1、二項式定理1. 二項式定理：2. (ab)nC°anC：an1bLC：anr基本概念：二項式展開式：右邊的多項式叫做(a二項式系數(shù)：展開式中各項的系數(shù)C；項數(shù)：共(r1)項，brLC：bn(nN),b)n的二項展開式。(r0,1,2,n).3. 是關(guān)于a與b的齊次多項式通項：展開式中的第r1項C；anrbr叫做二項式展開式的通項。用Tr1注意關(guān)鍵點： 項數(shù)：展開式中總共有(n1)項。 順序：注意正確選擇a,b,其順序不能更改。(ab)n與(ba)n是不同的。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項減到0,是降藉排列。b的指數(shù)從0逐項增到n,等于n.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次

2、是與b的系數(shù)(包括二項式系數(shù))_rnr_rCnab表小。是升藉排列。各項的次數(shù)和C°,Cn,Cn2,C4. ,C：.項的系數(shù)是a常用的結(jié)論：5. 令a1,bx,(1令a1,bx,(1性質(zhì)：二項式系數(shù)的對稱性:x)nc0C1xC2x2LCrxrLx)v-/：>-/nxv-/：xnxx)nc0C：xC：x2LC：xrLC：xn(nN(1)nC；xn(n與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即二項式系數(shù)和：令ab1,則二項式系數(shù)的和為變形式cnCnLC：L=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：a1,b1,奇數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令則C：c：從而得到：c0c；_4_2rCnCnC：奇

3、數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和:(a(x令x令xx)na)n1,C0anx0八00Cna則a°1,則a°aiai得,a°a?得,a1a3C0CnCnCnc：2nCn1。CnC3C3LCnrC；LcnL1)ncn(112nC；an1x1n1CnaxC2anC；a2i22xn2xa?a?a4La5La3LL1)nC；a0xnnn0Cnaxa。a1xa3annanx2a2x2a2xCnkk1nCnCnCnCnon2,1)n0,2n1axna：x1a。an(aLa：(a1)n(a1)n(a1)n(奇數(shù)項的系數(shù)和2(a什(a什(偶數(shù)項的系數(shù)和二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的藉

4、指數(shù)n是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù)nc：2取得最大值。n1n1Cn2,Cn2同時取得最如果二項式的藉指數(shù)大值。系數(shù)的最大項：求(abx)n展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項系數(shù)分別、，一一一.A1A為&,A2,An1,設(shè)第r1項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出r來。Ar1Ar26.二項式定理的十一種考題的解法:【例2】：在二項式(41為x2)n的展開式中倒數(shù)第3項的系數(shù)為解：由條件知C：x45,45,3-求含有x的項的系數(shù)?Tr1C1r0(x14)10r2即Cn45,210r(x3)rC；x丁2n2_r3,由題意900,解得9(舍去)或n1

5、0,由Cwx3則含有x3的項是第7項丁611【練2】：求(x2)9展開式中x9的系數(shù)？rn2.9r用牛：lr1C9(x)(L2x9313故x9的系數(shù)為c3(-)3【題型三：利用通項公式求常數(shù)項】2110求一項式(x)的展開式中的常數(shù)項?2/x【例3】:解:Tr1rC；(x2)10r520_rC；()rx2,令2解:解:3】:Tr14】：10r3一一一210x，系數(shù)為210。r182r1rrrC9x()xC9(21、r183r2)x3,解得r6,令183r9,則r321o220«1«r8'所以T9C100452561求一項式(2x)6的展開式中的常數(shù)項？2x11Cr6

6、rrrrrc6rr66(2x)(1)L)(1)C62H)x2x2(1)3C320若(x21)n的二項展開式中第5項為常數(shù)項，則nx42、n41、442n12Cn(x)()Cnx，令2n120,得n6.x2，令62r【例1】：cnC26Cn62Lcn6n1解：(16滬c0cn6C262Cn63LC；6與已知的有一些差距，cnC26C362LCnn6n11(C：6Cn62LCn6n)616(C°cn6Cn62L1n1cC：6n1)-(16)n1-(7n1)66【練1】：cn-2-33Cn9CnL3n1cn1.解：設(shè)Sncn3勇9CnL3n，則3SnC13Cn32C333LCnc0如c2a

7、2c3a3Cn3CnCn3Cn3Cn3LCSn(13)n1n41【題型一：二項式定理的逆用】3xn的系數(shù)】n3n1(13)n3【題型二：利用通項公式求【題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項】【例4】：求二項式(衣Vx)9展開式中的有理項?11解：Tr1C；(x2)9r(x3)r27r一，.27r所以當(dāng)r3時，27-r6(DE,令Z'(。T4(1)3C3x44,84x4,r9時，27r3,T10(1)3C；x33x。6=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和】解：設(shè)（時品虧）展開式中各項系數(shù)依次設(shè)為x令x1,則有a。將-得：2（a1a3a5有題意得，a0'a1'an'【練5】

8、：若解：QC：(3xC：2“1256an0,，令x)28,jr尸的展開式中,42rCn4勇1,則有a。n2'a1a3a5所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為C：Cn3所以中間兩個項分別為n6,n7,T51【題型六：最大系數(shù)，最大項】疽)6(5a2a32n1,(1)nan1024,求它的中間項。2n1,2n11024，解得n11)5462x4,T6146261x15【題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和21【例5】：若（時司?。┱归_式中偶數(shù)項系數(shù)和為256，求n.一C1的項是T4和T5T4的系數(shù)C；（一）4232,T5的系數(shù)C；(】)3242270,當(dāng)n14時，展開式中【例6】：已知（12x）n，若展開式中第

9、5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二2項式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少？解：QC"C®2C5,n221n980,解出n7或n14,當(dāng)n7時，展開式中二項式系數(shù)最大1rr二項式系數(shù)最大的項是T8,T8的系數(shù)C：4（）7273432。2【練6】：在（ab）2n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少？解：二項式的藉指數(shù)是偶數(shù)2n,則中間一項的二項式系數(shù)最大，即T2nTn1，也就是第n1項。2【練7】：在（4二）n的展開式中，只有第5項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項是多少?2x解：只有第5項的二項式最大，貝U-15,即n8,所以展開式中常數(shù)項為第七項等于Cs（-）27

10、22【例7】：寫出在（ab）7的展開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項？解：因為二項式的藉指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項（第4,5項）的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，從34343.4一而有T4C7ab的系數(shù)取小，T5C7ab系數(shù)取大?！纠?】：若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79,求（12x）n的展開式中系數(shù)最大的項?2n12,假設(shè)Tr1項最大，Q（2x）12（）12（14x）1222解：由Cn_1_2CnCn79,解出ArAr2C1MC；24rCr14r112，化簡得到9.4r10.4,又Q0r12,r10,展開式C1r214r1中系數(shù)最大的項為Tn,有Tn(*Ci24x16896x2【練8】

11、：在(12x)10的展開式中系數(shù)最大的項是多少？解：假設(shè)Tr項最大，QTr1C；02rxrAr1Ar1ArAr2Q0r10,rrr1r1C102C102解得2(11C；02rC12r1,r1r7,展開式中系數(shù)最大的項為r)r，化簡得到6.32(10r)T8C17)27x715360x7.7.3,又【題型七：含有三項變兩項】【例9】：解法：解法:求當(dāng)(x23x2)5的展開式中x的一次項的系數(shù)？2525r25rr(x23x2)5(x22)3x5,Tr1C；(x22)5r(3x)r，當(dāng)且僅當(dāng)r1時，T的展開式中才有x的一次項，此時Tr1T2c5(x22)43x，所以x得一次項為C；C：243x它的系

12、數(shù)為C；C：243240。2555(x23x2)5(x1)5(x2)5故展開式中含x的項為C；xC：25(c05c14c5/C05c14c(C5XC5xC5XC5XC5x244C5x2240x,故展開式中x的系數(shù)為240.55C；25)【練9】:求式子(x解：(xx2)313f,f2)的常數(shù)項?x3二)6，設(shè)第r1項為常數(shù)項，則Tr1C；(1)r2r，得62r0,r3,(1)3C：20.【題型八：兩個二項式相乘】342一【例10】：求(12x)(1x)展開式中x的系效.解：Q(12x)3的展開式的通項是CT(2x)mCT2m(1x)4的展開式的通項是C4(x)ncn1nxn，其中m0,1,2,

13、3,n令mn2,則m0且n2,m1且n1,m2且n的展開式中x2的系數(shù)等于C?20C2(1)2c310】：求(1Vx)6(1)10展開式中的常數(shù)項.210,1,2,3,4,x)4c4(1)1C；22C0(1)030,因此(12x)(1-1解:(13x)6(1m0展開式的通項為C；x0C10xC；C1n04m3n12x12解:其中m0,1,2,6,n0,1,2,10,當(dāng)且僅當(dāng)4m時得展開式中的常數(shù)項為211】：已知(1xx)(x003468C6C10C6C10C6C101c-3)n的展開式中沒有常數(shù)項xm3n,即n4246.0,或0,4,或m6,8,(x*I,nN且28,則n1c一一-)展開式的

14、通項為xn4rrn4r1rx,Cnx,CnCnxnrx3rCnxn4，通項分別與前面的三項相乘可得2,Q展開式中不含常數(shù)項,2n2,即n4,8且n3,7且n2,6,【題型九：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和】【例11】：在(x72)2006的二項展開式中，含x的奇次驀的項之和為Cnn4rx4r且n4r1且n4rn5.S,當(dāng)x而時,S解：設(shè)(x72)2006=ao(x、.2)2006=a0得2(a1xa3x1a1x1a1x3a2x2a2x5a5xa3X3a3x2006La2006x2006a2006x-(xLa2005x2005)(x、.2)1也)展開式的奇次畚項N和為S(x)-(x2-2006(

15、x.2)200620062006、,2)(x、2)【題型十:、初,S(、.2)1Q,2)2006(,2、2)2006232006£222.2_30082賦值法】設(shè)二項式(3x-)n的展開式的各項系數(shù)的和為xps272,則n等于多少？解：若(33x1)x令x1得P2n16或2n【例12】:2a0a1xa2xanXn，有P-H-p,所有二項式系數(shù)的和為s,若a0a0nnan,SCnCn2,(2n17)(2n16)0解得4n,又ps272,即4n2n27217(舍去)，n4.n【練12】：若3頂x的展開式中各項系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項為多少?n二的展開式中各項系數(shù)之和為2n64,所

16、以n6,則展開式的常數(shù)項為x【例解:【練解：況(3成)3(士)540.13】：若(12x)2009令x二可得a°a221a0a1x2a2x3a3xa2009x2009(xR),則至2a222爻。箜的值為22009目在令x0可得a。1,因而5513】：右(x2)a5x令x0得a032,令x24a4x1得a°a200922009a2223a3xa12a2009?20092a2x0,a2221.aa2a31axa4aa2a3a4a531.【題型十一:整除性】【例14】:證明-2n2-38n9(nN)能被64整除證：32n28nn1998nn1一9(81)8n9C0Qnn181C1

17、anCn18cn1a2cna1cnCn18Cn18CnC08nn181Cn18n_n1_2_Cn188(n1)1由于各項均能被64整除2n2*38n9(nNa20092009aoa°,則aa21,a3a4a5a5118n9)能被64整除8n9Cn18ncn18nC；1182以上是二項式定理應(yīng)用的十一種典型題型，可概括為三個方面的應(yīng)用：二項式的展開式及組合先項原理的應(yīng)用；通項公式的應(yīng)用(求指定項如第三項、倒數(shù)第二項、含有x2項、常數(shù)項、有理項、無理項等，還可求系數(shù)最大的項)；賦值法的應(yīng)用。另外，在題型上還可以與數(shù)列、函數(shù)等知識相結(jié)合。練習(xí)：1. 已知(a+b)n展開式中各項的二項式系數(shù)

18、之和為8192,則(a+b)n的展開式中項數(shù)共有(A.14B.13C.12D.15ab<0,a+b=1,(a+b)9展開按a的降藉排列后第二項不大于第三項，則a的取值范圍是(A.4B.一,5C.D.(1,+8)23.在2x13、，xn的展開式中含常數(shù)項，則自然數(shù)n的最小值是(B.3A.24設(shè)(2+x)A.1B.-1D.5C.410=a0+ax+a2x2+a0x10,貝U(a0+a2+a4+a10)2-(a+a3+a-)2的值是()C.0D.(2-1)10D.8()B.第2n+1項D.第2n+2項7. (1+x)3+(1+x)4+(1+x)9+(1+x)10展開式中x3項的系數(shù)是A.C012C102C10A.3X210B.c40C.C*39104C02C10的值為(C.；(29-1)x最高次項為x10的系數(shù)為B.310多項式(1-2x)6(1+x)4展開式中,10.11(x2)10(x21)的展開式中12在(x2+3x+2)5的展開式中x的系數(shù)為A.160B.240求(1+x+x2)7(1-x)8展開式中x10的系數(shù).()C.36015.已知(ax1|x|x|A.123'-113.14.232展開式中的常數(shù)項是B.-1220展開式中有理項的個數(shù)是515939的展開式中x3的系數(shù)為9常數(shù)4C.20D.-20A.1B.2C.3D.416