1、根系關(guān)系及應(yīng)用題11方程11級解特殊復(fù)雜方程方程12級特殊根問題方程6級含參方程組方程13級根系關(guān)系及應(yīng)用題春季班第十一講春季班第十講春季班第九講滿分晉級階梯 漫畫釋義 考古發(fā)現(xiàn)知識互聯(lián)網(wǎng) 題型切片題型切片（兩個）對應(yīng)題目題型目標根與系數(shù)關(guān)系例1；例2；例3；例7；演練1；演練2；演練3；一元二次方程的應(yīng)用題例4；例5；例6；演練4；演練5編寫思路本講主要分為兩個版塊，模塊一主要講解了一元二次方程的補充知識點，韋達定理，在這一板塊重點進行了由定理直接進行的代數(shù)式的變形，對于這個補充版塊，有的班級理解能力強些，老師們可能會有一些富余時間，故給老師們預(yù)備了對韋達定理的進一步探索。模塊二練習(xí)了各個類

2、型的應(yīng)用題，希望同學(xué)們能從不同的方面深入理解一元二次方程，并再次練習(xí)了解方程應(yīng)用題的一般步驟：審、設(shè)、列、解、答，希望老師注意強調(diào)應(yīng)用題的答千萬不要忘記。題型一：根與系數(shù)關(guān)系思路導(dǎo)航 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）若是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，則方程的兩個根和系數(shù)有如下關(guān)系：. 例題精講 【引例】 先閱讀，再填空解題：方程x2x120 的根是：x1，x24，則x1x21，x1·x2；方程2x27x30的根是：x1，x23，則x1x2，x1·x2；方程x23x10的根是：x1 ， x2 則x1x2 ，x1·x2 ；根據(jù)以上你能否猜出：如果關(guān)于x的一元二次

3、方程mx2nxp0（m0且m、n、p為常數(shù)）的兩根為x1、x2，那么x1x2、x1·x2與系數(shù)m、n、p有什么關(guān)系？請寫出來你的猜想并說明理由在的條件下，求下列各式的值：； （十一學(xué)校期末）【解析】 ，；，；典題精練 【例1】 不解方程，求下列方程兩根的積與和 【解析】 【例2】 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根和求實數(shù)的取值范圍； 當(dāng)時，求的值 (畢節(jié)中考)【解析】 由題意有，解得即實數(shù)的取值范圍是由得若，即，解得，不合題意，舍去若，即 ，由知故當(dāng)時，【例3】 已知一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，并且這兩個根又不互為相反數(shù). 求的取值范圍； 當(dāng)在取值范圍內(nèi)取最小偶數(shù)時，方程的兩

4、根為，求的值. （北京八中期中試題）【解析】 根據(jù)題意，可得 且且依題意有，原方程可化為方法一：方法二：，【探究對象】根系關(guān)系的進一步應(yīng)用【探究方式】在做含參一元二次方程根系關(guān)系的問題時，先考慮二次項系數(shù)不為0再判斷然后根據(jù)題意看是否有兩根的特殊關(guān)系（如例3，已知中強調(diào)兩根不互為相反數(shù)，則根據(jù)根系關(guān)系能夠得出）在這里主要探討一下根的正負性問題：利用根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以不直接求方程的根，而知其根的正、負性在的條件下，我們有如下結(jié)論：當(dāng)時，方程的兩根必一正一負若，則此方程的正根不小于負根的絕對值；若，則此方程的正根小于負根的絕對值當(dāng)時，方程的兩根同正或同負若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方

5、程的兩根均為負根【探究1】已知關(guān)于x的一元二次方程x22ax+a29=0 （1）a為何值時，方程有兩個正根？ （2）a為何值時，方程有一正根、一負根？分析：此題根據(jù)上面的總結(jié)很容易得出：（1）a >3；（2）3< a <3【探究2】已知關(guān)于x的一元二次方程（m+2）x2+2mx+ =0 （1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍； （2）若 ，試判斷方程兩個實數(shù)根的符號，并證明你的結(jié)論分析：（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根 解得：m6； 又因為m+20，則m2；所以m的取值范圍是m6且m2； （2）設(shè)方程的兩個實根分別為與，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，又知，則， 逆用上述結(jié)

6、論可知，方程有兩個負實數(shù)根【探究3】已知方程，k為實數(shù)且k0，證明：此方程有兩個實數(shù)根，其中一根大于1，另一根小于1分析：先判斷=4+4k2>0，所以方程有兩不等實根，設(shè)為、，且 由根系關(guān)系得 ，拓展逆用上述結(jié)論： 與中必有一個大于0，另一個小于0 即方程有兩個實數(shù)根，其中一根大于1，另一根小于1題型二：一元二次方程的應(yīng)用題思路導(dǎo)航 列一元二次方程解應(yīng)用題的時候，要注意檢驗得到的根是否符合題意例題精講 【引例】 某汽車銷售公司2009年盈利1500萬元， 2011年盈利2160萬元，且從2009年到2011年，每年盈利的年增長率相同設(shè)每年盈利的年增長率為，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

7、 ） （西城期末）A BC D某種商品原價是120元，經(jīng)兩次降價后的價格是100元，求平均每次降價的百分率設(shè)平均每次降價的百分率為，可列方程為 (臺州中考)【解析】 A；典題精練 【例4】 某商品進價為40元的襯衫按50元售出時.每月能賣500件.這種襯衫每漲價1元，其銷售量減少10件.如果商場計劃每月賺8000元利潤.售價應(yīng)定為多少?【解析】 設(shè)漲價元，則售價為元，每月賣出件根據(jù)題意列出方程解得：答：當(dāng)售價定在60元或者80元時，每月賺8000元【例5】 如圖，要設(shè)計一幅寬cm，長cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為，如果要使所有彩條所占面積為原矩形圖案面積的三分之一，

8、應(yīng)如何設(shè)計每個彩條的寬度？分析：由橫、豎彩條的寬度比為，可設(shè)每個橫彩條的寬為，則每個豎彩條的寬為為更好地尋找題目中的等量關(guān)系，將橫、豎彩條分別集中，原問題轉(zhuǎn)化為如圖的情況，得到矩形結(jié)合以上分析完成填空： 如圖，用含的代數(shù)式表示：=_cm；=_cm；矩形的面積為_cm； 列出方程并完成本題解答 （三帆中學(xué)期末試題）【解析】 根據(jù)題意，得.整理，得.解方程，得（不合題意，舍去）.則答：每個橫、豎彩條的寬度分別為cm，cm.【例6】 如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面請觀察下列圖形并解答有關(guān)問題： 在第n個圖中，每一橫行共有 塊瓷磚，每一豎列共有 塊瓷磚；（均用含n的代數(shù)式表示） 設(shè)鋪

9、設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為y，請寫出y與中的行列的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫自變量n的取值范圍） 按上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時n的值； 若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題中，共需花多少元錢購買瓷磚？ 是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形？請通過計算說明理由【解析】 ； ，即 當(dāng)y=506時，即解得（舍去） 白瓷磚塊數(shù)是（塊）黑瓷磚塊數(shù)是（塊）共需（元） 化簡為解得（舍去）n的值不為正整數(shù)，不存在黑、白瓷磚塊數(shù)相等的情形真題賞析【例7】 關(guān)于的方程的兩根和為，兩根的平方和為，兩根的立方和為，試求的值【解析】 設(shè)方程的兩根為、，則，思維拓展訓(xùn)練(選講)訓(xùn)練1. 關(guān)

10、于的一元二次方程有兩個實數(shù)根、， 求的取值范圍;若、滿足等式求的值. （崇文區(qū)初三期末）【解析】 由，整理，得 方程有兩個實數(shù)根，解之，得 方程的兩個實根是、，.訓(xùn)練2. 已知是實數(shù)，若是關(guān)于的一元二次方程的兩個非負實根，則的最小值是_.如果是質(zhì)數(shù)，且那么的值為 （ ）A. B. 或 C. D. 或 【解析】 .提示：依題意有，化簡得，的最小值為B提示：方法一：有兩種情況： 若，則；若，根據(jù)題意，、是方程的根，則，因為是質(zhì)數(shù)且和為奇數(shù)，所以兩數(shù)分別為和此時 方法二：兩式相減，消，所以有或訓(xùn)練3. 為了鼓勵居民節(jié)約用電，某地區(qū)規(guī)定：如果每戶居民一個月的用電量不超過度時，每度電按0.40元交費；如

11、果每戶居民一個月的用電量超出度時，則該戶居民的電費將使用二級電費計費方式，即其中有度仍按每度電0.40元交費，超出a度部分則按每度電元交費下表是該地區(qū)一戶居民10月份、11月份的用電情況根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求在該地區(qū)規(guī)定的電費計費方式中，度用電量為多少？ （西城期末）月份用電量所交電費總數(shù)（元）10月803211月10042【解析】 因為，所以 . 由題意得. 去分母，得 .整理，得 .解得 ，. 因為 ，所以 不合題意，舍去.所以 答：在該地區(qū)規(guī)定的電費計費方式中，a度用電量為90度. 訓(xùn)練4. 兩個相鄰的自然數(shù)的平方和比這兩個數(shù)中較小的數(shù)的2倍大51，試求這兩個自然數(shù)某兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)

12、字之和為5，把這個數(shù)的個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對調(diào)后，所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的乘積為736，求原來的兩位數(shù)【解析】 設(shè)這兩個自然數(shù)分別為根據(jù)題意得解得：（舍）所以這兩個自然數(shù)為5和6設(shè)這個數(shù)為，新的數(shù)為根據(jù)題意得：解得所以這個兩位數(shù)為23或32復(fù)習(xí)鞏固知識模塊一 根與系數(shù)的關(guān)系 鞏固練習(xí)【練習(xí)1】 方程的兩個解分別為、，則的值為（ ） A B C7 D3設(shè)，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為_ 【解析】 D；7【練習(xí)2】 已知，是一元二次方程的兩個根，求的值【解析】 因為是方程的根，所以，即，同理所以【練習(xí)3】 已知關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根的平方和等于6，求的值【解析】 設(shè)方程的兩個根為，

13、則，解得，又當(dāng)時，所以，不符合題意舍去當(dāng)時，所以，即為所求題型二 一元二次方程的應(yīng)用問題 鞏固練習(xí)【練習(xí)4】 某市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格，某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，由每盒200元下調(diào)至128元，求這種藥品平均每次降價的百分率是多少【解析】 設(shè)平均每次降價的百分率為，則，即，解得（舍去），答：這種藥品平均每次降價20%【練習(xí)5】 一條長64m的鐵絲被剪成兩段，每段均折成一個正方形，若兩個正方形的面積和等于，求這兩個正方形的邊長，【解析】 設(shè)一個正方形的邊長為cm，則另一個正方形的邊長是，整理，得，解得，則或答：這兩個正方形的邊長分別為4cm，12cm感恩對手讀完感恩對

14、手這本書后，它讓我明白了對手的存在是一種必然。正是有了對手的存在，使我們有了奮斗的勇氣和動力，從而激發(fā)我們的斗志。我們應(yīng)感謝對手，感謝他們?yōu)槲覀儤淞⒘藠^斗的航標。有對手才有競爭，學(xué)會競爭才懂得欣賞別人。我在報紙上曾經(jīng)看過這樣一條新聞：上個賽季的最后一場籃球全明星賽上，卡特一個風(fēng)車式的灌籃，引發(fā)了對手一個高貴的跪拜。對手感謝卡特，感謝他在球場這個自己鐘愛的領(lǐng)域內(nèi)創(chuàng)造的奇跡，他讓自己有了新的奮斗目標。這一跪拜，跪出的是崇敬，是欽佩，更是感謝。失敗者的頹廢，成功者的歡欣；剎那間的黯然，瞬息間的精彩，一切都逃不出上帝嵌在對手身上的第二雙眼睛?？捎袝r我們的心會因狹隘而丑陋，因自卑而愁苦，然而懂得感恩于對手的人眸子里閃射著金色的光芒，這