1、2019屆高三模擬考試試卷數(shù)學(滿分160分，考試時間120分鐘)20195一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1. 已知集合Ax|x|1，xZ，Bx|0x2，則AB_2. 已知復數(shù)z(12i)(ai)，其中i是虛數(shù)單位若z的實部與虛部相等，則實數(shù)a的值為_3. 某班有學生52人，現(xiàn)將所有學生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣方法，抽取一個容量為4的樣本已知5號、31號、44號學生在樣本中，則樣本中還有一個學生的編號是_4. 3張獎券分別標有特等獎、一等獎和二等獎甲、乙兩人同時各抽取1張獎券，兩人都未抽得特等獎的概率是_5. 函數(shù)f(x)log2(1x)的定義域為_6. 如圖是一個算法流程圖

2、，則輸出k的值為_(第6題)(第7題)7. 若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為2，點P為側(cè)棱AA1上任意一點，則四棱錐PBCC1B1的體積為_8. 在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線C：yx310x3上，且在第四象限內(nèi)已知曲線C在點P處的切線方程為y2xb，則實數(shù)b的值為_9. 已知函數(shù)f(x)sin(2x)cos(2x)(0<<)是定義在R上的奇函數(shù)，則f()的值為_10. 如果函數(shù)f(x)(m2)x22(n8)x1(m，nR且m2，n0)在區(qū)間，2上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為_11. 已知橢圓y21與雙曲線1(a>0，b>0)有相同的焦點，其左、右焦點分

3、別為F1，F(xiàn)2.若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為P，且F1PF1F2，則雙曲線的離心率為_12. 在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(0，5)，點B是直線l：yx上位于第一象限內(nèi)的一點已知以AB為直徑的圓被直線l所截得的弦長為2，則點B的坐標為_13. 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，a22，an2則滿足2 019Sm3 000的正整數(shù)m的所有取值為_14. 已知等邊三角形ABC的邊長為2，2，點N，T分別為線段BC，CA上的動點，則···取值的集合為_二、 解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15. (本

4、小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓O交于點A，且點A的縱坐標是.(1) 求cos()的值；(2) 若以x軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓O交于點B，且點B的橫坐標為，求的值16. (本小題滿分14分)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是線段EF的中點求證：(1) AM平面BDE；(2) AM平面BDF.17. (本小題滿分14分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示，該封閉區(qū)域由以O(shè)為圓心的半圓及直徑AB圍成在此區(qū)域內(nèi)原有一個以O(shè)A為直徑、C為圓心的半圓形展示區(qū)，該廣告商欲在此基礎(chǔ)上

5、，將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū)COPQ，其中P，Q分別在半圓O與半圓C的圓弧上，且PQ與半圓C相切于點Q.已知AB長為40米，設(shè)BOP為2.(上述圖形均視作在同一平面內(nèi))(1) 記四邊形COPQ的周長為f()，求f()的表達式；(2) 要使改建成的展示區(qū)COPQ的面積最大，求sin 的值18. (本小題滿分16分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且點F1，F(xiàn)2與橢圓C的上頂點構(gòu)成邊長為2的等邊三角形(1) 求橢圓C的方程；(2) 已知直線l與橢圓C相切于點P，且分別與直線x4和直線x1相交于點M，N.試判斷是否為定值，并說明理由

6、19. (本小題滿分16分)已知數(shù)列an滿足a1·a2··an2(nN*)，數(shù)列bn的前n項和Sn(nN*)，且b11，b22.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 求數(shù)列bn的通項公式；(3) 設(shè)cn，記Tn是數(shù)列cn的前n項和，求正整數(shù)m，使得對于任意的nN*均有TmTn.20. (本小題滿分16分)設(shè)a為實數(shù)，已知函數(shù)f(x)axex，g(x)xln x.(1) 當a<0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 設(shè)b為實數(shù)，若不等式f(x)2x2bx對任意的a1及任意的x>0恒成立，求b的取值范圍；(3) 若函數(shù)h(x)f(x)g(x)(x>0

7、，xR)有兩個相異的零點，求a的取值范圍2019屆高三模擬考試試卷數(shù)學附加題(滿分40分，考試時間30分鐘)21. 【選做題】 在A，B，C三小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分若多做，則按作答的前兩題計分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟A. (選修42：矩陣與變換)已知矩陣A，二階矩陣B滿足AB.(1) 求矩陣B；(2) 求矩陣B的特征值B. (選修44：坐標系與參數(shù)方程)設(shè)a為實數(shù)，在極坐標系中，已知圓2asin (a>0)與直線cos()1相切，求a的值C. (選修45：不等式選講)求函數(shù)y的最大值【必做題】 第22，23題，每小題10分，共20分解答時應(yīng)寫出必

8、要的文字說明、證明過程或演算步驟22. 如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ABCBAD90°，ADAP4，ABBC2，點M為PC的中點(1) 求異面直線AP與BM所成角的余弦值；(2) 點N在線段AD上，且AN，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求的值23. 在平面直角坐標系xOy中，有一個微型智能機器人(大小不計)只能沿著坐標軸的正方向或負方向行進，且每一步只能行進1個單位長度，例如：該機器人在點(1，0)處時，下一步可行進到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，1)這四個點中的任一位置記該機器人從坐標原點O出發(fā)、行進n步后落在y軸上的不同走法的種數(shù)為L(n)

9、(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值；(2) 求L(n)的表達式2019屆高三模擬考試試卷(南師附中)數(shù)學參考答案及評分標準1. 0，12. 33. 184. 5. 0，1)6. 37. 8. 139. 10. 1811. 12. (6，3)13. 20，2114. 615. 解：因為銳角的終邊與單位圓O交于點A，且點A的縱坐標是，所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知sin .從而cos .(3分)(1) cos()cos cos sin sin ×()×.(6分)(2) 因為鈍角的終邊與單位圓O交于點B，且點B的橫坐標是，所以cos ，從而sin .(8分)于是sin(

10、)sin cos cos sin ×()×.(10分)因為為銳角，為鈍角，所以(，)，(12分)從而.(14分)16. 證明：(1) 設(shè)ACBDO，連結(jié)OE，四邊形ACEF是矩形， EFAC，EFAC. O是正方形ABCD對角線的交點， O是AC的中點又點M是EF的中點， EMAO，EMAO.四邊形AOEM是平行四邊形， AMOE.(4分) OE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.(7分)(2) 正方形ABCD， BDAC.平面ABCD平面ACEFAC，平面ABCD平面ACEF，BD平面ABCD， BD平面ACEF.(9分) AM平面ACEF， BDAM.(10分

11、)正方形ABCD，AD， OA1.由(1)可知點M，O分別是EF，AC的中點，且四邊形ACEF是矩形 AF1，四邊形AOMF是正方形，(11分) AMOF.(12分)又AMBD，且OFBDO，OF平面BDF，BD平面BDF， AM平面BDF.(14分)17. 解：(1) 連結(jié)PC.由條件得(0，)在POC中，OC10，OP20，POC2，由余弦定理，得PC2OC2OP22OC·OPcos(2)100(54cos 2)(2分)因為PQ與半圓C相切于點Q，所以CQPQ，所以PQ2PC2CQ2400(1cos 2)，所以PQ20cos .(4分)所以四邊形COPQ的周長為f()COOPPQ

12、QC4020cos ，即f()4020cos ，(0，)(7分)(沒寫定義域，扣2分)(2) 設(shè)四邊形COPQ的面積為S()，則S()SOCPSQCP100(cos 2sin cos )，(0，)(10分)所以S()100(sin 2cos22sin2)100(4sin2sin 2)，(0，)(12分)令S(t)0，得sin .列表：sin (0，)(，1)S()0S()增最大值減答：要使改建成的展示區(qū)COPQ的面積最大，sin 的值為.(14分)18. 解：(1) 依題意，2ca2，所以c1，b，所以橢圓C的標準方程為1.(4分)(2) 因為直線l分別與直線x4和直線x1相交，所以直線l一定

13、存在斜率(6分)設(shè)直線l：ykxm，由得(4k23)x28kmx4(m23)0.由(8km)24×(4k23)×4(m23)0，得4k23m20.(8分)把x4代入ykxm，得M(4，4km)，把x1代入ykxm，得N(1，km)，(10分)所以NF1|km|，MF1，(12分)由式，得3m24k2，把式代入式，得MF12|km|，即為定值.(16分)19. 解：(1) a122；(2分)當n2時，an2n.所以數(shù)列an的通項公式為an2n(nN*)(4分)(2) 由Sn，得2Snn(b1bn)，所以2Sn1(n1)(b1bn1)(n2).由，得2bnb1nbn(n1)bn

14、1，n2，即b1(n2)bn(n1)bn10(n2)，所以b1(n3)bn(n2)bn10(n3).由，得(n2)bn2(n2)bn1(n2)bn20，n3，(6分)因為n3，所以n2>0，上式同除以(n2)，得bn2bn1bn20，n3，即bn1bnbnbn1b2b11，所以數(shù)列bn是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故bnn，nN*.(8分)(3) 因為cn1，(10分)所以c10，c2>0，c3>0，c4>0，c5<0.記f(n)，當n5時，f(n1)f(n)<0，所以當n5時，數(shù)列f(n)為單調(diào)遞減數(shù)列，當n5時，f(n)<f(5)<<

15、1.從而，當n5時，cn1<0.(14分)因此T1<T2<T3<T4，T4>T5>T6>所以對任意的nN*，T4Tn.綜上，m4.(16分)(注：其他解法酌情給分)20. 解：(1) 當a<0時，因為f(x)a(x1)ex，當x<1時，f(x)>0；當x>1時，f(x)<0.所以函數(shù)f(x)單調(diào)減區(qū)間為(，1)，單調(diào)增區(qū)間為(1，)(2分)(2) 由f(x)2x2bx，得axex2x2bx，由于x>0，所以aex2xb對任意的a1及任意的x>0恒成立由于ex>0，所以aexex，所以ex2xb對任意的x&

16、gt;0恒成立(4分)設(shè)(x)ex2x，x>0，則(x)ex2，所以函數(shù)(x)在(0，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，所以(x)min(ln 2)22ln 2，所以b22ln 2.(6分)(3) 由h(x)axexxln x，得h(x)a(x1)ex1，其中x>0.若a0時，則h(x)>0，所以函數(shù)h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)h(x)至多有一個零零點，不合題意；(8分)若a<0時，令h(x)0，得xex>0.由第(2)小題知，當x>0時，(x)ex2x22ln 2>0，所以ex>2x，所以xex>2x2，所以當x

17、>0時，函數(shù)xex的值域為(0，)所以存在x0>0，使得ax0ex010，即ax0ex01，且當x<x0時，h(x)>0，所以函數(shù)h(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減因為函數(shù)有兩個零點x1，x2，所以h(x)maxh(x0)ax0ex0x0ln x01x0ln x0>0.設(shè)(x)1xln x，x>0，則(x)1>0，所以函數(shù)(x)在(0，)上單調(diào)遞增由于(1)0，所以當x>1時，(x)>0，所以式中的x0>1.又由式，得x0ex0.由第(1)小題可知，當a<0時，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以>

18、e，即a(，0)(11分)當a(，0)時，(i) 由于h()(1)<0，所以h()·h(x0)<0.因為<1<x0，且函數(shù)h(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，函數(shù)h(x)的圖象在(0，x0)上不間斷，所以函數(shù)h(x)在(0，x0)上恰有一個零點；(13分)(ii) 由于h()eln()，令t>e，設(shè)F(t)ettln t，t>e，由于t>e時，ln t<t，et>2t，所以設(shè)F(t)<0，即h()<0.由式，得當x0>1時，x0ex0>x0，且h()·h(x0)<0，同理可得函數(shù)h(x)在(x

19、0，)上也恰有一個零點綜上，a(，0)(16分)2019屆高三模擬考試試卷(南師附中)數(shù)學附加題參考答案及評分標準21. A. 解：(1) 由題意，由矩陣的逆矩陣公式得BA1.(5分)(2) 矩陣B的特征多項式f()(1)(1)，(7分)令f()0，解得1或1，(9分)所以矩陣B的特征值為1或1.(10分)B. 解：將圓2asin 化成普通方程為x2y22ay，整理得x2(ya)2a2.(3分)將直線cos()1化成普通方程為xy0.(6分)因為相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即a，(9分)解得a2.(10分)C. 解：因為()2(··)2(33x3x2)(1)，(3分)所