1、縮小參數(shù)范圍，優(yōu)化“恒成立問題”的處理夏炳文（安徽省阜陽市第三中學(xué) ，236000） 筆者所在的學(xué)校在連續(xù)的兩次調(diào)考中都考查了含參數(shù)不等式恒成立問題，在閱卷中發(fā)現(xiàn)學(xué)生處理此類問題時(shí)所采取的解題方法和方向基本上是沒有問題的，但是由于在解題的過程中，解題策略不優(yōu)化，導(dǎo)致不能夠順利得出正確結(jié)果，下面就恒成立問題處理的優(yōu)化策略，筆者談一下看法，與大家交流。一.試題呈現(xiàn)已知函數(shù)（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（II）是否存在實(shí)數(shù)，使恒成立，若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由。限于篇幅，本文只考慮第（II）小題的作答。閱卷中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的處理方法主要有以下兩種：1.直接構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為恒成立，但

2、是在接下來利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，分類討論出現(xiàn)了重復(fù)或者遺漏，從而沒有順利的解決問題。2.先采取分離參數(shù)的方法將不等式轉(zhuǎn)化為，大部分學(xué)生此時(shí)直接把上述不等式轉(zhuǎn)化為（應(yīng)該先驗(yàn)證），然后構(gòu)造函數(shù)，但是由于所構(gòu)造的函數(shù)形式上過于復(fù)雜從而出現(xiàn)了以下兩個(gè)問題：一是學(xué)生根本不敢繼續(xù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，二是對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，但是不能準(zhǔn)確地判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號，從而沒有順利得解決問題。通過以上解法基本上可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在處理含參數(shù)不等式恒成立問題時(shí)所采取的方法基本上是正確的，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值加以處理，并且求函數(shù)最值的手段有兩種：一是直接求含有參數(shù)的函數(shù)最值，二是通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求一個(gè)具體的函數(shù)的最值，

3、通過這兩種解法的對比不難發(fā)現(xiàn)，第一種轉(zhuǎn)化的函數(shù)里面因?yàn)楹袇?shù)，所以在求其最值時(shí)可能會需要分類討論，而第二種轉(zhuǎn)化的函數(shù)雖然是個(gè)具體的函數(shù)，相比較容易求出其最值，但是這種方法也有其局限性，可能有些時(shí)候是不可以進(jìn)行參數(shù)分離的，或者分離后所構(gòu)造的函數(shù)雖然具體但形式過于復(fù)雜，同樣導(dǎo)致解題的失敗。命題人給出的參考答案：（II）恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，令，則當(dāng)時(shí)，在時(shí)，在時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。的最小值為，由得當(dāng)時(shí)，在不能恒成立，當(dāng)時(shí)，在時(shí)，在時(shí)，函數(shù)在在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在無最小值，不符合題意，綜上所述當(dāng)時(shí)，使恒成立參考答案采取的是直接求含有參數(shù)的函數(shù)最小值進(jìn)行處理，就是因?yàn)?/p>

4、參數(shù)的存在，導(dǎo)致在求函數(shù)最值的時(shí)候需要進(jìn)行分類討論。優(yōu)化后的解法：恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，令，則對任意恒成立，那么，得到，則，所以在時(shí)，在時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。的最小值為，由得通過以上兩種方法對比不難發(fā)現(xiàn)，在題目沒有明確給出參數(shù)的范圍時(shí)，我們在處理問題時(shí)只能先認(rèn)為,這樣就會需要運(yùn)用到分類討論的思想，但是因?yàn)楹愠闪⒌牟坏仁綄λo變量范圍內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)都滿足，那么我們就可以先利用一些特殊值去縮小參數(shù)的范圍，從而在求函數(shù)最值時(shí)不需要或者減少分類討論的情況。試題二：已知函數(shù)（I）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（II）若關(guān)于的不等式恒成立，求的最小整數(shù)值。本文只考慮第（II）小題學(xué)生的處理方法以及遇

5、到的問題同試題一命題人給出的參考答案：（II）由恒成立，得在上恒成立，問題等價(jià)于在上恒成立，令 ，令得到令，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞減不妨設(shè)的根為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以得最大值為，因?yàn)樗源藭r(shí)即，所以，即整數(shù)的最小值為2參考答案是采取了分離參數(shù)的方法求函數(shù)最值，通過以上解法不難發(fā)現(xiàn)存在兩個(gè)難點(diǎn)，一是轉(zhuǎn)化后的函數(shù)形式過于復(fù)雜，學(xué)生不敢下手，二是在求所構(gòu)造的函數(shù)最值時(shí)需要用到二次求導(dǎo)，所以此種解法難度較大。優(yōu)化后的方法：恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立令函數(shù)，令得因?yàn)?，所以上述方程變?yōu)橛忠驗(yàn)閷θ我夂愠闪?，所以，得到所以方程的根則在時(shí)，在時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。所以得最大值為，

6、則令，觀察發(fā)現(xiàn)在上單調(diào)遞減，且，則存在唯一的使，那么解集為，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，即整數(shù)的最小值為2此解法采取的也是直接求函數(shù)最值，但是通過帶入特殊值后縮小了參數(shù)的取值范圍，從而使求解函數(shù)的最大值時(shí)不需要分類討論，優(yōu)化了解題過程。無獨(dú)有偶，2011年浙江省高考文科卷21題也是利用了此種方法優(yōu)化了解題過程，試題如下：設(shè)函數(shù)（I）求的單調(diào)區(qū)間（II）求所有實(shí)數(shù)，使對恒成立。注：e為自然對數(shù)的底數(shù)。（）解：因?yàn)椋渲校?所以。 由于，所以的增區(qū)間為,減區(qū)間為（II）由題意得， ，即 由（）知在單調(diào)遞增， 要使對恒成立， 只要 解得。解法分析：如果沒有利用，那么第（II）問就需要對參數(shù)按，三種情況分類討論從而加大了解決問題的難度。恒成立問題是高中階段非常重要的一個(gè)問題，