1、第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動1 力可以使剛體轉動，經(jīng)驗表明其效力可以使剛體轉動，經(jīng)驗表明其效果不僅取決于果不僅取決于力力的的大小大小而且還與力的和而且還與力的和作用點作用點的位置有關。的位置有關。FF哪個力容易哪個力容易將門關上將門關上F 力力 在在轉轉動動平平面面內內：Pz*Or F r F 力力 的的作作用用點點相相對對轉轉軸軸的的位位矢矢M F 力力 相相對對轉轉軸軸的的力力矩矩MrF 大?。捍笮。篗rF sin rF 與與 的的夾夾角角dFd d：力力臂臂

2、M 右手螺旋法則右手螺旋法則第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動2對于作定軸轉動的剛體，一般規(guī)定：對于作定軸轉動的剛體，一般規(guī)定：如力矩使剛體沿如力矩使剛體沿逆時針逆時針方向轉動，力矩為方向轉動，力矩為正正；如力矩使剛體沿如力矩使剛體沿順時針順時針方向轉動，力矩為方向轉動，力矩為負負；1. 力矩的力矩的三要素：三要素：（1）力的方向；）力的方向； （2）力的作用點；）力的作用點； （3）轉軸位置）轉軸位置 .F2. 若若力力 不不在在轉轉動動平平面面內內：zOk Pr F

3、 F F FFF F ：垂垂直直于于轉轉軸軸的的分分力力；F ：平平行行于于轉轉軸軸的的分分力力，力力矩矩為為零零。zMrF 第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動33. 合合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和 若在一個繞定軸轉動的剛體上，且這幾個外力都在轉動若在一個繞定軸轉動的剛體上，且這幾個外力都在轉動平面內，則它們的合外力矩等于這幾個外力矩的代數(shù)和。平面內，則它們的合外力矩等于這幾個外力矩的代數(shù)和。MMMM123 4. 剛體內作用力和剛體內作用力和反反作

4、用力作用力的力矩互相的力矩互相抵消抵消Ojr ir ijijF jiF dijjiMM Ormz剛體的內力矩之和為零剛體的內力矩之和為零第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4m1. 單單個個質質點點 與與轉轉軸軸剛剛性性連連接接Or mzF tF nF 合力合力MrF sin合力矩：合力矩：trF 其中：其中：ttFma mr角加速角加速度度tMrF mr2Mmr2質點質點的的轉動慣量轉動慣量Jmr2 質點所受合力矩與質點所受合力矩與角加速度的關系角加速度的關系MJ質點轉

5、動慣性質點轉動慣性大小的量度大小的量度此結論能否推廣到剛體？此結論能否推廣到剛體？第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動52. 剛體剛體Ozjm ejF ijF jm 所所受受合合力力矩矩：ijjFm ：所所受受合合內內力力jr ejijjjMMm r2 ejjFm ：所所受受合合外外力力; ;外外力矩力矩內內力矩力矩對所有質點求和：對所有質點求和： ejijjjjjjMMm r2 其中：其中： ijjM0 已已證證 ejjjjjMm r2 剛體剛體的的轉動慣量：轉動慣量：

6、 jjjJm r2 若質量連續(xù)分布若質量連續(xù)分布 jjjmjJm r20lim rm2d 剛體定軸轉動的角剛體定軸轉動的角加速度與它所受的加速度與它所受的合外合外力矩力矩成正比成正比 ，與剛體的，與剛體的轉動慣量轉動慣量成反比成反比. .MJ第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動6 飛輪的質量為什么大飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？都分布于外輪緣？ 轉動慣量大，不易轉動慣量大，不易受阻力影響受阻力影響竿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？竿子長，轉動慣量大，較易

7、控制竿子長，轉動慣量大，較易控制第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動71. 物理物理意義意義 轉動慣量與物體的慣性物理意義一致，是轉動慣量與物體的慣性物理意義一致，是物體轉動慣性大小的量度。物體轉動慣性大小的量度。2. 與轉動慣量有關的與轉動慣量有關的因素因素：（1 1）剛體的總質量；）剛體的總質量；（2 2）質量分布）質量分布； （3 3）轉軸的位置）轉軸的位置；3. 轉動慣量的轉動慣量的計算計算：（1）單個質點的轉動慣量）單個質點的轉動慣量Jmr2 （2）質量離散分布

8、剛體的轉動慣量）質量離散分布剛體的轉動慣量jjjJm r2 m rm r221 12 2 （3）質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量）質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量Jrm2d 1r3r2r1m2m3m轉軸轉軸md ：質質量量元元第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動8例例1 一一 質量為質量為 m 、長為、長為 l 的均勻細長棒，求通過棒中心的均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量并與棒垂直的軸的轉動慣量.O Ol解：解：rdrml 質量線密度質量線密度mrdd 轉動慣量：轉動

9、慣量：Jrm2d llrr/22/2d llr/23/213 l3112ml2112 例例2 如轉軸過端點垂直于棒，試證明轉動慣量為如轉軸過端點垂直于棒，試證明轉動慣量為Jml213 lO Odrr第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動9例例2 一質量為一質量為 m 、半徑為、半徑為 R 的均勻圓盤，求通過盤中心的均勻圓盤，求通過盤中心 O 并與盤面垂直的軸的轉動慣量并與盤面垂直的軸的轉動慣量.OR解：解：ROrdr質量面密度：質量面密度：mS 2mR 圓環(huán)質量：圓環(huán)質量：

10、ddmS 2dr r d2dSr r 轉動慣量：轉動慣量：Jrm2d 302dRrr 412R212mR 第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動10l細桿細桿（轉軸過中（轉軸過中心與棒垂直）心與棒垂直）2112Jml細桿細桿（轉軸過端（轉軸過端點與棒垂直）點與棒垂直）l213Jml圓盤、柱圓盤、柱（轉軸（轉軸沿幾何軸）沿幾何軸）R212JmR圓筒圓筒（轉軸沿幾（轉軸沿幾何軸）何軸）1R2R221212Jm RR第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化

11、 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動11 質量為質量為 m 的剛體，如果對其的剛體，如果對其質心軸的轉動慣量為質心軸的轉動慣量為 Jc，則對任，則對任一與該軸平行，相距為一與該軸平行，相距為 d 的轉軸的轉軸的轉動慣量的轉動慣量dCOmOcJJmd2ORPP第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動12MJ剛體所受剛體所受合外力矩合外力矩剛體繞轉軸剛體繞轉軸的角加速度的角加速度Fma1. 隔離體法畫示力圖。隔離體法畫示

12、力圖。2. 對平動物體運用牛頓定律列方程；對平動物體運用牛頓定律列方程； 對轉動物體運用轉動定律列方程。對轉動物體運用轉動定律列方程。3. 角加速度與線加速度關系角加速度與線加速度關系ar 第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動13h,M Rmm例例3 如圖，定滑輪（可視為圓盤）的質量為如圖，定滑輪（可視為圓盤）的質量為 M，半徑為，半徑為R，物體質量為物體質量為 m。求物體由靜止下落高度。求物體由靜止下落高度 h 時物體的速度和時物體的速度和滑輪的角速度?；喌慕撬俣?。解

13、：解：m：maTmgmgTma M：TMgT RJ其中：其中：TT aRJMR212 mgTma TMa12 mgamM22 00 v下落高度下落高度 h 時物體的速度時物體的速度ah2 vmghmM22 滑輪角速度滑輪角速度R v mghRmM22 N第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動14m r00,m1m260 45 例例4 如圖，斜面光滑，已知如圖，斜面光滑，已知 滑輪可視為均質圓盤。求物體的滑輪可視為均質圓盤。求物體的加速度及繩的張力。加速度及繩的張力。mm12

14、1.0kg1.5kg ，mr000.2kg0.03m. ，解：解：m1：m1T1m g1N160 Tm gm a111sin60 m2：m2m g2T2N245 aam gTm a222sin45 m0：m r00,Nm g0T1T2 T rT rJ20100 其中：其中：TT11, TT22, a r0/, Jm r200 012 Tm gm a111sin60 m gTm a222sin45 TTm a21012第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動15m r00,m1

15、m260 45 例例4 如圖，斜面光滑，已知如圖，斜面光滑，已知 滑輪可視為均質圓盤。求物體的滑輪可視為均質圓盤。求物體的加速度及繩的張力。加速度及繩的張力。mm121.0kg1.5kg ，mr000.2kg0.03m. ，解：解：m1T1m g1N160 m2m g2T2N245 aam r00,Nm g0T1T2 mmammm210122sin45sin6022 10.73m s Tm am g111sin60 9.22N Tm gm a222sin45 9.30N Tm gm a111sin60 TTm a21012m gTm a222sin45 第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1

16、電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動16 例例5 有一半徑為有一半徑為R質量為質量為 m 勻質圓盤勻質圓盤, 以角速度以角速度0 0繞繞通過圓心垂直圓盤平面的軸轉動通過圓心垂直圓盤平面的軸轉動. .若有一個與圓盤大小相若有一個與圓盤大小相同的粗糙平面同的粗糙平面( (俗稱剎車片俗稱剎車片) )擠壓此轉動圓盤擠壓此轉動圓盤, ,故而有正壓故而有正壓力力N N 均勻地作用在盤面上均勻地作用在盤面上, , 從而使其轉速逐漸變慢從而使其轉速逐漸變慢. .設正設正壓力壓力N N 和剎車片與圓盤間的摩擦系數(shù)均已被實驗測出和

17、剎車片與圓盤間的摩擦系數(shù)均已被實驗測出. .試試問經(jīng)過多長時間圓盤才停止轉動問經(jīng)過多長時間圓盤才停止轉動? ? 解解: 在圓盤上取面積微元在圓盤上取面積微元, 面積元所受對轉軸的摩擦力矩面積元所受對轉軸的摩擦力矩大小大小rlRNrFrfddd20rl drdfFd剎車片剎車片第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動17面積微元所受摩擦力矩面積微元所受摩擦力矩rlRNrFrfddd2圓環(huán)所受摩擦力矩圓環(huán)所受摩擦力矩22202d2ddddRrNrlRrNrFrMrf圓盤所受摩擦力

18、矩圓盤所受摩擦力矩NRRrNrMMR32d2d022圓盤角加速度圓盤角加速度MRNJM43NmRt0043停止轉動需時停止轉動需時0rl drdfFdR第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動18 例例6 一長為一長為 質量為質量為 勻質細桿豎直放置，其勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈下端與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉動相接，并可繞其轉動. 由于此豎由于此豎直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作

19、用下由靜止開始繞鉸鏈動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉動轉動.試計算細桿轉動到與豎直線成試計算細桿轉動到與豎直線成 角時的角加速度和角角時的角加速度和角速度速度.lm 解解 細桿受重力和細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力鉸鏈對細桿的約束力作用，由轉動定律得作用，由轉動定律得NFJmglsin21ml2loPNF第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動19式中式中231mlJ ddddddddtt得得sin23lg由角加速度的定義由角加速度的定義dsin23dlg代入初

20、始條件積分代入初始條件積分 得得)cos1 (3lgJmglsin21ml2loPNF第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動20 例例7 質量為質量為 的物體的物體 A 靜止在光滑水平面上，靜止在光滑水平面上，和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為 R、質、質量為量為 的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪 C，并系在另一質量為，并系在另一質量為 的物的物體體 B 上上. 滑輪與繩索間沒有滑動，滑輪與繩索間沒有滑動， 且滑輪與軸承間的摩且滑輪

21、與軸承間的摩擦力可略去不計擦力可略去不計. 問：（問：（1） 兩物體的線加速度為多少？兩物體的線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體）物體 B 從從BmCm 再求線加速度及再求線加速度及繩的張力繩的張力. 靜止落下距離靜止落下距離 時，時，其速率是多少？（其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設擦力不能忽略，并設它們間的摩擦力矩為它們間的摩擦力矩為fMyAmABCAmBmCm第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第

22、四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動21ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCFamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解 計及滑輪質計及滑輪質量，物體量，物體A、B 作平動，作平動，滑輪作轉動滑輪作轉動.對系統(tǒng)作隔對系統(tǒng)作隔離受力分析，分別列牛離受力分析，分別列牛頓第二定律及轉動定律頓第二定律及轉動定律方程方程（1）第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動222CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2

23、)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率2/22CBABmmmgymaytABCAmBmCmT1FT2F第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動23（3） 考慮滑輪與軸承間的摩考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩擦力矩 ，轉動定律，轉動定律fM結合（結合（1）中其它方程）中其它方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa JMRF

24、RFfT1T2T2FT1FfMT2FBPBmAPT1FNFAm第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動242/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa 第七章靜電場第七章靜電場7 7 1 1 電荷的量子化電荷的量子化 電荷守恒定律電荷守恒定律4-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動25解

25、：解：例例8 有一高為有一高為h，寬為，寬為 b ，質量為，質量為 m 的均質平板可繞一條的均質平板可繞一條通過其一端的豎直軸旋轉，板上面元所受到的阻力和面元通過其一端的豎直軸旋轉，板上面元所受到的阻力和面元的大小與面元的速度平方乘積成正比，比例系數(shù)為的大小與面元的速度平方乘積成正比，比例系數(shù)為 k 。板。板的初始角速度為的初始角速度為 0。試求其角速度隨時間的變化規(guī)律。試求其角速度隨時間的變化規(guī)律。o ohmb0 xdx面積元面積元Sh xdd 阻力阻力fkS2dd v kxh x2d x v阻力矩阻力矩Mx fdd khxx23d MMd bkhxx230d khb2414 轉動慣量轉動慣量Jxm2dd mbh mSdd Sh xdd mxxb2d JJd