1、2000年全國碩士研究生人學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、填空題(本題共5小題.每小題3分.滿分15分把答案填在題中橫線上)/十、arctanx一工U)hm-.Iln(I+2)-(2)設(shè)函數(shù)y=武看)由方程產(chǎn)=x+y所確定.則dy|=.廣dx=_.八(X+7)(4)曲線了=(2x-1)/的斜漸近線方程為-1000-5)設(shè)力="'0。五為4階單位矩陣，且JT=(尼-E-A),則苣斗'=0-45口L。0-67-二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，？t分15分。每小題給出的四個選項中.只有一項符合題目要求。把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))U)設(shè)函數(shù)。=一在(-«,+&

2、#171;)內(nèi)連續(xù)旦=0.則常數(shù)U,3滿足-n+ejstfb(A)a<0¥fi<0.(KJa>OT6>0.(C)aW0.5>0.(D)«>0<0.(2)設(shè)函數(shù)/U)滿足關(guān)系式NIG+>"')了=m,且/3)=。，則(A)/(0)是/()的極大值.(B)/(0)是/(*)的極小值.(CJ點雙口)是曲線)=/(、)的拐點.(D)/(0)不是/)的極值，點也不是曲線>=/(父)的拐點.(司設(shè)函數(shù)六二).小工)是大于零的對導函數(shù).且尸(工)/#)-f(x)g>x)<0,則當。<x<b(B

3、)/(A)g(ft)>/(a)g(x)t(D)>晨0).Hm6飛心為x(C)36.(D)0.力=31的3階常系數(shù)齊次線性微分方程是(B)y*+y*-yf-y=0,"(D)/*-2y-y'+2y=0+時，有(A)>/bgx4若lim也.1J/=0,則1XA)0.6.(5)具有特解妨=e力=2xe(A)/7"7'+7=0，(C)+Jyf-6y=0.三、(本題滿分5分)設(shè)八附）字皿/I,計算/（外血.四、（本題滿分5分）設(shè)上仍平面上有正方形0:|孫川|0位工應，0鼻/與1|及直線八X+y;“t£0）,若雙口表示正方形。位于直線J左下方部

4、分的面積，試求iy（t）di（x孑0）.五、（本題滿分5分）求函數(shù)=萬%（1+動在工工0處的n階導數(shù)/飛。）（耳三3）.六、（本題滿分6分）設(shè)函數(shù)5*）=fIcoatidt,Ja（I）當“為正整數(shù)，且桂打W#<541）需時，證明：2曰WS（x）<2（n+1）；（2）求lim%I-*+-3SX.七、（本題滿分7分）某湖泊的水量為上每年推入湖泊內(nèi)含污染物聲的污水量為。，流入湖泊內(nèi)不含A的水量為上66流出湖泊的水展為9.已知I的9年年底湖中才的含量為超過國家規(guī)定指標,為了治理污染，從20m年初起，限定排入湖泊中含4污水的濃度不超過半.問至多露經(jīng)過多少年，湖泊中污染物用的含量可降至%以內(nèi)？

5、（注；設(shè)湖水中A的濃度是均勻的.）八、（本題滿分6分）在兩個木同的點后忐,使/"JS=0.九、（本題滿分7分）已知/（1）是周期為5的連續(xù)函數(shù).它在*=0的某個鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式/（I+sinx）-3/（t-&inr）=Rx+注（#）.其中W黑）是當工T。時比上高階的無窮小，旦以工）在工=1處可導，求曲線F=/（#）在點（6,汽6）處的切線方程.十、（本題滿分8分）設(shè)曲線y=«z3（a>0,#m。）與了=1-交于點力,過坐標原點0和點兒的直線與曲線?=&F圍成一平面圖形.問“為何值時，該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最大？最大體積是多少？十一、（本題

6、滿分8分）函數(shù)八±)在+X)上可導，*0)=1,且滿足等式:行)+/(x)-工廠小力由=0.x+1Jo(1)求導數(shù)尸h(2)證明：當工壬0時,不等式T/(x)WI成立，十二、(本題滿分6分)j1In0.設(shè)方=2,百=：,y=0,A=二戶羽.其中是旨的轉(zhuǎn)置，求解方程LJw1B-A/.】1=lint-"t-lint二二wT。(I+x2)f*o6(1+廣)6【分析】方程畫邊求微分得2叼g("x+15)=心，由，以工=。代人原方程得y=h以H=O,y=I代人國品得In2加=疝+仃，解得blH*u-門口21)ilx.【分析】原式G一廠二中二京廣=2_上Jo(9+r)*

7、63;3Jo1+(上戶33丁3x=Ajj+y.十三、(本題滿分7分)0.已知向量組氏二1,周2,用3=1與向量組電1L6具有相同的秩.且從可由5-7-,5,外線性表示，求d6的值.-一填空題1.八is*iHtctanjx溫必達.I+j2E力祈J娛大=hm一一：-=二Inn1a-02s11j<76vJ4.解lim工=li】n-HF«.-V»4i=即有-712Jini2x)=lirn2ri(tUmKms=2=If1=1.X故漸近線方程為，工"+15.I分析】雖可以由A先求出（E+4）T,再作矩陣乘法求出E,最后通過求逆得到（E+3）T.但種方法計算量太大，若用單

8、位矩陣恒等變形的技巧,我們有8+總=（E+A）l（E-A）+E=（E+A）-'（E-A）+（£+A）=2（E+乂）7,所以(E+fl)-'=2(E+A)-1-1=+A)或者，由月二C®+片廠“£-K),左乘£+X得(E+A)B=E-A(E+A)B+(£+A)=?E-A+E+A=2E(E+4)(r+A)-2E.評注本題就蹤含義更活.這是考生失誤較多的一道考題,其解霞感酷才法僮得很好修金選擇題【分析】由JO）連續(xù)，。+£*0,有觀界。不乂由IHifU）=0time'=+e.布應選（D）.2.【分析】由廣（口）二口知

9、#=o是毫數(shù)m的、個駐點*由關(guān)系式知/”（口）=o,up（o,/to）可能是拐點,如何判斷？或者分別考察尸（心與/氣門在點工=0的左右附近是否變號，但在本題中這不容明做到一手是去求/外在點#處的更高階的導致，將麻關(guān)系式兩邊求導后,令i=0可得了飛。）三I.從而得知點（aj（0）是曲線了:人外的拐點，故應選（G-評注函數(shù)產(chǎn)工）的三階導致是存在的,這是因為等式/飛*）=#-Lm的右蛹可尋.4.【分析】，g*®/<。o以*£'3)*0)二/點。<oEG)瑞在供用單調(diào)減=倦解押外總國,a.<x<6).應選(A).一般的判別法則是：若武G在點勺處的第一

10、舉非窣導黑的尸上"">2）+若#為奇邕,則點（與，六與）是制或，工/（G的招點：若人為偶數(shù).則孫范舀致人工）的極值點分析一I恒等變形后用洛必達法則.由于6#一gin6xsinSx+*)1l。hm工56-6±o弱*+pr因此許亞羋2二加更上普1工u擊紂聿加些二四二36.*德XN-OZ0jc，/【分析二】用帶皮亞諾余項泰勒公式.題設(shè)相當于£%8+叭幻=儀，），將sin6r=6土-+"（"）3I代人，得右H-36/+硝X）="，），從而得6+/（j）=36.12+口（6）,§*n.16+儀1）,X3于是I加6-七2

11、=36,故應選（C）.HTX評注解此置我其犯的錯誤，是不皆慮/（彳）是否滿足擊委的條件而使用洛必達法則.靖察花貨了不少時間還未必存到芷隔的結(jié)論.其次不少人選（A）.是認為叫出+外)二l而且上約urfljX-A.一的的+*)r/八UiJnK-sInui-一中'-j。，j-4sd在這里.匍6瞥糧更蜂是嵋誤的，5.【分析I首先,由已知的三個特解可知特征方程的三個用為F=口=-1./二L從而特征方程為（F+17（r-I）=0,即戶+,-T3I=。，由此，衡分方程為/-/7=。-應選B.解法一】設(shè)%#=八則8Mt<#/)二空中2.于是eJ/(x)dx=j!叱='號)<4=J1

12、p(1+",)(!(-e"1)=一£'fnfl+e“)+，tbr二一世J)ij(1/e*)+I(J-)dxJ】走上*JI+e*=-£fIn(1+e*)+ac*In(1+廣)+C=J-(1+e-J)1n(t+eJ)+C.【解法二】j/(T)d,/=】iu)手=J二土山-Jln(1+t)d(-J-)二x-(e;+J)ln(1+efl)+,四、篇1先求5S.由題及知（圖丸6）工式”"_上八2_1,WK2,2*1t。咨2,其中，當Iwi2時，s（f）=i-i-（*-iH3-再求saw，：方法甘用分段枳分法直接求這個變限積分.當。毫工一時/卜曲=

13、f：#山=春工3當1w工q2時,1產(chǎn)0也=f*出+L（-y（J4當#擊2時.SU）d£=5（t）d#+1山=（-4-*J0J0J2UJ*'，0由此,5H）d1三"】34戶e.1J0*才*+K-*+小11uJLX-1,X方法邛實質(zhì)就是求連續(xù)函數(shù)S5）的滿足曙0）連接點，:1,2處掛域地接起來即可J-x6,、記兒-鏟+*4其中t!pL=j=（_!*'+d-工十巧）工=。bv（-+*2-t+V）12（J+）120J!"，°u因此，江工）出=1爭工之x1JA-I+J4-X+»IE-D3常-L*N：五、訴hhx-%.-*1、q_4_一_.

14、O三I、m、圖3,E:.13212/-1)d£=一丁/rr+于：j+爐_2+_；_)+1工-2)=S-(WIT<I.x<2,洋2=0的原函數(shù))幻.明分段求出原函數(shù)，然后在041+t+勺，lEa醫(yī)2,*M2.1一??；，即=-LK安匕£式？*I,【解法一】用泰勒公式，由)nKI晶J+(Ij"*"+X"'')1I2n-2J=/-=+(】)D|上、#儀/)(外注汨,2m-2可得二吐=(-J)2)從而/"(O)=LI)U(n3).【解法二1用萊布尼藪公式，注意，(，)內(nèi)=虱人萍3)/)L=0/0G=0J).于是&qu

15、ot;'g"(X"*'"""”"""+外”=Q(r)C"n"m(l+工)|”q=武耳-l)ln<o)(l+=I-下求(歷(1+G)：(ln(l+z)J=")，(h(l4-x)w=1)(1+Jt)(lull+*)“r=(-+"一，(ln(l+x)U)=(-1)1(1+f)-*.=+工),*n(一-3)1.代人得(口)=(-H'(»-3H-I)"-1.砰注應逾注意泰釉公灰的系數(shù)一'“泰船聚數(shù)"與耳防導蜿的關(guān)系：行

16、-對產(chǎn)的系數(shù)'”方叱，或人的，,力=ET.MitI條布足致公式：+作/1仃/+M-二）三幻+十灰.可以與二里展開式比較工(川+"尸=.，"+”“+十山仁)二:辛J.tl'i#*+.六、證明與求解1（1）因為忖必工|蕓0且花打、刀C仆+!）中,h|CQ4«I|dx5(at)<又因為|皿神|以TT為周期.在倚個周期上積分值相等.所以奸1Tr七、，fT|cox班2(«+I).Icqhx|di*nj|dx二2fiJcobscIx工2n,從而有2掰言£(*)<2(ri+I),(2)由f1)有e竹餐#h(m*1)“時如貪外<

17、;2(a+1)(JI+I)IfXHkKi.2也2(n+1)2而hm0一=bmFlkV(M+IJ1TJlrDH門燈科又JCf+BBIlr+B,由夾通定理,lim5'#).=LJF-+flB*1T5一。，i/稗注題門）中利用了韓反愛數(shù)的權(quán)分性原片同事晶默的根分性質(zhì).熊C）用了求極限的道者能大牖小法，只不過是余就逵當斌大身演小，且分了無很多敕.解】設(shè)2mo年初為£=。，第，年湖泊中污染物用的總盤為凡濃度為m/.在時間段2*曲內(nèi)，流進湖中4的地近似為序4&工寮即,流出湖的水中4的址近似為a4因而在"IjUFJJ此時間用內(nèi)湖中污染物用的增量占m的近檄值為Am=（1-出

18、（山=AO.63這是一麟線性方程，標準形式為華+;小=等，通解為加=?-匹號，/-Jb£代入初始條件僖、"-5/得。=一搭6口于是m=學1+9d）令周二味，得丁=619，即至多篇經(jīng)過6加3年湖中污染物聲的含量就會降至%以內(nèi).一.一-二一一一一一一I-一一.7T-一一一'_二理注一根稱這美問題為'溶液同題，諛濡進器需蚪源被漉蟲為例（升/分）,謂或為內(nèi)（克/升）.漉出零券的濃漉鹿土處強，浪度為界？，而且假談客其內(nèi)灌注的液度始性保神均勻.如果先始時容器內(nèi)含有血。（克）的常質(zhì)，問在任何盼就工落鹿南力有多少申“，解法透堤問黑的方法是"微小元素法”篇稀“微無法

19、”,它的樸&最先考慮撤分dm而不是考感導教小，因為準分dm是增量Ae的連便傕，客易考慮在時間段2+也內(nèi)，漳城的埴景B用*周上簞-此!g?M=Mi,pl-EE71"才警Li；',電詞工由內(nèi)=宇R升）是對剖，的澹液量L有J三歸I-，出等十專向外（一階線性褪分方程）'I證法一考察AG的原函數(shù)，令網(wǎng)上）=（>）山.0whw則顯然有四口）=01（外）之依只糊再話F#）荏還有零點.考察0=/（jr）<?£F3drd,T:卜cord（x）之F（jtJcp1*J+卜F（5加冢工I-=jF（*）win*dHh北產(chǎn)（Wginm（由積分中值定理）0<tj

20、<rr,而對呻>0；故F（為、=0*可由羅爾宸理，三章eNe）與比e（小/，使"力工工免）=。，即ACjJ-）；"證法二I苴先.由根分中恒定理川卻WW?。蛊牵?；代工川工二仇然后證明圻不是惟一的零點：反證法,假設(shè)卻是nn在（o,f）內(nèi)的惟一零點,則在續(xù)函數(shù)/fc在（。由）與（后.幻都不變號，且由4*）而=0知，汽*>在<0.酊）馬（第E）內(nèi)舁號，不妨設(shè)在（。,El）內(nèi)（外>。，在（“E）內(nèi)J0<"于是再由=0,/，*）g=0及/年¥在0,/“調(diào)減可知田rf11k&=I/（X）icotUT-cas）ck=c

21、ositi>0Jo口Jf4這就得出矛盾.從而在（O.m內(nèi)膿備外至少還有一個零點晶因此，存在占.殳e。4）&/鬲,使得六引）=刀另）=。,-渾注(！)【證法一居證法三】祓為簡單，近明八工)有H個零點遇到麻用時.不忘及證算原函4tF(G有R*1個事點.；.：,.,<2)本題是轂羊一、；、三、四遇里的一道考題，也是本年敷學卷中最難的有.森械中所發(fā)生的帶諜有：疝些考生會引提肛*),但只是亂,破"引為7(#)的一個氤殺敦，埋下去就樵如F(G)=0,F(iO=0.這是不對的，因為只設(shè)F")fM的一小題函教，巴工)還是不4定的，之J&的事無從演起.這說明.許多

22、才生需套用更上限初分，/(。出來表示一外修定的原函數(shù)，而又會用不足新分來京,示.有不少考也想到用分部積分來業(yè)理，恒儆皮I/jc)oo£iKcLt;=/1(j)sinx.J*inx'/r(z)Hxt.>.：Jp-.fdJo.,題中朱遽/(，)再在，這樣觥房然不合理.事啜上,刊這一步K要再劭一下跳筋，前一個方向就可痔出正罰的玷果(樹作青生刮練).九、1分析】f(x)是周期為5的函數(shù),所以欲求曲線在點(6J6)處的切縫方程，只需求出網(wǎng)幻在點h=I處的函數(shù)值及導數(shù)尸口).它們都可由給定的美索式得到.但只能由定義求廣(J).【解】由Un>/(4sinr)-3/(1-sin&

23、#177;)-lim-8x+at學).JTT0得AD-呼1)=。，故f”)=o.又1""一證1一型二生;生開小八L十乳豆.旦=g,sinxinx工sin*設(shè)sirn-£.則有l(wèi)im川+一工):>li)=Ihn+')寸+3而以1二A"="，(I).a-m3mx$t0t/一o-r所漢/(I)=2.由于/(*+5)=/(工)，所以f(6)=/()=0,/(6>=/r(l)j故所求的切線方程為丁=2(#-G.即熱-y-12=0.評法本題是一個嫁部圈,清觀到曲教的周勒性、建垢法、極限，尋短前定義及切或方也同做的雎點在用能用導數(shù)的定義求

24、10).因為題目的條件只是汽#)在*=1處可導，所以不能用其他的工具.大多數(shù)考生的錯談也都出在這里，解】交點"'-T=-，¥=7i直戰(zhàn)。上=-'-=1=/./FT+門/】+“旋轉(zhuǎn)體體援；-1/1+42?2y=M(-X2-a-)dx=-"；后TJI)1+«151*門產(chǎn)求最大體積：2武1+日產(chǎn)-14(1+0產(chǎn)之dr_2ir2-TT(4g-aj.薪二mcS=Efi+”>H4)=2t惟一駐點口=露乎在此由正變負力=4為攝大值點也是最大值點，最大體積為32A187571【求解與證明】首先對恒等式變形后兩邊求導以便消去積分.，（X+1）,（幻+（X+1）/（x）-J/（f）dtN0,（工*）jyX）+（x+2）/r（t）與。，在原方程中令變限±上D程yJ（o）+/co）=o.由式。=I,得廣（6二現(xiàn)降階:令融=/嶗，則有=0,就此一階線性方程得x+L由fY0）=-I得