1、1 類型二圖形規(guī)律例 1. 將一些相同的“”按如圖所示擺放，觀察每個圖形中的“”的個數(shù)，若第n 個圖形2 中“”的個數(shù)是78，則 n 的值是 ( ) 第 1 題圖a11 b 12 c13 d14 【答案】 b 【解析】由每個圖形中小圓的個數(shù)規(guī)律可得第n 個圖形中，小圓的個數(shù)為n（n 1）2，由此可得方程n（ n1）278，解得 n12，故選 b. 例 2. 如圖，在第1 個a1bc中， b30， a1bcb ；在邊 a1b上任取一點(diǎn)d，延長 ca1到a2，使 a1a2 a1d，得到第 2 個a1a2d ；在邊 a2d上任取一點(diǎn)e，延長 a1a2到 a3，使 a2a3 a2e，得到第 3 個a2

2、a3e，按此做法繼續(xù)下去，則第n 個三角形中以an為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是( ) 3 第 2 題圖a. (12)n75 b. (12)n165c. (12)n175 d. (12)n85【答案】 c 【解析】在 cba1中， b30， a1bcb ， ba1c180b275，a1a2a1d，ba1c是a1a2d的外角， da2a112ba1c1275；同理可得， ea3a2(12)275，fa4a3(12)375，第n 個三角形中以an為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是(12)n17例 3. 下列圖形都是由相同大小的按一定規(guī)4 律組成的，其中第個圖形中一共有4 顆，第個圖形中一共有11 顆，第個圖形中一共有21 顆

3、，按此規(guī)律排列下去，第5 個圖形中的顆數(shù)為 ( ) 第 3 題圖116 b. 144 c. 145 d. 150 【答案】 b 【解析】 將圖中下半部分組成的梯形放到矩形上方，第 n個組合圖形可看作是由下半部分為n 行 n 列方陣和上半部分的梯形成，第 n 個圖中方陣中的為(n1)2，梯形中為2 n2(n 1)n2n22，第 n 個圖中的的個數(shù)為(n 1)2n2 n223n225n2，令 n9，解得第9 個中個數(shù)為144 個例 4. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑均為1 個單位長度的半圓o1，o2，o3，組成一條平滑的曲線點(diǎn)p從原點(diǎn) o出發(fā)，沿這條曲線向右運(yùn)動，速度為每秒2個單位長度， 則

4、6 第 2017 秒時，點(diǎn)p的坐標(biāo)是 ( ) 第 4 題圖a. (2014 ，0) b. (2015， 1) c. (2017 ，1) d. (2016，0) 【答案】 c 【解析】由圖象可知，半圓的周長為，運(yùn)動一秒后的坐標(biāo)為(1 ，1) ，兩秒后的坐標(biāo)為(2，0) ，三秒后的坐標(biāo)為(3， 1)，四秒后的坐標(biāo)為(4 ，0)，其中縱坐標(biāo)以1，0， 1，0 循環(huán)變化， 201745041，第2017 秒時，點(diǎn)p的坐標(biāo)為 (2017 ，1) 例5. 如圖所示，將形狀、大小完全相同的“”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形第7 1 幅圖形中“”的個數(shù)為a1，第 2 幅圖形中“” 的 個 數(shù) 為a2， 第3幅

5、 圖 形 中8 “”的個數(shù)為a3，以此類推， 則1a11a21a31a19的值為 ( ) 第 5 題圖a.2021 b. 6184 c. 589840 d. 431760【答案】 c 【解析】由所給圖形可知，a13221 (1 1)2 1，a28321(21)21，a3 15421(3 1)21，a424521(4 1)21，由此猜想an(n 1)21 n(n2) ，1a11a21a31a1913181151192112(11312141315118120119121) 12(112120121) 589840. 例 6. 如圖，將矩形 abcd 繞其右下角的頂點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)90至圖位置，

6、 繼續(xù)繞右下9 角的頂點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)90至圖位置， 依此類推， 這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2017 次若 ab 4，ad 3，則頂點(diǎn)a在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為( ) 第 6 題圖a. 2017 b. 2034c. 3024 d. 3026【答案】 d 【解析】 ab 4，ad 3，ac bd 5，轉(zhuǎn)動一次a的路線長是9041802，轉(zhuǎn)動第二次 a的路線長是90518052，轉(zhuǎn)動第三次a的路線長是90318032，轉(zhuǎn)動第四次a的路線長是0，以此類推， 每四次一個循環(huán)， 且頂點(diǎn) a轉(zhuǎn)動一個循環(huán)的路線長為：523226，201745041， 頂點(diǎn) a轉(zhuǎn)動 2017 次經(jīng)過的路線長為： 6504230

7、26.例 7. 如圖，已知菱形oabc 的頂點(diǎn) o(0，0)，b(2，2)，若菱形繞點(diǎn)o逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn) 45，則第60 秒時，菱形的對角線交點(diǎn)d的坐標(biāo)為 ( ) 10 第 7 題圖a.(1 ， 1) b. (1， 1) c. (2， 0) d. (0，2) 【答案】 b 【解析】菱形oabc 的頂點(diǎn) o(0，0) ，點(diǎn) b的坐標(biāo)是 (2 ，2) ，bo與 x 軸的夾角為45，菱形的對角線互相垂直平分，點(diǎn)d 是線段 ob的中點(diǎn)，點(diǎn)d 的坐標(biāo)是 (1 ， 1) ，菱形繞點(diǎn) o逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45，36045 8，每旋轉(zhuǎn)8 秒，菱形的對角線交點(diǎn)就回到原來的位置(1 ，1)，60874， 第

8、 60 秒時是把菱形繞點(diǎn)o逆時針旋轉(zhuǎn)了7 周回到原來位置后，又旋轉(zhuǎn)了4 秒，即又旋轉(zhuǎn)了445180， 點(diǎn) d的對應(yīng)點(diǎn)落在第三象限，且對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)d關(guān)于原點(diǎn)o成中心對稱，第60 秒時，菱形的對角線交點(diǎn)d的坐標(biāo)為 ( 1， 1) 例 8. 某廣場用同一種如下圖所示的地磚拼圖案，第一次拼成形如圖所示的圖案，第二次拼成形如圖所示的圖案，第三次拼成形如圖所示的圖案，第四次拼成形如圖所示的圖案按照這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第n 次拼成的圖案共用地磚_塊11 第 8 題圖地磚圖案【答案】 2n22n 【解析】 4，424，42426，故第n 個圖形共有4242622n 44243 4n4(1 23 n) 4n（n1

9、）2 2n22n. 例 9. 下列圖形都是由大小相同的小正方形按一定規(guī)律組成的，其中第1 個圖形的周長為4，第 2 個圖形的周長為10，第 3 個圖形的周長為18，按此規(guī)律排列，第5 個圖形的周長為_第 9 題圖【答案】 40 【解析】第一個圖形周長1212；第二個圖形周長(21)222；第三個圖形周長(3 21) 223；第四個圖形周長(4 321)224；第五個圖形周長(5 4312 21)225 40. 例 10. 如圖，在 abc 中，bc 1，點(diǎn) p1、m1分別是 ab 、ac邊的中點(diǎn)，點(diǎn)p2、m2分別是 ap1、am1的中點(diǎn)，點(diǎn)p3、m3分別是ap2、am2的中點(diǎn)，按這樣的規(guī)律下去

10、，pnmn的長為 _(n為正整數(shù) )第 10 題圖【答案】12n【解析】在 abc 中， bc 1，p1、m1分別是 ab 、acnnnn的中點(diǎn)，p1m112bc 12，按照題設(shè)給定的規(guī)律，列表如下：圖形序號pnmnpnmn的長度p1m112p2m214122p3m318123n pnmn12n例 11. 正方形 a1b1c1o，a2b2c2c1，a3b3c3c2按如圖所示放置，點(diǎn)a1、a2、a3在直線yx1上，點(diǎn) c1、c2、c3在 x 軸上，則 an的坐標(biāo)是 _13 第 11 題圖【答案】 (2n11，2n 1) 【解析】點(diǎn)a1、 a2、 a3在直線yx1 上，a1的坐標(biāo)是 (0 ，1)，

11、即 oa11，四邊形a1b1c1o為正方形， oc11，即點(diǎn) a2的橫坐標(biāo)為1，a2的坐標(biāo)是 (1 ，2) ，a2c1 2，四邊形 a2b2c2c1為正方形， c1c22，oc212 3，即點(diǎn) a3的橫坐標(biāo)為3，a3的坐標(biāo)是 (3 ，4)，觀察可以發(fā)現(xiàn)：a1的橫坐標(biāo)是： 0 20 1，a1的縱坐標(biāo)是：120；a2的橫坐標(biāo)是：1211，a2的縱坐標(biāo)是： 221；a3的橫坐標(biāo)是： 3221，a3的縱坐標(biāo)是： 422；據(jù)此可以得到an的橫坐標(biāo)是： 2n11，縱坐標(biāo)是： 2n1. 所以點(diǎn) an的坐標(biāo)是 (2n11，2n1) 例 12. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y2x 和 y x 的圖象分別為直線

12、l1，l2，過點(diǎn)(1， 0) 作 x 軸的垂線交l1于點(diǎn) a1，過點(diǎn) a1作 y 軸的垂線交l2于點(diǎn) a2，過點(diǎn) a2作 x 軸的垂線交 l1于點(diǎn) a3，過點(diǎn)a3作 y 軸的垂線交l2于點(diǎn) a4，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)a2017的坐標(biāo)為_14 第 12 題圖第 13 題圖【答案】 (21008，21009) 【解析】 觀察， 發(fā)現(xiàn)規(guī)律： a1(1 ，2) ，a2( 2，2) ，a3( 2，4)，a4(4 ， 4) ，a5(4 ，8) ，a2n1( 2)n，2( 2)n) ，a2n2( 2)n1，2( 2)n，(n為自然數(shù) ) ，201710082 1，a2017的坐標(biāo)為 ( 2)1008，2( 2

13、)1008) (21008， 21009) 例13. 如圖，mon 60， 作邊長為1 的正六邊形a1b1c1d1e1f1，邊 a1b1、 f1e1分別在射線om 、on上，邊c1d1所在的直線分別交om 、on于點(diǎn) a2、f2，以 a2f2為邊作正六邊形a2b2c2d2e2f2，邊 c2d2所在的直線分別交om 、on于點(diǎn) a3、f3，再以 a3f3為邊作正六邊形a3b3c3d3e3f3，依此規(guī)律，經(jīng)第n 次作圖后，點(diǎn)bn到 on的距離是 _【答案】 3n13 【解析】由題可知， mon 60，不妨設(shè)bn到 on的距離為hn，正六邊形a1b1c1d1e1f1的15 邊長為 1，則 a1b11

14、，易知a1of1為等邊三角形，a1b1oa11，ob12，則 h12323，又 oa2a2f2a2b23，ob2 6，則h263233，同理可求： ob318，則 h3183293，依此可求：obn23n 1，則hn23n1323n13，bn到 on的距離 hn3n13. 例 14. 如圖， rtoa0a1在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，oa0a190，a0oa130，以oa1為直角邊向外作rtoa1a2，使 oa1a290，a1oa230，以oa2為直角邊向外作rtoa2a3，使oa2a390，a2oa330，按此方法進(jìn)行下去，得到rtoa3a4，rtoa4a5，rtoa2016a2017，若點(diǎn) a0(

15、1 ，0) ，則點(diǎn) a2017的橫坐標(biāo)為 _第 14 題圖【答案】 (43)1008【解析】由題意可知，經(jīng)過12 次變換后，點(diǎn)a13落在射線oa1上， 2017121681，點(diǎn) a2017落在射線 oa1上， 其橫坐標(biāo)與點(diǎn)a2016相同， oa01， 經(jīng)過 12次變換后，oa12(233)12，再經(jīng)過 12 次變換后， oa24(233)24，綜上可猜想，oa2016(233)2016(43)1008，點(diǎn) a2017的橫坐標(biāo)為 (43)1008. 例 15. 如圖，直線y33x 上有點(diǎn) a1，a2，a3， an1，且 oa11，a1a22，a2a34，anan12n，分別過點(diǎn)a1，a2，a3，

16、an 1作直線 y33x 的垂線， 交 y 軸于點(diǎn) b1，b2，b3，bn1，依次連接a1b2，a2b3，a3b4， anbn1，得到a1b1b2，a2b2b3，a3b3b4，anbnbn16 1，則anbnbn 1的面積為 _( 用含正整數(shù)n 的式子表示 ) 第 15 題圖【答案】3222n322n【解析】如解圖，作a1c1x軸于 c1，a2c2x軸于 c2，ancnx軸于 cn，點(diǎn)an在直線上y33x，a1c1oc1a2c2oc2ancnocn33，anocn30， ocn32oan32(1 222 2n1) ，anobn60，bnanoan，obn2oan，bnbn12oan12oan2

17、anan122n2n1. 第 15 題解圖sanbnbn 112bnbn1ocn122n132(1 222 2n1) ，設(shè)s12 4 2n1，則2s 24 2n 12n，s 2s s (2 4 2n12n) (1 24 2n1) 2n17 1 ，綜上可知sanbnbn 1122n 132(2n1)3222n322n. 例 16. 如圖， aob 60，點(diǎn)o1是aob平分線上一點(diǎn)，oo12，作 o1a1oa ， o1b1ob ，垂足分別為a1，b1，以 a1b1為邊作等邊三角形a1b1o2；作 o2a2oa ，o2b2ob ，垂足分別為a2，b2，以 a2b2為邊作等邊三角形a2b2o3；作 o3a3oa ， o3b3ob ，垂足分別為a3，b3，以 a3b3為邊作等邊三角形a3b3o4；，按這樣的方法繼續(xù)下去，則anbnon的面積為 _( 用含正整數(shù) n 的代數(shù)式表示 ) 【答案】32n24n3 【解析】 aob 60， oon平分 aob ， aoon30，a1o1ao ，oo12，a1o1 1，oa13. o1a1oa ，o1b1ob ，o1a1o1b1， o1oo1o， rto1a1o rto1b1o(hl)， oa1ob1，a1ob1