1、第4講 函數(shù)的奇偶性一、選擇題1下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()Aylog2x(x>0) Byxx3(xR)Cy3x(xR) Dy(xR，x0)解析：選項(xiàng)A，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；選項(xiàng)C不是奇函數(shù)；選項(xiàng)D在(，0)和(0，)上是減函數(shù)答案：B2函數(shù)f(x)x3sin x1的圖象()A關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱 B關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱C關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱 D關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱解析：令g(x)f(x)1x3sin x，則g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，當(dāng)x0時(shí)，有f(x)10，此時(shí)f(x)1，所以對(duì)稱點(diǎn)為(0,1)答案：B3(2010·

2、模擬精選)函數(shù)f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，則f(a)的值為()A3 B0 C1 D2解析：f(a)a3sin a12，f(a)(a)3sin(a)1a3sin a1(a3sin a1)2220.答案：B4(2009·山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()Af(25)<f(11)<f(80) Bf(80)<f(11)<f(25)Cf(11)<f(80)<f(25) Df(25)<f(80)<f(11)解析：f(x4)f(x)，f(x8)f(x4)f(x)，T8.又f

3、(x)是奇函數(shù)，f(0)0.f(x)在0,2上是增函數(shù)，且f(x)>0，f(x)在2,0上也是增函數(shù)，且f(x)<0.又x2,4時(shí)，f(x)f(x4)>0，且f(x)為減函數(shù)同理f(x)在4,6為減函數(shù)且f(x)<0.如圖所示f(-25)=f(-1)<0，f(11)=f(3)>0，f(80)=f(0)=0，f(-25)<f(80)<f(11)答案：D二、填空題5已知函數(shù)f(x)a，若f(x)為奇函數(shù)，則a_.解析：f(x)為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，f(0)0a0a，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a時(shí)，f(x)為奇函數(shù)答案：6(2009·北京西城一模) 設(shè)a為常

4、數(shù)，f(x)x24x3，若函數(shù)f(xa)為偶函數(shù)，則a_；ff(a)_.解析：由題意得f(xa)(xa)24(xa)3x2(2a4)xa24a3，因?yàn)閒(xa)為偶函數(shù)，所以2a40，a2.ff(a)ff(2)f(1)8.答案：287(2010·河南調(diào)研)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)log2(x1)若f(m)<2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：令x<0，則有x>0，f(x)log2(1x)，f(x)為奇函數(shù)，故有f(x)log2(1x)，f(m)<2，即log2(1m)>2,1m>4，故m<3.答案：(，3)三、解答

5、題8已知f(x)x()(x0)判斷f(x)的奇偶性；解： f(x)的定義域是(，0)(0，)f(x)x()·.f(x)··f(x)故f(x)是偶函數(shù)9(2009·山東淄博模擬)定義在2,2上的偶函數(shù)g(x)，當(dāng)x0時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，若g(1m)<g(m)，求m的取值范圍解：因?yàn)間(x)在x2,2上是偶函數(shù)所以由g(1m)<g(m)可得：g(|1m|)<g(|m|)，又g(x)在0,2上單調(diào)遞減，|1m|>|m|，且|1m|2.解得：1m<.m的取值范圍是.10(2010·模擬精選)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(a，b

6、，c都是整數(shù))，且f(1)2，f(2)<3，f(x)在(1，)上單調(diào)遞增(1)求a，b，c的值；(2)當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的單調(diào)性如何？證明你的結(jié)論解：(1)由f(1)2得2，由f(2)<3得<3.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|xR且x，則0，c0，于是得f(x)，且2，<3，<3，即0<b<，又bZ，b1，則a1.a1，b1，c0符合 f(x)在(1，)上單調(diào)遞增(2)由(1)知f(x)x.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性，可知f(x)在(，1)上單調(diào)遞增；以下討論f(x)在區(qū)間1

7、,0)上的單調(diào)性當(dāng)1x1<x2<0時(shí)，f(x1)f(x2)(x1x2)，顯然x1x2<0,0<x1x2<1,1<0，f(x1)f(x2)>0，函數(shù)f(x)在1,0)上為減函數(shù)綜上所述，函數(shù)f(x)在(，1)上是增函數(shù)，在1,0)上是減函數(shù) 1()函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x1)與f(x1)都是奇函數(shù)，則()Af(x)是偶函數(shù) Bf(x)是奇函數(shù)Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函數(shù)解析：由已知條件對(duì)xR都有f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)因此f(x3)f(x2)1f(x2)1f(x1)f(x1)f(x21)f(x3)因此函數(shù)f(x3

8、)是奇函數(shù)答案：D2(2010·創(chuàng)新題)如果存在正實(shí)數(shù)a，使得f(xa)為奇函數(shù)，f(xa)為偶函數(shù)，我們稱函數(shù)f(x)為“親和函數(shù)”則對(duì)于“親和函數(shù)”f(x)，下列說(shuō)法中f(xa)f(ax)；f(ax)f(xa)；f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱；f(x)是周期函數(shù)，且8a是它的一個(gè)周期其中正確的序號(hào)為_解析：由f(xa)f(ax)得f(ax)f(ax)f(x)為奇函數(shù)，與題意不符，故錯(cuò)；由f(xa)為偶函數(shù)，得f(xa)f(xa)，故正確；f(xa)為奇函數(shù)，說(shuō)明將f(x)的圖象向右平移a個(gè)單位后其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)的圖象關(guān)于(a,0)對(duì)稱，故錯(cuò)；是正確的，理由如下：由f(xa)為奇函數(shù)，得f(xa)f(xa)