1、第十六講 授課題目： §3.1 微分中值定理 教學(xué)目的與要求：1.理解三個(gè)中值定理及幾何意義;2.應(yīng)用中值定理證明等式、不等式及有關(guān)命題. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：三個(gè)中值定理的證明難點(diǎn)：三個(gè)中值定理的應(yīng)用 講授內(nèi)容： 一、羅爾定理首先，觀察圖1. 設(shè)曲線弧是函數(shù)的圖形.圖1這是一條連續(xù)的曲線弧，除端點(diǎn)外處處具有不垂直于軸的切線，且兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，即可以發(fā)現(xiàn)曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)C處, 曲線有水平的切線. 如果記C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，那么就有.現(xiàn)在用分析語言把這個(gè)幾何現(xiàn)象描述出來，就是下面的羅爾定理. 為了應(yīng)用方便，先介紹費(fèi)馬（Fermat）引理.費(fèi)馬（Fermat）引理 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某

2、鄰域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的，有 （或），那么.證明 不妨設(shè)時(shí)， （如果，可以類似地證明）.于是，對(duì)于,有 ，從而當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .根據(jù)函數(shù)在可導(dǎo)的條件及極限的保號(hào)性，便得到 ， 所以，.證畢.通常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)，臨界點(diǎn)）.定理1（羅爾定理） 如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間()內(nèi)可導(dǎo)；（3）在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即，那末在()內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得證明 由于在閉區(qū)間上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理，在閉區(qū)間上必定取得它的最大值M和最小值m這樣,只有兩種可能情形：(1)Mm這時(shí)在區(qū)間上必然取相同的數(shù)值M：M由此，,有.因此，任

3、取，有 (2)Mm因?yàn)?，所以M和m這兩個(gè)數(shù)中至少有個(gè)不等于在區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值為確定起見，不妨設(shè)M(如果設(shè)m，證達(dá)完全類似)那末必定在開區(qū)間() 內(nèi)有一點(diǎn)使M因此， ，有，從而由費(fèi)馬引理可知.定理證畢.注 證明方程有根，一是用零點(diǎn)定理，二是用羅爾定理.例1 設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：至少存在一個(gè)，使.證明： 令，則，.由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理可知，存在，使.再由羅爾定理得，至少存在一個(gè)，使，即.二、拉格朗日中值定理 羅爾定理中這個(gè)條件是相當(dāng)特殊的，它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制如果把這個(gè)條件取消，但仍保留其余兩個(gè)條件，并相應(yīng)地改變結(jié)論，那末就得到微分學(xué)中十分重要的拉格朗日中值定理定理2（

4、拉格朗日中值定理） 如果因數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間()內(nèi)可導(dǎo),那末在()內(nèi)至少有一點(diǎn)，使等式 (1) 成立.圖2在證明之前，先看一下定理的幾何意義.如果把（1）式改寫成 ，由圖2可看出，為弦AB的斜率，而為曲線在點(diǎn)C處的切線的斜率因此拉格朗日中值定理的幾何意義是；如果連續(xù)曲線的弦AB上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于軸的切線，那末這弧上至少有一點(diǎn)C，使曲線在C點(diǎn)處的切線平行于弦AB 從羅爾定理的幾何意義中(圖1)看出，由于，弦AB是平行于軸的，因此點(diǎn)C處的切線實(shí)際上也平行于弦AB由此可見，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形從上述拉格朗日中值定理與羅爾定理的關(guān)系，自然想到利用羅爾定理

5、來證明拉格朗日中值定理但在拉格朗日中值定理中，函數(shù)不一定具備這個(gè)條件，為此我們?cè)O(shè)想構(gòu)造一個(gè)與有密切聯(lián)系的函數(shù)(稱為輔助函數(shù))，使?jié)M足條件然后對(duì)應(yīng)用羅爾定理，再把對(duì)所得的結(jié)論轉(zhuǎn)化到上，證得所要的結(jié)果我們從拉格朗日中值定理的幾何解釋中來尋找輔助函數(shù)，從圖32中看到，有向線段NM的值是的函數(shù)，把它表示為,它與有密切的聯(lián)系，當(dāng)及時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，即有為求得函數(shù)的表達(dá)式，設(shè)直線AB的方程為，則 ,由于點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)依次為及，故表示有向線段NM的值的函數(shù).下面就利用這個(gè)輔助函數(shù)來證明拉格朗日中值定理定理的證明 引進(jìn)輔助函數(shù) 容易驗(yàn)證函數(shù)適合羅爾定理的條件：；在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間() 內(nèi)可導(dǎo)，且 .

6、根據(jù)羅爾定理，可知在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使，即 .由此得 ，即 .定理證畢顯然，公式(1)對(duì)于也成立(1)式叫做拉格朗日中值公式. 設(shè)為區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)，為這區(qū)間內(nèi)的另一點(diǎn)(或)，則公式(1)在區(qū)間(當(dāng)時(shí))或在區(qū)間(當(dāng)時(shí))上就成為 . (2)這里數(shù)值是在0與1之間，所以是在與之間.如果記為，則（2）式又可寫成 （3）我們知道，函數(shù)的微分是函數(shù)的增量的近似表達(dá)式,一般說來，以近似代替時(shí)所產(chǎn)生的誤差只有當(dāng)時(shí)才趨于零；而(3)式卻給出了自變量取得有限增量 不一定很?。r(shí)，函數(shù)增量 的準(zhǔn)確表達(dá)式因此這個(gè)定理也叫做有限增量定理，（3）式稱為有限增量公式. 拉格朗日中值定理在微分學(xué)中占有重要地位，有時(shí)也叫做微分中值定

7、理，它精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系在某些問題中當(dāng)自變量取得有限增量而需要函數(shù)增量的準(zhǔn)確表達(dá)式時(shí)，拉格朗日中值定理就顯出它的價(jià)值 作為拉格朗日中值定理的個(gè)應(yīng)用，我們來導(dǎo)出以后講積分學(xué)時(shí)很有用的兩個(gè)推論我們知道，如果函數(shù)在某一區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)，那末在該區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為零它的逆命題也是成立的，這就是；推論1 如果函數(shù)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那末在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)證明 在區(qū)間J上任取兩點(diǎn)、（），應(yīng)用（1）式就得 ()由假定，所以即 .因?yàn)?、是I上任意兩點(diǎn)，所以上面的等式表明：在I上的函數(shù)值總是相等的，這就是說，在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)推論2 如果函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)

8、滿足條件，則這兩個(gè)函數(shù)至多相差一個(gè)常數(shù)，即.例2 證明當(dāng)時(shí)， .證明 設(shè)，顯然在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，根據(jù)定理，應(yīng)有 ，.由于，因此上式即為 .又由，有，即 .注 利用拉格朗日中值定理證明不等式時(shí)，選擇與所要證明的問題相近的函數(shù)與區(qū)間，再利用拉格朗日中值定理即得結(jié)論.如證明：，則選，區(qū)間為.三、柯西中值定理上面已經(jīng)指出，如果連續(xù)曲線弧AB上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線，那末這段弧上至少有一點(diǎn)C，使曲線在點(diǎn)C處的切線乎平行于弦AB設(shè)AB由參數(shù)方程 ()表示(圖3)，其中為參數(shù).那么曲線上點(diǎn)（X,Y）處的切線的斜率為 ， 弦AB的斜率為.假定點(diǎn)C對(duì)應(yīng)于參數(shù)，那末曲線上點(diǎn)C處的切線

9、平行于弦AB,可表示為.與這一事實(shí)相應(yīng)的是定理3（柯西中值定理） 如果函數(shù)及在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間()內(nèi)可導(dǎo)，且在(，)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，那末在()內(nèi)至少有一點(diǎn)，使等式 （4）成立.圖3證明 首先注意到這是由于 ，其中,根據(jù)假定，又，所以 類似拉格朗日中值定理的證明，我們?nèi)匀灰员硎居邢蚓€段NM的值的函數(shù)(見圖3)作為輔助函數(shù).這里，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為 ,于是 . 容易驗(yàn)證，這個(gè)輔助函數(shù)適合羅爾定理的條件：；在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間()內(nèi)可導(dǎo)且 根據(jù)羅爾定理，可知在()內(nèi)必定有一點(diǎn)使得，即 ，由此得 ，定理證畢.很明顯如果取，那末，因而公式(4)就可以寫成： ,這樣就變成拉格朗日中值定理了. 小結(jié)與提問：小結(jié)：中值定理是微積分學(xué)的重要基礎(chǔ)理論，在證明等式、不等式、判定方程存在實(shí)根及證明中值命題中扮演重要角色，技巧性較強(qiáng)。因此除應(yīng)熟悉諸定理的條件、結(jié)論、幾何