1、解：解：1. 求曲線求曲線所圍圖形的面積.顯然1ln,1lnyxyoxe1e1e11eeyeexe11,xln,ln x,lnxex 111xeyln,ln y,ln yey 111ye11xe11ye面積為同理其它.1exy yexxey xyeS11dexex1d機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 又故在區(qū)域1lnlnyx,1exy 中曲線為)1(exex)(exxe思索與練習(xí)思索與練習(xí)1ee,0)(2r令2. 求曲線圖形的公共部分的面積 .解：解：與所圍成)sin(cos2 ar得所圍區(qū)域的面積為S0422d)(21r2221a0422d)sin(cos2a28a)22cos(22a40

2、28a4機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 cos1ar ocos1ar )sin(cos2 ar4) 1(2a分析曲線特點2. ) 1( xxyoyx解解:41)(221 x1A) 1( xxy與 x 軸所圍面積1101d) 1(xxxA61,0時2A12d) 1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得0,2321由圖形的對稱性 ,211,2143也合于所求. 為何值才干使) 1( xxy.) 1(軸圍成的面積及與于xxxxy與 x 軸圍成的面積等機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 故第一節(jié)第一節(jié) 向量及其線性運算向量及其線性運算第七章一、向量的概念一、向量的概念二、向量

3、的線性運算二、向量的線性運算三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影第七章空間解析幾何 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M為為起起點點，2M為為終終點點的的有有向向線線段段.1M2M a21MM模長為模長為1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：單位向量：一、向量的概念或或或或或或, , ,等等等等如如示示向量也可用

4、粗體字母表向量也可用粗體字母表Fvia. ,等等等等如如示示加箭頭的書寫體字母表加箭頭的書寫體字母表向量還可用在上面向量還可用在上面Fvia自在向量：自在向量：不思索起點位置的向量不思索起點位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向一樣的向量大小相等且方向一樣的向量. .負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向徑：向徑：aba a空間直角坐標(biāo)系中任一點空間直角坐標(biāo)系中任一點 與原點與原點構(gòu)成的向量構(gòu)成的向量. . OMM因平行向量可平移到同不斷線上, 故兩向量平行又稱 兩向量共線 .假設(shè) k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 那么稱此 k 個向

5、量共面 .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 , , , bOBaOAOba作作任任取取空空間間一一點點設(shè)設(shè)有有兩兩個個非非零零向向量量. 0 , 之之間間任任意意取取值值與與夾夾角角可可以以在在規(guī)規(guī)定定它它們們的的中中有有一一個個是是零零向向量量與與如如果果向向量量baoABab , )0, ( 的夾角的夾角與與稱為向量稱為向量設(shè)設(shè)的的規(guī)定不超過規(guī)定不超過baAOBAOB.),( ),( ),( baabba即即或或記記作作零向量與任何向量都平行零向量與任何向量都平行./0),( bababa平平行行，記記作作與與，就就稱稱向向量量或或如如果果 .2),( bababa垂垂直直，記記作作與與

6、，就就稱稱向向量量如如果果 1. 1. 向量的加法向量的加法三角形法那么三角形法那么 或平行四邊形法那或平行四邊形法那么么運算規(guī)律運算規(guī)律 :交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律三角形法那么可推行到多個向量相三角形法那么可推行到多個向量相加加 .abba abcba cb)(cbacba )(二、向量的線性運算二、向量的線性運算cba )()(cba cba ba aBAbCaABba CbDs3a4a5a2a1a54321aaaaas多個向量相加的情況多個向量相加的情況三角不等式三角不等式有有時時特特別別當(dāng)當(dāng),abaa abb cbabac )(b ba)( ba . 0)( aa. | | , | |

7、 babababa . 同同向向或或反反向向時時成成立立與與其其中中等等號號在在bac . 的的終終點點的的向向量量的的終終點點指指向向是是一一個個從從向向量量abba2. 2. 向量的減法向量的減法 , , aa記記作作的的乘乘積積是是一一個個新新向向量量與與實實數(shù)數(shù)向向量量aa 規(guī)定規(guī)定 : :;0aaaa，同同向向與與時時，;,0aaaa，反反向向與與時時.0,0a時時總之總之, ,aa2a21 3. 3. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 ( ( 數(shù)乘數(shù)乘 ) )向量與數(shù)的乘積的運算規(guī)律向量與數(shù)的乘積的運算規(guī)律;)()()( (1)aaa結(jié)合律結(jié)合律.)( ;)( )2(babaaaa分分

8、配配律律向量的加減法及數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算向量的加減法及數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算. ., 0a若若ae則有單位向量則有單位向量,|1aaaeaa因因此此換言之，換言之， 任一非零向量總可以寫成它本身的模與一個任一非零向量總可以寫成它本身的模與一個與它同方向的單位向量的數(shù)乘與它同方向的單位向量的數(shù)乘. .,.,交點交點是平行四邊形對角線的是平行四邊形對角線的這里這里和和表示向量表示向量和和試用試用設(shè)設(shè)中中在平行四邊形在平行四邊形MMDMCMBMAbabADaABABCD 由于平行四邊形的對角線相互平分由于平行四邊形的對角線相互平分, 所以所以,2)( 2 MAbaAMACba即即).(21

9、baMA于于是是.2,baMCMAMC所所以以因因為為CDABabM例例1 1解：解：,2)(, abMDBDba所所以以又又因因, MDMB由于由于CDABabM.2 baMB所以所以例例2 2 化簡化簡 53215abbba解：解： 53215abbbaba 551251)31(.252ba . , 行關(guān)系行關(guān)系積來說明兩個向量的平積來說明兩個向量的平所以常用向量與數(shù)的乘所以常用向量與數(shù)的乘平行平行與與因為向量因為向量aa. , : , 0 ababa使得使得存在唯一的實數(shù)存在唯一的實數(shù)必要條件是必要條件是的充分的充分平行于平行于那么向量那么向量設(shè)向量設(shè)向量定理定理1 1那那么么,0時時當(dāng)

10、當(dāng),0時時當(dāng)當(dāng)知知 b a ,b0a , b 同向同向ab ,0時時當(dāng)當(dāng)a , b 反向反向充分性充分性證明：證明：. , , , . ababababab即即有有取取負(fù)負(fù)值值反反向向時時與與當(dāng)當(dāng)值值取取正正同同向向時時與與當(dāng)當(dāng)取取平平行行與與設(shè)設(shè). . 的的唯唯一一性性再再證證實實數(shù)數(shù)存存在在因因此此實實數(shù)數(shù)便便得得兩兩式式相相減減設(shè)設(shè), abab, 0)(a. 0 a即即. , 0 , 0 即即故故因為因為 a必要性必要性例例3 3 試用向量方法證明：對角線相互平分試用向量方法證明：對角線相互平分的四邊形必是平行四邊形的四邊形必是平行四邊形. .證證ABCDMAMMC BMMD AD AM

11、 MDMC BMBC AD與與 平行且相等平行且相等, ,BC結(jié)論得證結(jié)論得證.數(shù)軸與向量數(shù)軸與向量數(shù)軸可由一個點、一個方向及單位長度確定，故數(shù)軸可由一個點、一個方向及單位長度確定，故給定一個點及一個單位向量即可確定一條數(shù)軸。給定一個點及一個單位向量即可確定一條數(shù)軸。Ox如圖，點如圖，點O O 及單位向量及單位向量i確定了數(shù)軸確定了數(shù)軸 Ox . Ox .iP在軸上任取一點在軸上任取一點P, P, 那么有那么有 ，iOP/從而存在獨一從而存在獨一的的 x R 使得使得 且有且有ixOP xi xOPP 實實數(shù)數(shù)向向量量點點O定點定點三個坐標(biāo)軸的正方三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手法那么向符合右手法那

12、么. .,; kjiOOxyz或或空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系x 橫軸橫軸iy 縱軸縱軸jz 豎軸豎軸k三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系xoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限.xyOz各卦限中點的坐標(biāo)的特點各卦限中點的坐標(biāo)的特點0, 0, 00, 0, 00, 0, 00, 0, 00, 0, 00, 0, 00, 0, 00, 0, 0),( ),( zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx點點的的坐坐標(biāo)標(biāo)卦卦限限點點的的坐坐標(biāo)標(biāo)卦卦限限xyzOMPQRM),(zyx一一對應(yīng)一一對應(yīng)zyx),(zyxMOxyzPNQKRHO

13、ROQOPNMPNOPOMr k.jizyx . , 坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸方方向向的的分分向向量量稱稱為為向向量量沿沿三三個個、的的坐坐標(biāo)標(biāo)分分解解式式向向量量kjirzyx向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示).,( . , , zyxMMMzyxMzyx記記為為將將點點坐坐標(biāo)標(biāo)的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)、縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)和和豎豎為為點點和和、依依次次稱稱的的坐坐標(biāo)標(biāo)稱稱為為點點數(shù)數(shù)zyx),(zyxMOxyzPNQKRH).,( , , zyxzyxrr 記記為為的的坐坐標(biāo)標(biāo)也也稱稱為為向向量量數(shù)數(shù)).,(zyxkzj yi xOMrM 向徑向徑 11坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)軸上的點 P, Q , P, Q , R R 坐標(biāo)面

14、上的點坐標(biāo)面上的點 A , B , A , B , C C點點 M特殊點的坐標(biāo)特殊點的坐標(biāo) : :有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11( (稱為點稱為點 M M 的坐標(biāo)的坐標(biāo)) )原點原點 O ( 0, 0, O ( 0, 0, 0) ;0) ;r在直角坐標(biāo)系下點的坐在直角坐標(biāo)系下點的坐標(biāo)標(biāo)xyzOPQRMABCr坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 : 軸軸x00 zy00 xz軸軸y軸軸z00 yx坐標(biāo)面坐標(biāo)面 :面面yox0 z面面zoy0 x面面xoz0 yxyzo設(shè)設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 那那么么 ba),(zzyyxxbababa a ),(zyxaaa ba ,0時時當(dāng)當(dāng)aab

15、xxab yyab zzab xxab yyabzzab平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例: :，為實數(shù)為實數(shù)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算;, 0 , 0, 0 zzyyxzyxababbaaa上上式式應(yīng)應(yīng)理理解解為為、如如果果. 0, 0 , 0, 0 yxzyxbbaaa上式應(yīng)理解為上式應(yīng)理解為如果如果.zzyyxxababab ).2 , 1 , 1( ),2 , 1 , 2(,23,35babyxayx其其中中線線性性方方程程組組求求解解以以向向量量為為未未知知元元的的解：解： 例例2.2.2 3 , 得得bax32 )10,1,7( 代入得代入得

16、bay53 )16,2,11( ., 1),(),(222111MBAMMABzyxBzyxA 使使上求點上求點在直線在直線以及實數(shù)以及實數(shù)和和知兩點知兩點如下圖如下圖, , 由于由于OxyzAMB,OMOBMBOAOMAM 即得即得代入代入的坐標(biāo)的坐標(biāo)點點即點即點坐標(biāo)坐標(biāo)的的以以,),(,BAOBOA).1,1,1(212121 zzyyxxOM這就是這就是M點的坐標(biāo)點的坐標(biāo).),(OMOBOAOM 因因此此).(11OBOAOM 從而從而例例3 3解：解： 得定比分點公式得定比分點公式: :,121 xxx,121 yyy.121 zzz,1時時當(dāng)當(dāng)點點 M 為為 AB 的中點的中點 ,

17、于是得于是得ABMo),(11),(212121zzyyxxzyx 中點公式中點公式,221xxx ,221yyy .221zzz 闡明闡明: :1.1.向量的模向量的模222OROQOPOMr 則則作作設(shè)設(shè), ),( rOMzyxr 式式為為于于是是向向量量模模的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示xyzOMPQRKHN, kzORj yOQi xOP 由由于于, zORyOQxOP 所所以以五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影222 zyxr PN. ),( ),( 22221111為為空空間間兩兩點點和和設(shè)設(shè)zyxMzyxM?21 MMdxyzO1M2M兩點間的間隔公式兩點間的間隔公式）（

18、1212121221,zzyyxxOMOMMM 2122122122121)()()(zzyyxxMMMM 空間兩點間間隔公式空間兩點間間隔公式21221221221)()()(zzyyxxMM . )3 , 2 , 5(),2 , 1 , 7(),1 , 3 , 4( 321角角形形的的三三角角形形是是一一個個等等腰腰三三為為頂頂點點證證明明以以MMM,14)12()31()47(222221 MM, 6)23()12()75(222232 MM, 6)31()23()54(222213 MM,1332MMMM 因因為為. 321是等腰三角形是等腰三角形所以所以MMM 例例4 4證明：證明： 解：解： 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x22