1、1高數(shù)部分1.1高數(shù)第一章函數(shù)、極限、連續(xù)求極限題最常用的解題方向：1.利用等價(jià)無窮??；2.利用洛必達(dá)法則，對于0型與一型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于0、°、1型的題目則是先轉(zhuǎn)化為°型或一型，再使用洛比達(dá)法則；3.利用重要極0限，包括moxsin xi1、lim (1 x)% e、lim (1 劭 e; 4.夾逼疋理。1.2高數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分、第三章不定積分、第四 章定積分第二章導(dǎo)數(shù)與微分與前面的第一章函數(shù)、極限、連續(xù)、后面的第三章不定積分、第四章定積分都是基礎(chǔ)性知識(shí)，一 方面有單獨(dú)出題的情況，如歷年真題的填空題第一題常常是求極限； 更重要的是在其它題目中需要做大量的靈活

2、運(yùn)用，故非常有必要打牢基礎(chǔ)。對于第三章不定積分，陳文燈復(fù)習(xí)指南分類討論的非常全面， 范圍遠(yuǎn)大于考試可能涉及的范圍。在此只提醒一點(diǎn)：不定積分f(x)dx F(x) C中的積分常數(shù)C容易被忽略，而考試時(shí)如果在答 案中少寫這個(gè)C會(huì)失一分。所以可以這樣建立起二者之間的聯(lián)系以加 深印象：定積分f(x)dx的結(jié)果可以寫為F(x)+1，1指的就是那一分, 把它折彎后就是 f(x)dx F(x) C中的那個(gè)C,漏掉了 C也就漏掉了 這1分。第四章定積分及廣義積分可以看作是對第三章中解不定積分方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵除了運(yùn)用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差異一一出題人在定積分題目中首先可能在積分上下限

3、上做文章：對于aaaf(x)dx型定積分，若f(x)是奇函數(shù)則有aaa f (x)dx=0；若 f(x)為偶函數(shù)則有 a f (x)dx=2 0 f (x)dx ；對于0 f(x)dx型積分，f(x) 般含三角函數(shù)，此時(shí)用t - x的代換是常 用方法。所以解這一部分題的思路應(yīng)該是先看是否能從積分上下限中 入手，對于對稱區(qū)間上的積分要同時(shí)考慮到利用變量替換與利用性質(zhì)aaa奇函數(shù) 0、 偶函數(shù) 2偶函數(shù)。在處理完積分上下限的問aa0題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解。 這種思路對于證明定 積分等式的題目也同樣有效。1.3 高數(shù)第五章中值定理的證明技巧由本章 中值定理的證明技巧 討論一下證明題

4、的應(yīng)對方法。 用 以下這組邏輯公式來作模型：假如有邏輯推導(dǎo)公式、 ( ) C、( ) F, 由這樣一組邏輯關(guān)系可以構(gòu)造出若干難易程度不等的證 明題，其中一個(gè)可以是這樣的：條件給出 A B、D,求證F成立。為了證明 F 成立可以從條件、 結(jié)論兩個(gè)方向入手， 我們把從條件 入手證明稱之為正方向， 把從結(jié)論入手證明稱之為反方向。 正方向入 手時(shí)可能遇到的問題有以下幾類： 1.已知的邏輯推導(dǎo)公式太多， 難以 從中找出有用的一個(gè)。如對于證明F成立必備邏輯公式中的就可能有、A ( )、( )M等等公式同時(shí)存在，有的邏輯公式看起來最有可能用到，如() M因?yàn)槠渲猩婕傲祟}目所給的3個(gè)條件中 的 2 個(gè)，但這恰

5、恰走不通； 2. 對于解題必須的關(guān)鍵邏輯推導(dǎo)關(guān)系不 清楚，在該用到的時(shí)候想不起來或者弄錯(cuò)。 如對于模型中的 ( ) C， 如果不知道或弄錯(cuò)則一定無法得出結(jié)論。 從反方向入手證明時(shí)也會(huì)遇 到同樣的問題。通過對這個(gè)模型的分析可以看出，對可用知識(shí)點(diǎn)掌握的不牢固、 不熟練與無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證 明題的兩大原因。針對以上分析， 解證明題時(shí)其一要靈活， 在一條思路走不通時(shí)必 須迅速轉(zhuǎn)換思路， 而不應(yīng)該再從頭開始反復(fù)地想自己的這條思路是不 是哪里出了問題；另外更重要的一點(diǎn)是如何從題目中盡可能多地獲取 信息。當(dāng)我們解證明題遇到困難時(shí)，最常見的情況是拿到題莫名其妙， 感覺條件與欲證

6、結(jié)論簡直是風(fēng)馬牛不相及的東西，長時(shí)間無法入手； 好不容易找到一個(gè)大致方向，在做若干步以后卻再也無法與結(jié)論拉近 距離了。從出題人的角度來看，這是因?yàn)闆]能夠有效地從條件中獲取 信息。“盡可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路， 同時(shí)出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結(jié)論”中獲取信 息有時(shí)也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做題時(shí)一開始就想 到了公式（） F再倒推想到（） C、就可以證明了。如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做 “條件啟發(fā)型”的證明 題，那么主要靠“倒推結(jié)論”入手的“結(jié)論啟發(fā)型”證明題在中值定 理證明問題中有很典型的表現(xiàn)。 其中的規(guī)律性很明顯，甚至可以以表 格的形

7、式表示出來。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型：條件欲證結(jié)論可用定理A關(guān)于閉區(qū)間存在一個(gè)介值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使上的連續(xù)函滿足某得 f（） k）數(shù)，常常是個(gè)式子零值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使只有連續(xù)性得 f（）0 ）已知B條件包括函存在一個(gè)費(fèi)爾馬定理（結(jié)論部分為：f（xo） 0）數(shù)在閉區(qū)間滿足洛爾定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使上連續(xù)、在f（n）（）0得 f（ ）0 ）開區(qū)間上可導(dǎo)C條件包括函存在一個(gè)拉格朗日中值定理（結(jié)論部分為：存在數(shù)在閉區(qū)間滿足一個(gè)使得 f（）f（bba（a）上連續(xù)、在(n)f () k柯西中值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)開區(qū)間上可f( )f(b) f(a)使得 g(

8、b) g(a)g()導(dǎo)另外還常利用構(gòu)造輔助函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為可用費(fèi)爾馬或洛爾定理的形式來證明從上表中可以發(fā)現(xiàn)，有關(guān)中值定理證明的證明題條件一般比較薄 弱，如表格中B、C的條件是一樣的，同時(shí)A也只多了一條“可導(dǎo)性” 而已；所以在面對這一部分的題目時(shí)，如果把與證結(jié)論與可能用到的 幾個(gè)定理的的結(jié)論作一比較，會(huì)比從題目條件上挖掘信息更容易找到 入手處。故對于本部分的定理如介值、最值、零值、洛爾與拉格朗日 中值定理的掌握重點(diǎn)應(yīng)該放在熟記定理的結(jié)論部分上；如果能夠做到 想到介值定理時(shí)就能同時(shí)想起結(jié)論“存在一個(gè)使得f（） k ”、看到題目欲證結(jié)論中出現(xiàn)類似“存在一個(gè) 使得f（） k”的形式時(shí)也 能立刻想到介值定

9、理；想到洛爾定理時(shí)就能想到式子f（） 0 ；而見到式子寧 g（b） g（"a）也如同見到拉格朗日中值定理一樣，那么在處g（）理本部分的題目時(shí)就會(huì)輕松的多，時(shí)常還會(huì)收到“豁然開朗”的效果。 所以說，“牢記定理的結(jié)論部分”對作證明題的好處在中值定理的證 明問題上體現(xiàn)的最為明顯。綜上所述，針對包括中值定理證明在內(nèi)的證明題的大策略應(yīng)該是 “盡一切可能挖掘題目的信息， 不僅僅要從條件上充分考慮， 也要重 視題目欲證結(jié)論的提示作用， 正推與倒推相結(jié)合； 同時(shí)保持清醒理智， 降低出錯(cuò)的可能”。希望這些想法對你能有一點(diǎn)啟發(fā)。不過僅僅弄明 白這些離實(shí)戰(zhàn)要求還差得很遠(yuǎn)， 因?yàn)樵趯?shí)戰(zhàn)中證明題難就難在答案中

10、 用到的變形轉(zhuǎn)換技巧、性質(zhì)甚至定理我們當(dāng)時(shí)想不到；很多結(jié)論、性 質(zhì)與定理自己感覺確實(shí)是弄懂了、 也差不多記住了， 但是在做題時(shí)那 種沒有提示、 或者提示很少的條件下還是無法做到靈活運(yùn)用； 這也就 是自身感覺與實(shí)戰(zhàn)要求之間的差別。這就像在記英語單詞時(shí)， 看到英語能想到漢語與看到漢語能想到 英語的掌握程度是不同的一樣，對于考研數(shù)學(xué)大綱中“理解”與“掌 握”這兩個(gè)詞的認(rèn)識(shí)其實(shí)是在做題的過程中才慢慢清晰的。 我們需要 做的就是靠足量、 高效的練習(xí)來透徹掌握定理性質(zhì)及熟練運(yùn)用各種變 形轉(zhuǎn)換技巧，從而達(dá)到大綱的相應(yīng)要求， 提高實(shí)戰(zhàn)條件下解題的勝算。 依我看，最大的技巧就是不依賴技巧， 做題的問題必須要靠做

11、題來解 決。1.4高數(shù)第六章常微分方程本章常微分方程部分的結(jié)構(gòu)簡單，陳文燈復(fù)習(xí)指南對一階微分方 程、可降階的高階方程、高階方程都列出了方程類型與解法對應(yīng)的表 格。歷年真題中對于一階微分方程與可降階方程至少是以小題出現(xiàn) 的，也經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，一般是通過函數(shù)在某點(diǎn)處的切線、法 線、積分方程等問題來引出；從歷年考察情況與大綱要求來看，高階 部分不太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很復(fù)雜。對于本章的題目，第一步應(yīng)該是辨明類型，實(shí)踐證明這是必須放 在第一位的；分清類型以后按照對應(yīng)的求解方法按部就班求解即可。 這是因?yàn)槠鋵?shí)并非所有的微分方程都是可解的，在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中只討論了有限的可解類型，所

12、以出題的靈活度有限，很難將不同的知識(shí) 點(diǎn)緊密結(jié)合或是靈活轉(zhuǎn)換。這樣的知識(shí)點(diǎn)特點(diǎn)就決定了我們可以采取 相對機(jī)械的“辨明類型一一套用對應(yīng)方法求解”的套路，而且各種類型的求解方法正好也都是格式化的，便于以這樣的方式使用。先討論一下一階方程部分。這一部分結(jié)構(gòu)清晰，對于各種方程的 通式必須牢記，還要能夠?qū)σ谆煜念}目做出準(zhǔn)確判斷。 各種類型都 有自己對應(yīng)的格式化解題方法，這些方法死記硬背并不容易，但有規(guī) 律可循一一這些方法最后的目的都是統(tǒng)一的， 就是把以各種形式出現(xiàn) 的方程都化為f(x)(y)這樣的形式，再積分得到答案。對于可分離變 量型方程fi(x)gi(y)dx f2(x)g2(y)dy 0 ，就是

13、變形為 fl (x) dx g2(y) dy，再積分求解；對于齊次方程 y f (十)則做變量替f2(x) gi (y)換u 三，則y化為u x，原方程就可化為關(guān)于u和x的可分離dx變量方程，變形積分即可解；對于一階線性方程 y P(x)y q(x)第 一步先求y p(x)y 0的通解，然后將變形得到的號(hào) p(x)dx積 分，第二步將通解中的C變?yōu)镃(x)代入原方程y p(x)y q(x)解出 C(x)后代入即可得解；對于貝努利方程y P(x)y q(x) yn，先做變 量代換z y1n代入可得到關(guān)于z、x的一階線性方程，求解以后將 z 還原即可；全微分方程 M()()比較特殊，因?yàn)槠溆袟l件

14、晉 今，而Xy且解題時(shí)直接套用通解公式M(x,y°)dx N(x,y )dy C .x0y0所以，對于一階方程的解法有規(guī)律可循，不用死記硬背步驟與最 后結(jié)果公式。對于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。對于 y(n) f (x)型方程，就是先把y(n 1)當(dāng)作未知函數(shù)乙則y(n)Z原方程就化為 dz f (x)dx的一階方程形式，積分即得；再對 y(n 2)、y(n 3)依次做上述處理即可求解；y f (x, y)叫不顯含 y的二階方程，解法是通過變量替換 y p、y p (p為x的函數(shù))將原方程化為一階方程； y f (y,y)叫不顯含x的二階方程，變量替換也是令 y p (但dp

15、 dydp此中的p為y的函數(shù))，則y 石不 P石 pp，也可化為一 階形式。所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換7 u ”，“求解貝努利方程就用變量替換 z y1 n ”一樣，在這里也 要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換y p、y p ”、“求解不顯含x的二階方程就用變量替換y p、y pp大綱對于高階方程部分的要求不高，只需記住相應(yīng)的公式即可 其中二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理與線性代數(shù)中線性方程組解的 結(jié)構(gòu)定理非常相似，可以對比記憶：若y,x)、 y2(x)是齊次方程 y p(x)y q(x)y 0的兩個(gè)線性無 關(guān)的特解，則該齊次方程的通解為(x) g%(x) C

16、2y2(x)若齊次方程組0的基礎(chǔ)解系有()個(gè)線性無關(guān)的解向量，則齊次方程組的通解為 x kiyi k2Y2knrynr非齊次方程y p(x)y q(x)y f (x)的通解為 y Ci yi (x) C2 y2(x) yi (x)， 其中 yi (x)是非齊次方程的一個(gè)特解， Gyi(x) C2y2(x)是對應(yīng)齊次方程 y p(x)y q(x)y 0 的通解非齊次方程組的一個(gè)通解等于的一個(gè) 特解與其導(dǎo)出組齊次方程0的通解之 與若非齊次方程有兩個(gè)特解y (x) y2 (x)，則對應(yīng)齊次方程的一個(gè)解為y(x) yi(x) y2(x)若ri、2是方程組的兩個(gè)特解，則(i -2 )是其對應(yīng)齊次方程組0

17、的解由以上的討論可以看到，本章并不應(yīng)該成為高數(shù)部分中比較 難辦的章節(jié)，因?yàn)檫@一章如果有難點(diǎn)的話也僅在于 “如何準(zhǔn)確 無誤地記憶各種方程類型及對應(yīng)解法”，也可以說本章難就難 在記憶量大上。1.5高數(shù)第七章一元微積分的應(yīng)用本章包括導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與定積分應(yīng)用兩部分，其中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在大題中 出現(xiàn)較少，而且一般不是題目的考察重點(diǎn)；而定積分的應(yīng)用在歷年真 題的大題中經(jīng)常出現(xiàn)，常與常微分方程結(jié)合。典型的構(gòu)題方式是利用 變區(qū)間上的面積、體積或弧長引出積分方程，一般需要把積分方程中xx的變上限積分a f(t)dt單獨(dú)分離到方程的一端形成“a f(t)dt =aas”的形式，在兩邊求導(dǎo)得到微分方程后套用相關(guān)方程的對應(yīng)解法

18、求解。對于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，有以下一些小知識(shí)點(diǎn)：1. 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與研究極、最值。其中判斷函數(shù)增減性可用定義法或求導(dǎo)判斷，判定極、最值時(shí)則須注意以下兩點(diǎn)：A.極值的定義是：對于 X。的鄰域內(nèi)異于X。的任一點(diǎn)都有f(x) f (Xo)或f (x) V f (Xo),注意是或 而不是或w； B.極值點(diǎn)包括圖 1、 圖 2 兩種可能y/tw11 KaE L所以只有在f (x)在Xo處可導(dǎo)且在X。處取極值時(shí)才有f(X)0。以上兩點(diǎn)都是實(shí)際做題中經(jīng)常忘掉的地方，故有必要加深一下印象。2. 討論方程根的情況。這一部分常用定理有零值定理(結(jié)論部分為f() 0 )、洛爾定理(結(jié)論部分為f() 0)；常用到

19、構(gòu)造輔助 函數(shù)法；在作題時(shí)，畫輔助圖會(huì)起到很好的作用，尤其是對于討 論方程根個(gè)數(shù)的題目，結(jié)合函數(shù)圖象會(huì)比較容易判斷。3. 理解區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性與極大極小值的不同判定條件：A.若函數(shù)f(X)在 區(qū)間I上的f (x)0，則f (x)在I上是凸的；若f (x)在I上的f (x)0，則f (x)在I上是凹的；B.若f (x)在點(diǎn) X。處有 f(x) 0且 f(X。) 0，則當(dāng) f(X。) 0 時(shí) f(x。)為極大值，當(dāng)f (x°)0時(shí)f(x°)為極小值。其中，A是判斷函數(shù)凸凹性的充要條件，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，f (x)是f (x)的變化率,(x)是f(X)的變化率。f(x)0可以說明

20、函數(shù)是增函數(shù),典型圖像是f (X)0可以說明函數(shù)f (X)的變化率在區(qū)間I上是遞減的，包括以下兩種a.此時(shí)f (x)為正，且隨x變大而變小(大小關(guān)系可參考圖3)；此時(shí)f(X)為負(fù)，隨X變大而變小(大小關(guān)系可參考圖3);同樣，f (x)0也只有兩種對應(yīng)圖像:c.此時(shí)f (x)為正，隨著x變大而變大;圖像，是凹的。相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充分條件比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了“ f(x)0且f (Xo)0 ”，這從圖像上也很容易廠r理解：滿足f (x) 0的圖像必是凸的，即或，當(dāng)(x)0且f(Xo)0時(shí)不就一定是的情況嗎對于定積分的應(yīng)用部分，首先需要對微元法熟練掌握。在歷年考 研真題中，有大

21、量的題是利用微元法來獲得方程式的， 微元法的熟練 應(yīng)用是倍受出題老師青睞的知識(shí)點(diǎn)之一；但是由于微元法這種方法本 身有思維上的跳躍，對于這種靈活有效的方法必須通過足量的練習(xí)才 能真正體會(huì)其思想。在此結(jié)合函數(shù)圖像與對應(yīng)的微元法核心式來歸納微元法的三種常見類型:1.薄桶型.A yy=fC>04x Yb 聲*dx本例求的是由平面圖型b,0 < y < f(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。方法是在旋轉(zhuǎn)體 上取一薄桶型形體(如上圖陰影部分所示)，則根據(jù)微元法思想可 得薄桶體積 dv 2 xf (x)dx ,其中f (x)是薄桶的高， 2 xf (x)是薄桶展開變成薄板后的底面積，dx就

22、是薄板的厚度； 二者相乘即得體積。對dv 2 xf (x)dx積分可得 V 2 xf (x)dx。在這個(gè)例子中，體現(xiàn)微元法特色的地方在于：1.雖然薄桶的高是個(gè)變化量， 但卻用f (x)來表示；2.用dx表示薄桶的厚度；3.核心式 dv 2 xf (x)dx。2.薄餅型本例求的是由拋物線y 4x2繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的高 H的旋轉(zhuǎn)體體積，方法是取如上圖陰影部分所示的一個(gè)薄餅型形體，可得微元法核心式dv (y 7)dy。其中(y 7)是薄餅的底面積，薄餅與y x2旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是r2, v r x , /.r2 x2 y ；同理薄餅與y 4x2旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的y面積是 于,二者相減即得薄餅

23、底面積。核心式中的dy是薄餅的高。這個(gè)例子中的薄餅其實(shí)并不是上下一般粗的圓柱，而是 上大下小的圓臺(tái)，但將其視為上下等粗來求解，這一點(diǎn)也體現(xiàn)了微元法的特色3.薄球型.*本例求球體質(zhì)量，半徑為2密度 r ,其中r 指球內(nèi)任意一點(diǎn)到球心的距離。方法是 取球體中的一個(gè)薄球形形體，其內(nèi)徑為 r厚度為dr ,對于這 個(gè)薄球的體積有 dv 4 rr 2dr，其中4 r2是薄球表面積，dr是 厚度。該核心式可以想象成是將薄球展開、攤平得到一個(gè)薄面以 后再用底面積乘高得到的。由于dr很小，故可認(rèn)為薄球內(nèi)質(zhì)量均 勻，為 r2，則薄球質(zhì)量dm 4 r2 r2dr 4 r4dr，積分 可得結(jié)果。本例中“用內(nèi)表面的表面

24、積 4 r2乘以薄球厚度dr得 到核心式”、“將dv內(nèi)的薄球密度視為均勻”體現(xiàn)了微元法的特色。通過以上三個(gè)例子談了一下了我對微元法特點(diǎn)的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)。這種方法的靈活運(yùn)用必須通過自己動(dòng)手做題體會(huì)才能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槠渲幸恍┻壿嫳砻嫔喜⒉环铣Ｒ?guī)思維，但也許這正是研究生入學(xué)考試出題老師喜歡微元法的原因。關(guān)于定積分的應(yīng)用，以下補(bǔ)充列出了定積分各種應(yīng)用的公式b積Vy 2 a x f2 (x)fi (x)dx已知平行截面面積求立體體11i1丨»積0axbK求平面曲y線的弧長i! r0axbxbs( x)dxa(y)2dx1.6高數(shù)第九章矢量代數(shù)與空間解析幾何本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，

25、故如何減 少記憶量是復(fù)習(xí)本章時(shí)需要重點(diǎn)考慮的問題。抓住本章前后知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系來復(fù)習(xí)是一種有效的策略，因?yàn)檫@樣做既可以避免重復(fù)記憶、減少記憶量，又可以保證記憶的準(zhǔn)確性。同時(shí)，知識(shí)點(diǎn)前 后聯(lián)系密切也正是本章的突出特點(diǎn)之一。以下列出本章中前后聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)：a）矢量間關(guān)系在討論線線關(guān)系、線面關(guān)系中的應(yīng)用。這個(gè)聯(lián)系很 明顯，舉例來說，平面與直線平行時(shí)，平面的法矢量與直線的方向矢 量相互垂直，而由矢量關(guān)系性質(zhì)知此時(shí)二矢量的數(shù)積為0,若直線方x Xoy yoz z。程為lm廠，平面方程為Ax By Cz D 0，則有Al Bm Cn 0。同理可對線面、線線、面面關(guān)系進(jìn)行判定。b）數(shù)積定義與求線線、線面、面面夾

26、角公式的聯(lián)系。數(shù)積定義式為ab |a|b|cos ，故有cos 聲，這個(gè)式子是所有線線、線|a|b|面、面面夾角公式的源公式。舉例來說，設(shè)直線夾角x x1y y1m1x x2，直線: l2y y2m2z Z2n ，則二直線l1l20IT2門小2Jlj m2n2? .l孑m2益，其中a、b分別是兩條直線的方向矢量。對于線面、面面夾角同樣適用，只需注意一點(diǎn)就是線面夾角公式中不是cos 而是sin因?yàn)槿缬覉D所示與標(biāo)準(zhǔn)式之間可以相互轉(zhuǎn)化。直線方程的參數(shù)形式Xo Ityo mtz0 nt由于直線的方向矢量與直線的走向平行，而平面的法矢量卻與平面垂直，所以線面夾角是兩矢量夾角的余角，即90，故求夾角公式的

27、左端是sin 。對于線線夾角與面面夾角則無此問題。c) 平面方程各形式間的相互聯(lián)系。平面方程的一般式、點(diǎn)法式、 三點(diǎn)式、截距式中，點(diǎn)法式與截距式都可以化為一般式。點(diǎn)法式A(x Xo) B(y yo) C(z z°) 0 (點(diǎn)(Xo,y°,Zo)為平面上已知點(diǎn)，A,B,C為法矢量)可變形為Ax By Cz (Axo By。Cz°)0，符合一般式Ax By Cz D 0的形式；截距式：b i 1( a,b,c為平面 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距)可變形為bcx acy abz abc 0，也符 合一般式的形式。這樣的轉(zhuǎn)化不僅僅是為了更好地記公式， 更主要是 因?yàn)樵诳荚囍锌赡苄?/p>

28、要將這些式子相互轉(zhuǎn)化以方便答題 (這種情況在 歷年真題中曾經(jīng)出現(xiàn)過)同樣，直線方程各形式之間也有類似聯(lián)系，直線方程的參數(shù)形式(Xo,y°,Zo)是平面上已知點(diǎn)，l,m,n為方向矢量)可變形為x X01y y°mZ Zonx X0ly yomx x0y y0z z0lmn；x xly y0 mz z0tnI即為標(biāo)準(zhǔn)式標(biāo)準(zhǔn)式則也可以z Zon 若變形為轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式。這個(gè)轉(zhuǎn)化在歷年真題中應(yīng)用過不止一次。間曲面方程為2x橢圓柱面二a中的形式?？梢暈槭怯煽臻g曲面一一柱面與特殊的空間曲面一一坐標(biāo)平面0相交形成的空間曲線，即右圖中的曲線2；而空d) 空間曲面投影方程、柱面方程、柱面準(zhǔn)線

29、方程之間的區(qū)別與聯(lián)系。關(guān)于這些方程的基礎(chǔ)性知識(shí)包括：F(x, y,z) 0表示的是空間曲面；由于空間曲線可視為由兩個(gè)空間曲面相交而得到的，故空Fi(x,y,z)0222F(x,y,z)0;柱面方程如圓柱面x y R、2y1可視為是二元函數(shù)f (x, y) 0在三維坐標(biāo)系bf (x, y) o在這些基礎(chǔ)上分析，柱面方程的準(zhǔn)線方程如z 0間曲線的投影方程與柱面準(zhǔn)線方程其實(shí)是一回事， 如上圖中曲線1的 投影是由過曲線1的投影柱面與坐標(biāo)平面相交得到的，所以也就是圖F1( x, y, z) 0 中的柱面準(zhǔn)線。在由空間曲線方程 F (x,y,z) 0求投影方程時(shí)，需要先從方程組中消去z得到一個(gè)母線平行于z

30、軸的柱面方程；再與 z 0 聯(lián)立即可得投影方程f ( x, y, z) 0z01.7高數(shù)第十章多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)可以先將多元函數(shù)各知識(shí)點(diǎn)與一元函數(shù)對應(yīng)部分作對比，這樣做即可以將相似知識(shí)點(diǎn)區(qū)別開以避免混淆，又可以通 過與一元函數(shù)的對比來促進(jìn)對二元函數(shù)某些地方的理解。 本章主要內(nèi) 容可以整理成一個(gè)大表格：二元函數(shù)的定義(略)相似一元函數(shù)的定義(略)二元函數(shù)的連續(xù)性及極限：二元函數(shù)的極限要求點(diǎn) (x, y)以任何 方向、任何路徑趨向 P(x°, y°)時(shí)均有 f (x, y) A( x xo、y y° )。 如果沿不同路徑的ximof(x,y)不相等，y yo

31、則可斷定!吧f (x, y)不存在。y yo不同一元函數(shù)的連續(xù)性及極限：一元函數(shù)的極限與路徑無關(guān)，由lim f(x) AX Xo等價(jià)式f (Xo)f (Xo) A即可判斷。二元函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)P(Xo,yo)處連續(xù)性判斷條件為：丿呎。f (x，y)存在且y yo等于 f(X。，y。)相似一元函數(shù)y f (x)在點(diǎn)Xo處連續(xù)性判斷條件為丿叫f (x)且等于 f(Xo)二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義二元函數(shù)z f (x, y)的偏導(dǎo)數(shù)定義r一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一元函數(shù)y f (x)的導(dǎo)數(shù)定義：lim z lim f(Xox，y。)f(X0,y。)x 0 Xx 0X分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求偏導(dǎo)數(shù)要用偏導(dǎo)

32、數(shù)的定義相似limylimf (x0 x)f(x0)x 0xx 0x分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求導(dǎo)數(shù)需要用導(dǎo)數(shù)定義二元函數(shù)的全微分：簡化定義為：對于函數(shù)z f (x, y)，若 其在點(diǎn)P(x°,y°)處的增量 z可表示為z A x B y o()，其中 o() 為的高階無窮小，則函數(shù) f (x, y)在 P(xo,yo)處可微，全微分為 A x B y，一般有 dz 亡 dx -ydy相似一元函數(shù)的全微分：簡化定義為：若函數(shù)y f(x)在 點(diǎn)x處的增量 y可表示為y A x d，其中d是x的 高階無窮小，則函數(shù)在該點(diǎn)可微， 即dy A x ， 一般有 dy f (x)dx二元函數(shù)可

33、微、可導(dǎo)、連續(xù)三角關(guān)系圖連續(xù)可導(dǎo) / 可微不同二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)三角關(guān)系圖連續(xù)可導(dǎo) /可微多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)設(shè) z f(u,v,w)，u g(t)，v h(t)， w k(t)且都可導(dǎo)，則z對t的全導(dǎo)數(shù) dz f du f dv f dwdtu dtv dtw dt不同一元函數(shù)沒有“全導(dǎo)數(shù)”這個(gè)概 念，但是左邊多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù) 其實(shí)可以從“一兀復(fù)合函數(shù)”的 角度理解。一兀復(fù)合函數(shù)是指y f (u)、 u g(x)時(shí)有字宇申。與左邊的多元函數(shù)dx du dx全導(dǎo)數(shù)公式比較就可以將一式統(tǒng) 一起來。多元復(fù)合函數(shù)微分法一兀復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式如上格所復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：設(shè)z f(u,v,w)、示，與多兀

34、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式相u j(x, y)、v h(x, y)、似，只需分清式子中蘭與上的不dxxwk(x, y),貝S有同即可z zu zv zwxuxv xw x 對于多zz?uz?zz?w。對于多相y u y v y w y似兀復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，在考研真題中有一個(gè)百出不厭的點(diǎn)就是函數(shù)z對中間變量u,v,w的偏導(dǎo)數(shù)、二、上仍是以uvwu,v,w為中間變量的復(fù)合函數(shù)，此時(shí)在求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)還要重復(fù)使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法。這是需要通過足量做題來熟練掌握的知識(shí)點(diǎn)，在后面的評題中會(huì)就題論題作更充分的論述。多元隱函數(shù)微分法一元復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程微分法求由方程F(x,y,z) 0確定的隱含數(shù)對一兀隱函數(shù)求導(dǎo)常米用兩種方Z Z(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)，可用公式：法: 1.公式嚴(yán)護(hù)dxFy(x, y)zFx(x, y,z)zFy(x,y,z),對于 xFz(x, y, z)yFz(x, y, z)2將y視為x的函數(shù)，在方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)F(x, y,z) 0由方程組c/、 c確定的隱含數(shù)G(x, y,z) 0一元參數(shù)方程微分法：若有y y(x)、z z(x)可套用方程組X x(t)則 dy y (t)y y(t) dx x (t)Fx Fy 史 Fz