1、分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用李煥煥（合肥市永和學(xué)校398179292qq）摘要：在解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用分類(lèi)討論思想，通過(guò)正確分類(lèi)，可以使復(fù)雜的問(wèn)題得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答.關(guān)鍵詞：分類(lèi)討論思想；初中數(shù)學(xué)；正確分類(lèi)；解題；應(yīng)用Abstract：InsolutionsmathematicsproblemShi,applicationclassificationdiscussionthought,throughcorrectlyclassification,canmakescomplexofproblemgetclear,full,closelyofanswers.引言：數(shù)學(xué)思想方法是人們對(duì)數(shù)

2、學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透是極其重要的。初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的思想方法有函數(shù)與方程的思想方法，化歸轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，分類(lèi)討論的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想方法，整體的思想方法等。、分類(lèi)討論思想1 .含義及意義在研究和解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，會(huì)遇到許多種不同的情況，有些問(wèn)題無(wú)法用同一種形式解決，有些問(wèn)題的結(jié)論不是唯一確定的。因此，我們需要把所要研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，選定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，將其劃分成幾個(gè)能用不同形式解決的小問(wèn)題，然后再將這些小問(wèn)題一一解決，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的答案。這就是我們常說(shuō)的分類(lèi)討論法，而運(yùn)用這種方法的思想就是分類(lèi)討論

3、思想。分類(lèi)討論思想，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，同時(shí)乂是一種重要的解題策略.分類(lèi)討論思想具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，縝密性，科學(xué)性，所以在數(shù)學(xué)解題中占有重要的位置.2 .分類(lèi)討論的要求、原那么及其意義分類(lèi)討論的要求：正確應(yīng)用分類(lèi)討論思想，是完整解題的根底.應(yīng)用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題，必須保證分類(lèi)科學(xué)，統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，在此根底上減少分類(lèi)，簡(jiǎn)化分類(lèi)討論過(guò)程.為了分類(lèi)的正確性，分類(lèi)討論必需遵循一定的原那么進(jìn)行，在初中階段，我們經(jīng)常用到的有以下四大原那么：(1)同一性原那么分類(lèi)應(yīng)按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類(lèi)不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的

4、分類(lèi)根據(jù).(2)互斥性原那么分類(lèi)后的每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容，即做到各個(gè)子項(xiàng)相互排斥，分類(lèi)后不能有些元素既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng).(3)相稱(chēng)性原那么分類(lèi)應(yīng)當(dāng)相稱(chēng)，即劃分后子項(xiàng)外延的總和(并集)，應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)的外延相等.(4)層次性原那么分類(lèi)有一次分類(lèi)和屢次分類(lèi)之分，一次分類(lèi)是對(duì)被討論對(duì)象只分類(lèi)一次；屢次分類(lèi)是把分類(lèi)后的所有的子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再次進(jìn)行分類(lèi)，直到滿足需要為止.分類(lèi)討論的意義：在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，對(duì)于因?yàn)榇嬖谝恍┎淮_定因素?zé)o法解答或者結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們往往將問(wèn)題按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)劃分為假設(shè)干類(lèi)或假設(shè)干個(gè)局部問(wèn)題來(lái)解決，通過(guò)正確的分類(lèi)，能夠克服思維的片面性，可以使復(fù)雜的問(wèn)題得到

5、清晰，完整，嚴(yán)密的解答。3 .優(yōu)勢(shì)及劣勢(shì)運(yùn)用分類(lèi)討論思想解題的優(yōu)勢(shì)是可將復(fù)雜的問(wèn)題分解成假設(shè)干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，便于解答；恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)討論可防止丟值漏解，從而提高全面考慮問(wèn)題的能力，養(yǎng)成周密?chē)?yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)教養(yǎng)。運(yùn)用分類(lèi)討論思想解題的劣勢(shì)是容易將一些問(wèn)題的解答變得繁瑣，消耗大量的時(shí)間；容易形成一種思維定勢(shì)，不易于培養(yǎng)創(chuàng)新、有效的解題能力。二、運(yùn)用分類(lèi)討論思想解題正確運(yùn)用分類(lèi)討論思想，是完整解題的根底。但運(yùn)用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題，必須遵循一定的原那么，明確如何進(jìn)行分類(lèi)，知道引起分類(lèi)討論的原因，明白解題的一般步驟，才能保證解答的正確性。運(yùn)用分類(lèi)討論思想解題的原那么主要表達(dá)在如何進(jìn)行分類(lèi)上。在對(duì)分類(lèi)對(duì)象進(jìn)行劃分

6、時(shí)，我們應(yīng)該遵循以下四個(gè)原那么：劃分應(yīng)是相稱(chēng)的，劃分后子項(xiàng)的總和應(yīng)與母項(xiàng)相等；劃分標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，對(duì)分類(lèi)的對(duì)象應(yīng)按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，不能同時(shí)用幾種依據(jù)去劃分；劃分的子項(xiàng)必須相互排斥，進(jìn)行分類(lèi)后，有些元素不能既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng)；劃分不能越級(jí)，要按層次一級(jí)一級(jí)進(jìn)行分類(lèi)。運(yùn)用分類(lèi)討論思想解題，必須明白解題的一般步驟。首先，明確是否需要分類(lèi)；然后確定分類(lèi)討論的對(duì)象；接著，進(jìn)行合理的分類(lèi)；逐步逐級(jí)分類(lèi)討論，得到階段性成果；最后，歸納總結(jié)，綜合得出結(jié)論。3分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用1.分類(lèi)討論思想在運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、定義題中的應(yīng)用有些數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)概念是分類(lèi)給出的，如絕對(duì)值、圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)

7、方程的概念等。例1、假設(shè)問(wèn)=236網(wǎng)=2,求+的值。分析：這道題考查學(xué)生對(duì)絕對(duì)值定義的掌握、運(yùn)用情況。由于絕對(duì)值的定義是分類(lèi)給出的，aa>0)同=<0(«=0)-a(a<0)所以a,b分別有兩個(gè)值，這個(gè)時(shí)候，求a+b的值就需要進(jìn)行分類(lèi)討論。解：因?yàn)榘?2016,網(wǎng)=2所以a=±2016,=±2當(dāng)4=2016/=2時(shí)，6r+Z?=2018.當(dāng)a=206,0=-2時(shí)，a+/?=2014.當(dāng)a=-2016,/?=-2時(shí)，«+/?=-2018.當(dāng)a=-2016,0=2時(shí)，«+/；=-20142 .分類(lèi)討論思想在運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算要求限制下

8、的應(yīng)用在解題過(guò)程中，往往將式子變形或轉(zhuǎn)化為另外一個(gè)式子來(lái)進(jìn)行解題和運(yùn)算，很多變形和運(yùn)算是受條件限制的。例2、甲數(shù)的絕對(duì)值是乙數(shù)絕對(duì)值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為8,求這兩個(gè)數(shù);假設(shè)數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢？C2分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)意味著甲乙兩數(shù)符號(hào)相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰(shuí)是正數(shù)誰(shuí)是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問(wèn)題。解：設(shè)甲數(shù)為X,乙數(shù)為y由題意得：，(1)數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)：假設(shè)x在原點(diǎn)左側(cè),y在原點(diǎn)右側(cè),即x<0,y>0,那么4y=8,所以y=2,x=-

9、6假設(shè)x在原點(diǎn)右側(cè)，y在原點(diǎn)左側(cè)，即x>0,y<0,那么-4y=8,所以y=-2,x=6(2數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)：假設(shè)x、y在原點(diǎn)左側(cè),即x<0,y<0,那么-2y=8,所以y=4,x=T2假設(shè)x、y在原點(diǎn)右側(cè)，即x>0,y>0,那么2y=8,所以y=4,x=123 .分類(lèi)討論思想在數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式限制下的應(yīng)用有些定理或公式本身具有限制條件。如，有些函數(shù)的單調(diào)性具有增減兩種可能，遇到時(shí)就要進(jìn)行分類(lèi)討論。例3.函救y=(m-1)x2+(m-2)xl(m是實(shí)數(shù))。如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值分析：這里從函數(shù)分類(lèi)的角度討論，分m-l=

10、O和mIWO兩種情況來(lái)研究解決問(wèn)題。解：時(shí)函數(shù)就是一個(gè)一次函數(shù)y=-x1,它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)(-1,0)。當(dāng)mTWO時(shí)，函數(shù)就是一個(gè)二次函數(shù)丫=(m1x2+(m2)xl、當(dāng)=(m2)2+4(m1)-0,得m=0o拋物線y二-x22xl,的頂點(diǎn)(一1,0)在x軸上。4 .分類(lèi)討論思想在參數(shù)不確定的題中的應(yīng)用有時(shí)方程、不等式、函數(shù)式中所含參數(shù)取不同的值時(shí)，會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不同，因此需要進(jìn)行分類(lèi)討論。例4、解關(guān)于X的不等式：ax(«+l)x+I<。m分析：這是一個(gè)含參數(shù)a的不等式，它不一定是一個(gè)二次不等式，故首先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a分類(lèi)：(1)aWO,(2)a=0,對(duì)于(2),不等式易解；對(duì)于

11、(1),乂需再次分類(lèi)：a>0或a<0,因?yàn)樵谶@兩種情形下，不等式的解集形式是不同的，不等式的解集可能是在兩根之外，也可能是在兩根之間。當(dāng)確定這一點(diǎn)后，乂會(huì)遇到1與-1誰(shuí)大誰(shuí)小的問(wèn)題，因而乂需作一次分類(lèi)討論。故解題時(shí)，需要作三級(jí)分類(lèi)。解：(1)當(dāng)。=Of,原不等式化為一x+l<0:.x>i(2)當(dāng)aWO時(shí)，原不等式化為a(x-l)(x-3<0a若。<0,貝IJ原不等式化為"一1)*一！)>0a/-<0/.<1/.不等式宜軍為x<-或x>1aaa若。>0,貝IJ原不等式化為(xl)(xL)vOa(/)當(dāng)a>l時(shí)

12、，-<L不等式解為，<xvlaa(")當(dāng)。=1時(shí),L=l,(訪)當(dāng)Ov。<1時(shí)，>1,不等式解為1<x<aa當(dāng)。V V 1 口寸，解集為 X 1 V X V 口 a綜上所述，得原不等式的解集為當(dāng)<0時(shí)，解集為L(zhǎng)xvL或¥>1'。當(dāng)=O時(shí)，解柒為NX>1.當(dāng)。=1時(shí)，解集為0當(dāng)4>1時(shí)，解集為JvxVHa例5、關(guān)于“的函數(shù)y=G-4)Y-(2l1)x+？的圖像與x軸總有交點(diǎn)，求m的取值范圍。分析：函數(shù)中最高項(xiàng)的系數(shù)是含字母的不確定代數(shù)式，所以它的取值有多種可能性，這時(shí)我們就需要進(jìn)行分類(lèi)討論。題目說(shuō)函數(shù)圖象與x

13、軸總有交點(diǎn)，并沒(méi)有說(shuō)明有幾個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有可能是一次函數(shù)，有可能是二次函數(shù)。所以未知數(shù)最高項(xiàng)的系數(shù)要分類(lèi)討論。解：(1)當(dāng)?-4=°,即?=4時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；(2)當(dāng)?-4工0時(shí)，此時(shí)函數(shù)為二次函數(shù)，A=-(2/77-1)-4(/77-4)/77>0解得m>-12,所以當(dāng)1m>加-4工0且12時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)."?2綜合(1)(2),當(dāng)12時(shí)，圖像與犬軸總有交點(diǎn)。5 .分類(lèi)討論思想在圖形不確定的題中的應(yīng)用由于題目未明確給出圖形的所有元素，所以會(huì)導(dǎo)致圖形不確定，引起分類(lèi)討論。例6、如果三角形的兩邊長(zhǎng)分別是23cm和10cm

14、,第三邊的長(zhǎng)與其中一邊的長(zhǎng)度相等,那么第三邊的長(zhǎng)是多少？分析：由于題中所求的第三邊與其中一邊相等，但是不明確具體是與哪條邊相等，因此需分兩種情況討論。假設(shè)不作兩種情況的分類(lèi)討論，可能會(huì)出現(xiàn)漏解或錯(cuò)解。解：(1)當(dāng)?shù)谌叺拈L(zhǎng)為23cm時(shí),其三邊長(zhǎng)分別為23cm、23cm、10cm,它們滿足三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊。因此，這三邊能構(gòu)成三角形，所以第三邊的長(zhǎng)為23cm；(2)當(dāng)?shù)谌叺拈L(zhǎng)為10cm時(shí)，其三邊長(zhǎng)分別為10cm、10cm、23cm。因?yàn)?0+10v23,所以它不能構(gòu)成三角形，故第三邊長(zhǎng)不能為10cm。綜上所述，第三邊的長(zhǎng)為23cm。例7.兩圓的半徑分別是5cm和4cm,公共弦長(zhǎng)

15、為6cm,那么這兩圓的圓心距為。分析：由圓的對(duì)稱(chēng)性，兩圓的公共弦可在兩圓心之間，也可以在兩圓心同旁。答案：4+根號(hào)7和4-根號(hào)76 .分類(lèi)討論思想在排列組合問(wèn)題中的應(yīng)用分類(lèi)討論思想在排列組合問(wèn)題中的應(yīng)用也比較常見(jiàn)，尤其是解含有約束條件的排列組合問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用分類(lèi)討論的方法可以把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。例8、在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少？解：依題意，共線的三點(diǎn)組可以分為三類(lèi)：8x7r。=2o6x1 _3共有可一(個(gè))；史。共有2(個(gè))；(2)兩端點(diǎn)皆為面的中心的共線三點(diǎn)組,(1)兩端點(diǎn)皆為頂點(diǎn)的共線三點(diǎn)組，共有2(個(gè))；(3)兩端

16、點(diǎn)皆為各棱中點(diǎn)的共線三點(diǎn)組，所以總共有28+3+18=49(個(gè))。7 .分類(lèi)討論思想在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用近幾年來(lái)，考試命題中出現(xiàn)了大量的實(shí)際應(yīng)用題。這種應(yīng)用題，往往需要運(yùn)用分類(lèi)討論思想才能順利解決。例9、某超市春節(jié)期間舉行促銷(xiāo)優(yōu)惠活動(dòng)，方案一：憑50元錢(qián)購(gòu)置會(huì)員卡，憑會(huì)員卡購(gòu)置超市內(nèi)商品享受八折優(yōu)惠；方案二：假設(shè)不購(gòu)置會(huì)員，那么購(gòu)置超市內(nèi)商品只能享受九折優(yōu)惠。(1)假設(shè)按照方案一購(gòu)置商品應(yīng)付款額為w(元)，假設(shè)按照方案二購(gòu)置商品應(yīng)付款額為九(元)，購(gòu)置商品的價(jià)格為X元，請(qǐng)用含有X的代數(shù)式表示力和力；(2)購(gòu)置商品的價(jià)格在什么范圍內(nèi)，如何選擇購(gòu)置方案更劃算？解：(1)y尸50+0.8x,y：=0.

17、9x<>(2)當(dāng)y2九時(shí)，50+0.8x>0.9x,解得xV500；當(dāng)yf時(shí),50+0.8x=0.9x,解得x=500；當(dāng)當(dāng)wVy：:時(shí)，50+0.8x<0.9x,解得x>500；所以當(dāng)購(gòu)置商品的價(jià)格小于500元時(shí)，選擇方案二更劃算，當(dāng)購(gòu)置商品的價(jià)格等于500元時(shí)，選擇兩種方案一樣劃算，當(dāng)購(gòu)置商品的價(jià)格大于500元時(shí),選擇方案一更劃算。四、如何簡(jiǎn)化分類(lèi)討論分類(lèi)討論是一種重要的解題策略，但他不是萬(wàn)能的，不是唯一的，對(duì)于分類(lèi)討論的問(wèn)題，在熟悉和掌握分類(lèi)討論的同時(shí):要注意克服盲目討論的思維定勢(shì)，要認(rèn)真審查題目的特點(diǎn)，充分挖掘題中潛在的特殊性和簡(jiǎn)單性，盡可能防止分類(lèi)討論，

18、簡(jiǎn)化分類(lèi)討論過(guò)程，從而提高分類(lèi)討論的效果.五、總結(jié)通過(guò)以上的例子，可以發(fā)現(xiàn)分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用是非常廣泛的。通過(guò)探討分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)中集合，函數(shù)，不等式，排列組合等中的應(yīng)用，我們應(yīng)用正確的分類(lèi)討論思想，對(duì)不同情況進(jìn)行分類(lèi)研究，使問(wèn)題化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整，從而使復(fù)雜的問(wèn)題得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答.它能使許多看似復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，也能全面地解答一個(gè)問(wèn)題。在使用分類(lèi)討論思想解題時(shí)，首先需要明白為何要進(jìn)行分類(lèi)討論，再者要遵循一定的原那么，合理分類(lèi)，對(duì)全體對(duì)象的分類(lèi)要按照同一標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏。但是在解題過(guò)程中，不能盲目或機(jī)械地進(jìn)行分類(lèi)討論。有的題目雖然含有分類(lèi)因素，但對(duì)問(wèn)題作深入研究，會(huì)發(fā)現(xiàn)題目中各定量或變量存在一定的關(guān)系。因此，對(duì)于需要分類(lèi)討論的問(wèn)題，在熟悉和掌握分類(lèi)討論思想的同時(shí)，要注意克服盲目討論的思維定勢(shì)，認(rèn)真審查題目的特點(diǎn)，充分挖掘題中潛在的特殊性和簡(jiǎn)單性，盡可能防止分類(lèi)討論，簡(jiǎn)化分類(lèi)討論過(guò)程，使解題更簡(jiǎn)單、更輕松。參考文獻(xiàn)：1皇甫月紅.淺談初中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)J.課程教育研究，2021(33).2