1、1第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 9.3 Laplace 逆變換逆變換一、反演積分公式一、反演積分公式 Laplace 逆變換公式逆變換公式 二、求二、求 Laplace 逆變換的方法逆變換的方法2第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 一、反演積分公式一、反演積分公式 Laplace 逆變換公式逆變換公式 1. 公式推導(dǎo)公式推導(dǎo) 函數(shù)函數(shù) 的的 Laplace 變換變換 )(tf)()( jFsF 就是函數(shù)就是函數(shù) 的的 Fourier 變換，變換， ttutf e)()(.d)()()()(ee ttutfjFsFtjt 即即 .d)(21)()(ee

2、tjtjFtutf在在 的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn) t 處，有處，有 )(tf(2) 根據(jù)根據(jù) Fourier 逆變換，逆變換， (1) 由由 Laplace 變換與變換與 Fourier 變換的關(guān)系可知，變換的關(guān)系可知， 推導(dǎo)推導(dǎo) 3第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 一、反演積分公式一、反演積分公式 Laplace 逆變換公式逆變換公式 1. 公式推導(dǎo)公式推導(dǎo) 在在 的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn) t 處，有處，有 )(tf.d)(21)()(ee tjtjFtutf(2) 根據(jù)根據(jù) Fourier 逆變換，逆變換， 推導(dǎo)推導(dǎo) (3) 將上式兩邊同乘將上式兩邊同乘 并由并由 有有 ,et , j

3、s .d)(21)()(e jjt sssFjtutf . )0( t即得即得 ,d)(21)(e jjt sssFjtf 4第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 稱稱 (B) 式為反演積分公式。式為反演積分公式。 定義定義 該直線處于該直線處于 的存在域中。的存在域中。 ,Re s)(sF注注 反演積分公式中的積分路徑是反演積分公式中的積分路徑是 s 平面上的一條直線平面上的一條直線 c j j P227 ( 9.16 )式式 一、反演積分公式一、反演積分公式 Laplace 逆變換公式逆變換公式 2. 反演積分公式反演積分公式 根據(jù)上面的推導(dǎo)，得到如下的根據(jù)上面的推導(dǎo)，得到

4、如下的 Laplace 變換對變換對: 5第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 二、求二、求 Laplace 逆變換的方法逆變換的方法1. 留數(shù)法留數(shù)法 利用留數(shù)計(jì)算反演積分。利用留數(shù)計(jì)算反演積分。 那么那么 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 除在半平面除在半平面 內(nèi)有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)內(nèi)有有限個(gè)孤立奇點(diǎn) cs Re)(sF定理定理 且當(dāng)且當(dāng) 時(shí)，時(shí)， s,0)(sFnsss,21外是解析的，外是解析的， , ,)(Rese1kt snkssF . )0( t jjt sssFjtf d)(21)(e證明證明 ( (略略) ) t seP227定理定理 9.2 ( (進(jìn)入證明進(jìn)入證明?)?)6第九章

5、拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 二、求二、求 Laplace 逆變換的方法逆變換的方法2. 查表法查表法 此外，還可以利用卷積定理來求象原函數(shù)。此外，還可以利用卷積定理來求象原函數(shù)。 利用利用 Laplace 變換的性質(zhì)，并根據(jù)一些已知函數(shù)的變換的性質(zhì)，并根據(jù)一些已知函數(shù)的 Laplace變換來求逆變換。變換來求逆變換。 大多數(shù)情況下，象函數(shù)大多數(shù)情況下，象函數(shù) 常常為常常為(真真)分式形式：分式形式： )(sF,)()()(sQsPsF 其中，其中，P(s) 和和 Q(s) 是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。 由于真分式總能進(jìn)行部分分式分解，因此，利用查表法由于真分式總能進(jìn)行部分

6、分式分解，因此，利用查表法 很容易得到象原函數(shù)。很容易得到象原函數(shù)。 常用常用 ( (真分式的部分分式分解真分式的部分分式分解) )7第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 二、求二、求 Laplace 逆變換的方法逆變換的方法2. 查表法查表法 幾個(gè)常用的幾個(gè)常用的 Laplace 逆變換的性質(zhì)逆變換的性質(zhì) 8第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 二、求二、求 Laplace 逆變換的方法逆變換的方法2. 查表法查表法 幾個(gè)常用函數(shù)的幾個(gè)常用函數(shù)的 Laplace 逆變換逆變換 9第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 )2( )1(15)( ss

7、ssF.21 sBsA(1) ( (單根單根) ) 解解 方法一方法一 利用查表法求解利用查表法求解 有有 (2) 由由 11as ,eta )()(1sFtf .322eett 21311211 ss2 3 10第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 解解 方法二方法二 利用留數(shù)法求解利用留數(shù)法求解 .322eett (1) 為為 的一階極點(diǎn)，的一階極點(diǎn)， 2, 121 ss)(sF1ee2151,)(Res st st ssssF,2et 2ee1152,)(Res st st ssssF.32et (2) 2,)(Res1,)(Res)(eet st ssFsFtf 11第

8、九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 .)1(122 sCsBsA( (重根重根) ) 2)1( )2(1)( sssF(1) 解解 方法一方法一 利用查表法求解利用查表法求解 )()(1sFtf .eee2tttt 1 1 1 1 1 有有 (2) 由由 11as ,eta 21)(1as ,etat P228 例例9.17 12第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 解解 方法二方法二 利用留數(shù)法求解利用留數(shù)法求解 (1) 分別為分別為 的一階與二階極點(diǎn)，的一階與二階極點(diǎn)， 1,221 ss)(sF22ee)1(12,)(Res st st sssF,2et 1

9、)e(e21,)(Res st st sssF(2) 1,)(Res2,)(Res)(eet st ssFsFtf .eee2tttt .eettt 13第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 )3( 4)1()1()(22 ssssF(1) 解解 方法一方法一 利用查表法求解利用查表法求解 ( (復(fù)根復(fù)根) ) 3 sA,4)1(2 sCsB,2)1(2)1(22 sCsB, )3(2) 1(2) 1() 1(222 sCsBsAs令令 得得 ,3 s;2 A令令 得得 ,21is , )22( )22()22(2 iCBii,1,1 CB2 1 114第九章 拉普拉斯變換 9

10、.3 Laplace 逆變換 )3( 4)1()1()(22 ssssF解解 (1) 方法一方法一 利用查表法求解利用查表法求解 ( (重根重根) )3 sA,4)1(2 sCsB,2)1(2)1(22 sCsB2 1 1,2)1(22)1(13122222 ssss(2) 由由 11as ,eta 2212)1(1 ss,2cosett 2212)1(2 s,2sinett )()(1sFtf .2sin2cos2eee3ttttt 得得 15第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 解解 方法二方法二 利用留數(shù)法求解利用留數(shù)法求解(略講略講) (1) 為為 的一階極點(diǎn)，的一階極

11、點(diǎn)， iss21,33, 21 )(sF,23,)(Res3eett ssF .2121,)(Res)21(eetit siisF .2sin2cos2eee3ttttt (2) tititiitf)21()21(3eee21212)( 16第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 解解 方法一方法一 利用查表法求解利用查表法求解 ,)1(1111)(2 ssssF.1)(eettttf 方法二方法二 利用留數(shù)法求解利用留數(shù)法求解 1,)(Res0,)(Res)(eet st ssFsFtf 分別為分別為 的一階與二階極點(diǎn)，的一階與二階極點(diǎn)， 1,021 ss)(sF 02)1(e

12、st ss1)e( st ss.1eettt 17第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 解解 方法三方法三 利用卷積定理求解利用卷積定理求解 .1eettt 1e tt t0d1e1)1(1121ss 21)1(11)( sstf方法四方法四 利用積分性質(zhì)求解利用積分性質(zhì)求解 .d)()(101 tttgsGs.1eettt tttt0de tts021d)1(121)1(11)( sstf18第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 輕松一下19第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 利用留數(shù)計(jì)算反演積分的定理證明利用留數(shù)計(jì)算反演積分的定理證明 附：

13、附： 證明證明 如圖，作閉曲線如圖，作閉曲線 ,RCLC 大時(shí)，可使大時(shí)，可使 的所有奇點(diǎn)包含的所有奇點(diǎn)包含 t ssFe)(當(dāng)當(dāng) R 充分充分 在在 C 圍成的區(qū)域內(nèi)。圍成的區(qū)域內(nèi)。 R L CR 解析解析 Rj Rj 由留數(shù)定理有：由留數(shù)定理有： Ct sssFd)(e, ,)(Res2e1kt snkssFi RCt sLt sssFssFd)(d)(ee由若爾當(dāng)引理由若爾當(dāng)引理(5.3), 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 0 t,0d)(lime RCt sRssF. ,)(Rese1kt snkssF jjt sssFj d)(21e即得即得 ( (前往前往) )20第九章 拉普拉斯變換 9.3 L

14、aplace 逆變換 將上式兩邊同乘以將上式兩邊同乘以 得得 )(as )()()()(1assQassP , )()()(11assQsPA 1. Q(s) 含單重一階因子的情況含單重一階因子的情況 , )()()(1sQassQ , )(as 假設(shè)假設(shè) Q(s) 含單重一階因子含單重一階因子 即即 )()()(sQsPsF )()()(1sQassP asA ,)()(11sQsP 那么那么 將實(shí)系數(shù)真分式將實(shí)系數(shù)真分式 化為部分分式化為部分分式 附：附： )(/ )()(sQsPsF ,as assQsPA )()(1.)()(1aQaP 令令 即得即得 21第九章 拉普拉斯變換 9.3

15、 Laplace 逆變換 2. Q(s) 含多重一階因子的情況含多重一階因子的情況 ,)(mas , )()()(2sQassQm 假設(shè)假設(shè) Q(s) 含多重一階因子含多重一階因子 即即 )()()(sQsPsF )()()(2sQassPm 那么那么 ,)()()()(221110sQsPasAasAasAmmm 將上式兩邊同乘以將上式兩邊同乘以 得得 mas)( 1110)()(mmasAasAA)()(22sQsP,)(mas )()(2sQsP將實(shí)系數(shù)真分式將實(shí)系數(shù)真分式 化為部分分式化為部分分式附：附： )(/ )()(sQsPsF 22第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace

16、逆變換 2. Q(s) 含多重一階因子的情況含多重一階因子的情況 ,as 兩邊逐次求導(dǎo)，并令兩邊逐次求導(dǎo)，并令 即得即得 ,as assQsPA )()(20,)()(2aQaP 令令 即得即得 askkksQsPskA )()(dd!12. )1,2,1( mk 1110)()(mmasAasAA)()(22sQsP,)(mas )()(2sQsP將實(shí)系數(shù)真分式將實(shí)系數(shù)真分式 化為部分分式化為部分分式附：附： )(/ )()(sQsPsF 23第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 將實(shí)系數(shù)真分式將實(shí)系數(shù)真分式 化為部分分式化為部分分式附：附： )(/ )()(sQsPsF 上

17、面討論了上面討論了 含單重和多重一階因子的情況，如果是含單重和多重一階因子的情況，如果是 )(sQ在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行分解，這兩種情況已經(jīng)夠了。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行分解，這兩種情況已經(jīng)夠了。 但如果僅在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行分解，這兩種情況還不夠。但如果僅在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行分解，這兩種情況還不夠。 即如果復(fù)數(shù)即如果復(fù)數(shù) 為為 的零點(diǎn)，那么它的共軛復(fù)數(shù)的零點(diǎn)，那么它的共軛復(fù)數(shù) jbaz )(sQ也必為也必為 的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。 jbaz )(sQ因此，因此， 必含有必含有(實(shí)的實(shí)的) )(sQ 由于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)零點(diǎn)總是互為共軛地成對出現(xiàn)的，由于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)零點(diǎn)總是互為共軛地成對出現(xiàn)的， 下面需進(jìn)一步討論含實(shí)

18、二階因子的情況。下面需進(jìn)一步討論含實(shí)二階因子的情況。 .)(22bas )(zszs 二階因子二階因子 24第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 , )()()(322sQbassQ )()(3sQsPbDasC )()()(33sQsP , )(22bas )()()()(322sQbassPsF 22)()(basbDasC)()(33sQsP那么那么 ,)(22bas 將上式兩邊同乘以將上式兩邊同乘以 得得 3. Q(s) 含單重二階因子的情況含單重二階因子的情況 將實(shí)系數(shù)真分式將實(shí)系數(shù)真分式 化為部分分式化為部分分式附：附： ,)(22bas 假設(shè)假設(shè) Q(s) 含單重二階因子含單重二階因子 即即 )(/ )()(sQsPsF 令令 ,bjas )()(3jbaQjbaP ,bDjbC 有有 25第九章 拉普拉斯變換 9.3 Laplace 逆變換 3. Q(s) 含單