1、.勾股定理的十六種證明方法【證法1】此主題相關(guān)圖片如下：做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形. 從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即a2+b2+4*(ab/2)=c2+4*(ab/2)整理得到：a2+b2=c2?！咀C法2】 以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 ab/2. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上. RtHAE RtEBF,

2、 AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四邊形EFGH是一個邊長為c的 正方形. 它的面積等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. 又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于(a+b)2. (a+b)2=c2+4*(ab/2)， a2+b2=c2。此主題相關(guān)圖片如下：【證法3】以a、b 為直角邊（ba）， 以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積

3、等于ab/2. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2. EF = FG =GH =HE = ba , HEF = 90. EFGH是一個邊長為ba的正方形，它的面積等于(b-a)2. (b-a)2+4*(ab/2)=c2， a2+b2=c2。此主題相關(guān)圖片如下：【證法4】 以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于ab/2. 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上. Rt

4、EAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC是一個等腰直角三角形， 它的面積等于c2/2. 又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD是一個直角梯形，它的面積等于(a+b)2/2(a+b)2/2=2*ab/2+c2/2, a2+b2=c2。此主題相關(guān)圖片如下：【證法5】 做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)P. D、E、F在一條直線上, 且RtG

5、EF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90. 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一個邊長為c的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90. 即 CBD= 90. 又 BDE = 90，BCP = 90， BC = BD = a. BDPC是一個邊長為a的正方形. 同理，HPFG是一個邊長為b的正方形. 設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則 a2+b2=S+2*ab/2 c2=S+2*ab/2 a2+b2=c

6、2。此主題相關(guān)圖片如下：【證法6】 做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（ba） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上. 過點(diǎn)Q作QPBC，交AC于點(diǎn)P. 過點(diǎn)B作BMPQ，垂足為M；再過點(diǎn) F作FNPQ，垂足為N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM是一個矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c，

7、 RtBMQ RtBCA. 同理可證RtQNF RtAEF. 從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明）.此主題相關(guān)圖片如下：【證法7】 做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD. 過C作CLDE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB的面積等于a2/2， GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半， 矩形ADLM的面積 =a2. 同理可證，矩形MLEB的面積 =b2. 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 a2+b2=c2。此主題

8、相關(guān)圖片如下：【證法8】 如圖，在RtABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點(diǎn)C作CDAB，垂足是D. 在ADC和ACB中， ADC = ACB = 90， CAD = BAC， ADC ACB. ADAC = AC AB， 即 AC2=AD*AB. 同理可證，CDB ACB，從而有 BC2=BD*AB. AC2+BC2=(AD+BD)*AB=AB2，即 a2+b2=c2。此主題相關(guān)圖片如下：【證法9】做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（ba），斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AFAC，AF交GT

9、于F，AF交DT于R. 過B作BPAF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF于H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC. 又 DHA = 90，BCA = 90， AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一個矩形， 所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b，AP= a，從而PH = ba. RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90，DH

10、F = 90， GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH是一個邊長為a的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一個直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）. 用數(shù)字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為此主題相關(guān)圖片如下：【證法10】 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（ba），斜邊的長為c. 做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號（如圖）. TBE = ABH = 90， TBH = ABE.

11、 又 BTH = BEA = 90， BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba. 又 GHF + BHT = 90， DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GHF = DBC. DB = EBED = ba， HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. 即 S7=S2. 過Q作QMAG，垂足是M. 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE = QAM，而AB = AQ = c，所以RtABE RtQAM . 又RtHBT RtABE. 所以RtHBT RtQAM . 即 S8=S5. 由RtA

12、BE RtQAM，又得QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM = CAR. 又QMF = ARC = 90，QM = AR = a， RtQMF RtARC. 即S4=S6. 此主題相關(guān)圖片如下：【證法11】在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因?yàn)锽CA = 90，點(diǎn)C在B上，所以AC是B 的切線. 由切割線定理，得 此主題相關(guān)圖片如下：【證法12】在RtABC中

13、，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過點(diǎn)A作ADCB，過點(diǎn)B作BDCA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個圓. 根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有 此主題相關(guān)圖片如下：【證法13】在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtABC的內(nèi)切圓O，切點(diǎn)分別為D、E、F（如圖），設(shè)O的半徑為r. AE = AF，BF = BD，CD = CE， AC+BC-AB=（AE+CE）+（BD+CD）-（AF-BF） = CE+CD= r + r = 2r, 此主題相關(guān)圖片如下：【證法14】 如圖，在RtABC中，設(shè)直