1、楊東武ydw_機(jī)電工程學(xué)院課件下載：課件下載：ydw_郵箱密碼：郵箱密碼：ydw_jsff主要內(nèi)容 矩陣特征值的概念與性質(zhì) 冪法求取特征值與特征向量 反冪法求取特征值與特征向量 原點(diǎn)平移法 雅克比方法求特征值特征值與特征向量的概念特征值與特征向量的概念對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量。與與特特征征值值稱稱為為矩矩陣陣的的特特征征值值，非非零零列列向向量量稱稱為為則則數(shù)數(shù)，滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式列列向向量量和和非非零零指指，如如果果數(shù)數(shù)的的特特征征值值與與特特征征向向量量是是階階矩矩陣陣所所謂謂AxAxAxxAn00IAxxIAxAx為非零向量為非零向量，且，且的的特特征征值值。就就是是特特征征方方程

2、程的的根根Anii, 2 , 1對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量。就就是是與與的的非非零零解解齊齊次次線線性性方方程程組組iiixxIA0特征方程是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量。的的特特征征值值，是是是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量，則則的的特特征征值值，是是方方陣陣）如如果果（性性質(zhì)質(zhì)：ikkiiixAxA1ikiiikikikiiixAxAAxAxAxAx111證：證：ikixA22ikix對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量。仍仍然然是是與與是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量，則則的的特特征征值值，是是方方陣陣）如如果果（iiiiaaxxA)0(2對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量。的的與與是是的的特特征

3、征值值，是是方方陣陣則則是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量，的的特特征征值值，是是非非奇奇異異矩矩陣陣）如如果果（iiiiiAxAxA11113iiiiiiiiixAxxAAxAxAx1111證證：是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量。的的特特征征值值，是是矩矩陣陣是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量，則則的的特特征征值值，是是方方陣陣如如果果）設(shè)設(shè)矩矩陣陣（性性質(zhì)質(zhì)：iiiixBpxApIAB,4iiiiiiiiiiiixppxxpxAxxpIABxxAx證證：是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量。的的特特征征值值，是是矩矩陣陣是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量，則則值值，的的特特征征是是方方陣陣且且為為非

4、非奇奇異異矩矩陣陣）如如果果矩矩陣陣（iiiixBpxApIAB11,5對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量。的的與與是是的的特特征征值值，是是方方陣陣則則是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量，的的特特征征值值，是是非非奇奇異異矩矩陣陣）如如果果（iiiiiAxAxA11113。特特征征值值的的絕絕對(duì)對(duì)值值，使使得得其其總總可可以以構(gòu)構(gòu)造造出出矩矩陣陣：通通過過適適當(dāng)當(dāng)選選取取參參數(shù)數(shù)結(jié)結(jié)論論0 pBip1。值值則則可可使使其其特特征征值值的的絕絕對(duì)對(duì)存存在在，若若構(gòu)構(gòu)造造矩矩陣陣：通通過過適適當(dāng)當(dāng)選選取取參參數(shù)數(shù)結(jié)結(jié)論論pBBi11p2線線性性無無關(guān)關(guān)。，各各不不相相等等，則則，。如如果果是是與與之之對(duì)

5、對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量依依次次，個(gè)個(gè)特特征征值值，的的是是方方陣陣，）設(shè)設(shè)（性性質(zhì)質(zhì)：nnnnppppppnA212121216多多項(xiàng)項(xiàng)式式）。特特征征具具有有相相同同的的特特征征值值（或或與與相相似似，且且與與則則稱稱矩矩陣陣，使使階階方方陣陣，若若有有可可逆逆矩矩陣陣都都是是，）設(shè)設(shè)（BABABAPPPnBA17個(gè)個(gè)特特征征值值。的的即即是是矩矩陣陣相相似似，則則與與對(duì)對(duì)角角陣陣階階方方陣陣推推論論：若若nAAnnn,2121.)()(2122112121AaaanAnnnnniii8；個(gè)個(gè)特特征征值值，則則的的是是方方陣陣，）設(shè)設(shè)（性性質(zhì)質(zhì)：冪法冪法nnnnxxxxxxAn21212

6、121,),(,是是，且且特特征征值值的的排排列列次次序序?qū)?duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值，它它們們分分別別是是線線性性無無關(guān)關(guān)的的即即特特征征向向量量組組有有一一個(gè)個(gè)完完全全的的特特征征向向量量階階矩矩陣陣設(shè)設(shè)值對(duì)應(yīng)的特征向量。值對(duì)應(yīng)的特征向量。征征收斂于與按模最大的特收斂于與按模最大的特，則向量序列則向量序列，并構(gòu)造一個(gè)迭代公式，并構(gòu)造一個(gè)迭代公式任取一個(gè)非零向量任取一個(gè)非零向量kkkniiivvvvAvvaxav2101110)0(03322110vAvAvAAvvxavkkkkkniii，且且證證明明：niikkiikniikiiniikiniiikkxaxaxaxAaxaAv21111111

7、0), 3 , 2(1111kikkiikni時(shí)時(shí)，所所以以當(dāng)當(dāng)因因?yàn)闉?1121111limlimxaxaxavkniikiikkkk即即就就是是的的特特征征向向量量。于于仍仍是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)為為常常數(shù)數(shù)因因子子，111111xaakk對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量。的的與與可可近近似似表表示示矩矩陣陣充充分分大大時(shí)時(shí)，因因此此，當(dāng)當(dāng)1Avkk對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量。仍仍然然是是與與是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量，則則的的特特征征值值，是是方方陣陣）如如果果性性質(zhì)質(zhì)（iiiiaaxxA)0( 2值值好好求求嗎嗎？已已知知特特征征向向量量后后，特特征征？已已知知，問問，且且問問題題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化：

8、設(shè)設(shè)11111xAxx .11111111iixyxyAxy，于于是是，則則令令 ikikkkkkvvvvAvyv111111，因因此此，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量為為于于求求得得的的與與特特別別地地，在在冪冪法法中中，由由使用冪法時(shí)的相關(guān)問題使用冪法時(shí)的相關(guān)問題收收斂斂速速度度)1(。，即即值值，則則于于迅迅速速收收斂斂，要要使使因因?yàn)闉?, 3 , 211212121111rnixaxaxaviniikiiniikiikk0nnxxx2121,特特征征值值線線性性無無關(guān)關(guān)特特征征向向量量的的計(jì)計(jì)算算1)2( 可可能能互互不不相相等等。特特征征向向量量的的近近似似值值，的的只只是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)

9、于于以以不不可可能能趨趨于于無無窮窮大大，所所因因?yàn)闉閕kikkvvvk/11 的的計(jì)計(jì)算算值值。的的均均值值作作為為分分量量之之比比取取11)(/ikikvv越越小小，收收斂斂速速度度越越快快。r使用冪法時(shí)的相關(guān)問題使用冪法時(shí)的相關(guān)問題數(shù)數(shù)值值溢溢出出)3(），計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)數(shù)數(shù)值值上上溢溢。會(huì)會(huì)越越來來越越大大（時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)），計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)數(shù)數(shù)值值下下溢溢；會(huì)會(huì)越越來來越越小?。〞r(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)，因因?yàn)闉閗kkkvvxav10111111nnxxx2121,特特征征值值線線性性無無關(guān)關(guān)特特征征向向量量。代代替替即即用用進(jìn)進(jìn)行行規(guī)規(guī)范范化化，后后，都都對(duì)對(duì)向向量量所所以以，每每次次計(jì)計(jì)算算kkkkkk

10、vvvvAvv)max(/1)max(/, 2 , 10100kkkkkvvukAuvuv，式式為為于于是是冪冪法法的的實(shí)實(shí)際際迭迭代代格格111)max()()max()(kkvxxuiii可以證明：可以證明：1121211111111nnnnxxxA且且有有，相相應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量為為，的的特特征征值值為為因因?yàn)闉榉磧绶ǚ磧绶?,0,21212121nnnnxxxAnA對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量記記為為與與其其次次序序記記為為必必不不為為零零，的的特特征征值值階階非非奇奇異異矩矩陣陣，則則為為設(shè)設(shè).11nnnnxAxA及及）的主特征值（按模最大的主特征值（按模最大歸結(jié)為應(yīng)用冪法求歸

11、結(jié)為應(yīng)用冪法求，及對(duì)應(yīng)的特征向量及對(duì)應(yīng)的特征向量的按模最小的特征值的按模最小的特征值所以，計(jì)算所以，計(jì)算應(yīng)用反冪法應(yīng)用反冪法稱為對(duì)稱為對(duì)A反冪法的迭代公式反冪法的迭代公式)max(/, 2 , 101100kkkkkvvukuAvuv，,時(shí)時(shí)若若1/1/111nnnnnknnkvxxu1)max()()max()(iii可可修修改改為為：于于是是反反冪冪法法的的迭迭代代公公式式分分解解法法求求取取，對(duì)對(duì)較較大大），通通常常用用為為避避免免求求逆逆（計(jì)計(jì)算算量量相相，程程組組實(shí)實(shí)際際上上是是求求解解非非齊齊次次方方由由于于計(jì)計(jì)算算LUuAvuAvkkkk111)max(/0100kkkkkkkv

12、vuyUvuLyuv，為上三角陣。為上三角陣。為單位下三角陣，為單位下三角陣，其中，其中，ULLUA,越越小小，收收斂斂速速度度越越快快。則則令令rrnn, 11原點(diǎn)平移法原點(diǎn)平移法.,2112121nnnnAn記記為為似似值值，經(jīng)經(jīng)求求出出了了各各特特征征值值的的近近且且通通過過某某種種數(shù)數(shù)值值方方法法已已，的的特特征征值值為為階階矩矩陣陣設(shè)設(shè)平平移移法法。這這種種方方法法通通常常稱稱為為原原點(diǎn)點(diǎn)向向量量和和特特征征按按模模最最小小的的特特征征值值則則可可最最終終計(jì)計(jì)算算出出矩矩陣陣，及及特特征征向向量量特特征征值值用用反反冪冪法法求求按按模模最最小小的的使使，對(duì)對(duì)滿滿足足的的特特征征值值，

13、使使得得矩矩陣陣）可可以以構(gòu)構(gòu)造造出出矩矩陣陣（.,121nnnnnnnnnnnnnnxAxBBAB1速速度度。加加速速計(jì)計(jì)算算過過程程中中的的收收斂斂，所所以以原原點(diǎn)點(diǎn)平平移移法法可可以以由由于于11nnnnnn原點(diǎn)平移法原點(diǎn)平移法.0lllllllillllxAxBIABliA和和特特征征向向量量值值的的特特征征，則則可可最最終終計(jì)計(jì)算算出出矩矩陣陣及及特特征征向向量量特特征征值值的的使使用用反反冪冪法法求求按按模模最最小小，并并對(duì)對(duì)則則構(gòu)構(gòu)造造矩矩陣陣能能夠夠使使，如如果果其其近近似似值值的的任任意意特特征征值值）對(duì)對(duì)于于矩矩陣陣（2求求取取。點(diǎn)點(diǎn)平平移移法法應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量可可

14、通通過過原原則則準(zhǔn)準(zhǔn)確確的的特特征征值值及及其其相相，法法如如的的近近似似特特征征值值得得矩矩陣陣一一般般來來說說，只只要要能能夠夠求求結(jié)結(jié)論論：)(QRA雅克比方法雅克比方法量的求取。量的求取。的全部特征值及特征向的全部特征值及特征向適用范圍：實(shí)對(duì)稱矩陣適用范圍：實(shí)對(duì)稱矩陣nnTdiagRARRA,1 . 52121使使得得正正交交矩矩陣陣為為實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣，則則存存在在）：若若理理論論基基礎(chǔ)礎(chǔ)（定定理理對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量。就就是是與與個(gè)個(gè)列列向向量量的的第第的的全全部部特特征征值值，而而為為其其中中，jjTnpjRA,21。則則為為相相應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量組組全全部部特

15、特征征值值，而而的的，從從而而獲獲得得時(shí)時(shí)，使使得得當(dāng)當(dāng)其其中中，令令轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為對(duì)對(duì)角角陣陣，即即選選擇擇，逐逐步步地地將將矩矩陣陣的的正正交交理理，設(shè)設(shè)法法用用一一系系列列簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單基基本本思思想想：基基于于以以上上定定TkTTTnkTkkkkkkRRRRAdiagAkAAkRARARAR212101),()(, 2 , 1雅克比方法雅克比方法途徑：途徑：1cossinsincos1),(qpRnk階平面旋轉(zhuǎn)矩陣階平面旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)造構(gòu)造行行p行行q列列p列列q為為正正交交矩矩陣陣。，即即容容易易驗(yàn)驗(yàn)證證，),(),(),(qpRIqpRqpRkTkk雅克比方法雅克比方法途徑：途徑：的的區(qū)區(qū)別別

16、主主要要體體現(xiàn)現(xiàn)為為：與與于于是是，值值，可可求求得得合合適適的的，且且使使令令110),(),(kkpqkTkkkkAAAqpRAqpRA的的其其它它元元素素均均相相同同；與與列列外外，列列，行行以以及及行行，）除除了了（1kkAAqpqp1列列）的的元元素素為為零零；行行第第列列（或或第第行行第第仍仍為為對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣，且且第第）（pqqpAk2更更接接近近于于對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣。比比變變成成非非零零元元素素，但但中中又又在在非非主主對(duì)對(duì)角角線線元元素素，可可能能中中經(jīng)經(jīng)變變換換后后被被化化為為零零的的）矩矩陣陣（11kkkkAAAA3化化為為對(duì)對(duì)角角陣陣；旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變變化化就就把把原原矩矩陣陣）不不能能指指望望通通過過有有限限次次（結(jié)結(jié)論論：A1),(11nkdiagAk時(shí)時(shí)，）當(dāng)當(dāng)（2雅克比方法雅克比方法？陣陣中中的的哪哪個(gè)個(gè)元元素素入入手手呢呢我我們們每每次次置置零零時(shí)時(shí)該該從從矩矩復(fù)復(fù)，那那么么，該該過過程程通通常常需需要要多多次次反反變變化化的的方方法法置置零零，而而且且通通過過旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)是是將將所所有有非非主主對(duì)對(duì)角角元元素素既既然然雅雅克克比比方方法法的的思思想想問問題題：零零。行行或或按按列列進(jìn)進(jìn)行行掃掃描描、置置對(duì)對(duì)所所有有非非主主對(duì)對(duì)角角元元素