1、黑龍江省大慶外國語學(xué)校高一數(shù)學(xué)必修二第二章垂直2008-2011年高考題匯總一、選擇題1.（2011·遼寧高考理科·8）如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是(A) ACSB (B) AB平面SCD (C) SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 (D)AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角【思路點(diǎn)撥】先逐項(xiàng)分析，再判斷結(jié)論【精講精析】選D.選項(xiàng)具體分析結(jié)論A四棱錐S-ABCD的底面為正方形，所以ACBD，又SD底面ABCD，所以SDAC，從而AC面SBD，故ACSB正確B由ABCD，可得AB平面SCD正確C選項(xiàng)A中

2、已證得AC面SBD，又SA=SC，所以SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角正確DAB與SC所成的角為，此為銳角，而DC與SA所成的角即AB與SA所成的角，此為直角，二者不相等不正確2.（2011·浙江高考理科·4）下列命題中錯誤的是（A）如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面（B）如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面（C）如果平面平面，平面平面，那么平面（D）如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面【思路點(diǎn)撥】本題考查空間線面的垂直關(guān)系.【精講精析】選D.如果平面平面，那么平面內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于平面，其它與交線不垂直的

3、直線均不與平面垂直，故D項(xiàng)敘述是錯誤的二、解答題3.（2011·江蘇高考·16）如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)求證：（1）直線EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD【思路點(diǎn)撥】本題證明的線面平行和面面垂直，解決的關(guān)鍵是根據(jù)線面平行和面面垂直的判定定理尋找需要的條件，注意要把所需的條件擺充分.【精講精析】(1) 在中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?PD平面,所以直線平面.(2)連結(jié)BD.因?yàn)?，所以為等邊三角?因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫?又因?yàn)?所以.又因?yàn)椋云矫嫫矫?4.

4、（2011·新課標(biāo)全國高考理科·18）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形.底面 .（I）證明：（II）設(shè)，求棱錐的高.【思路點(diǎn)撥】第(1)問,通過證明平面證明時,可利用勾股定理，第（2）問，在中，可證邊上的高即為三棱錐的高，其長度利用等面積法可求.【精講精析】（ ）因?yàn)? 由余弦定理得 從而BD2+AD2= AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD. 所以BD平面PAD. 故PABD（）過D作DEPB于E，由（I）知BCBD,又PD底面，所以BC平面PBD，而DE平面PBD，故DEBC,所以DE平面PBC由題設(shè)知PD=1，則BD=,PB=2，由DEPB=

5、PDBD得DE=,即棱錐的高為.5（2011·遼寧高考文科·18）（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）證明：PQ平面DCQ；（II）求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值【思路點(diǎn)撥】（I）；（II）設(shè)出正方形的邊長為，分別計算兩個棱錐的體積，再求體積的比值【精講精析】（I）由條件知為直角梯形因?yàn)镼A平面ABCD，所以平面平面ABCD，交線為又四邊形ABCD為正方形，所以平面，可得在直角梯形中可得，則所以 6分（II）設(shè)由題設(shè)知為棱錐的高，所以棱錐的體積由（I）知為棱錐的高，而=，的面積為，所以棱錐

6、的體積故棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值為1 12分6.（2011·廣東高考文科·18）圖5所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的. A，A，B，B分別為,的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn). （1）證明：四點(diǎn)共面；（2）設(shè)G為A A中點(diǎn)，延長到H，使得.證明：平面 【思路點(diǎn)撥】(1)證明，從而它們確定一個平面，這個四點(diǎn)同在此平面內(nèi).(2)作輔助線如圖，證，從而得結(jié)論.【精講精析】【證明】證明：（1）中點(diǎn)，連接BO2直線BO2是由直線AO1平移得到 共面. （2）將AO1延長至H使得O1H=O1A，連接/由平

7、移性質(zhì)得與HB平行且相等即求二面角的余弦值為.7.（2011·廣東高考理科·18）如圖5，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，,分別是的中點(diǎn).（1） 證明：（2）求二面角的余弦值.【思路點(diǎn)撥】（1）證明ADEF， ADDE，從而證得；（2）取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)PG、BG.，證PGB是所求二面角的平面角，在PGB中由余弦定理可求得所求二面角的余弦.【精講精析】（1）證明：取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)PG、BG.PA=PD，ADPG.在ABG中，GAB=,AG=，AB=1, AGB=,即ADGB.又PGGB=G，AD平面PGB，從而ADPB.分別是的中點(diǎn)，EF/PB，從而ADEF.又DE/

8、GB，ADGB，ADDE,DEEF=E, .（2）由（1）知PGB是所求二面角的平面角.在PGB中，PG2=,BG=1sin600=,PB=2.由余弦定理得cosPGB=,8.（2011·山東高考文科·19）（本小題滿分12分）如圖，在四棱臺中，平面，底面是平行四邊形，60°（）證明：；（）證明：.【思路點(diǎn)撥】（I）本題考查線面垂直的判定定理，以及空間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想，要證，可先證平面,只需證BD，BDAD由平面，所以BD，設(shè)AD=a，則AB=2a由余弦定理得：,所以BD=，在由勾股定理的逆定理判斷BDAD.原命題得證.（II）本小題考查線面平行的判定，只需在平

9、面A1BD內(nèi)找一條直線和CC1平行即可，因此可連結(jié)AC, A1C1,設(shè)，連結(jié)EA1 ，只要證CC1EA1即可.【精講精析】（）證明：因?yàn)?，所以設(shè)AD=a,則AB=2a,又因?yàn)?0°,所以在中,由余弦定理得：,所以BD=,所以,故BDAD,又因?yàn)槠矫?，所以BD,又因?yàn)? 所以平面,故.(II)連結(jié)AC, A1C1,設(shè)，連結(jié)EA1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以由棱臺定義及AB=2AD=2A1B1知CC1EA1，又因?yàn)镋A1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以. 9.（2011·北京高考文科·T17）（14分）如圖，在四面體PABCD中，點(diǎn)D,E,F,G分別是

10、棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn).（）求證：DE/平面BCP；（）求證：四邊形DEFG為矩形；（）是否存在點(diǎn)Q，到四邊形PABCD六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由.AECFBGPD AECFBGPDMQN【思路點(diǎn)撥】（）利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明；（）先證DEFG為平行四邊形，再證明相鄰兩邊垂直；（）假設(shè)存在，再證明.【精講精析】（）因?yàn)镈,E分別為AP,AC的中點(diǎn)，所以DE/PC.又因?yàn)镈E平面BCP，所以DE/平面BCP.()因?yàn)镈,E,F,G分別為AP,AC,BC,PB的中點(diǎn)，所以DE/PC/FG , DG/AB/EF，所以四邊形DEFG為平行四邊形.又因?yàn)?所以.所以四邊形DEFG為

11、矩形.（）存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：連接DF,EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)，由（）知，且，分別取PC,AB的中點(diǎn)M,N，連接ME,EN,NG,MG,MN.與（）同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且，所以Q為滿足條件的點(diǎn).10（2011·湖南高考文科T19）（本小題滿分12分）如圖5，在圓錐PO中，已知PO=，O的直徑AB=2，點(diǎn)C在上，且D為AC的中點(diǎn).（）證明：AC平面POD；（）求直線OC和平面PAC所成角的正弦值.【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了空間位置關(guān)系，考查空間觀念和空間想象能力.首先考查空間垂直的證明，考查線面垂直，轉(zhuǎn)到線線垂直，考查線面垂直的判斷定理.

12、再考查線面角的求法，求線面角要扣住定義法.另外解決立體幾何的方法有兩種：一是幾何法，主要考查思維能力.二是向量法，主要考查向量的運(yùn)用，而向量法又有兩種，一是坐標(biāo)法，二是基底法.【精講精析】（I）因?yàn)橛謨?nèi)的兩條相交直線，所以（II）由（I）知，又所以平面在平面中，過作則連結(jié)，則是上的射影，所以是直線和平面所成的角在在11.（2011·陜西高考文科·T16）（本小題滿分12分）如圖，在ABC中，ABC=45°，BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC=90°.（）證明：平面ADB平面BDC；（）若BD=1，求三棱錐DABC的表

13、面積.【思路點(diǎn)撥】（）確定圖形在折起前后的不變性質(zhì)，如角的大小不變，線段長度不變，線線關(guān)系不變，再由面面垂直的判定定理進(jìn)行推理證明；（）充分利用垂直所得的直角三角形，根據(jù)直角三角形的面積公式計算【精講精析】（）折起前AD是BC邊上的高， 當(dāng)ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面BDC，又AD 平面BDC.平面ABD平面BDC（）由（）知，DA,DB=DA=DC=1，ABC= AB=BC=CA=,， 三棱錐D的表面積是12.（2011·天津高考文科·17）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為中點(diǎn)，平面， ，為中點(diǎn)（）證明：/平面；（）證明：平面；

14、（）求直線與平面所成角的正切值【思路點(diǎn)撥】(1)證明 MO/PB;(2) 證明AD垂直于平面PAC內(nèi)的兩條相交直線PO、AC；(3) 取OD的中點(diǎn)N，證明即為所求的線面角，【精講精析】（）證明：連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又M為PD的中點(diǎn)，所以PB/MO.因?yàn)槠矫鍭CM，平面ACM，所以PB/平面ACM.（）證明：因?yàn)椋褹D=AC=1，所以，即，又PO平面ABCD，平面ABCD，所以，所以平面PAC.（）取DO中點(diǎn)N，連接MN，AN，因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以MN/PO，且平面ABCD，得平面ABCD，所以是直線AM與平面ABCD所成的角，在

15、中，從而，在，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為13. （2011·浙江高考文科·20）（本題滿分14分）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面，垂足落在線段上.（）證明：；（）已知，.求二面角的大小.【思路點(diǎn)撥】（1）小題只需把線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直問題；（2）利用二面角平面角的定義做出其平面角并在三角形中即可求解，本題主要考查點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，空間想象能力與運(yùn)算求解能力.【精講精析】（）證明：由AB=AC,D是BC的中點(diǎn)，得ADBC, 又PO平面ABC,得POBC. 因?yàn)镻OAD=0，所以BC平面PAD故BCPA.（）解：如圖，在平面PAB內(nèi)作BMP

16、A于M,連CM. 因?yàn)锽CPA.，得AP平面BMC.所以APCM.故BMC為二面角B-AP-C的平面角. 在RtADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB=在RtPOD中, PD2=PO2+OD2,在RtPDB中, PB2=PD2+BD2,所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6.在RtPO中, PA2=AO2+OP2=25,得PA=5又從而所以同理CM因?yàn)锽M2+MC2=BC2所以=900即二面角B-AP-C的大小為9002010高考題1.（2010·浙江高考理科·6）設(shè)，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（ ）（A）若，則 （B）若，則（C

17、）若，則 （D）若，則【命題立意】本題考查空間中的線線、線面位置關(guān)系，考查空間想象能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用線面平行、線面垂直的判定定理?！疽?guī)范解答】選B。如圖（1），選項(xiàng)A不正確；如圖（2），選項(xiàng)B正確；如圖（3）選項(xiàng)C不正確；如圖（4）選項(xiàng)D不正確。2.（2010·湖北高考文科·4）用、表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題：若，則； 若，則；若，則； 若，則.其中真命題的序號是（ ）A. B. C. D.【命題立意】本題主要考查立體幾何中的線線、線面關(guān)系，考查考生的邏輯推理和空間想象能力【思路點(diǎn)撥】空間中線線平行具有傳遞性，線線垂直不具有傳遞性，線面平行不具有傳遞性.

18、【規(guī)范解答】選C，由空間直線的平行公理知正確；，時與可以平行、相交也可以異面，故錯；，時，與可以平行、相交也可以異面，故錯；由直線與平面垂直的性質(zhì)定理知正確.3.（2010·陜西高考文科·8）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點(diǎn). ()證明：EF平面PAD； ()求三棱錐EABC的體積V.【命題立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面平行及線面垂直、以及幾何體的體積計算問題，考查了同學(xué)們的空間想象能力以及空間思維能力。【思路點(diǎn)撥】（1）E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點(diǎn). EFBC EFAD 結(jié)論

19、；（2）EGPA交AB于點(diǎn)G BG平面ABCD EG=PA V.【規(guī)范解答】 ()在PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.()連接AE,AC,EC,過E作EGPA交AB于點(diǎn)G,則EG=PA.在PAB中，AP=AB,PAB=90°,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=AB·BC=××2=,VE-ABC=SABC·EG=××=.4.（2010·北京高考理科·6）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE

20、AC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求證：AF平面BDE；（）求證：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。 【命題立意】本題考查了線面平行、線面垂直及二面角的求法。一般的，運(yùn)用幾何法（方法一）對空間想象能力，空間運(yùn)算能力要求較高，關(guān)鍵是尋找二面角的平面角；運(yùn)用向量法（方法二）思路簡單，但運(yùn)算量較大，熟練掌握向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積是解決問題的關(guān)鍵?！舅悸伏c(diǎn)撥】立體幾何問題一般有兩種方法：幾何法與向量法。幾何法：（1）證明AF與面BDE內(nèi)的某條線平行；（2）證明CF垂直于面BDE內(nèi)的兩條相交直線；（3）由第（2）問的結(jié)論，可過A作一直線與CF平行，從而垂直于面BDE，再過A和垂足

21、向二面角A-BE-D的菱BE作垂線，找到二面角的平面角。向量法：利用三個垂直關(guān)系CE，CD，CB，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的平行、垂直和數(shù)量積求二面角的大小。【規(guī)范解答】（I） 設(shè)AC與BD交點(diǎn)G。因?yàn)镋F/AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AF/EG，因?yàn)槠矫鍮DE，AF平面BDE，所以AF/平面BDE.(II)連接FG，為平行四邊形，又，CEFG為菱形，。在正方形ABCD中，。正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，又，。（III）在平面ACEF內(nèi)，過A作，垂足為H，連接HB。則AH/CF。AH平面BDE，。又面ABCD面ACEF，CEAC

22、，面ABCD，。又，面BCE，。面ABH。為所求的二面角A-BE-D的平面角。由得，為銳角，。5.（2010·福建高考文科·20）如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1,D1C1上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B1不重合），且EH/A1D1。過EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點(diǎn)分別為F，G。（I）證明：AD/平面EFGH； （II）設(shè)AB=2AA1=2a。在長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFED1DCGH內(nèi)的概率為p。當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A1B1, B1B上運(yùn)動且滿足EF=a時，求p的最小值?！久}立意】本小題主要考查直

23、線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。 【思路點(diǎn)撥】第一步由線線平行得到線面平行；第二步求出（1）首先求出三棱柱的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，然后求解圓柱的體積，利用體積比計算出幾何概率。 【規(guī)范解答】 ( I ) 證明：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，又，又平面，所以平面；（II）設(shè)，則在長方體ABCD-A1B1C1D1的體積，幾何體的體積，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，從而，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以得最小值等于?！痉椒记伞苛Ⅲw幾何中的

24、證明問題，一定要把條件寫完整了，保證邏輯合理，如：本題一定要寫出。6.（2010·遼寧高考文科·19）如圖，棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1CA1B.()證明：平面AB1C平面A1BC1;（)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B平面B1CD，求A1D:DC1的值.【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。【思路點(diǎn)撥】（I）先證明B1C平面A1BC1.再證明平面AB1C平面A1BC1; （II）利用線面平行的性質(zhì)，得到DE/A1B，判斷出D點(diǎn)是中點(diǎn)，從而可解【規(guī)范解答】（I）（I

25、I）【方法技巧】1、證明面面垂直，一般通過證明一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線和哪個平面垂直。2、證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點(diǎn)在解題時一定要體現(xiàn)出來，如本題中強(qiáng)調(diào)了A1BBC1B7.（2010·山東高考文科·20）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面，、分別為、的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐與四棱錐的體積之比.【命題立意】本題主要考查空間中的線面關(guān)系和面面關(guān)系.考查線面垂直，面面垂直的判定及幾何體積的計算，考查了考生的識圖能力，空間想象能力和邏輯思維能力.【思路點(diǎn)撥】(1)先證明

26、，再由可證平面平面；（2）求三棱錐的體積關(guān)鍵是求點(diǎn)P到的距離，由可將該距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D到的距離. 【規(guī)范解答】（1）證明：有已知，,所以.又BC平面ABCD，所以.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以.又，因此.在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以，因此.又,所以(2)因?yàn)椋倪呅蜛BCD為正方形，不妨設(shè)MA=1則 PD=AD=2,所以由于,所以 DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離.三棱錐所以：2009年考題8.（2009福建高考）設(shè)m，n是平面 內(nèi)的兩條不同直線，是平面 內(nèi)的兩條相交直線，則/ 的一個充分而不必要條件是（ ）A.m/且n/ B. m/l1 且n/lC. m/且n/ D. m/且n /l【解析】

27、選B.若，則可得.若則不一定存在.9.（2009廣東高考）給定下列四個命題： 若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行； 若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直； 垂直于同一直線的兩條直線相互平行；若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直. 其中，為真命題的是 （ ）A和 B和 C和 D和 【解析】選D.錯, 正確, 錯, 正確.故選D.10.（2009浙江高考）設(shè)是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（ ）A若，則 B若，則 C若，則 D若，則 【解析】選C.對于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對于C是正確的11. (

28、2009山東高考)已知，表示兩個不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由平面與平面垂直的判定定理知如果m為平面內(nèi)的一條直線,則,反過來則不一定.所以“”是“”的必要不充分條件.12.（2009四川高考）如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. B. C. 直線 D. 直線所成的角為45°【解析】選D.AD與PB在平面的射影AB不垂直，A不成立；又平面PAB平面PAE，也不成立；BCAD平面PAD, 直線也不成立。在中，PAAD2AB，PDA45°

29、. D正確.13.（2009江蘇高考）設(shè)和為不重合的兩個平面，給出下列命題：（1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；（2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；（3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；（4）直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直。上面命題中，真命題的序號 （寫出所有真命題的序號）.【解析】考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理。真命題的序號是(1)(2)答案:(1)(2)14.（2009浙江高考）如圖，在長方形中，為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上一動點(diǎn)現(xiàn)將沿折起，使平面平面在平面內(nèi)過點(diǎn)，作，為垂足設(shè)，則的取值范圍是 （第15

30、題）【解析】此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點(diǎn)時，隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時，因平面，即有，對于，又，因此有，則有，因此的取值范圍是答案： E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F115.（2009山東高考）如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn).（1） 設(shè)F是棱AB的中點(diǎn),證明：直線EE/平面FCC；（2） 證明:平面D1AC平面BB1C1C.【解析】（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中點(diǎn)F1，連接A1D，C1F1，CF1，因?yàn)锳B=4, CD

31、=2,且AB/CD，所以CDA1F1為平行四邊形，所以CF1/A1D，又因?yàn)镋、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn)，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因?yàn)槠矫鍲CC，平面FCC，所以直線EE/平面FCC.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D （2）連接AC,在直棱柱中，CC1平面ABCD,AC平面ABCD,所以CC1AC,因?yàn)榈酌鍭BCD為等腰梯形，AB=4, BC=2, F是棱AB的中點(diǎn),所以CF=CB=BF，BCF為正三角形，,ACF為等腰三角形，且所以ACBC, 又因?yàn)锽C與CC1都在平面BB1C1C內(nèi)且交于點(diǎn)C,所以AC平面BB1C1C,而平面D1AC,所以平面D1AC平面BB1C1C.16.（2009天津高考）如圖，在四棱錐中，且DB平分，E為PC的中點(diǎn)，, （）證明 （）證明（）求直線BC與平面PBD所成的角的正切值【解析】（）設(shè)，連結(jié)EH，在中，因?yàn)锳D=CD，且DB平分，所以H為AC的中點(diǎn)，又由題設(shè)，E為PC的中點(diǎn)，故,又,所以（）因?yàn)?，所以由（）知?故()由可知，BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，所以為直線與平面PBD所成的角。由,在中，,所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為。17.（2009海南寧夏高考）如圖