1、第3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分 請同學(xué)們認(rèn)真復(fù)習(xí)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)、微分基礎(chǔ)知識。加一個作業(yè)：默寫求導(dǎo)基本及全部法則公式。3.1偏導(dǎo)數(shù)的定義我們討論多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義3.1 設(shè)函數(shù)在定點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義(1)固定只讓變化，得一個一元函數(shù)，如果在處不可導(dǎo)，就說函數(shù)在處關(guān)于不可偏導(dǎo)；如果在處可導(dǎo)，就說函數(shù)在處關(guān)于可偏導(dǎo)，此時稱為函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于變量的偏導(dǎo)數(shù)記作，或等，即等(2)固定只讓變化，得一個一元函數(shù)，如果在處不可導(dǎo)，就說函數(shù)在處關(guān)于不可偏導(dǎo)；如果在處可導(dǎo)，就說函數(shù)在處關(guān)于可偏導(dǎo)，此時稱為函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于變量的偏導(dǎo)數(shù)記作，或等，即等定義3.1 設(shè)函數(shù)在定點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義當(dāng)固定，而在處取得增量時，函數(shù)相應(yīng)地取得

2、增量，稱其為函數(shù)在處關(guān)于的偏增量若極限(3.1)存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于變量的偏導(dǎo)數(shù)記作，或等類似地，若固定，函數(shù)相應(yīng)于變量的偏增量為，若極限(3.2)存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于變量的偏導(dǎo)數(shù)記作：，或等若函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于,的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則稱函數(shù)在處可偏導(dǎo)若函數(shù)在區(qū)域中的每一點(diǎn)都是可偏導(dǎo)的，則稱函數(shù)在中可偏導(dǎo)這些偏導(dǎo)數(shù)仍是,的函數(shù)，稱它們?yōu)榈钠珜?dǎo)函數(shù)，簡稱偏導(dǎo)數(shù)記作,；,；,；,等定理3.0 定義3.1和定義3.1是等價的。證 根據(jù)定義3.1和一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念的定義，（關(guān)于完全類似）故定義3.1和定義3.1是等價的。（看情況，有時用定義3.1而有時用定義3.1。）定義3.n 設(shè)函數(shù)

3、在定點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義固定只讓變化，得一個一元函數(shù)，如果在處不可導(dǎo)，就說函數(shù)在處關(guān)于不可偏導(dǎo)；如果在處可導(dǎo)，就說函數(shù)在處關(guān)于可偏導(dǎo)，此時稱為函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于變量的偏導(dǎo)數(shù)記作，或等，即等（）定義3.n 設(shè)函數(shù)在定點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義當(dāng)固定，而在處取得增量時，函數(shù)相應(yīng)地取得增量，稱其為函數(shù)在處關(guān)于的偏增量若極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于變量的偏導(dǎo)數(shù)記作，或等（）定理3.n 定義3.n和定義3.n是等價的。證 與定理3.0的證明類似。類似地，可討論元函數(shù)在維區(qū)域中是否可偏導(dǎo)，有時也有偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱偏導(dǎo)數(shù)從定義中可看到，在討論多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時，我們只是讓一個自變量變化，而固定其余的變量換句話說，即

4、將多元函數(shù)視為某一個變量的一元函數(shù)，再考慮其求導(dǎo)數(shù)的問題因此，計算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)并不需要新的計算公式和方法，只需要注意在計算過程中函數(shù)是視為哪個變量的一元函數(shù)就行了（不熟練一元函數(shù)求導(dǎo)的同學(xué)要注意復(fù)習(xí)了！）（加一個作業(yè)：默寫全部求導(dǎo)公式（包括求導(dǎo)法則公式）。）思考題：計算偏導(dǎo)數(shù)時，能否先將代入，再對求導(dǎo)？（可以。）二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是幾元函數(shù)，它的自變量是什么？（二元函數(shù)，自變量也是。）【例3.1】求在點(diǎn)(1,1)處的偏導(dǎo)數(shù).解(如果按照定義3.1，)將視為常量，對求導(dǎo)，得；將視為常量，對求導(dǎo)，得；所以；【例3.2】設(shè)，求，解視,為常數(shù)，對求導(dǎo)，得；視,為常數(shù)，對求導(dǎo)，得；視,為常數(shù)，對求導(dǎo)，

5、得 【例3.3】設(shè)，求的偏導(dǎo)數(shù)解當(dāng)時，；當(dāng)時，由偏導(dǎo)數(shù)的定義得，；（如果按照定義3.1，）所以；注意：由例2.3知，不存在，故在點(diǎn)不連續(xù)由此例可知，對于多元函數(shù)來說，函數(shù)在某點(diǎn)處可偏導(dǎo)不能保證它在此點(diǎn)處是連續(xù)的，這與一元函數(shù)中關(guān)于函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系是不同的思考題：3二元函數(shù)在點(diǎn)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)，存在，為什么不能推出在該點(diǎn)連續(xù)？（因為只與某兩線段有關(guān)，與附近的四塊都無關(guān)。而連續(xù)必須全面保證。）4考查函數(shù)在原點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性（，在原點(diǎn)處不連續(xù)。原點(diǎn)處，都存在。）【例3.4】設(shè)不為零的變量,滿足方程（常數(shù)），證明：證求時，把當(dāng)作函數(shù)，和是自變量。將方程變形為，則有；同理，求時，把當(dāng)作函

6、數(shù)，和是自變量。將方程變形為，則有；求時，把當(dāng)作函數(shù)，和是自變量。將方程變形，得；所以（魔術(shù)：把已證明的等式約簡得。問題在哪里？偏導(dǎo)數(shù)記號與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記號間的一個本質(zhì)區(qū)別：對于一元函數(shù)而言，可以看作是兩個微分之商，而多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或是一個整體的記號，不能當(dāng)作分?jǐn)?shù)?。?.2偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義圖3.1設(shè)表示空間中的一個曲面，若固定，則表示平面與曲面的交線，此交線位于平面上， （）為曲面上的點(diǎn)由偏導(dǎo)數(shù)的定義知，等于一元函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)由一元函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線對軸的斜率同理，偏導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線對軸的斜率3.3全微分先看一個例子設(shè)二元函數(shù)為自變量在點(diǎn)處

7、有改變量時，引起函數(shù)的全增量為其中記，是與無關(guān)的常數(shù)所以， 對于一般的二元函數(shù)，.我們要問：是否存在與無關(guān)的常數(shù)使得？定義3.2 設(shè)是二元函數(shù)，是其定義域的內(nèi)點(diǎn)。如果存在與無關(guān)的常數(shù)使得 (3.3)其中。則稱函數(shù)在點(diǎn)處是可微分的，稱為函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記作：全微分是全增量的線性主要部分，它們只相差的高階無窮?。ㄅc一元函數(shù)的微分比較。）定理3.1(可微的必要條件) 若函數(shù)在可微，則(1) 在點(diǎn)處連續(xù)(2) 在點(diǎn)處可偏導(dǎo)，且，證(1) 因在可微，即有，故，亦即 （），故在連續(xù) (2) 由函數(shù)在可微,得（不管怎樣的）。讓，則，此時有故存在同理，讓，也得存在證畢類似于一元函數(shù)中的情形，我們約定自變量的

8、增量等于自變量的微分，即，則函數(shù)在一點(diǎn)處的全微分可寫為：當(dāng)函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)處處可微時，稱它為內(nèi)的可微函數(shù)則其在任意點(diǎn)的全微分為；或?qū)τ谌瘮?shù)，可類似地給出可微和全微分的概念定義3.2 設(shè)是三元函數(shù)，是其定義域的內(nèi)點(diǎn)。如果存在與無關(guān)的常數(shù)使得其中。則稱函數(shù)在點(diǎn)處是可微分的，稱為函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記作：對于三元函數(shù)，也有類似的定理3.1，在一點(diǎn)處的全微分可寫為：當(dāng)函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)處處可微時，稱它為內(nèi)的可微函數(shù)則其在任意點(diǎn)的全微分為；或定義3.n 設(shè)是n元函數(shù)，是其定義域的內(nèi)點(diǎn)。如果存在與無關(guān)的常數(shù)使得其中。則稱函數(shù)在點(diǎn)處是可微分的，稱為函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記作：定理3.n(可微的必要條件) 若函數(shù)在可

9、微，則(1) 在點(diǎn)處連續(xù)(2) 在點(diǎn)處可偏導(dǎo)，且證與定理3.1的證明類似。函數(shù)在一點(diǎn)處的全微分可寫為：當(dāng)函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)處處可微時，稱它為內(nèi)的可微函數(shù)則其在任意點(diǎn)的全微分為；或定理3.n說在一點(diǎn)可微保證可偏導(dǎo)且連續(xù)。需要注意的是，此定理的逆命題不成立，即在一點(diǎn)函數(shù)連續(xù)或可偏導(dǎo)不能保證可微與一元函數(shù)時不同，對于多元函數(shù)，“在一點(diǎn)處可微”與“在該點(diǎn)可偏導(dǎo)”是不等價的熟悉下面一些典型例子?！纠?.5】設(shè)，討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性，可偏導(dǎo)性，可微性解(1) 因，所以故函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)(2) ，類似地有，即函數(shù)在可偏導(dǎo)(3) 函數(shù)在處的全增量為若函數(shù)在處可微，則應(yīng)為的高階無窮小，但不存在（例2.3），所以假設(shè)

10、不成立，函數(shù)在不可微（方法總結(jié)：（1）證明在連續(xù)，就是證明；（2）證明在可偏導(dǎo)，就是（比如說用定義）證明在每個偏導(dǎo)數(shù)都存在；（3）當(dāng)在可偏導(dǎo)時，證明在可微，就是證明；證明在不可微，就是證明不存在（前面已有方法）或。如果在點(diǎn)某個偏導(dǎo)數(shù)不存在，則在肯定不可微。）思考題：5若函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，是否就是的全微分？（不一定。）那么，函數(shù)需要滿足什么條件，才能保證其在一點(diǎn)處一定可微呢？下面的定理給出了函數(shù)在一點(diǎn)處可微的充分條件定理3.2(可微的充分條件)若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)處處可偏導(dǎo)，且，在點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)處可微證設(shè),充分小，為的鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，則，由一元函數(shù)的微分中值定理，有，又因為，在處連續(xù)

11、，故，其中，。所以而因此，由定義可知，在可微【例3.6】求下列函數(shù)的全微分：(1) ；(2) 解(1) ，兩個偏導(dǎo)數(shù)在除外均連續(xù)，故(2) ，故【例3.7】設(shè)，討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性、可微性及偏導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性解(1) 連續(xù)性：因，故有，函數(shù)在連續(xù)(2) 可偏導(dǎo)性：因， 故在處可偏導(dǎo)(3) 可微性：由上面已知，因（把寫成，寫成）而，故在處可微(4)當(dāng)時，故，因，不存在，故不存在，所以在處不連續(xù)同理可得在處不連續(xù)由此例可看到，偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)只是函數(shù)可微的充分條件，而不是必要條件（方法總結(jié)：討論偏導(dǎo)（函）數(shù)的連續(xù)性，首先得把偏導(dǎo)函數(shù)計算出來（分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)用定義計算）。）多元函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)

12、性，可偏導(dǎo)性，可微性及偏導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系如下：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微可偏導(dǎo)連續(xù)定理3.2例3.7定理3.n定理3.n例3.5例3.5下面簡要說明微分的幾何意義及其在近似計算中的應(yīng)用設(shè)函數(shù)在處可微，記，則，即(3.4)利用此式可得二元函數(shù)近似值的計算表達(dá)式若記， (3.5)此式表示空間過點(diǎn)且以為法向量的平面(3.4)式表明，如果函數(shù)在點(diǎn)可微，則曲面在附近的小部分可用一個平面來近似代替，這種近似代替體現(xiàn)了“以直代曲”的思想，此平面為曲面在處的切平面(圖3.2)關(guān)于切平面的有關(guān)內(nèi)容，將在第8節(jié)中進(jìn)一步的討論圖3.2】計算的近似值解設(shè)，取,，因；，故習(xí)題9-3A類1求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1) ；(2)

13、；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 2求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)值*(1)在點(diǎn)處；(2)在點(diǎn)處；*(3)在點(diǎn)處；(4)在點(diǎn)處3求函數(shù)的全微分*(1)；(2)；(3)；(4)；*(5)；4求曲線在點(diǎn)的切線關(guān)于軸的傾角5證明：函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在6設(shè)，求，7設(shè)函數(shù)，討論其在點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)及全微分是否存在解 。所以兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在。如果在點(diǎn)處的全微分存在，則但是，不存在（時，）。8利用全微分近似計算(1)；*(2)B類1設(shè)，求，2設(shè)，求，3證明函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，且偏導(dǎo)數(shù)存在，但在該點(diǎn)處不可微4證明：若函數(shù)滿足不等式，則在點(diǎn)處是可微的5設(shè)，其中在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)試問(1)滿足什么條件時，

14、存在？(2)滿足什么條件時，在點(diǎn)處可微？解 （1）存在的充要條件是；存在的充要條件也是。（2）當(dāng)時，在點(diǎn)處不可偏導(dǎo)也就不可微。設(shè)。（）。在點(diǎn)處可微。在點(diǎn)處可微的充要條件也是。*6扇形中心角為，半徑若將中心角增加，為使扇形面積不變，應(yīng)將半徑縮短多少？第4節(jié)多元函數(shù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則本節(jié)討論多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及一階全微分形式不變性4.1 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則首先要注意到多元函數(shù)復(fù)合的多樣性我們直接給出多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，然后用后面的有證明的定理4.1、4.2驗證我們的做法是對的（這樣當(dāng)然不算總方法的證明）。題目（考點(diǎn)）：求給定復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解法步驟：（0）弄清復(fù)合結(jié)構(gòu)，引進(jìn)中間變量；（1

15、）畫出函數(shù)圖；（不要像課本上的畫法）（2）根據(jù)函數(shù)圖寫出求導(dǎo)公式（比如對求導(dǎo)） （i）函數(shù)圖中有多少個葉子是，公式中就有多少項：每個葉子所在的路徑對應(yīng)一項； （ii）路徑中的每個相鄰函數(shù)關(guān)系都求導(dǎo)（一元函數(shù)的就求導(dǎo)，多元函數(shù)的就求偏導(dǎo)），把這些導(dǎo)數(shù)乘起來，就得到該路徑對應(yīng)的項；（3）用上面寫出的求導(dǎo)公式求出（偏）導(dǎo)數(shù)。請同學(xué)們務(wù)必理解、記熟、練熟上面的解法步驟。1 一個自變量的情形定理4.1設(shè)，如果，在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且有 (4.1)（函數(shù)圖：求導(dǎo)公式：（共有兩條路徑的葉子是，公式有兩項）與（4.1）一致。）證設(shè)自變量有一個改變量，相應(yīng)地函數(shù)，也有改

16、變量，因為函數(shù)在處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則（可微）有，因為，在處可導(dǎo)，故，所以有，又由且，得，即有存在上式中的稱為對的全導(dǎo)數(shù) 多個自變量的情形如果函數(shù)，有下面的結(jié)論：定理4.2設(shè)函數(shù)，在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，且， （4.2）證略（與定理4.1的證明類似）（函數(shù)圖：求導(dǎo)公式：（共有兩條路徑的葉子是，公式有兩項）（共有兩條路徑的葉子是，公式有兩項）與（4.2）一致。）)要注意在求偏導(dǎo)過程中變量所在的位置如：，函數(shù)圖：公式：注意上式中的兩個記號,各自的含義等式左邊的是復(fù)合結(jié)果一元函數(shù)對復(fù)合結(jié)果自變量的導(dǎo)數(shù)；等式右邊的是復(fù)合前三元函數(shù)對復(fù)合前變量的偏導(dǎo)數(shù)，

17、此時,看作常量【例4.1】設(shè)函數(shù)，求全導(dǎo)數(shù)解函數(shù)圖：求導(dǎo)公式：（共有兩條路徑的葉子是，公式有兩項）因，故【例4.2】設(shè)，有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解令，則有。函數(shù)圖：求導(dǎo)公式：注有時為了方便和不引起混淆，將簡記為，簡記為即用表示函數(shù)對第個中間變量的偏導(dǎo)數(shù)借用此記號，上式可簡寫為【例4.3】設(shè)，求，解函數(shù)圖：求導(dǎo)公式： ，故，【例4.4】設(shè)，有一階連續(xù)偏導(dǎo)，求，解設(shè)，則。函數(shù)圖：求導(dǎo)公式： 從而有，【例4.5】設(shè)，其中為可微函數(shù)證明：證，。設(shè)。函數(shù)圖：求導(dǎo)公式： ，。圖4.6【例4.8】設(shè),，,有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)圖如圖4.6所示，求導(dǎo)公式：，注意：公式左邊和右邊的區(qū)別：是三個葉子的，而是一個葉

18、子的（所以用小括號以示區(qū)別）。類似地，和的區(qū)別。，4.2 一階全微分形式不變性我們知道，一元函數(shù)的一階微分具有微分形式不變性，即不管是自變量還是復(fù)合函數(shù)的中間變量都是對的。設(shè),，,有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。我們來求復(fù)合函數(shù)的微分。由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，有 不管是自變量還是復(fù)合函數(shù)的中間變量都是對的。這就是二元函數(shù)的一階全微分形式不變性。一般地，多元函數(shù)同樣具有一階全微分形式不變性。利用一階全微分形式不變性，我們很方便地計算多元復(fù)合函數(shù)的微分和（偏）導(dǎo)數(shù)?！纠?.7】設(shè)，求解順便，?！纠?.8】，有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求,解，【例4.9】,，,均可微，求,解，故得，從上面兩個例子可看到，利用一階全微分形式不變性求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，運(yùn)算的層次較明確，不易出錯，且計算相對較簡單習(xí)題9-4A類1求下列函數(shù)的一階全導(dǎo)數(shù)或一階偏導(dǎo)數(shù)，其中有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)(1) ，求；*(2) ，求；(3) ，求，；(4) ，求；(5) ，求，；*(6) ，求，；(7) ，求，；(