3煉油廠原料和產(chǎn)品數(shù)據(jù) 產(chǎn)品名稱得率（）最高產(chǎn)量（桶/d）產(chǎn)品價(jià)格（美元/桶）1號(hào)原油2號(hào)原油汽油煤油燃料油殘油8051054410361024,0002

53、,0006,000無35242110加工費(fèi)（美元/桶）0.501.00原油價(jià)格（美元/桶）2415制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話定變量(單位均為桶/天):x1=1號(hào)原油耗用量; x2=2號(hào)原油耗用量;x3=汽油產(chǎn)量;x4=煤油產(chǎn)量;x5=燃料油產(chǎn)量; x6=殘油產(chǎn)量。 假設(shè)以利潤(rùn)J為經(jīng)濟(jì)指，目標(biāo)函數(shù)為： maxJ f(X)=產(chǎn)值-原料費(fèi)-加工費(fèi) 產(chǎn)值=36x 3+24x4+21x5+10 x6 原料費(fèi)=24x1+15x4 加工費(fèi)1+x2 物料平衡約束條件:根據(jù)每個(gè)產(chǎn)品的得率(物料衡算)可列出4個(gè)等式約束 汽油 12=x3 煤油 12=x4 燃料油 12=x5 殘油 1

54、2=x6制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話量約束：A:x312 24,000 B:x412 2,000 C:x512 6,000非零約束： x1 0 ； x2 0為減少變量數(shù)，可將上述等式約束方程代入目標(biāo)函數(shù),消去x3,x4,x5,x6, 得：產(chǎn)值12121212)12最后得到： 12制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話么整個(gè)優(yōu)化問題可以用下面的數(shù)學(xué)模型表達(dá)： 12 12 2400012 200012 6000制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話合上面的例子，線性規(guī)劃問題的一般形式為或?qū)懗上蛄啃问剑簃in f(X)=cTX . A1

55、X=b1 A2Xb2 X0 min f(X)=cTX . A1X=b1 A2Xb2 X0 (4-37) 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511282 2、線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化、線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化為了方便求解，對(duì)于線性規(guī)劃問題一般都化成標(biāo)準(zhǔn)型，以便統(tǒng)一求解方法。對(duì)于線性規(guī)劃的一般模型化成標(biāo)準(zhǔn)型一般有以下幾個(gè)方面：1目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)化 求最大值一律轉(zhuǎn)化為求最小值2對(duì)于有“號(hào)的不等式引入松弛變量，使其變成等式約束3 對(duì)于有“號(hào)的不等式引入剩余變量，使其變成等式約束4對(duì)于“bj0那么化為：5對(duì)于變量無非負(fù)限制者，那么令： xi=xi*-xi*, xi*0, xi*0a xba xxbjiinijji

56、inisj11a xba xxbjiinijjiinisj11 a xbjiinij10制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話例4-7】：把下面線性規(guī)劃的一般模型化成標(biāo)準(zhǔn)型max f=x1-x2 . 2x1-x2-2 x1-3x22 x1+x24 x10,x2無限制 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話：對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)上面的線性規(guī)劃模型進(jìn)行第一輪初步轉(zhuǎn)化：min f1=-f=-x1+x2 . 2x1-x2-x3=-2 x1-3x2+x4=2 x1+x2+x5=4 x10,x2=x6-x7 最終標(biāo)準(zhǔn)化： min f 1=-x1+x6-x7 . -2x1+x3

57、+x6-x7 =2 x1+x4-3x6+3x7 =2 x1 +x5+ x6-x7=4 xi0, i=17 , i2 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511283 3、線性規(guī)劃的單純形求法、線性規(guī)劃的單純形求法J=x1+x2x1+x29x1+4x218J=x1+x2（6，3）x1+x29x1+4x218J=x1+2x2（6，3）圖4-32-a 最優(yōu)解在邊界上圖4-32-b 最優(yōu)解在交點(diǎn)上圖4-32-c 無最優(yōu)解制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話例4-8】：求下面線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解 min f=-7x1-12x2 . 3x1+10 x2+x3 =30 4x1+5

58、x2 +x4 =20 9x1+4x2 +x5 =36 xi0 ， i=15制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話：首先對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改寫： f+7x1+12x2=0 (1) 1 1取初始可行端點(diǎn)為取初始可行端點(diǎn)為X=(0,0,30,20,36)T, X=(0,0,30,20,36)T, 即即x1=0 x1=0，x2=0 x2=0，x3=30 x3=30，x4=20 x4=20，x5=36x5=36，此端點(diǎn)是一個(gè)可行端點(diǎn)，其中，此端點(diǎn)是一個(gè)可行端點(diǎn)，其中x1x1、x2x2是非基變量非基變量均為零，是非基變量非基變量均為零，x3x3、x4x4、x5x5是基變量基變是基變量基變量一

59、般不等于零，但也有等于零的情況出現(xiàn)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)值量一般不等于零，但也有等于零的情況出現(xiàn)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)值f=0f=0制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511282 2考慮端點(diǎn)的轉(zhuǎn)移考慮端點(diǎn)的轉(zhuǎn)移 ， 在在x1x1、x2x2兩個(gè)非基兩個(gè)非基變量中選其中一個(gè)作為基變量，同時(shí)在變量中選其中一個(gè)作為基變量，同時(shí)在x3x3、x4x4、x5x5三個(gè)基變量選其中一個(gè)為非基變量三個(gè)基變量選其中一個(gè)為非基變量x3=30-10 x20 x23 x4=20-5x20 x24 x5=36-4x20 x29 x2=3， x3=0， x4=5， x5=24 ， f=-36 1+x23 =34x113) +x4

60、=209x113)+x5 =36 f+7x113)=0 化簡(jiǎn)上面4個(gè)式子可得：1+x23 =313 + x4 =513 + x5 =2413 =-36 制作人：方利國(guó)，蘇嘉俊聯(lián)系電話 136222511283 3在新的端點(diǎn)的根底上再進(jìn)行端點(diǎn)轉(zhuǎn)移，和在新的端點(diǎn)的根底上再進(jìn)行端點(diǎn)轉(zhuǎn)移，和上面的端點(diǎn)轉(zhuǎn)移一樣，選目標(biāo)函數(shù)中系數(shù)大者上面的端點(diǎn)轉(zhuǎn)移一樣，選目標(biāo)函數(shù)中系數(shù)大者的變量為調(diào)入的基變量，選的變量為調(diào)入的基變量，選x1x1為調(diào)入基變量，為調(diào)入基變量，調(diào)出基變量那么要通過不等式計(jì)算而得：調(diào)出基變量那么要通過不等式計(jì)算而得： x210 x110 x410 x12 x510 x1 x1=2， x3=0 ，