1、第六講 立體幾何一知識(shí)要點(diǎn)一一、點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系平面的基本性質(zhì)與推論公理1：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。（這時(shí)我們說(shuō)，直線(xiàn)在平面內(nèi)或平面經(jīng)過(guò)直線(xiàn)。）公理2：經(jīng)過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（這時(shí)我們說(shuō)，不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面。）公理3：如果不重合的兩個(gè)平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)。推論1：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面。推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面。這三條推論是用來(lái)證明共面問(wèn)題的。共面與異面空間中的幾個(gè)點(diǎn)和幾條線(xiàn)，如果都在同一平面內(nèi)，

2、我們就說(shuō)它們共面。如果兩條直線(xiàn)共面那么，它們要么平行要么相交。反之，我們把既不相交又不平行的直線(xiàn)叫做異面直線(xiàn)。判斷方法：與一個(gè)平面相交于一點(diǎn)的直線(xiàn)與這個(gè)平面不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)。二、空間中的平行關(guān)系平行直線(xiàn)：過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行。公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。（平行線(xiàn)的傳遞性）定理：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。（注意：角的方向在這里有要求）直線(xiàn)與平面平行定義：直線(xiàn)與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，叫做直線(xiàn)與平面平行。記作：。判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行。（面外

3、線(xiàn)平行面內(nèi)線(xiàn)則線(xiàn)面平行）性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)就和兩平面的交線(xiàn)平行。平面與平面的平行定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng)這兩個(gè)平面互相平行。判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，則這兩個(gè)平面平行。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。三、空間中的垂直關(guān)系直線(xiàn)與平面垂直定義：如果一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的任意直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直。判定定理：如果一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，則這條直線(xiàn)與這

4、個(gè)平面垂直。推論1：如果在兩條平行直線(xiàn)中，有一條垂直于平面，那么另一條直線(xiàn)也垂直于這個(gè)平面。推論2：如果兩條直線(xiàn)垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)也平行。性質(zhì)：如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直。平面與平面的垂直定義：如果兩個(gè)相交平面的交線(xiàn)與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線(xiàn)互相垂直，就稱(chēng)這兩個(gè)平面互相垂直。判定定理：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，則兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面?？荚囈螅豪斫馄矫娴幕拘再|(zhì)，理解線(xiàn)面、面面平行及垂直的判定和性質(zhì)定理，會(huì)對(duì)相關(guān)題目做

5、出判定和證明。命題趨向：在填空和選擇中經(jīng)常出現(xiàn)對(duì)于基本概念、公理、定理、性質(zhì)的考查，也有些計(jì)算題目，解答題對(duì)于這部分知識(shí)的考查點(diǎn)非常全面，涉及計(jì)算證明，多以平行垂直的相關(guān)證明為主。例題講解 夯實(shí)基礎(chǔ)1）判斷:(1) 直線(xiàn)l平行于平面ABC內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，則l平面ABC. 誤(2) 若直線(xiàn)a在平面ABC外，則a平面ABC. 誤(3) 若直線(xiàn)ab,直線(xiàn)b在平面ABC內(nèi)，則a平面ABC. 誤(4) 如果直線(xiàn)a平行于平面ABC,則平面ABC內(nèi)有且只有一直線(xiàn)與a平行. 誤(5) 如果直線(xiàn)a平行于平面ABC, 則平面ABC內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與a平行. 正(6) 如果直線(xiàn)a平行于平面ABC, 則平面ABC內(nèi)的任意

6、直線(xiàn)與直線(xiàn)a都平行. 誤(7) 若直線(xiàn)l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面ABC內(nèi)，則l平面ABC. 誤(8) 若直線(xiàn)l上有兩個(gè)點(diǎn)個(gè)平面ABC距離相等，則l平面ABC. 誤(9) 若直線(xiàn)l上任意兩個(gè)點(diǎn)到平面ABC距離相等，則l平面ABC. 正(10) 兩條平行線(xiàn)中的一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行. 誤2）選擇題：1.給出四個(gè)命題：線(xiàn)段AB在平面內(nèi)，則直線(xiàn)AB不在內(nèi)；兩平面有一個(gè)公 共點(diǎn)，則一定有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；三條平行直線(xiàn)共面；有三個(gè)公共點(diǎn)的平面重合。 其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） A.0 B.1 C.3 D.42已知直線(xiàn)l平面，直線(xiàn)m平面，則下列命題中正確的是 （ ）ABCD3下列命題正確

7、的是（ ）A. 過(guò)平面外的一條直線(xiàn)只能作一平面與此平面垂直B. 平面平面于，則C. 一直線(xiàn)與平面的一條斜線(xiàn)垂直，則必與斜線(xiàn)的射影垂直D. 、是兩兩互相垂直的異面直線(xiàn)，為、的公垂線(xiàn)，則4下列正方體或正四面體中，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是( )5.如圖，PA平面ABC，ABC中，ACB=90o。則圖中Rt的個(gè)數(shù)為（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 （第3題圖） 6.平面/平面，直線(xiàn),直線(xiàn)，那么直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系一定是（）。A.平行B.異面C.垂直D.不相交7. “a、b是異面直線(xiàn)”是指：（1） 且 （4）不存在平面 上述說(shuō)法中，正確的是（ ）A（2）和（1）B

8、（2）和（4）C（2）、（1）和（4）D（1）、（2）、（3）和（4）3）如圖，在正方體A1B1C1D1ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，O是上底面ABCD的中心。求證：EF平面BB1D。能力提升1）如圖已知正方體中，點(diǎn)為的動(dòng)點(diǎn)，求證：;當(dāng)恰為的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面2）如圖點(diǎn)為四邊形所在平面外一點(diǎn)，且平面若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，截面是平行四邊形，求證：截面?zhèn)让?已知BCD中，BCD=90°，BC=CD=1，AB平面BCD，ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且（）求證：不論為何值，總有平面BEF平面ABC；（）當(dāng)為何值時(shí)，平面BEF平面ACD？證明（）AB平面BCD， ABCD，CDBC且ABBC=B， CD平面ABC.3分又不論為何值，恒有EFCD，EF平面AB