1、1 1緒論.基基礎(chǔ)礎(chǔ)和和背背景景理理論論和和實(shí)實(shí)際際問(wèn)問(wèn)題題為為研研究究數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)物物理理方方程程是是以以物物理理.解方法解方法三種典型物理方程的求三種典型物理方程的求本課程主要內(nèi)容：介紹本課程主要內(nèi)容：介紹一、本課程的研究對(duì)象.工具是偏微分方程理論工具是偏微分方程理論研究方法是數(shù)學(xué)分析，研究方法是數(shù)學(xué)分析，.理方程理方程偏微分方程稱作數(shù)學(xué)物偏微分方程稱作數(shù)學(xué)物我們把描述物理現(xiàn)象的我們把描述物理現(xiàn)象的什什么么是是偏偏微微分分方方程程？.分方程分方程偏導(dǎo)數(shù)的等式稱作偏微偏導(dǎo)數(shù)的等式稱作偏微含有未知多元函數(shù)及其含有未知多元函數(shù)及其刻刻其其內(nèi)內(nèi)部部某某一一點(diǎn)點(diǎn)處處溫溫度度描描述述某某一一物物體體在在某

2、某一一時(shí)時(shí)例例),(tzyxu 1 1),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程第1頁(yè)/共54頁(yè)0 02 22 22 22 22 22 22 2 zuyuxu 例例稱作拉普拉斯方程稱作拉普拉斯方程所所滿滿足足的的方方程程位位移移描描述述弦弦（桿桿）振振動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)其其例例),(txu 3 32 22 22 22 22 2xuatu 稱作振動(dòng)方程稱作振動(dòng)方程所所滿滿足足的的方方程程移移描描述述梁梁的的橫橫振振動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)其其位位例例),(txu 4 4),(txfxuatu 4 44 42 22 22 2所所滿滿足足的的方方程程和和位位函函數(shù)

3、數(shù)數(shù)數(shù)描描述述靜靜電電、磁磁場(chǎng)場(chǎng)的的力力函函例例vu 5 5 0 00 0yuxvyvxu第2頁(yè)/共54頁(yè).世世紀(jì)紀(jì)是是其其迅迅速速發(fā)發(fā)展展時(shí)時(shí)期期、世世紀(jì)紀(jì)。偏偏微微分分方方程程誕誕生生于于2 20 01 19 91 18 8源二、數(shù)學(xué)物理方程的起年年）：首首先先給給出出弦弦振振動(dòng)動(dòng)方方程程（法法國(guó)國(guó)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)家家、物物理理學(xué)學(xué)家家1 17 74 47 72 22 22 22 22 2xuatu )()(),(xatxattxu 2 21 1并并給給出出其其解解：研研究究。拉拉等等人人對(duì)對(duì)弦弦振振動(dòng)動(dòng)的的深深入入這這引引起起伯伯努努利利家家族族、歐歐.斯斯方方程程出出色色工工作作，稱稱作作拉拉

4、普普拉拉拉拉普普拉拉斯斯的的現(xiàn)現(xiàn)位位勢(shì)勢(shì)方方程程！后后來(lái)來(lái)因因?yàn)闉槟昴隁W歐拉拉在在論論文文中中首首次次出出1 17 75 52 20 02 22 22 22 22 22 2 zuyuxu.、三三維維波波動(dòng)動(dòng)方方程程和和球球面面波波時(shí)時(shí)建建立立了了二二維維年年歐歐拉拉在在在在研研究究矩矩形形鼓鼓1 17 75 59 9)(2 22 22 22 22 22 22 22 22 2zuyuxuatu 其數(shù)學(xué)模型的不斷深入方展，作為世紀(jì)隨著物理科學(xué)發(fā)展到了19各各類類偏偏微微分分眾眾多多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)家家系系統(tǒng)統(tǒng)地地研研究究榮榮起起來(lái)來(lái)的的偏偏微微分分方方程程，空空前前繁繁.世世紀(jì)紀(jì)偏偏微微分分方方程程的的內(nèi)

5、內(nèi)容容進(jìn)進(jìn)行行的的，所所以以聯(lián)聯(lián)系系著著相相應(yīng)應(yīng)的的物物理理模模型型究究方方法法大大多多都都性性和和求求解解方方法法。這這些些研研方方程程古古典典解解的的存存在在唯唯一一1 19 9.也稱為數(shù)學(xué)物理方程也稱為數(shù)學(xué)物理方程第3頁(yè)/共54頁(yè)。究究熱熱烈烈局局面面的的第第一一人人是是世世紀(jì)紀(jì)打打開(kāi)開(kāi)偏偏微微分分方方程程研研Fourier1 19 9當(dāng)時(shí)工業(yè)上要研究金屬冶煉和熱處理，迫切需要確定金屬內(nèi)部各點(diǎn)的溫度如何隨時(shí)間變化！Fourier對(duì)這種熱流動(dòng)問(wèn)題頗有興趣.1807年想巴黎科學(xué)院提交了用數(shù)學(xué)研究熱傳導(dǎo)的論文。,2 22 22 2xuatu .格格性性而而遭遭到到質(zhì)質(zhì)疑疑卻卻在在理理論論上上因

6、因?yàn)闉槿比狈Ψ?yán)嚴(yán)“形形式式”風(fēng)風(fēng)氣氣進(jìn)進(jìn)行行的的世世紀(jì)紀(jì)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)物物理理界界流流行行的的量量法法！他他的的研研究究是是沿沿用用并并創(chuàng)創(chuàng)立立了了所所謂謂的的分分離離變變1 18 8Fourier用實(shí)驗(yàn)的方法驗(yàn)證了任何函數(shù)都可以展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)的形式。但他沒(méi)有給出證明和函數(shù)可以展開(kāi)成級(jí)數(shù)應(yīng)該具備的條件。1829年德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里赫雷給出了嚴(yán)格的證明.19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)物理方程有重要貢獻(xiàn)的另外是法國(guó)兩位數(shù)學(xué)家Poisson和Laplace和英國(guó)數(shù)學(xué)家格林以及德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼.第4頁(yè)/共54頁(yè)這三類方程及其求解構(gòu)成數(shù)學(xué)物理方程的主要內(nèi)容）達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾的的弦弦振振動(dòng)動(dòng)方方程程(2 22 22 22 22 2

7、xuatu 的位勢(shì)方程）（laplacezuyuxu0222222的的熱熱傳傳導(dǎo)導(dǎo)方方程程）（Fourierxuatu2 22 22 2 第5頁(yè)/共54頁(yè)18世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家達(dá)朗貝爾（1717-1783歐拉（1707-1783）弦振動(dòng)的研究先驅(qū)弦振動(dòng)的研究先驅(qū)球球面面波波研研究究先先驅(qū)驅(qū)歐歐拉拉 - -第6頁(yè)/共54頁(yè)數(shù)學(xué)物理方程中的著名數(shù)學(xué)家物理學(xué)家位勢(shì)方程的研究者拉普拉斯（法1749-1827） 傅立葉（法1768-1830）-熱傳導(dǎo)方程的研究先驅(qū) 第7頁(yè)/共54頁(yè)柯西（法1789-1857）黎曼（德1826-1866）第8頁(yè)/共54頁(yè)二、 關(guān)于偏微分方程的基本概念關(guān)于偏微分方程的

8、基本概念.高高階階數(shù)數(shù)未未知知函函數(shù)數(shù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的最最包包含含在在偏偏微微分分方方程程中中的的1.1.方程的階二二階階偏偏微微分分方方程程 2 22 22 22 22 2xuatu 四四階階偏偏微微分分方方程程 4 44 42 22 22 2xuatu 一一階階偏偏微微分分方方程程組組 0 00 0yuxvyvxu第9頁(yè)/共54頁(yè).是是線線性性的的未未知知函函數(shù)數(shù)和和其其偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都出出現(xiàn)現(xiàn)在在偏偏微微分分方方程程中中的的1.2 線性微分方程),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 2 22 22 22 22 2xuatu 線性的線性的 否

9、否則則成成為為非非線線性性的的，如如0 0 xuxttuu 一一階階非非線線性性1.3半 線性微分方程、擬線性方程稱作半線性的；稱作半線性的；階偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù)不含有未知函數(shù)及其低不含有未知函數(shù)及其低其系數(shù)其系數(shù)偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，而偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，而偏分方程中所有最高階偏分方程中所有最高階,.稱稱作作擬擬線線性性的的數(shù)數(shù)及及其其低低階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則如如果果其其系系數(shù)數(shù)含含有有未未知知函函半線性偏微分方程半線性偏微分方程 0 03 33 3 xuxucutu組組擬線性一階偏微分方程擬線性一階偏微分方程 0 00 02 2xuucxvvtvxvuxuvtu第10頁(yè)/共54頁(yè)本課遇到一二階線性

10、偏微分方程的一般表達(dá)形式),(),(),(),(yxfuyxcyuyxbxuyxa0),(),(),(),(),(),(2),(22222yxGuyxFyuyxExuyxDyuyxCyxuyxBxuyxA一階線性偏微分方程的一般表達(dá)形式二階線性偏微分方程的一般表達(dá)形式第11頁(yè)/共54頁(yè)1.4非齊次、齊次偏微分方程在線性偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及偏導(dǎo)數(shù)的非零項(xiàng)稱作非齊次項(xiàng)。含有非奇次項(xiàng)的方程稱之為非齊次方程；否則稱作齊次方程。),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 分分方方程程非非齊齊次次二二階階三三維維線線性性微微)(2 22 22 22 22

11、22 22 2yuxuatu 。對(duì)象所展布的空間維數(shù)對(duì)象所展布的空間維數(shù)維數(shù)是指所研究的物理維數(shù)是指所研究的物理方程方程齊次二階二維線性微分齊次二階二維線性微分1.5偏微分方程的古典解m階偏微分方程在某區(qū)域的古典解是指具有直至m階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)使方程對(duì)其全體自變量在該區(qū)域成為等式。F非齊次項(xiàng)第12頁(yè)/共54頁(yè)1.6偏微分方程的定解條件與定解問(wèn)題偏微分方程的解有無(wú)窮多個(gè)而每個(gè)解都表示一特定的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，為了找出我們所研究的具有實(shí)際問(wèn)題要求的解，必須考慮研究對(duì)象所處的周圍環(huán)境和初始狀態(tài)等其他因素對(duì)解的影響，通過(guò)在這些方面的考慮，得到一些已知條件。這樣就有可能確定出一個(gè)特定的解。這個(gè)特解既要滿足方程

12、本身又要滿足所考慮的各種影響因素，因此也稱作定解；這些已知條件稱作定解條件。偏微分方程與其定解條件一起構(gòu)成定解問(wèn)題。偏微分方程的定解問(wèn)題并不一定都有解。因此定解問(wèn)題提的一定要適當(dāng)。 fufuatufuatu2 22 22 22 2.種方程的解法種方程的解法本課程主要研究下面三本課程主要研究下面三第13頁(yè)/共54頁(yè)三、數(shù)學(xué)物理方程的研究方法在數(shù)學(xué)中解決每個(gè)問(wèn)題時(shí)，總是先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行盡可能詳細(xì)的考察，取得感性認(rèn)識(shí)，從中找出規(guī)律性的東西，然后使用判斷和推理的方法得出數(shù)學(xué)結(jié)論。這叫做分析過(guò)程，而從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格論證結(jié)論的正確性叫做綜合過(guò)程。就結(jié)論是否正確，綜合過(guò)程是不可缺的。但對(duì)探討新結(jié)論來(lái)說(shuō)，分析過(guò)程尤為

13、重要！在數(shù)學(xué)物理方程中，我們特別強(qiáng)調(diào)通過(guò)分析過(guò)程推測(cè)可能得到的結(jié)論！而對(duì)結(jié)論的嚴(yán)格論證則常給予略去。這種做法并不意味著可以取消綜合過(guò)程，而是意味著分析過(guò)程從方法到結(jié)論都能給我們一些新的結(jié)論，而驗(yàn)證結(jié)論的正確性原則上沒(méi)有什么困難。正因?yàn)榉治鲞^(guò)程的任務(wù)在于探求新結(jié)論，而結(jié)論的確實(shí)成立與否還需另行證明，所以在分析過(guò)程的推理中，并不要求十分嚴(yán)格，特別的不要由于某些定理的條件限制而束縛自己的思路，這是本課程中應(yīng)該注意的。第14頁(yè)/共54頁(yè)四、數(shù)學(xué)物理方程的基本內(nèi)容和要求本課程不可能對(duì)各種的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題進(jìn)行普遍的介紹，只能就前面我們提到的三種典型方程的典型定解問(wèn)題做介紹！目的： 使大家初步了解怎樣把物理學(xué)

14、、力學(xué)、和科學(xué)技術(shù)中的一些實(shí)際問(wèn)題表達(dá)成偏微分方程的定解問(wèn)題；掌握求解偏微分方程定解問(wèn)題的一些基本方法；獲得從物理上解釋某些數(shù)學(xué)結(jié)果的初步訓(xùn)練。這也是目前數(shù)學(xué)建模所需要的能力。數(shù)學(xué)物理方程是一門同實(shí)際聯(lián)系比較緊密的數(shù)學(xué)學(xué)科，因而也是一門綜合性比較強(qiáng)的學(xué)科；它以解決實(shí)際問(wèn)題為唯一目標(biāo)，廣泛應(yīng)用物理學(xué)、力學(xué)、數(shù)學(xué)的各個(gè)分支知識(shí)；高等數(shù)學(xué)、復(fù)變函數(shù)、積分變換等。 fufuatufuatu2 22 22 22 21.9數(shù)學(xué)物理方程課程所需要的基礎(chǔ)第15頁(yè)/共54頁(yè)五、數(shù)學(xué)物理方程參考書1 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 南京工學(xué)院數(shù)學(xué)教研組 高等教育出版社 1982年2數(shù)學(xué)物理方程 歐維義 吉林科技出版社 1

15、985年第16頁(yè)/共54頁(yè)的的基基本本概概念念針針對(duì)對(duì)下下列列方方程程復(fù)復(fù)習(xí)習(xí)所所學(xué)學(xué)0 02 21 14 44 42 22 24 44 44 4 yuyxuxu)(次次？階階數(shù)數(shù)？、非非線線性性的的？齊齊次次非非齊齊回回答答下下列列方方程程是是線線性性的的四階線性齊次四階線性齊次0 02 2 xuxyxuu)(一階非線性，擬線性的一階非線性，擬線性的0 03 32 22 22 2 yuxxu)(二階線性齊次的二階線性齊次的xyuyxuxusin)( 2 22 22 22 22 22 24 4二階線性非齊次的二階線性非齊次的0 02 25 52 23 32 22 2 uyxuxuln)(三階非

16、線性三階非線性第17頁(yè)/共54頁(yè)2 2方程及定解問(wèn)題的物理推導(dǎo)AOl,弦弦，兩兩端端被被固固定定在在一一根根拉拉緊緊的的均均勻勻柔柔軟軟細(xì)細(xì)設(shè)設(shè)有有長(zhǎng)長(zhǎng)為為，方向的微小橫向振動(dòng)時(shí)方向的微小橫向振動(dòng)時(shí)垂直于垂直于當(dāng)它在平衡位置附近作當(dāng)它在平衡位置附近作OA2.1、弦振動(dòng)方程作用作用向上的力向上的力受到垂直于受到垂直于兩點(diǎn)，且在單位長(zhǎng)度上兩點(diǎn)，且在單位長(zhǎng)度上FOA問(wèn)題分析與假設(shè)問(wèn)題分析與假設(shè). 2 21 12 2 .沿沿平面上，而且弦上的點(diǎn)平面上，而且弦上的點(diǎn)指全部運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)在一個(gè)指全部運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)在一個(gè)橫向橫向:；是常數(shù)是常數(shù)勻就可以設(shè)線密度處處勻就可以設(shè)線密度處處細(xì)弦：可以看成線；均細(xì)弦：可以看成線

17、；均 、物理模型.求求弦弦上上各各點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)規(guī)規(guī)律律線傾角很??；線傾角很??；度及弦在任何位置處切度及弦在任何位置處切微?。嚎梢钥闯烧駝?dòng)幅微?。嚎梢钥闯烧駝?dòng)幅.運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)垂直于平衡位置的方向垂直于平衡位置的方向第18頁(yè)/共54頁(yè)OAxuF如下圖建立坐標(biāo)系如下圖建立坐標(biāo)系點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)軸設(shè)為平衡位置，軸設(shè)為平衡位置，.Oox數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型建立3 31 12 2 .PQ段段利利用用微微元元法法：取取弦弦上上一一PxQxx PQFpT QT x .),(軸軸方方向向的的位位移移時(shí)時(shí)刻刻沿沿垂垂直直于于點(diǎn)點(diǎn)處處表表示示弦弦上上x(chóng)txtxu有伸長(zhǎng)！那么就有有伸長(zhǎng)！那么就有可以認(rèn)為弦在震蕩中

18、沒(méi)可以認(rèn)為弦在震蕩中沒(méi)由于振動(dòng)是微小的，故由于振動(dòng)是微小的，故xPQ 無(wú)關(guān)！無(wú)關(guān)！時(shí)間時(shí)間，即它與位置，即它與位置常數(shù)常數(shù)弦所受的張力大小恒為弦所受的張力大小恒為txT第19頁(yè)/共54頁(yè)數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型建立3 31 12 2 .PQFpT QT x .),(軸軸方方向向的的位位移移時(shí)時(shí)刻刻沿沿垂垂直直于于點(diǎn)點(diǎn)處處表表示示弦弦上上x(chóng)txtxuxPQ ，常數(shù)常數(shù)弦所受的張力大小恒為弦所受的張力大小恒為T！方向沿著弦的切線方向方向沿著弦的切線方向弦是柔軟的，所受張力弦是柔軟的，所受張力軸方向所受的力有軸方向所受的力有u;)(方向向上方向向上外力外力xF 1 1;,sin)(方向向下方向向下分力分

19、力點(diǎn)張力點(diǎn)張力 TTP2 2方向向上；方向向上；分力分力點(diǎn)張力點(diǎn)張力,sin)( TTQ3 3角很小，即角很小，即由于振動(dòng)是微小的，傾由于振動(dòng)是微小的，傾 tansin,tansin ),(tantansintxuuuxxx 2 22 21 11 1 ),(sintxxux )(1 1xu),(sintxux 無(wú)關(guān)！無(wú)關(guān)！時(shí)間時(shí)間即它與位置即它與位置tx：第二定律第二定律由由NewtonttxuxFTT sinsinxFtxTutxxTuxx ),(),(),(txxxutt 第20頁(yè)/共54頁(yè)：第二定律第二定律由由NewtonttxuxFTT sinsin),(),(),(txxxuxFtx

20、TutxxTuttxx ),(),(),(txxuFxtxutxxuTttxx 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并進(jìn)一步假定并進(jìn)一步假定),(,txux0 0 ),(txuFTuttxx FuTtxuxxtt ),(fuatxuxxtt 2 2),(單位長(zhǎng)度加速度）單位長(zhǎng)度加速度）其中：其中：(, FfTa 0 02 2弦的強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程則有則有如果沒(méi)有外力如果沒(méi)有外力, 0 0 Fxxttuatxu2 2 ),(弦的自由橫振動(dòng)方程第21頁(yè)/共54頁(yè)fuatxuxxtt 2 2),(xxttuatxu2 2 ),(理意義不同。理意義不同。只是未知函數(shù)表示的物只是未知函數(shù)表示的物電報(bào)方程

21、等電報(bào)方程等擾動(dòng)的傳播、擾動(dòng)的傳播、縱振動(dòng)，管道中氣體小縱振動(dòng)，管道中氣體小可以用來(lái)描述彈性桿的可以用來(lái)描述彈性桿的.現(xiàn)象，而是一類！現(xiàn)象，而是一類！映的是不只是一個(gè)物理映的是不只是一個(gè)物理因此，同一個(gè)方程所反因此，同一個(gè)方程所反第22頁(yè)/共54頁(yè)除除薄薄膜膜自自身身的的于于微微翹翹的的固固定定框框架架上上，將將均均勻勻柔柔軟軟的的薄薄膜膜張張緊緊2.2、薄膜平衡方程薄薄膜膜形形成成作作用用，由由于于框框架架的的微微翹翹的的重重力力外外，無(wú)無(wú)其其他他外外力力、物理模型.無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)所說(shuō)的靜態(tài)就是和時(shí)間所說(shuō)的靜態(tài)就是和時(shí)間滿滿足足方方程程的的橫橫向向位位移移記記作作薄薄膜膜各各點(diǎn)點(diǎn)（),(),(),

22、yxuyxuyxTguuyyxx 一般的稱形如一般的稱形如),(yxfuuyyxx ，則有，則有如果自身重力可以忽略如果自身重力可以忽略0 0 yyxxuu.方程方程為二維為二維Poisson.(或調(diào)和方程）或調(diào)和方程）方程方程為二維為二維Laplace 方程方程三維三維方程方程三維三維LapalacePoissonzyxfuuuzzyyxx 0 00 0),(.上各點(diǎn)的橫向位移上各點(diǎn)的橫向位移一個(gè)曲面，求靜態(tài)薄膜一個(gè)曲面，求靜態(tài)薄膜第23頁(yè)/共54頁(yè)除除薄薄膜膜自自身身的的于于微微翹翹的的固固定定框框架架上上，將將均均勻勻柔柔軟軟的的薄薄膜膜張張緊緊2.2、薄膜平衡方程（推導(dǎo)過(guò)程）薄薄膜膜形

23、形成成作作用用，由由于于框框架架的的微微翹翹的的重重力力外外，無(wú)無(wú)其其他他外外力力、物理模型.(平衡狀態(tài)）平衡狀態(tài)）無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)所說(shuō)的靜態(tài)就是和時(shí)間所說(shuō)的靜態(tài)就是和時(shí)間。的的橫橫向向位位移移也也就就是是薄薄膜膜各各點(diǎn)點(diǎn)（),(),yxuyx.上各點(diǎn)的橫向位移上各點(diǎn)的橫向位移一個(gè)曲面，求靜態(tài)薄膜一個(gè)曲面，求靜態(tài)薄膜假設(shè)與分析假設(shè)與分析.坐坐標(biāo)標(biāo)面面；薄薄膜膜所所在在平平面面為為展展平平的的薄薄膜膜厚厚度度可可忽忽略略oxy).,(;yxuoxy薄薄膜膜形形成成的的曲曲面面方方程程為為，薄薄膜膜密密度度面面的的方方向向?yàn)闉楸”∧つさ牡臋M橫向向垂垂直直于于 ,),QRPSyx的的微微元元，記記作作在在薄

24、薄膜膜上上取取包包含含點(diǎn)點(diǎn)（SPRQoxyQRPSyx 坐坐標(biāo)標(biāo)面面的的投投影影區(qū)區(qū)域域記記作作在在的的微微元元點(diǎn)點(diǎn)（),第24頁(yè)/共54頁(yè)xx xyuoyyy xQRPSQRSP力力）的兩側(cè)薄膜之間有拉）的兩側(cè)薄膜之間有拉微元各邊緣（空間曲線微元各邊緣（空間曲線.T力稱作張力密度力稱作張力密度沿邊緣單位長(zhǎng)度上的拉沿邊緣單位長(zhǎng)度上的拉.是常數(shù)是常數(shù)張力密度張力密度在薄膜微翹情況下可視在薄膜微翹情況下可視T!處的薄膜切平面內(nèi)處的薄膜切平面內(nèi)的張力方向是在的張力方向是在邊緣任意點(diǎn)邊緣任意點(diǎn)MM的邊緣法平面內(nèi)）的邊緣法平面內(nèi)）且垂直于邊緣（即點(diǎn)且垂直于邊緣（即點(diǎn)M.方向的合力為零方向的合力為零作用力

25、沿位移作用力沿位移在薄膜平衡狀態(tài)下，各在薄膜平衡狀態(tài)下，各u的邊緣法平面內(nèi)）的邊緣法平面內(nèi)）且垂直于邊緣（即點(diǎn)且垂直于邊緣（即點(diǎn)M水平面所夾角為銳角水平面所夾角為銳角薄膜微元四邊上張力與薄膜微元四邊上張力與yPSQR 可以看作可以看作薄膜微翹薄膜微翹,xPRQS 方方向向的的合合力力所所受受沿沿、薄薄膜膜邊邊緣緣uPRQS)(1 1方方向向的的合合力力所所受受沿沿、薄薄膜膜邊邊緣緣uPSQR)(2 2方向的合力分析：方向的合力分析：薄膜邊緣沿薄膜邊緣沿u薄薄膜膜所所受受重重力力)(3 3第25頁(yè)/共54頁(yè)xx xyuoyyy xQRPSQRSP4 4 3 3 2 2 1 1 方方向向的的合合力

26、力所所受受沿沿、uPRQS)(1 1xTTF )sinsin(1 12 21 1 xTTF )tantan(1 12 21 1 xuTuTyyyyy )(xyuTyyyy 同理同理方方向向的的合合力力所所受受沿沿、uPSQR)(2 2yTTF )sinsin(3 34 42 2 yTTF )tantan(3 34 42 2 yuTuTxxxxx )(xyuTxxxx xgyF 3 33 3）重重力力（3 32 21 1FFF xgyxyuTxyuTyyyyxxxx guuTyyxx )(Tguuyyxx 如果忽略重力，有如果忽略重力，有0 0 yyxxuu第26頁(yè)/共54頁(yè)2.3、熱傳導(dǎo)方程問(wèn)

27、題分析與假設(shè)問(wèn)題分析與假設(shè). 2 23 32 2 .與與熱流強(qiáng)度熱流強(qiáng)度面流進(jìn)物體的熱量面流進(jìn)物體的熱量單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位界單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位界)(表表示示邊邊界界面面為為域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè)導(dǎo)導(dǎo)熱熱體體在在空空間間所所占占區(qū)區(qū)),(,tzyxuG 、物理模型熱量守恒定律：熱量守恒定律：熱傳導(dǎo)定律：熱傳導(dǎo)定律：設(shè)有一個(gè)導(dǎo)熱體，當(dāng)此導(dǎo)熱體內(nèi)各處溫度不一致時(shí)，熱量就要從高溫處向低溫處傳遞，試確定物體內(nèi)部各點(diǎn)在任意時(shí)刻的溫度所滿足的方程.),(導(dǎo)熱體為固體導(dǎo)熱體為固體處的溫度處的溫度時(shí)刻時(shí)刻導(dǎo)熱體在導(dǎo)熱體在zyxt),(),(2 22 21 11 1tzyxuttzyxut時(shí)刻溫度時(shí)刻溫度變到變到時(shí)刻的溫度

28、時(shí)刻的溫度物體由物體由這段時(shí)間進(jìn)入（流出）這段時(shí)間進(jìn)入（流出）變到變到恰好等于從恰好等于從所吸收（放出）的熱量所吸收（放出）的熱量2 21 11 1ttQ.總和總和和熱源提供的熱量和熱源提供的熱量物體的熱量物體的熱量3 32 2QQ成正比。成正比。梯度梯度與溫度與溫度u第27頁(yè)/共54頁(yè)),(zyxD,DSG所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域內(nèi)取由光滑封閉曲面內(nèi)取由光滑封閉曲面在在dvzyxD的微元的微元內(nèi)取包含內(nèi)取包含在在),(溫度從溫度從，密度密度設(shè)物體的比熱為設(shè)物體的比熱為dvzyxzyxC),(),( 所需要熱量所需要熱量時(shí)刻時(shí)刻變到變到時(shí)刻的時(shí)刻的由由),(),(2 22 21 11 1tzy

29、xuttzyxutdvtzyxutzyxucQD ),(),(1 12 21 1 dvtzyxutzyxuc),(),(1 12 2 熱量是熱量是由于溫度改變所需要的由于溫度改變所需要的整個(gè)整個(gè)D 2 21 12 21 1ttDDttdtdvttzyxucdvdtttzyxuc),(),( 2 2QDS的熱量的熱量進(jìn)入整個(gè)進(jìn)入整個(gè)由曲面由曲面所指那一側(cè)所指那一側(cè)流向流向的曲面微元的曲面微元時(shí)刻內(nèi)通過(guò)法向量為時(shí)刻內(nèi)通過(guò)法向量為在在ndSndt,dsdtnukdQ 2 21 12 2ttsdtsdnukQ第28頁(yè)/共54頁(yè) 2 21 12 2ttsdtsdnukQ 2 21 12 2ttDdtvd

30、zukzyukyxukxQ)()()(3 3Q熱源提供的熱量熱源提供的熱量.是一個(gè)熱源是一個(gè)熱源交換外物體本身就可能交換外物體本身就可能除外界對(duì)物體進(jìn)行熱量除外界對(duì)物體進(jìn)行熱量量）量）從單位體積內(nèi)放出的熱從單位體積內(nèi)放出的熱設(shè)熱源強(qiáng)度（單位時(shí)間設(shè)熱源強(qiáng)度（單位時(shí)間),(tzyxF 2 21 13 3ttDdvdttzyxFQ),(奧-高公式3 32 21 1QQQ 2 21 1ttDdtdvttzyxuc),( 2 21 1ttDdtdvzukzyukyxukx )()()( 2 21 1ttDdtdvtzyxF),(第29頁(yè)/共54頁(yè) 2 21 1ttDdtdvttzyxuc),( ),()

31、()()(tzyxFzukzyukyxukx 2 21 1ttDdtdvtzyxF),( ttzyxuc),( 2 21 1ttDdtdvzukzyukyxukx )()()(.為常數(shù)為常數(shù)當(dāng)導(dǎo)熱體材質(zhì)均勻時(shí)，當(dāng)導(dǎo)熱體材質(zhì)均勻時(shí)，k ttzyxuc),( ),()(tzyxFzuyuxuk 2 22 22 22 22 22 2 ctzyxFzuyuxucktu),()( 2 22 22 22 22 22 2三維熱傳導(dǎo)方程三維熱傳導(dǎo)方程),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 ctzyxFtzyxfcka),(),(, 2 2第30頁(yè)/共54頁(yè)fuatx

32、uxxtt 2 2),(1、弦振動(dòng)方程),(txfxuatu 2 22 22 22、熱傳導(dǎo)方程3、位勢(shì)方程),(yxfyuxu 2 22 22 22 2),()(tyxfyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 22 22 2),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2),()(tyxfyuxuatu 2 22 22 22 22 2),(zyxfzuyuxu 2 22 22 22 22 22 2算子稱作Laplacezyx 222222第31頁(yè)/共54頁(yè)),()

33、,(txfuatxutt 2 21、弦振動(dòng)方程),(txfuaut 2 22、熱傳導(dǎo)方程3、位勢(shì)方程),(yxfu ),(tyxfuautt 2 2),(tzyxfuautt 2 2),(tzyxfuaut 2 2),(tyxfuaut 2 2),(zyxfu 0 0 u方程方程Laplace算子稱作引入Laplacezyx 222222第32頁(yè)/共54頁(yè)2.4、定解條件和定解問(wèn)題.稱為定解條件稱為定解條件初始條件、邊界條件統(tǒng)初始條件、邊界條件統(tǒng)定解條件初始條件：初始條件：.的狀態(tài)的狀態(tài)邊界上各點(diǎn)在任意時(shí)刻邊界上各點(diǎn)在任意時(shí)刻是描述物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是描述物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中三類典型方程只能表示所研究的

34、每個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所滿足的方程，其三類典型方程只能表示所研究的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所滿足的方程，其本身不能確定它們的一個(gè)特定解。每個(gè)偏微分方程一般都有無(wú)窮本身不能確定它們的一個(gè)特定解。每個(gè)偏微分方程一般都有無(wú)窮多個(gè)解，每個(gè)解都表示一個(gè)特定的運(yùn)動(dòng)。為此我們要對(duì)方程附加多個(gè)解，每個(gè)解都表示一個(gè)特定的運(yùn)動(dòng)。為此我們要對(duì)方程附加一定的條件來(lái)刻畫所研究物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。一定的條件來(lái)刻畫所研究物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。.邊邊值值條條件件為為兩兩大大類類：初初始始條條件件、這這種種附附加加條條件件通通常常被被分分介質(zhì)內(nèi)部及邊界上介質(zhì)內(nèi)部及邊界上程在開(kāi)始時(shí)刻程在開(kāi)始時(shí)刻初始條件是描述運(yùn)動(dòng)過(guò)初始條件是描述運(yùn)動(dòng)過(guò))(0 0 t.任意一點(diǎn)的

35、狀態(tài)任意一點(diǎn)的狀態(tài)邊界條件：邊界條件：.解問(wèn)題解問(wèn)題應(yīng)的定解條件就構(gòu)成定應(yīng)的定解條件就構(gòu)成定偏微分方程聯(lián)同他們相偏微分方程聯(lián)同他們相第33頁(yè)/共54頁(yè)、三類典型方程的初始條件（1）、一維弦振動(dòng)方程的初始條件弦振動(dòng)的初始狀態(tài)涉及弦在初始時(shí)刻的位移和速度lxxtuxutt 0 00 00 0 ),(),( lxxxuxxut 0 00 00 0 ),(),(),(),( 或者表示成或者表示成（2）、三維熱傳導(dǎo)方程的初始條件Dx,y,zzyxut ) (),( 0 0Dx,y,zzyxzyxu ) (),(),( 0 0（3）、Poisson、Laplace方程無(wú)初始條件定常狀態(tài)，因此定常狀態(tài)，因此

36、描述的是和時(shí)間無(wú)關(guān)的描述的是和時(shí)間無(wú)關(guān)的，LaplacePoisson不提初始條件！不提初始條件！第34頁(yè)/共54頁(yè)、三類典型方程的邊值條件1 1、一維弦振動(dòng)方程的邊界條件、一維弦振動(dòng)方程的邊界條件弦的端點(diǎn)所受的約束情況，通常有以下三種：弦的端點(diǎn)所受的約束情況，通常有以下三種：0 00 00 00 0 tuulxx., ttlutu 0 00 00 0 ,),(),(（2) 2)自由端（第二邊值條件）即弦在端點(diǎn)可以沿垂直于自由端（第二邊值條件）即弦在端點(diǎn)可以沿垂直于x x軸的直線軸的直線自由滑動(dòng)，從而在這條直線的方向上，端點(diǎn)所受的張力分量為零自由滑動(dòng)，從而在這條直線的方向上，端點(diǎn)所受的張力分量

37、為零. .端為例：端為例：以以0 0 x（3 3）彈性支撐端（第三邊值條件）彈性支撐端（第三邊值條件）.變變滿滿足足胡胡克克定定律律支支承承上上，彈彈性性支支承承的的應(yīng)應(yīng)即即弦弦的的一一端端固固定定在在彈彈性性lxlxxxxxkuuTkuuT ,0 00 0邊界條件的形式比初始條件要多樣些邊界條件的形式比初始條件要多樣些. .定，這時(shí)有定，這時(shí)有）即弦的兩個(gè)端點(diǎn)被固）即弦的兩個(gè)端點(diǎn)被固固定端（第一邊值條件固定端（第一邊值條件)(1 1 ,tansin0 00 0 xxuTTT 0 00 0 xxu承承在在端端點(diǎn)點(diǎn)的的值值表表示示彈彈性性支支，則則如如彈彈性性支支承承原原來(lái)來(lái)位位置置為為uu0

38、0 .在該點(diǎn)的伸縮長(zhǎng)度在該點(diǎn)的伸縮長(zhǎng)度0 0, lxxxxuuuu)()( 0 0第35頁(yè)/共54頁(yè)1 1、一維弦振動(dòng)方程的邊界條件、一維弦振動(dòng)方程的邊界條件.,0 00 00 00 0 tuulxx .,),(),(0 00 00 0 ttlutu （2 2）自由端（第二邊值條件）即弦在端點(diǎn)可以沿垂直于）自由端（第二邊值條件）即弦在端點(diǎn)可以沿垂直于x x軸的直軸的直線自由滑動(dòng)線自由滑動(dòng). .（3 3）彈性支撐端（第三邊值條件）彈性支撐端（第三邊值條件）.)(定定）即弦的兩個(gè)端點(diǎn)被固）即弦的兩個(gè)端點(diǎn)被固固定端（第一邊值條件固定端（第一邊值條件1 10 00 0 xxu0 0, lxxxxuuu

39、u)()( 0 00 0 lxxuTk .的的函函數(shù)數(shù)值值知知函函數(shù)數(shù)在在端端點(diǎn)點(diǎn)（邊邊界界）第第一一邊邊值值條條件件即即已已知知未未.的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值知知函函數(shù)數(shù)在在端端點(diǎn)點(diǎn)（邊邊界界）第第二二邊邊值值條條件件即即已已知知未未.)(性性組組合合的的函函數(shù)數(shù)與與偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值的的線線邊邊界界即即已已知知未未知知函函數(shù)數(shù)在在端端點(diǎn)點(diǎn)0 0, lxxxxkuTukuTu)()(0 0第36頁(yè)/共54頁(yè)2 2、三維熱傳導(dǎo)方程的邊界條件、三維熱傳導(dǎo)方程的邊界條件Szyxtzyxus ),(),( （2 2）第二邊界條件：在導(dǎo)熱過(guò)程中，單位時(shí)間單位面積邊界面流）第二邊界條件：在導(dǎo)熱過(guò)程中，單位時(shí)間

40、單位面積邊界面流入的熱量已知，由入的熱量已知，由FourierFourier熱傳導(dǎo)定律：熱傳導(dǎo)定律：.SD的的邊邊界界曲曲面面為為導(dǎo)導(dǎo)熱熱體體Szyxtzyxnuks ),(),( .值值知知函函數(shù)數(shù)在在邊邊界界的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)第第二二邊邊值值條條件件即即已已知知未未.)(度度上各點(diǎn)在任意時(shí)刻的溫上各點(diǎn)在任意時(shí)刻的溫知邊界曲面知邊界曲面第一類邊界條件：即已第一類邊界條件：即已S1 1.數(shù)數(shù)值值未未知知函函數(shù)數(shù)在在邊邊界界上上的的函函第第一一邊邊界界條條件件就就是是已已知知?jiǎng)t則有有如如果果邊邊界界面面絕絕熱熱，即即,),(0 0 tzyx Szyxnus ),(, 0 0,)(1 13 3u記記

41、作作不不變變過(guò)過(guò)程程中中，外外界界溫溫度度保保持持第第三三類類邊邊界界條條件件：導(dǎo)導(dǎo)熱熱：由熱傳導(dǎo)定律由熱傳導(dǎo)定律生熱交換生熱交換且通過(guò)邊界面與物體發(fā)且通過(guò)邊界面與物體發(fā),)(1 1uuHkussn kHhhuhuuHukuHusnsn ,)()(1 11 1Newton熱傳導(dǎo)定律在單位時(shí)間內(nèi)，從物體表面單位面積中流向介質(zhì)的熱量同物體外表面的溫度與介質(zhì)在表面處的溫度之差成正比.性性組組合合函函數(shù)數(shù)值值與與偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值的的線線未未知知函函數(shù)數(shù)在在邊邊界界的的第第三三類類邊邊界界條條件件即即已已知知第37頁(yè)/共54頁(yè)定解問(wèn)題定解問(wèn)題法法！型型方方程程的的定定解解問(wèn)問(wèn)題題的的解解本本課課程程主主

42、要要介介紹紹三三類類典典.初初值值問(wèn)問(wèn)題題條條件件的的定定解解問(wèn)問(wèn)題題，稱稱作作只只有有初初值值條條件件沒(méi)沒(méi)有有邊邊界界.解問(wèn)題解問(wèn)題應(yīng)的定解條件就構(gòu)成定應(yīng)的定解條件就構(gòu)成定偏微分方程聯(lián)同他們相偏微分方程聯(lián)同他們相Cauchy問(wèn)題.邊邊值值問(wèn)問(wèn)題題條條件件的的定定解解問(wèn)問(wèn)題題，稱稱作作只只有有邊邊界界條條件件沒(méi)沒(méi)有有初初值值.題題聯(lián)聯(lián)立立，稱稱作作第第一一邊邊值值問(wèn)問(wèn)若若方方程程與與第第一一邊邊值值條條件件.問(wèn)問(wèn)題題同同樣樣有有第第二二、第第三三邊邊值值.混混合合問(wèn)問(wèn)題題條條件件的的定定解解問(wèn)問(wèn)題題，稱稱作作既既有有邊邊界界條條件件又又有有初初值值也稱初邊值問(wèn)題定定解解問(wèn)問(wèn)題題的的解解法法的的

43、特特點(diǎn)點(diǎn)（1 1）沒(méi)有一般的求解理論，只能就具體定解問(wèn)題做具體分析；）沒(méi)有一般的求解理論，只能就具體定解問(wèn)題做具體分析；（2 2）求解定解問(wèn)題分兩步走：先求定解問(wèn)題的形式解，然后加上）求解定解問(wèn)題分兩步走：先求定解問(wèn)題的形式解，然后加上適當(dāng)條件嚴(yán)格論證所求形式解確是解！適當(dāng)條件嚴(yán)格論證所求形式解確是解！（3 3）本書所討論的方程均為線性方程，在求解過(guò)程中應(yīng)該充分）本書所討論的方程均為線性方程，在求解過(guò)程中應(yīng)該充分利用疊加原理利用疊加原理. .所說(shuō)的形式解就是先假定所有的已知函數(shù)未知函數(shù)具有很好的性質(zhì)，也就是需要什么條件就具有什么條件。第38頁(yè)/共54頁(yè)一、熱傳導(dǎo)方程1、第一邊界問(wèn)題(1.3)

44、),( ),( (1.2) 0,),( ),(1.1) 0,),( )(02zyxzyxutzyxtzyxutzyxx,y,z,tfuatut2、第二邊界問(wèn)題(1.3) ),( ),( )(1.2 0,),( ),(1.1) 0,),( )(02zyxzyxutzyxtzyxnutzyxx,y,z,tfuatut (1.3) ),( ),( )2(1. 0,),( ),()(1.1) 0,),( )(02zyxzyxutzyxtzyxnukutzyxx,y,z,tfuatut3、第三邊界問(wèn)題第39頁(yè)/共54頁(yè)二、波動(dòng)方程 (1.6) ),( ),( ),( (1.5) 0,),( ),(1.4

45、) 0,),( )(0t0222zyxzyxtuzyxutzyxtzyxutzyxx,y,z,tfuatut第一邊界問(wèn)題第二邊界問(wèn)題(1.6) ),( ),( , ),( )(1.5 0,),( ),(1.4) 0,),( )(0t0222zyxzyxtuzyxutzyxtzyxnutzyxx,y,z,tfatut (1.6) ),( ),( , ),( )5(1. 0,),( ),()(1.4) 0,),( )(0t0222zyxzyxtuzyxutzyxtzyxnukutzyxx,y,z,tfuatut第三邊界問(wèn)題第40頁(yè)/共54頁(yè)三、位勢(shì)方程(1.8) 0 ),( (1.7) 0,),(

46、 )( 222222tzyxu tzyxx,y,z,tfzuyuxuu1、第一邊界問(wèn)題)(1.8 0,),( , ),()( (1.7) 0,),( )( 222222tzyxzyxnuku tzyxx,y,z,tfzuyuxuu2、第二邊界問(wèn)題1、第三邊界問(wèn)題)(1.8 0, ),( , ),( (1.7) 0),( )( 222222tzyxzyxnu tzyxx,y,z,tfzuyuxuu第41頁(yè)/共54頁(yè)3 3兩個(gè)重要定律一、杜阿梅爾原理（以一維弦振動(dòng)為例）是是下下面面初初值值問(wèn)問(wèn)題題的的解解設(shè)設(shè)兩兩次次連連續(xù)續(xù)可可微微函函數(shù)數(shù)),( txww (3.2) , (3.1) xxftwx

47、wtxxwatwt),(,),(, 0 02 22 22 22 22 2則則(3.3) dtxwtxut 0 0),(),(為為)(3.2 , 0, 0)0 ,( )(3.1 0, ),(022222xtuxutxtxfxuatut.的解的解.),(),(條條件件即即可可滿滿足足偏偏微微分分方方程程和和定定解解只只需需證證明明 dtxwtxut 0 0下面一個(gè)結(jié)論：下面一個(gè)結(jié)論：證明之前，我們先證明證明之前，我們先證明第42頁(yè)/共54頁(yè) dttxwttxwdtxwtttxutt 0 00 01 1),(),(),(),()( 則有則有如果如果證明證明, dtxwtxut 0 0),(),(:

48、dxtxwdtxwxxtxutt 0 00 02 2),(),(),()( ),(),(),(),( dtxwdttxwtttxuttxuttt 0 00 01 1 tttttdtxwdttxwdttxwt0 00 01 1 ),(),(),( dttxwtdttxwttxwtttt ),(),(),(1 10 0tttttxwtdtttxwt ),(),(2 20 01 11 1 ),(),(),(ttxwdttxwttxut 0 0拉格朗日中值定理積分中值定理0 01 10 01 10 02 21 1 t令令, 第43頁(yè)/共54頁(yè) dtxwtxut0 0),(),( .),(),(是定解問(wèn)

49、題的解是定解問(wèn)題的解證明證明 dtxwtxut 0 0 dtxwtttxut 0 0),(),( dtxwttxwtt 0 0),(),( dtxwtt0 0),( dtxwttttxut 0 02 22 2),(),(0 00 00 00 0 dttxwttxut),(),(,),(),(0 00 00 00 0 dtxwxu dtxwttttxwt 0 02 22 2),(),( (3.2) , (3.1) xxftwxwtxxwatwt),(,),(, 0 02 22 22 22 22 2 dtxwxatxft 0 02 22 22 2),(),(2 22 22 22 22 2xuatx

50、ftu ),( )(3.2 , )(3.1 xtuxutxtxfxuatut0 00 00 00 00 02 22 22 22 22 2,),(,),(0 0 ),(ttxw第44頁(yè)/共54頁(yè) (3.2) , (3.1) xxftwxwtxxwatwt),(,),(, 0 02 22 22 22 22 2 )(3.2 , )(3.1 xtuxutxtxfxuatut0 00 00 00 00 02 22 22 22 22 2,),(,),(方方程程定定解解問(wèn)問(wèn)題題的的解解：如如果果要要求求下下面面非非齊齊次次杜杜阿阿梅梅爾爾原原理理告告訴訴我我們們),( txw定定解解問(wèn)問(wèn)題題的的解解只只須須

51、求求解解下下面面齊齊次次方方程程進(jìn)進(jìn)行行積積分分即即可可：然然后后對(duì)對(duì)解解),( txw(3.3) dtxwtxut 0 0),(),(滿滿足足下下面面方方程程：可可以以證證明明 dtxwtxv),(),( dxftvxvtxvatvt),(,),(0 02 22 22 22 22 2 dxxfdxxx),(),( 受受到到外外力力，弦弦段段在在時(shí)時(shí)刻刻 ）載載荷荷密密度度),(),(txftxF dxdxfddxxf),(),),(產(chǎn)生沖量產(chǎn)生沖量在時(shí)段（在時(shí)段（外力外力 :獲得速度增量獲得速度增量沖量作用于弦段，使其沖量作用于弦段，使其 dxfdxdxdxf),(),( 質(zhì)質(zhì)量量沖沖量量加

52、速度加速度 ),(),(txftxF Ta 2 2解解釋釋其其物物理理意意義義：第45頁(yè)/共54頁(yè)圍圍杜杜阿阿梅梅爾爾原原理理的的適適用用范范高高維維問(wèn)問(wèn)題題；不不僅僅一一維維成成立立，也也適適用用)(1 1題題；不不適適用用于于與與時(shí)時(shí)間間無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)問(wèn)問(wèn)適適用用于于熱熱傳傳導(dǎo)導(dǎo)問(wèn)問(wèn)題題，但但不不僅僅適適用用波波動(dòng)動(dòng)問(wèn)問(wèn)題題，也也)(2 2適適用用于于混混合合問(wèn)問(wèn)題題；不不僅僅適適用用初初值值問(wèn)問(wèn)題題，也也)(3 3。有有界界的的，該該原原理理都都適適用用間間變變量量是是有有界界，還還是是半半在在混混合合問(wèn)問(wèn)題題中中，無(wú)無(wú)論論空空形形式式中中，原原理理，而而其其迭迭加加的的積積分分）該該原原理理的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)是是迭迭加加（4 4該該原原理理時(shí)時(shí)，因因此此對(duì)對(duì)于于混混合合問(wèn)問(wèn)題題應(yīng)應(yīng)用用關(guān)關(guān)積積分分變變量量與與空空間間變變量量無(wú)無(wú).邊界條件必須是齊次！邊界條件必須是齊次！第46頁(yè)/共54頁(yè)二、疊加原理(3.5) 1 1kkktxuctxu),(),(（以熱傳導(dǎo)方程為例）疊加原理I.)