1、第一章靜電場(chǎng)1 靜電場(chǎng)基本現(xiàn)象和基本規(guī)律一.電荷、電荷守恒定律 二.庫(kù)侖定律2 電場(chǎng) 電場(chǎng)強(qiáng)度一、電場(chǎng) 二、電場(chǎng)強(qiáng)度矢量三、場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算3 高斯定理一、電力線及其數(shù)密度 二電通量三高斯定理 四.高斯定理五.高斯定理的應(yīng)用舉例 六.高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的方法4 電位及其梯度一、靜電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān) 二、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理三、電位及電位差 四.電位的計(jì)算五.等位面 回首頁(yè)注：引自南昌大學(xué)精品課程電磁學(xué)場(chǎng)的概念的建立是物理學(xué)自牛頓以來(lái)最重大的進(jìn)展。在場(chǎng)概念建立之前，物理學(xué)研究的對(duì)象主要是質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)組、剛體這些具有慣性的離散的實(shí)體。其基本規(guī)律是牛頓定律，整個(gè)力學(xué)現(xiàn)象的復(fù)雜性歸結(jié)為初始條件的多樣性。 自從法拉第

2、和麥克斯為建立場(chǎng)的概念后，場(chǎng)是區(qū)別于事物的另一類具有廣泛的連續(xù)分布的實(shí)在，成為物理學(xué)重要的研究對(duì)象，它蘊(yùn)含了極為豐富的研究?jī)?nèi)容，新的研究對(duì)象具有新的形式的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，也帶來(lái)了新的描述方法和處理方法。 過(guò)去，你們?cè)谥袑W(xué)的學(xué)習(xí)階段雖然也初步接觸過(guò)一些電場(chǎng)和磁場(chǎng)的知識(shí)，但是，當(dāng)市場(chǎng)僅僅作為描述電荷間以及電流之間相互作用的輔助手段，并未觸及其實(shí)質(zhì)。 現(xiàn)在，我們開(kāi)始全面而系統(tǒng)地學(xué)習(xí)場(chǎng)的知識(shí)和研究方法。從概念到方法都是新的，也具有一定的難度。例如，研究場(chǎng)時(shí)，需要引入“通量”和“環(huán)量”的概念，由此才能得到描述電磁場(chǎng)的兩個(gè)定理。 而本章及第二章的學(xué)習(xí)尤為重要，是電磁學(xué)課程的基礎(chǔ)，是學(xué)好后繼各章的關(guān)鍵。 靜電場(chǎng)即

3、靜止的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)。主要研究真空中靜電場(chǎng)的基本規(guī)律以及帶電體在靜電場(chǎng)中的受力情況以及平衡條件。1 靜電地基本現(xiàn)象和基本規(guī)律一.電荷、電荷守恒定律 1.電荷物體所具有的一種屬性。物體經(jīng)摩擦之后具有吸引傾銷物體的性質(zhì)，就說(shuō)它帶了電，或者說(shuō)有了電荷。 帶電的物體帶電體，帶電亦為起電 帶電體所帶電荷數(shù)量的多少電量，用表示，單位為庫(kù)侖 2.電荷的種類 美國(guó)物理學(xué)家富蘭克林首先以正電荷、負(fù)電荷的名稱來(lái)區(qū)分兩種電荷，一直至今。 3.電荷的量子性 實(shí)驗(yàn)證明，在自然界中，電荷總是以一個(gè)基本單元的整數(shù)倍出現(xiàn)。電荷的這個(gè)特性叫做。電荷的基本單元就是一個(gè)電子所帶電量的絕對(duì)值，常以表示（）。 1913年密立根設(shè)計(jì)了有名

4、的油滴試驗(yàn)，直接測(cè)定了此基元電荷的量值。實(shí)際上他1909始就在進(jìn)行這一工作。為了表彰他的工作，密立根第二次為人民所稱道的工作是他對(duì)光電效應(yīng)的研究，他獲得了1923年若貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。 現(xiàn)在已經(jīng)知道，許多基本粒子都帶有正的或負(fù)的基元電荷。微觀粒子所帶的基元電荷數(shù)常叫做他們各自的電荷數(shù)，都是正整數(shù)或負(fù)整數(shù)。近代物理從理論上預(yù)言基本粒子由若干種夸克或反夸克組成。二.庫(kù)侖定律（1785年確立） 兩個(gè)點(diǎn)電荷之間相互作用規(guī)律庫(kù)侖是法國(guó)物理學(xué)家、軍事工程師，退休后從事電學(xué)研究。他在18世紀(jì)發(fā)明了扭稱（見(jiàn)書P23） 這是一個(gè)非常靈敏的測(cè)力儀器，使他有可能直接測(cè)量不同距離的電荷之間極其微弱的靜電力，并且確立了平方

5、反比關(guān)系。使電現(xiàn)象由定性定量。1. 庫(kù)侖定律的表述：真空中，兩個(gè)靜止電荷及之間相互作用力的大小和與的乘積成正比，和它們之間距離的平方成反比。方向沿兩作用力的聯(lián)線，同號(hào)相斥，異號(hào)相吸。點(diǎn)電荷理想化模型。帶電體視為點(diǎn)電荷，不僅取決于本身的大小，而且取決于兩帶電體之間的距離。只有當(dāng)本身的幾何線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于兩者之間的距離時(shí)，它們的形狀及電荷在其中的分布已無(wú)關(guān)重要，可視為點(diǎn)電荷，使之大大簡(jiǎn)化。真空中為去掉其他點(diǎn)和影響，其他物質(zhì)受兩電荷電場(chǎng)的作用，產(chǎn)生，原有的電荷必受影響，所受力復(fù)雜。但是，有其它物質(zhì)存在時(shí)，庫(kù)侖定律仍成立！靜止為了避免磁效應(yīng)。2. 庫(kù)侖定律的矢量式中學(xué)常用的是標(biāo)量式 ，可反映力的大小，但不

6、能表示出方向，所以必須用矢量式表示！電磁學(xué)常用形式為 電動(dòng)力學(xué)常用的形式 注意區(qū)分：與 =（）位量矢（矢徑） （）單位矢 模（大?。?= 模：1由此可見(jiàn)，單位矢是與位量矢同方向，但長(zhǎng)度為1的矢量3. 矢量式的優(yōu)點(diǎn)1） 可表示出作用力的方向 當(dāng)0（同性電荷），則 與方向一致，表現(xiàn)為斥力當(dāng)0 的方向與一致方向： 0 的方向與相反 討論： 當(dāng) 0 當(dāng)0 ？不適用。此時(shí)不能再視為點(diǎn)電荷2. 點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)從庫(kù)侖定律出發(fā)，應(yīng)用力的疊加原理，試探電荷在點(diǎn)電荷系的場(chǎng)中，將受到每一個(gè)點(diǎn)電荷的力的作用。即 則= 取矢量和：= 在這種情況，場(chǎng)中某處的為各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在是在該處產(chǎn)生的的矢量和3. 電荷連續(xù)分布時(shí)的

7、場(chǎng)強(qiáng) 在此以前，我們已經(jīng)談到電荷是量子化的，因此連續(xù)分布應(yīng)理解為理想模型。 （1）.電荷體密度 當(dāng)一個(gè)球體或柱體帶電時(shí)，取其上小體元 在宏觀上足夠小，以便電荷均勻連續(xù)又稱物理無(wú)限小體積 選取要求 在微觀上足夠大，以保證包含一定量電荷 則 此時(shí)小體元可視為點(diǎn)電荷 若在某區(qū)域內(nèi)處處相等，電荷分布均勻，則 由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)關(guān)系： 空間有一點(diǎn)，整個(gè)帶電體在點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng) = 在同一方向上，矢量和可變?yōu)槭噶糠e分，是因?yàn)殡姾蛇B續(xù)分布。 （2）.電荷面密度 當(dāng)一個(gè)球面或柱面（盤面）帶電時(shí)，取其上小面元， 則 = （3）.電荷線密度 當(dāng)長(zhǎng)直導(dǎo)線或長(zhǎng)柱面帶電時(shí)，取其上一小段 則 = 以后，我們常遇到一種帶電體系電偶極子

8、，其由一對(duì)等量異號(hào)電荷組成，相距很近 由到之有向線段為（偶極子）極矩。的模為偶極子的臂 為電偶極矩：= 對(duì)于復(fù)雜的中性分子電結(jié)構(gòu)，若其正電荷中心和負(fù)電荷中心不相重合，亦可近似認(rèn)為是等效。 點(diǎn)在延長(zhǎng)線上 方向單位矢量 在中垂線上： 建立直角坐標(biāo)系，將，投影在，坐標(biāo)上 變矢量運(yùn)算為標(biāo)量運(yùn)算。 、大小相等 = 投影情況： 設(shè)與到兩電荷聯(lián)線中點(diǎn)的距離都是例 一均勻帶電圓環(huán)，半徑為，帶電量為。求軸線上離環(huán)心為處點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng) 解 由于題中未說(shuō)明環(huán)有多粗，可視為電荷線分布 （1）.取電荷元 作矢徑 則 上帶電 在點(diǎn)處的 （2）.選坐標(biāo)系，矢量投影 建坐標(biāo)系，將投影在，軸上 在對(duì)稱處另選電荷元， 將也投影在，軸上

9、 (3).據(jù)對(duì)稱性分析 ，方向分量全部地笑，只有方向分量加強(qiáng) 在問(wèn)題中，是為定點(diǎn)之距離，為常數(shù)，矢量式： =討論： =0 =0 ，通電電荷關(guān)系，其余點(diǎn)復(fù)雜 例 2如圖所示，長(zhǎng)為的細(xì)直線上肥均勻地分布著線密度為的正電荷，為常數(shù)。求軸上距點(diǎn)為的點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。 解 建坐標(biāo)系，將帶電直線分割成無(wú)數(shù)個(gè)帶電線元，其上帶電 電荷元 在點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)數(shù)值 的方向與軸相反 因?yàn)槊恳粋€(gè)電荷元產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向都相同，所以矢量疊加就可以變?yōu)榇鷶?shù)疊加，連續(xù)分布可用積分求 例3 計(jì)算均勻帶電圓盤軸線上離盤心為處的點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。 解 可將該盤無(wú)限細(xì)分為個(gè)帶電圓環(huán)，由于每一個(gè)圓環(huán)在點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度方向均相同，故可積分 ，沿正方向 3 高

10、斯定理 高斯（17771855）德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家一. 電力線及其數(shù)密度1. 引入目的：為了形象地描述電場(chǎng)2. 定義：一組曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向和該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向一致3. 電力線數(shù)密度：即電力線的疏密程度，可反映出電場(chǎng)中每一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小及分布。在電場(chǎng)中，取一小面元，與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向垂直。若穿過(guò)的電力線根數(shù)為，則此值為該點(diǎn)電力線數(shù)密度。做電力線圖時(shí)，使，令比例系數(shù)，4. 電力線圖(P49)5. 電力線的性質(zhì)：（）線發(fā)自正電荷（或遠(yuǎn)處）終止于負(fù)電荷（或遠(yuǎn)處）（）線在無(wú)電荷處不中斷，在空間不相交（）線不能構(gòu)成閉合曲線二電通量通量：任何是兩場(chǎng)都具有通量的特性，它總是與某一假想面相聯(lián)系，這一假

11、想面開(kāi)面或閉合面定義：矢量場(chǎng)通過(guò)一個(gè)截面的通量可用數(shù)學(xué)式表示為式中是矢量與面元的法線之間的夾角大?。好嬖娣e（）為面元矢量方向：沿面元法線方向如流速場(chǎng)中的流量，電磁場(chǎng)中的電（磁）通量電通量按通量的普遍關(guān)系式電通量有正負(fù)之分0正通量 ）處的=？ 在球面外任取一點(diǎn)，使= 以為球心，為半徑，過(guò)電作于帶電球面同心的高斯面。 取電荷元。怎樣取？講求面粉成一個(gè)有寬度的帶環(huán)，在環(huán)上取對(duì)稱的和小面元，有對(duì)稱性分析可知面元的與的抵消，而與方向一致，為加強(qiáng) 其他對(duì)稱位置的面元情況類似?？梢?jiàn)，得大小在面上各點(diǎn)相等。 的方向垂直與高斯面，電場(chǎng)的分布具有球?qū)ΨQ性，力線呈輻射狀，據(jù)高斯定理 其中 即 同點(diǎn)電荷公式 2）

12、.面內(nèi)（時(shí)，我們可以把帶電球體無(wú)限細(xì)分為一層層的同心帶電球面，利用例1結(jié)果，各層球面上的電荷好像全部集中在球心處。 （徑向） 2）當(dāng)0時(shí)，即球體內(nèi)任意點(diǎn)到球心距離為,連=，通過(guò)點(diǎn)，3作以為球心半徑為的球面。 據(jù)高斯定理 即 或 在=處， 值連續(xù) 例3 無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直導(dǎo)線的電場(chǎng)（線電荷密度為） 解 考察任意點(diǎn)，連限于電線垂直，將帶電長(zhǎng)直導(dǎo)線分割為一對(duì)對(duì)關(guān)于聯(lián)線對(duì)稱的線元（與）它們?cè)邳c(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)與關(guān)于對(duì)稱。 基于這種對(duì)稱性，凡是距離導(dǎo)線相同的點(diǎn)，得大小均相等，方向垂直（只向或背向）導(dǎo)線。 過(guò)點(diǎn)，以=為半徑，作高為的圓柱面為高斯面，圓周上各點(diǎn)值相等。 據(jù)高斯定理 如果帶電長(zhǎng)直導(dǎo)線為有限長(zhǎng)，只有中垂

13、面上是對(duì)稱的，對(duì)于中垂面之上（或之下）的點(diǎn)則不然，不能用高斯定理求解！下圖 例4 無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電柱體的場(chǎng) 解 設(shè)體電荷密度為，柱半徑為 1) 柱內(nèi)任意點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)（0） 同理，上、下底面沒(méi)有線通過(guò)，=0 =處，值連續(xù) = 例5 無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面的電場(chǎng) 解 該柱面半徑為，電荷面密度，其產(chǎn)生的電場(chǎng)也具有對(duì)稱性，分不同帶電柱體呈輻射狀。 1)0（柱面外） 取點(diǎn)，以柱軸線為中心，連接，以=為半徑，高為作一封閉圓柱面 而 =處，值不連續(xù) 實(shí)際上，當(dāng)時(shí)，（在無(wú)限長(zhǎng)帶電圓柱體及無(wú)限長(zhǎng)帶電圓柱面外部）可視它們的電量集中于柱軸線上，結(jié)果，值同無(wú)限長(zhǎng)直帶電線一樣，均為 =。見(jiàn)下面推導(dǎo) 即 對(duì)于帶電柱體： 此時(shí)，

14、對(duì)于帶電柱面： 此時(shí) 例6 無(wú)限大均勻帶電平面的電場(chǎng) 解 設(shè)板帶電，面密度為，經(jīng)過(guò)對(duì)稱性分析，板可視為無(wú)數(shù)帶電長(zhǎng)直線組成。在任意平行于帶電板的平面上，得大小相同，方向垂直平面，指向兩側(cè)。 選一橫放圓柱面為高斯面，其表面積由組成 而 0 垂直板面向外 五.高斯定理的應(yīng)用舉例 若為兩塊無(wú)限大均勻帶電平板，按場(chǎng)強(qiáng)疊加原理 II I III 在II，III區(qū)域里，大小相等，方向相反，=0 而在I區(qū)域里，大小相等，方向相同， ，為勻強(qiáng)場(chǎng)六.高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的方法 1.電荷分布有一定對(duì)稱性（球、軸、面對(duì)稱或組合） 2.如何選取高斯面： 1）高斯面為假想閉合面，一定要通過(guò)待求點(diǎn)，且面的形狀簡(jiǎn)單 2) 使所選的

15、高斯面的部分面平行于，則其上通過(guò)的=0，也可使的另一部分面垂直于（即面法線單位矢方向與一致，且面上各點(diǎn)的值大小相等，好提出積分號(hào)外） 3）對(duì)于有限大，有限長(zhǎng)的帶電體，不能用高斯定理求出，不是定理不成立，而是應(yīng)為不是常數(shù)，不能提出積分號(hào)外，或因?yàn)槊嫔吓c的夾角處處不同，不便運(yùn)算。 如下圖三種情況，不具有對(duì)稱性、有限大，不能用高斯定理求出結(jié)果，但可寫出相應(yīng)的 = 4 電位及其梯度一. 靜電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)高斯定理說(shuō)明了靜電場(chǎng)是一個(gè)有源場(chǎng)。本節(jié)學(xué)習(xí)靜電場(chǎng)又一基本性質(zhì)靜電場(chǎng)做功與路徑無(wú)關(guān)1. 點(diǎn)電荷的場(chǎng)點(diǎn)電荷位于點(diǎn)，在產(chǎn)生的場(chǎng)中將一試探電荷沿任意路徑從點(diǎn)移到點(diǎn)，求電場(chǎng)力做功=？我們先研究元功，即在路徑

16、上取一小段（）所作的功，則 由以上計(jì)算結(jié)果，我們可以看到在點(diǎn)電荷場(chǎng)中，靜電場(chǎng)力做功只決定于始末兩點(diǎn)位置，與路徑無(wú)關(guān)。 任何做功與路徑無(wú)關(guān)的力場(chǎng)，稱為保守力場(chǎng)，亦稱有勢(shì)場(chǎng)，靜電力稱為保守力，猶如重力場(chǎng)也是保守力場(chǎng)，重力為保守力（做功與路徑無(wú)關(guān)，在實(shí)際計(jì)算中，為了方便常取徑向）2. 點(diǎn)電荷系的場(chǎng)據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理 由于右邊每一項(xiàng)都與路徑無(wú)關(guān)，所以總電場(chǎng)力做功也與路徑無(wú)關(guān)二. 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理 下面，我們研究在靜電場(chǎng)中沿某一閉合曲線（）移動(dòng)一周，靜電力所作的功： 即 由于試探電荷0, 靜電場(chǎng)的環(huán)流為零 此式稱為靜電場(chǎng)的環(huán)路定理，是靜電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)的另一種表述形式。 在前面我們指出電力線不能閉合，現(xiàn)

17、在我們可以用環(huán)路定理給予證明。 設(shè)電力線為閉合曲線，若沿電力線移動(dòng)電荷，則有 若=1 那么 ，與環(huán)路定理相矛盾。 至此，我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)場(chǎng)方程，它們結(jié)合在一起，全面反映了靜電場(chǎng)性質(zhì) 有源場(chǎng) 有位場(chǎng)三. 電位及電位差1. 電位能引為靜電場(chǎng)時(shí)有位場(chǎng)，可以引入電位（電勢(shì)）及電位能的概念。電場(chǎng)力做功多少可以用能量的改變來(lái)描述。若在電場(chǎng)力的作用下，從，它的位能將減少，在此過(guò)程中，位能的變化即電場(chǎng)力對(duì)它做的功 2. 參考點(diǎn)但是，在場(chǎng)中某一點(diǎn)到底有多大的電能，必須先選擇參考點(diǎn)。在理論上，參考點(diǎn)為任意，在實(shí)際中，取無(wú)窮遠(yuǎn)處或大地為電位勢(shì)能零點(diǎn)。 點(diǎn)電位能即為： 3. 電位定義：電場(chǎng)中某點(diǎn)的電位在數(shù)值上等于單位正

18、電荷在該點(diǎn)所具有的電位能 上市反映了場(chǎng)強(qiáng)與電位之間的關(guān)系。但是在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，工程技術(shù)人員更關(guān)心電位差4. 電位差電位之差 注意：1）為標(biāo)量，是空間點(diǎn)函數(shù) 2）對(duì)一點(diǎn)談電位，對(duì)兩點(diǎn)談電位差不同的概念 3）對(duì)于某一點(diǎn)的電位，不許定了參考點(diǎn)之后才又確定的意義。而當(dāng)電場(chǎng)確定時(shí)，兩點(diǎn)的電壓差就完全確定。四.電位的計(jì)算 1.點(diǎn)電荷電位的計(jì)算 2.點(diǎn)電荷系的電位計(jì)算 點(diǎn)電荷系電場(chǎng)中某點(diǎn)的電位，是每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)的電場(chǎng)在該點(diǎn)電位的代數(shù)和電位疊加原理 3.電荷連續(xù)分布的電場(chǎng)的電位計(jì)算（有限大帶電體） 5. 用場(chǎng)強(qiáng)與電位的關(guān)系計(jì)算（已知場(chǎng)的分布） 下面我們分別舉例例1 2 求：1）把單位正電荷從點(diǎn)沿移動(dòng)到點(diǎn)，

19、電場(chǎng)力對(duì)它做功多少？ 2）把單位負(fù)電荷從點(diǎn)沿延長(zhǎng)線移至無(wú)窮遠(yuǎn)，電場(chǎng)力對(duì)它做多少功？ 解 據(jù)電位疊加： 做功，位能發(fā)生變化，做功與路徑無(wú)關(guān) 例2 求均勻帶電圓環(huán)軸線上任意點(diǎn)的電位 解：在圓環(huán)上任取一線元，其上所帶電荷為，在點(diǎn)產(chǎn)生電位 整個(gè)圓環(huán)在點(diǎn)的電位 例3 求均勻帶電球面電場(chǎng)中電位的分布 解：設(shè)帶電總量為，球半徑為。 我們已知帶電球面在空間的電場(chǎng)分布，所以可用場(chǎng)強(qiáng)的線積分來(lái)求電位 均勻帶電球面 ,= 時(shí)， ）,求兩導(dǎo)線之間電位差？ 解：以左邊的導(dǎo)線軸線上作為坐標(biāo)原點(diǎn)，軸垂直導(dǎo)線，兩導(dǎo)線之間任意點(diǎn)出的場(chǎng)強(qiáng)為兩無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線在該處產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)的疊加 方向：沿軸正方向由以上的學(xué)習(xí)，我們知道了 1. 電荷在

20、電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力要做功，電場(chǎng)力做功的特點(diǎn)是取決于起終點(diǎn)位置，而與路徑無(wú)關(guān)。這一特點(diǎn)說(shuō)明了電場(chǎng)是有位場(chǎng)。當(dāng)單位正電荷在靜電場(chǎng)中沿閉合曲線移動(dòng)一周時(shí)，環(huán)路積分值為零，也稱環(huán)流為零。即有位性和環(huán)路定理是靜電場(chǎng)同一性質(zhì)的兩種等價(jià)表述。2. 找到了電位和場(chǎng)強(qiáng)的積分關(guān)系 說(shuō)明了電位與積分路徑上的場(chǎng)強(qiáng)有關(guān)。另外，利用電位差可以方便地計(jì)算電場(chǎng)力做的功 五.等位面 1.引入目的：形象地描述電場(chǎng)中電位的分布 2.定義：由電位相同的點(diǎn)組成的面 3.等位面的性質(zhì) 1）等位面比喻電力線垂直 由電場(chǎng)力做功來(lái)證明： 在等位面上取、兩點(diǎn)，將試探電荷從點(diǎn)移到點(diǎn)沿任意路徑。 式中、3均不能為零，只有 即 反證：如果不垂直，則可分解為 對(duì)移動(dòng)電荷 使電荷移動(dòng) 從到， ，與前提矛盾 結(jié)論：要是的場(chǎng)強(qiáng)與等位面上任一線元垂直，那么電場(chǎng)強(qiáng)度（用電力線描繪）與等位面就必須處處正交 2）等位面密集處場(chǎng)強(qiáng)大，稀疏處場(chǎng)強(qiáng)小 證：取一對(duì)相鄰等位面，電位分別為和，作一條電力線與兩等位線分別正交于、 兩點(diǎn)，由于兩個(gè)面相距很近