1、橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)練習題一1. 若曲線ax2by21為焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a，b滿足()Aa2>b2 B.< C0<a<b D0<b<a答案：C 由ax2by21，得1，因為焦點在x軸上，所以>>0，所以0<a<b.2. 一個橢圓中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2,)是橢圓上一點,且|PF1|，|F1F2|，|PF2| 成等差數(shù)列，則橢圓方程為()A.+=1 B.+=1 C.+=1D.+=1答案：A 設橢圓的標準方程為=1(a>b>0)。由點P(2,)在橢圓上知=1。又|PF1|，|F1F2|，PF2|

2、成等差數(shù)列，則|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，即2a=2×2c， 又c2=a2-b2，聯(lián)立得a2=8，b2=63. 已知ABC的頂點B、C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是()A2 B6 C4 D12答案：C 如圖，設橢圓的另外一個焦點為F，則ABC的周長為|AB|AC|BC|(|AB|BF|)(|AC|CF|)4a4。 4. 已知橢圓x2my21的離心率e，則實數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D. 答案：C 在橢圓x2my21中，當0m1時，a2，b21，c2a2b21，e21m，又e1，1m1，解得0m，當m1時

3、，a21，b2，c21，e21，又e1，11，解得m，綜上可知實數(shù)m的取值范圍是。5. 已知兩圓C1:(x-4)2+y2=169，C2:(x+4)2+y2=9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A. B. C. D. 答案：D 設圓M的半徑為r，則|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16，所以M的軌跡是以C1,C2為焦點的橢圓，且2a=16，2c=8，故所求的軌跡方程為+=16. 橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一點，且PQl，垂足為Q，若四邊形PQF1F2為平行四邊形，則橢圓的離心率的取值范圍是

4、()A. (,1)B. (0,)C. (0,)D. (,1)答案：A 設點P(x1,y1)，由于PQl,故|PQ|=x1+，因為四邊形PQF1F2為平行四邊形，所以|PQ|=|F1F2|=2c，即x1+=2c，則有x1=2c->-a，所以2c2+ac-a2>0，即2e2+e-1>0，解得e<-1或e>，由于0<e<1，所以<e<1，即橢圓離心率的取值范圍是(,1)7. 已知P為橢圓1上的一點，M，N分別為圓(x3)2y21和圓(x3)2y24上的點，則|PM|PN|的最小值為()A5 B7 C13D15答案：B 由題意知橢圓的兩個焦點F1，

5、F2分別是兩圓的圓心，且|PF1|PF2|10，從而|PM|PN|的最小值為|PF1|PF2|127。8. 設F1、F2分別是橢圓y21的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使()·0(O為坐標原點)，則F1PF2的面積是()A4 B3 C2 D1答案：D ()·()··0，PF1PF2，F(xiàn)1PF290°.設|PF1|m，|PF2|n，則mn4，m2n212,2mn4，SF1PF2mn19. 已知橢圓C：(a>b>0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓C上恰有8個不同的點P，使得F1F2P為直角三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是()A

6、.(0,) B.(0, C.(,1)D.,1)答案：C 由題意，問題等價于橢圓上存在四個點P使得直線PF1與直線PF2垂直，所以|OP|=c>b， 即c2>a2-c2，所以a<c，因為e=，0<e<1，所以<e<1.10. 若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為()A. 2B. 3C. 6D. 8答案：C 設橢圓上任意一點P(x0,y0)，則有=1，即=3-，O(0,0)，F(xiàn)(-1,0)，則·=x0(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2.因為|x0|2，所以當x0=2時，·取得最大值為61

7、1. 在ABC中，ABBC，cosB.若以A，B為焦點的橢圓經(jīng)過點C，則該橢圓的離心率為()A. B. C. D. 答案：C 依題意知ABBC2c，AC2a2c，在ABC中，由余弦定理得(2a2c)28c22×4c2×，故16e218e90，解得e.12. 已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，A是橢圓上一動點，圓C與F1A的延長線、F1F2的延長線以及線段AF2相切，若M(t,0)為一個切點，則（ ）A. t=2B. t>2 C. t<2D. t與2的大小關(guān)系不確定答案：A 如圖，P，Q分別是圓C與F1A的延長線、線段AF2相切的切點，則|MF2|=|F2Q|

8、=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|，即|F1M|+|MF2|=2a.所以t=a=2.13. 橢圓(a>b>0)上一點A關(guān)于原點的對稱點為B，F(xiàn)為其右焦點，若AFBF，設ABF，且，則該橢圓離心率的取值范圍為()A. B. C. D. 答案：A 由題知AFBF，根據(jù)橢圓的對稱性，AFBF(其中F是橢圓的左焦點)，因此四邊形AFBF是矩形，于是|AB|FF|2c，|AF|2csin，根據(jù)橢圓的定義，|AF|AF|2a，2csin2ccos2a，e，而，sin，故e14. 直線與橢圓C：(a>b>0)交于A，B兩點,以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)

9、過橢圓的右焦點，則橢圓C的離心率為()A.B.C.-1D.4-2答案：C 設橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，由題意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c，由y=-x得AOF2=，AOF1=。所以|AF2|=c，|AF1|=c.由橢圓定義知,|AF1|+|AF2|=2a，所以c+c=2a，所以e=-1.15. 已知橢圓的焦點在x軸上，一個頂點為A(0，1)，其右焦點到直線xy20的距離為3，則橢圓的方程為 答案： 據(jù)題意可知橢圓方程是標準方程，故b1.設右焦點為(c,0)(c>0)，它到已知直線的距離為3，解得c，所以a2b2c23，故橢圓的方程為y21.16. 設F1，F(xiàn)2

10、分別是橢圓=1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|=3，則P點到橢圓左焦點的距離為 答案：4 由題意知|OM|=|PF2|=3，所以|PF2|=6，所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=417. 分別過橢圓(a>b>0)的左、右焦點F1，F(xiàn)2所作的兩條互相垂直的直線l1，l2的交點在此橢圓的內(nèi)部，則此橢圓的離心率的取值范圍是 答案：(0,) 由已知得交點P在以F1F2為直徑的圓x2+y2=c2上。 又點P在橢圓內(nèi)部，所以有c2<b2，又b2=a2-c2，所以有c2<a2-c2，即2c2<a2，亦即: 所以18. 橢圓的左，右焦點分別為F1

11、，F(xiàn)2，點P為橢圓上一動點，若F1PF2為鈍角，則點P的橫坐標的取值范圍是 答案： 設橢圓上一點P的坐標為(x，y)，則(x，y)，(x，y)。F1PF2為鈍角，·0，即x23y20，y21，代入得x2310，x22，x2。解得x，x。19. 橢圓1(a為定值，且a)的左焦點為F，直線xm與橢圓相交于點A，B。若FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是 答案： 設橢圓的右焦點為F，如圖，由橢圓定義知，|AF|AF|BF|BF|2a。又FAB的周長為|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，當且僅當AB過右焦點F時等號成立。此時4a12，則a3。故橢圓方程為1，所以c2，

12、所以e。20. 如圖，焦點在x軸上的橢圓的離心率e，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點則·的最大值為 答案：4 設P點坐標為(x0，y0)由題意知a2，e，c1，b2a2c23. 故所求橢圓方程為1.2x02，y0.F(1,0)，A(2,0)， (1x0，y0)，(2x0，y0)，·xx02yxx01(x02)2.即當x02時，·取得最大值4.21. 已知橢圓C：(a>b>0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF。若|AB|=10，|BF|=8，cosABF=，則C的離心率為 答案： 如圖，設|AF|=x，則

13、cosABF=解得x=6(負值舍去)，所以AFB=90°,由橢圓及直線關(guān)于原點對稱可知|AF1|=8，且FAF1=FAB+FBA=90°，F(xiàn)AF1是直角三角形，所以|F1F|=10，故2a=8+6=14，2c=10，所以22. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓(a>b>0)的左、右焦點，頂點B的坐標為(0，b)，連接BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連接F1C.（1）若點C的坐標為，且|BF2|=，求橢圓的方程（2）若F1CAB，求橢圓離心率e的值【解析】(1)由題意F2(c,0)，B(0,b)，|BF2|=又C，所以=1，解得b=1，所以橢圓方程為+y2=1. (2)直線BF2方程為=1，與橢圓方程=1聯(lián)立方程組，解得A點坐標為 則C點的坐標為又F1(-c,0)，= 又kAB=-，由F1CAB，得·(-)=-1,即b4=3a2c2+c4，所以(a2-c2)2=3a2c2+c4，化簡得e=23. 已知橢圓C：x22y24.（1）求橢圓C的離心率（2）設O為原點. 若點A在直線y2上，點B在橢圓C上，且OAOB，求線段