1、第三章函數的應用第三章函數的應用3.13.1函數與方程函數與方程3.1.13.1.1方程的根與函數的零點方程的根與函數的零點 目標導航目標導航 課標要求課標要求1.1.能夠結合二次函數的圖象能夠結合二次函數的圖象, ,判斷一元二次方程根的存判斷一元二次方程根的存在性及個數在性及個數. .2.2.理解函數零點的概念以及函數零點與方程根的關系理解函數零點的概念以及函數零點與方程根的關系. .3.3.掌握函數零點的判斷方法掌握函數零點的判斷方法, ,會求函數的零點以及判斷會求函數的零點以及判斷零點的個數零點的個數. .素養(yǎng)達成素養(yǎng)達成1.1.通過函數零點概念的理解通過函數零點概念的理解, ,培養(yǎng)數學

2、抽象的核心素養(yǎng)培養(yǎng)數學抽象的核心素養(yǎng). .2.2.通過根據圖象領會函數零點與相應方程的關系通過根據圖象領會函數零點與相應方程的關系, ,培養(yǎng)培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng). .3.3.通過函數零點的求法通過函數零點的求法, ,培養(yǎng)數學運算的核心素養(yǎng)培養(yǎng)數學運算的核心素養(yǎng). .新知導學新知導學素養(yǎng)養(yǎng)成素養(yǎng)養(yǎng)成1.1.函數的零點函數的零點對于函數對于函數y=f(x),y=f(x),把使把使 叫做函數叫做函數y=f(x)y=f(x)的零點的零點. .f(x)=0f(x)=0的實數的實數x x2.2.方程、函數、圖象之間的關系方程、函數、圖象之間的關系方程方程f(x)=0f(x)=0 函數函

3、數y=f(x)y=f(x)的圖象與的圖象與x x軸有交點軸有交點函數函數y=f(x)y=f(x) . .有實數根有實數根有零點有零點思考思考1:1:方程的根與對應的函數圖象有什么關系方程的根與對應的函數圖象有什么關系? ?答案答案: :方程的根就是對應函數圖象與方程的根就是對應函數圖象與x x軸交點的橫坐標軸交點的橫坐標. .3.3.函數零點的存在條件函數零點的存在條件如果函數如果函數y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上的圖象是上的圖象是 的一條曲線的一條曲線, ,并且并且有有 , ,那么那么, ,函數函數y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內內 , ,即存即

4、存在在c(a,b),c(a,b),使得使得 , ,這個這個c c也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0的根的根. .連續(xù)不斷連續(xù)不斷f(a)f(b)0f(a)f(b)0有零點有零點f(c)=0f(c)=0思考思考2:2:函數函數y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上連續(xù)不連續(xù)上連續(xù)不連續(xù), ,當當f(a)f(b)0f(a)f(b)0a0時時, ,一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的實數根、二次函數的實數根、二次函數y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的圖象與二次函數圖象與二次函數y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的零點之間的關系如下表所

5、示的零點之間的關系如下表所示: :類似可得當類似可得當a0a0,(a0,且且a1)a1)沒有零點沒有零點. .對數函數對數函數y=logy=loga ax(a0,x(a0,且且a1)a1)僅有一個零點僅有一個零點1.1.冪函數冪函數y=xy=xn n, ,當當n0n0時時, ,僅有一個零點僅有一個零點0;0;當當n0n0時時, ,沒有零點沒有零點. .課堂探究課堂探究素養(yǎng)提升素養(yǎng)提升(2)(2)函數函數f(x)=ax-b(a0)f(x)=ax-b(a0)的零點為的零點為3,3,求函數求函數g(x)=bx2+axg(x)=bx2+ax的零點的零點. .方法技巧方法技巧(1)(1)求函數求函數f(

6、x)f(x)的零點就是求方程的零點就是求方程f(x)=0f(x)=0的解的解, ,求解時注意函數的定求解時注意函數的定義域義域. .(2)x0(2)x0是函數是函數f(x)f(x)的零點的零點, ,那么必有那么必有f(x0)=0.f(x0)=0.(2)(2)令令x x2 2+2x+4=0,+2x+4=0,由于由于=2=22 2-4-44=-120,4=-120),y1=|x-2|,y2=ln x(x0),在一個坐標系中畫出兩個函數的圖象在一個坐標系中畫出兩個函數的圖象. .由圖得由圖得, ,兩個函數圖象有兩個交點兩個函數圖象有兩個交點, ,故方程有兩個根故方程有兩個根, ,即對應函數有兩即對應

7、函數有兩個零點個零點. .應選應選C.C.(2)(2)關于函數關于函數f(x)=3x+x2+2x-1f(x)=3x+x2+2x-1的零點的零點, ,以下說法中正確的選項是以下說法中正確的選項是( () )(A)(A)函數有兩個正數零點函數有兩個正數零點(B)(B)函數有兩個負數零點函數有兩個負數零點(C)(C)函數有兩個零點函數有兩個零點, ,一個是正數一個是正數, ,另一個是零另一個是零(D)(D)函數有兩個零點函數有兩個零點, ,一個是負數一個是負數, ,另一個是零另一個是零解析解析:(2):(2)令令f(x)=0,f(x)=0,得得3x+x2+2x-1=0,3x+x2+2x-1=0,即即

8、3x=-x2-2x+1.3x=-x2-2x+1.在同一直角坐標在同一直角坐標系內作出函數系內作出函數y=3xy=3x和和y=-x2-2x+1y=-x2-2x+1的圖象如圖的圖象如圖, ,可知兩個函數圖象有兩可知兩個函數圖象有兩個交點個交點, ,因此函數因此函數f(x)=3x+x2+2x-1f(x)=3x+x2+2x-1有兩個零點有兩個零點, ,其中一個是負數其中一個是負數, ,另一另一個是零個是零. .應選應選D.D.題型三函數零點所在區(qū)間題型三函數零點所在區(qū)間 例例3 (1)(20213 (1)(2021江蘇徐州市高一上期中江蘇徐州市高一上期中) )函數函數f(x)=2x+3xf(x)=2x

9、+3x的零點所在的零點所在的區(qū)間是的區(qū)間是( () )(A)(-2,-1)(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(B)(-1,0)(C)(0,1)(C)(0,1)(D)(1,2)(D)(1,2)解析解析:(1):(1)因為因為y=2x,y=3xy=2x,y=3x在在R R上是增函數上是增函數, ,所以所以f(x)=2x+3xf(x)=2x+3x在在R R上是增函數上是增函數, ,而而f(-2)=2-2-60,f(-2)=2-2-60,f(-1)=2-1-30,f(-1)=2-1-30,f(1)=2+3=50,f(2)=22+6=100,f(1)=2+3=50,f(2)=22+6=100,所以所

10、以f(-1)f(0)0,f(-1)f(0)0.f(2)=ln 2-2+2=ln 2=0.690.f(1)=ln 1-1+2=10.f(2)=ln 2-2+2=ln 2=0.690.0.f(5)=ln 5-5+2=1.61-3=-1.390.0.f(5)=ln 5-5+2=1.61-3=-1.390.由由f(3)f(4)0f(3)f(4)0知零點所在區(qū)間為知零點所在區(qū)間為(3,4),(3,4),應選應選A.A.答案答案:(1)A:(1)A(2)(2)假設函數假設函數f(x)=x2-16x+m+3f(x)=x2-16x+m+3在區(qū)間在區(qū)間-1,1-1,1上存在零點上存在零點, ,那么實數那么實數m

11、 m的取的取值范圍是值范圍是.解析解析: :(2)(2)因為因為f(x)=xf(x)=x2 2-16x+m+3-16x+m+3在在-1,1-1,1上嚴格單調上嚴格單調, ,所以所以f(-1)f(-1)f(1)0.f(1)0.解得解得-20m12.-20m12.答案答案: :(2)-20,12(2)-20,12錯解錯解: :因為因為f(-1)=-(-1)f(-1)=-(-1)2 2-3=-4,f(1)=1+3=4.-3=-4,f(1)=1+3=4.所以所以f(-1)f(-1)f(1)0.f(1)0.所以函數所以函數f(x)f(x)在在-1,1-1,1上存在零點上存在零點. .糾錯糾錯: :由于函

12、數由于函數f(x)f(x)在在-1,1-1,1上的圖象不連續(xù)上的圖象不連續(xù), ,故不能使用函數零點存故不能使用函數零點存在性定理判斷函數的零點在性定理判斷函數的零點. .正解正解: :當當x0 x0時時, ,令令f(x)=xf(x)=x2 2+3=0+3=0可知可知, ,方程無解方程無解, ,當當x0 x0時時, ,令令f(x)=-xf(x)=-x2 2-3=0-3=0可知可知, ,方程無解方程無解. .即函數即函數f(x)f(x)在在-1,1-1,1上無零點上無零點. .學霸經歷分享區(qū)學霸經歷分享區(qū)(1)(1)函數的零點不是一個點而是函數圖象與函數的零點不是一個點而是函數圖象與x x軸交點的

13、橫坐標軸交點的橫坐標, ,也就也就是函數解析式對應方程的根是函數解析式對應方程的根, ,求函數的零點常轉化為求函數對應方求函數的零點常轉化為求函數對應方程的根程的根, ,而判斷函數零點或確定函數零點個數而判斷函數零點或確定函數零點個數, ,常用數形結合或函數常用數形結合或函數零點的存在性定理零點的存在性定理. .(2)(2)函數零點的存在性定理的使用條件是函數圖象連續(xù)不連續(xù)函數零點的存在性定理的使用條件是函數圖象連續(xù)不連續(xù), ,應注應注意函數零點的存在性定理只能判斷零點存在而不能確定零點個數意函數零點的存在性定理只能判斷零點存在而不能確定零點個數. .(3)(3)函數與方程有著密切的聯(lián)系函數與

14、方程有著密切的聯(lián)系, ,有些方程問題可以轉化為函數問題有些方程問題可以轉化為函數問題求解求解, ,同樣同樣, ,函數問題也可轉化為方程問題函數問題也可轉化為方程問題, ,這正是函數與方程思想這正是函數與方程思想的根底的根底. .課堂達標課堂達標解析解析: :由函數零點的意義可得由函數零點的意義可得, ,函數的零點是否存在表現在函數圖象與函數的零點是否存在表現在函數圖象與x x軸有無交點軸有無交點. .應選應選A.A.1.1.以下圖象表示的函數中沒有零點的是以下圖象表示的函數中沒有零點的是( ( ) )A AD D3.3.函數函數f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上單調上單調, ,且圖象是

15、連續(xù)不斷的且圖象是連續(xù)不斷的, ,假設假設f(a)f(b) f(a)f(b) 0,0,那么方程那么方程f(x)=0f(x)=0在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上上( ( ) )(A)(A)至少有一實數根至少有一實數根(B)(B)至多有一實數根至多有一實數根(C)(C)沒有實數根沒有實數根 (D) (D)必有唯一的實數根必有唯一的實數根D D解析解析: :由題意知函數由題意知函數f(x)f(x)為連續(xù)函數為連續(xù)函數, ,因為因為f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,所以函數所以函數f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上至少有一個零點上至少有一個零點. .又因為函數又因為函數f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上是單調函數上是單調函數, ,所以函數所以函數f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上至多有一個零點上至多有一個零點, ,故函數故函數f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上有且只有一個零點上有且只有一個零點, ,即方程即方程f(x)=0f(x)=0在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b內必有唯一的內必有唯一的實數根實數根, ,應選應選D.D.4.(20214.(2021福建省福州市八縣一中高一上期中福建省福州市八縣一中高一上期中) )設設x0 x0是函數是函數